EXPOSÉ DC LÀ RELATION «(TRIQUE A DEUX TERMES FONDAMENTALE
165. Rappel des notations et conventions. ~ Rappelons d'abord l'énoncé de cette relation, cela nous fournira l'occasion de présenter quelques observations préliminaires qui serviront à en faciliter la parfaite intelligence ainsi que les applications.
Soit abc [fig. 35) un triangle arbitrairement situé sur le plan d'une ligne géométrique d'un ordre quelconque, et dont les côtés ii6, 6c, ca, prolongés indéfiniment, rencontrent respectivement cette courbe aux points />,/?% /^...; y. 5^1 ^'.•.; r, r\ r" ..., dont le nombre, pour chaque côté, est marqué par lé degré même de la cQurbe. Désignons par [ap) le produit ap.apf.ap"... d«
au? l'b «:uL«: auuu«fi elit apu^m^u:. u s^^^u^-eu: or^^ sonim^'U correœoBaiiB.'^ ut irsau;:!*:: iiia*t i *;r, iH;';*'ssiii-t a* ^^u;arqu<r qt kl ]k;u: divit&ci . Of rtac iii4iiii*;f'*f: ui.sii]i'rL«;^:. 'j»: 'joi*: «L i>èmi*fi i»roiionioiiDcIitf^ k aeuï noMJwef uuiiuei. î>^iui qut i* iiuiu: o* d.»vi5niL uui: ^^ rouve? eDiT>^ hs cxiiUHUeF
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Ou \oit d'.'Lic que diaque i»f'au'ji»*: ciii^iiLvle d'une courbe freoiDf.triq«e se f'ornporte, par rappr^rt à tuuiet i^b i utre^. comme si elle elaît une simple li;;ue droite; car deux puJuU u* w ù:re';tioL suffliierii pour la déterminer complètement, et son trace te2.1t:* eue de^ t .iisLructi'jns du premier degré.
On prouverait, de la mem* nittie'e. qut le système de deux branches distinctes d'une courbe ti^'.»"«^*-''*'w".^e se 'vmpoMe comme une simple ligne du second ordre par rapport c ' eubeLuiiie de^ autre? branches censées connues; de sorte, par ex.em;»le. eue v^- «système serait entièrement donné au moyen de cinq poînU quvl^.1*Lque^ de sou contour: et ainsi de suite pour les systèmes de tr^^^ .1; : ■. l T.viM.re quelconque de branches. Or ces circonstances meoei.: * T^e::.*: :e ^re^vi! a l'avance que plusieurs des propriétés connues c^ a . .;;i.r Zf. le et de^ '>ectiùns coniques doivent être
i64 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.
ces points et de tous les autres, un seul excepté, devra nécessairement aussi
passer par ce dernier.
Ainsi, bien que nous ignorions actuellement les moyens géométriques de construire une telle courbe à Taide des points donnés, quand son degré surpasse le deuxième (145), nous n'en devons pas moins regarder la relation métrique qui lie entre eux ces points, comme un indice de Texistence de cette courbe en général, ou, si Ton veut, comme une définition qui exclut seulement toute idée de son impossibilité absolue. Au surplus, lorsque, dans le courant de ce paragraphe, il nous arrivera d'énoncer qu'un certain groupe de 3m points, assujettis aux conditions que suppose cette relation, appartient à une ligne du degré m marqué par le nombre des points qui sont situés sur chaque transversale, ce sera uniquement dans la vue de simplifier le langage, et nullement de rien prononcer à l'avance sur l'existence ou la possibilité effective de cette courbe, possibilité qui sera démontrée complètement et généralement dans le paragraphe suivant, où nous nous occuperons, d'une manière spéciale, de la construction des lignes et surfaces géométriques par leurs systèmes d'intersections avec des transversales rectîlignes données.
169. Élimination des segments nuls, infinis ou imaginaires. — Après les observations préliminaires qui précèdent, nous nous occuperons des différents modes par lesquels on peut transformer notre relation primitive en d'autres également propres à caractériser les lignes géométriques, et à faire construire numériquement ou graphiquement l'une quelconque de leurs intersections avec les côtés du triangle transversal, quand les intersections restantes sont censées données; ce qui conduit nécessairement aussi à autant de théorèmes distincts ou de propriétés nouvelles des lignes géométriques.
En effet, il suffit de traiter cette relation comme nous l'avons fait dans le § I^S pour le cas particulier des lignes du second ordre, c'est-à-dire en fai* sant intervenir de nouvelles transversales rectilignes ou courbes qui contiennent quelques-uns des points d'abord considérés, et qui, donnant lieu à d'autres relations analogues, permettent d'éliminer simultanément ou suc^ cessivement de la proposée tout ou partie des segments qu'elle renferme, de manière à retomber finalement sur une égalité plus simple, sur une relation qui indique plus explicitement que la première la dépendance graphique qui lie entre elles les intersections primitives de la courbe et sed transversales.
i66 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.
cette autre
{bp){cq'](ar^)aP '
dans laquelle {bq')e&i censé représenter le produit de tous les segments bq\ h(f\ bq",...^ k l'exception de bq\ {ar^) le produit semblable de tous les segments ar\ ar", ar**,..., à l'exception de ar^ etc., et d'où l'on déduit immédiatement le rapport de 6P à aP propre à construire le point P« et par con-* séquent la transversale ^rP, qui devient naturellement une tangente de la courbe proposée, dans l'hypothèse ci-dessus où les points 9 et r se confondraient en un seul avec le sommet c du triangle considéré.
On remplira aussi le même but d'éliminer, de la relation primitive, les segments cr et c^ qui la rendent identique, en observant que, dans le triangle cqr, le rapport des segments ou côtés dont il s'agit conserve une valeur déterminée et finie, même quand ce triangle s'évanouit, ou que la direction indéfinie de qr devient tangente à la courbe. En effet, ce rapport est égal à celui des sinus des angles cqr, crq opposés respectivement aux côtés cr et cq dont il s'agit. Mais ce dernier mode d'élimination aurait l'inconvénient de faire intervenir, dans la relation primitive, des éléments d'une nature étrangère à ceux qu'elle contient, et qui ne se prêteraient pas, avec la même facilité, aux interprétations géométriques ou aux transformations que nous aurons à lui faire subir par la suite.
172. Théorème de situation qui en découle. — On se convaincra, dès à présent, des avantages inhérents au premier mode d'élimination, en observant que la relation obtenue ci-dessus (171) peut immédiatement se ramener à It forme même de celle d'où nous sommes partis. Il suffit, pour cela, de supposer, qu'on mène par le point P, situé sur le côté ab da triangle a6c, une seconde droite arbitraire rencontrant en qt et r^ les deux autres côtés de ce triangle; car, étant considérée, à son tour, comme transversale de ce même triangle, elle donnera lieu à une nouvelle relation xlont la combinaison avec la précédente conduira à celle-ci
{ap)Xbq,{bq')Xcr,{cr') (bq)X cq,(cq') X ar, [ar') "*" *'
qui, étant absolument de même forme que la relation primitive et assujettie aux mêmes conditions (149), exprime (168) que lestrois groupes dépeints/?, //, p'\...; y,, q\ q'\ ... ; r<, r', r",. . . , appartenant à la courbe proposée à l'exception des deux points q et r, sont eux-mêmes situés sur une autre courbe géométrique d'un degré égal au sien propre.
SECTION IlL — ANALYSE DES TRANSVERSALES. 167
Ce théorème, qui a son inverse, d'après les principes de la théorie des polaires réciproques, conduit à des énoncés aussi élégants que faciles, mais sur lesquels nous ne pouvons ici insister. Contentons-nous de remarquer que le moyen par lequel nous sommes parvenus à ramener Téquation du n® 171 k la forme de celle du n^ 165 peut être mis en usage dans beaucoup d'autres circonstances analogues, ce qui permet de traduire immédiatement, en relations purement descriptives, toute égalité a deux termes, du genre de celles qui nous occupent, et qui ne différerait de celle du n^ 165 dont il s'agit, que par l'ordre des facteurs qui y entrent ou l'arrangement des points auxquels elle s'applique.
1 73 . Manière d'amener certains sommets du triangle transversal en des points ordinaires ou singuliers de la courbe. — Nous venons de montrer comment on peut transformer cette dernière relation en une autre qui ne devienne pas illusoire quand l'un des sommets du triangle abc {fig. 34) se trouve situé sur la courbe proposée, et nous avons vu que cela revient à éliminer de cette relation les deux segments qui sont susceptibles d'y devenir nuls à la fois; or, il est clair qu'on pourrait, de même, en faire disparaître deux autres segments quelconques relatifs à des côtés différents du triangle transversal, ce qui permettrait d'amener de nouveaux sommets de ce triangle sur la courbe, sans que la relation, ainsi transformée, cessât d'être applicable aux intersec* tions qui sont demeurées distinctes de ces sommets.
Je dis plus, c'est que le même procédé d'élimination pourra servir à amener un ou plusieurs des sommets du triangle proposé, ou, en général, d'un polygone transversal quelconque, en des points multiples de la courbe, et cela quelle que soit l'espèce de ces points ou le nombre des, branches qui y passent. En effet, il suffira évidemment de faire intervenir, dans la figure, autant de transversales auxiliaires (171) qu'il y a de ces branches, et qui soient telles que, réunissant deux par deux les intersections du triangle et de la courbe, qui doivent se confondre, soit avec l'un des sommets de ce triangle, soit avec l'un des points multiples de cette courbe, elles finissent par devenir des tangentes véritables aux différentes branches dont il s'agit.
Les points conjugués, de rebroussement ou ^'inflexion donnant lieu à des observations analogues, on voit qu'il doit en résulter une infinité de théo* rèmes absolument neufs sur les points singuliers des courbes géométriques, et, en général, sur les figures qui leur sont inscrites ou circonscrites. Ces propositions pourraient ensuite être doublées au moyen des principes exposés dans notre Mémoire sur la théorie des polaires réciproques y et Ton en dédui-
.i68 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.
rait notamment des procédés fort simples et sur lesquels nous aurons occasion de revenir dans le paragraphe suivant, pour construire, par points, toute ligne géométrique ayant un point multiple d'un ordre inférieur, d'une ou de deux unités, au sien propre, etc. Mais ce n'est pas ici le lieu de s'étendre sur ces différentes matières dignes d'intérêt et qui sont susceptibles des plus grands développements, soit qu'on s'arrête aux figures situées simplement dans un plan, soit que l'on considère des polygones gauches quelconques coupés par des surfaces géométriques dans l'espace.
TRADUCTION DE l'ÉQUàTION FONDAMENTALE EN RELATIONS LINtAIRES OU DESCRIPTIVES.
174. Méthode générale. — Revenons maintenant aux suppositions générales du n^ 165, où le triangle abc^ une situation quelconque par rapporta la courbe, et montrons comment, en suivant la marche qui précède, on peut aisément découvrir les moyens de construire linéairement^ c'est-à-dire avec nue single régie f l'un quelconque des ppints définis par la relation
{a p){bq){cr) __ {bp){cq){ar) '
quand tous les autres sont censés donnés sur la direction des transversales ab, bc et ac.
Pour y parvenir, il ne s'agira évidemment que d'éliminer successivement, de la relation dont il s'agit, tous les segments qui y entrent, en conduisant par les points d'intersection de la courbe, pris deux à deux et dans un ordre convenable, de nouvelles droites considérées, à leur tour, comme autant de transversales des côtés du triangle, et en procédant, du reste, comme cela a déjà été indiqué plus haut (171) relativement aux segments des points q et r, c'est-a-dire en s'arrangeant de façon à retomber toujours sur une dernière relation de la forme de la proposée et qui appartienne simplement au système de trois derniers points situés en ligne droite; ce qui est possible d'une infinité de manières différentes, et conduit à autant de procédés graphiques distincts pour construire l'un des points primitivement considérés quand on connaît tous les autres, procédés dont nous nous contenterons de donner quelques exemples, sans insister même sur les conséquences ou les théorèmes qui peuvent en découler pour les lignes géométriques de divers ordres.
175. Exemple relatif aux courbes du quatrième degré. ^ Qu'il s'agisse, en particulier, d'une ligne du quatrième degré, coupée par les côtés d'un triangle abc {/ig. 36), comme il a été expliqué au n^ 165; on considérera
d'abord le groupe des six points peif/,q et q\ ret r' situés par couples ou deux par deux sur les côtés dont il s'agit, et on les traitera de la même manière qu'on Ta fait au n® 148 pour le cas des simples sections coniques, en complétant, par exemple, l'hexagone inscrit pp'qq'^Pf ou, ce qui revient au même, en traçant les trois transversales q'r.pr'fp'q, joignant des points d'intersection qui appartiennent à des couples de côtés différents du triangle cAc^ et dont la rencontre respective, avec chacun de ses troisièmes côtés, déterminera les nouveaux points P, Q, R qui sont les points de concours des côtés opposés de l'hexagone dont il s'agit. On mènera pareillement, par les six intersections restantes et toujours dans le même ordre, les trois transversales y'^r", fr^^p^tf', rencontrant en F, Q', R' respectivement les côtés du triangle ahc^ dont ces transversales ne dépendent pas. Gela posé, considérant le système complet de ces six transversales comme une courbe unique (167) du sixième degré, on aura, entre les trente-six.segments qu'elle détermine sur les côtés ahc ou sur leurs prolongements, la relation générale
(ap)(6^)(cr)X flP.gP X feQ.feQ^XcR.cR^ [hp){cq){ar] X 6P.6P' X cQ.cQ' X aU.aR'""''
qui, en vertu de celle qui appartient à la courbe proposée, se réduit à la suivante
ftP.éP'X cQ.cQ'XûR.ûR'""'*
Cette nouvelle équation exprime évidemment que le système des six points P et P', Q et Q', R et R', distribués deux par deux et symétriquement sur les côtés a6, hc et ajc du triangle proposé, appartient à une seule et même ligne du second ordre, car elle satisfait aux différentes conditions spécifiées aux n^' 148, 149, 165 et suivants. Traitant donc ces six nouveaux points comme il est indiqué dans le premier de ces numéros, ou cpmme on vient de le faire des deux groupes des douze premiers points appartenant à la courbe proposée, on obtiendra finalement trois derniers points qui seront situés en ligne droite, conformément à ce qui a été établi dans ce même numéro et à ce qu'indique le principe de Pascal sur les hexagones inscrits aux lignes du second ordre.
Ces constructions, comme on voit, lient entre elles graphiquement les douze intersections de la courbe du quatrième degré et des côtés du triangle a6c, de manière que onze quelconques d'entre elles étant données, la dernière s'ensuit nécessairement par le tracé de simples lignes droites. IL 22
176. Remarques diverses. — S'il 8'agissait d'une ligne du troisième ordre seulement, on tracerait une droite arbitraire formant» avec cette ligne* un système qu'on traiterait comme on vient de le faire pour la courbe du quatrième degré. On pourrait aussi détacher, des neuf intersections de la ligne du troisième ordre avec les côtés du triangle ahc^ un groupe de six points symétriquement situés sur ces côtés, afin de traiter ce groupe comme on l'a fait précédemment; mais la relation à laquelle on parviendrait ainsi, n'ayant pas la forme de celle du n° 165, on n'en pourrait conclure que les trois points nouvellement obtenus, réunis aux trois derniers points de la courbe proposée, appartiennent à une ligne du second ordre; il faudrait nécessairement lui faire subir la transformation du n*' 172 pour la rendre susceptible d'exprimer immédiatement une dépendance graphique entre les points auxquels elle se rapporte, ce qui enlèverait à la construction finale toute la symétrie qui caractérise le premier mode d'opérer.
Cette difficulté n'existe pas pour les lignes du cinquième ordre; car, si l'on détache des quinze intersections qui leur appartiennent sur les côtés du triangle transversal, trois quelconques d'entre elles relatives à des côtés différents, puis qu'on traite les douze intersections restantes comme on l'a fait des douze intersections relatives à la courbe du quatrième degré ci-desaus, on arrivera finalement à trois derniers points qui, réunis avec les trois points réservés, appartiendront naturellement à une ligne du second ordre; ce qui tient essentiellement à ce que les douze premiers points ont été soumis à un nombre pair d'opérations qui n'ont pas changé l'ordre des produits des segments qui, dans les équations successives, se rapportent h ces douze points.
Pour les lignes du sixième ordre, on partagerait les dix-huit intersections correspondantes en trois groupes de six points respectivement situés sur les côtés du triangle, et, les traitant séparément comme s'ils appartenaient h une ligne du second ordre, on arriverait à neuf derniers points situés sur une ligne du troisième ordre, qu'on traiterait, à leur tour, comme nous venons de l'indiquer pour cet ordre, en faisant intervenir une droite auxiliaire quelconque dans la figure, afin de n'avoir qu'une ligne du quatrième ordre à considérer.
On procéderait d'une manière analogue pour les lignes des ordres supérieurs au sixième.
177. Réflexions relatives aux constructions grctphiques. — Les consiructions qui précèdent établissant des dépendances purement graphiques et linéaires
SECTION m. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. 131
eotre les intersections d*une courbe plane donnée et les côtés d'un triangle pris pour transversal de cette courbe, il est clair que ces dépendances ne cesseront jamais d'être applicables au système des intersections correspondantes, pourvu seulement qu'aucune d'entre elles ne devienne imaginaire : elle servira donc à construire l'une quelconque de ces intersections au moyen de toutes les autres, même quand le triangle dont il s'agit f;'é va nouira, aura des sommets placés sur la courbe ou situés a l'infini, etc., ce qui fournira, entre autres (171), le moyen de construire, toujours par de simples intersections de lignes droites, la tangente en l'un quelconque des points d'une courbe géométrique donnée sur un plan.
Ce sont précisément ces constructions, dont l'analogie avec celles qui résultent du principe de Pascal pour les sections coniques est de toute évidence, que nous avions découvertes dès i8ï6, et que nous avons annoncées à la page i54 du tome VIII des Annales de Mathématiques, novembre 1817 (ou t. II de nos Applications, p. 476). On voit qu'envisagées individuellement et pour chaque courbe d'un certain ordre, elles sont assez simples en elles-mêmes pour être facilement appliquées, et assez symétiiques pour être aisément retenues et saisies par l'esprit. Mais elles n'en manquent pas moins, dans leur ensemble, de ce caractère d'uniformité et d'universalité qui peut seul rendre les méthodes mathématiques vraiment recommandables; c'est pourquoi, dans ce qui va suivre, nous exposerons dQs constructions absolument exemptes de cet inconvénient.
RtDUGTION DU SYgTkMB DB TROIS TRA1ISVRE6ALBS A BEUI.
178. Remarques concernant les cas d'identité ou d'indétermination. — Afin de mieux faire apercevoir la marche qui nous a fait parvenir à ces constructions, nous remarquerons que la relation du n^ 165 devient complètement illusoire quand l'un des côtés du triangle abc passe à l'infini, en sorte que cette relation n'apprend plus rien par elle-même sur la loi ou la dépendance qui lie entre elles les différentes intersections de ce triangle et de la courbe. Or, nous venons de voir que cette dépendance, considérée sous le point de vue purement graphique, n'en existe pas moins dans la supposition dont il s'agit, puisque, d'après les notions généralement admises, toute droite, à distance donnée, qui contient l'un des points d'une courbe, situé à l'infini, n'est autre chose qu'une parallèle à la branche ou h l'asymptote correspondante de cette courbe; donc il doit exister aussi une relation métrique nécessaire entre tous ceux des différents segments du triangle abc
l^2 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.
qui, faisant partie de la relation primitive, n'ont pas acquis une valeur
infinie dans l'hypothèse dont il s'agit.
Pour découvrir cette nouvelle relation, il ne s'agira, suivant l'esprit de la méthode que nous avons jusqu'ici prise pour guide, que de transformer la relation du n^ 165 en une autre qui cesse de devenir identique quand le côté du triangle abc que l'on considère s'éloigne à une distance infinie sur le plan de la courbe, ce qui consiste toujours à éliminer de cette relation, et à l'aide de nouvelles transversales rectilignes convenablement tracées, tous les couples de segments dont le rapport conserve essentiellement la forme indéterminée -> attendu qu'en devenant infinis ils diffèrent entre eux d'une
quantité qui reste elle-même infinie. Or, cette circonstance n'a évidemment lieu que pour les seuls segments qui appartiennent au côté dont il s'agit; c'est donc aussi de ces seuls segments qu'il faut débarrasser la relation pro* posée, en menant par les intersections correspondantes de la courbe des transversales rectilignes arbitraires.
179. Cas spéciaux; théorème de Waring relatif aux asymptotes. — Supposant, par exemple, que ce soit le côté hc du triangle abc [fig. 35 ou 37) ' qui soit susceptible de passer à l'infini ; pour faire sortir de l'égalité du n® 165 les segments qui appartiennent a ce côté, on mènera, par ses intersections y, q\ y",... avec la courbe, des droites ou transversales arbitraires coupant respectivement en P et R, F et R', P" etR",..., les deux autres côtés 06 et oc de ce triangle. Cela posé, on aura évidemment, en considérant le système de ces transversales comme une ligne géométrique du même ordre que la proposée, et en conservant d'ailleurs les conventions jusqu'ici admises,
{aV)(bq)[cJ^)
d'où Ton tire, en combinant avec la relation du n®165,
(ap)(cr) (aP)(cR) {bp)[ar)-^ [b?)[a^)'
équation dont l'énoncé facile donnerait lieu à un nouveau théorème sur les courbes géométriques, et qui, dans la supposition où bc s'éloigne à l'infini et où les transversales auxiliaires PyR, P'y'R',... se changent, comme nous l'avons dit, en un système de parallèles quelconques aux différentes branches infinies de la courbe, prend cette autre forme encore plus simple
[ap) ^ (aP) [ar) (aK)'
attendu que les rapports de segments infinis se réduisent ici à Tunité, puisque ceux-ci ne différent entre eux que d'une quantité donnée.
D'ailleurs, quand les transversales auxiliaires, au lieu d'être menées arbitrairement, sont prises tangentes à la courbe proposée ou qu'elles se confondent avec ses différentes asymptotes, on retombe sur un théorème dé-, montré par Waring, à la page 85 de ses Mélanges armlytiques, lequel n'est ainsi qu'un cas particulier du nôtre.
1 80. Théorème général concernant les branches infinies des courbes. — Supposons encore {fig. 38) que ces transversales soient conduites par les intersections respectives r, r', r",... de la courbe et de l'un, 6c, des côtés du triangle abc, dont elles ne dérivent pas; ce qui revient à supposer queR coïncide avec r, R' avec r', et ainsi des autres; la relation obtenue en premier lieu deviendra, attendu qu'alors le produit {cr) = (cR), le produit
(ar) = (aR),
(ap) iaP) [bq) (6P)'
nouvelle équation qui, lorsque le dernier côté bc du triangle s'éloigne à l'infini ou devient simplement parallèle au côté a6, se réduit à cette autre
encore plus simple,
(ap) = (aP),
et qui indique, d'après nos conventions (165), que < le produit de tous les * segments ap, ap\ ap",... relatifs à la courbe proposée, est égal à celui de » tous les segments aP, aP', aP,... déterminés par les sécantes ou cordes » indéfinies qr, (fr', q"r'\... devenues parallèles aux différentes branches » ou asymptotes de cette courbe. >
181. Système de points en imolution simple par rapport à deux points donnés. — L'équation
[ap){aV) {bp)^(bV)'
relative au cas où ac ou bc restent quelconques, se rapporte évidemment à la forme des trois premières de celles qui ont été établies aux n*^* 143 et 144 pour le cas des lignes du second ordre; ce qui conduit à quelques conséquences intéressantes concernant les lignes géométriques en général, et qui peuvent être considérées comme l'extension des propriétés dont jouissent les quadrilatères inscrits au système de deux droites ou à une section conique quelconque, supposés coupés par une transversale arbitraire. En effet, le système des transversales PyR, Vq'W, P"9"R",..., dont il a
été question ci-dessus (179), forme ici, avec les côtés indéfinis du triangle aftc, une suite continue de quadrilatères rRR'?*, P'R'R"?",... également inscrits à la courbe proposée, et dont les différents côtés se trouvent, aussi bien que les branches de cette courbe, coupés à la fois par la tranfrversale arbitraire ab; l'équation ci-dessus peut donc être considérée comme indiquant que les points a et 6, qui appartiennent aux deux côtés communs à tous ces quadrilatères, jouent le même rôle ou sont en imolution simple, soit par ra()port aux intersections de la transversale et de la courbe, soit par rapport aux intersections de tous les autres côtés des quadrilatères.
Mais ce rapprochement, entre les propriétés des lignes du second ordre et celles qui appartiennent aux lignes d'un ordre quelconque, peut être rendu plus évident et plus complet encore, en observant que la relation qui nous occupe, étant indépendante de Tordre même dans lequel on joint, deux à deux, les intersections distinctes des côtés ac et bcd\i triangle transversal, avec la courbe, elle a lieu, d'une manière analogue, pour les deux systèmes de diagonales joignant des sommets différents des quadrilatères ci-dessus; de sorte que les intersections de la transversale arbitraire avec la courbe, et ses intersections avec les côtés ou les diagonales distinctes dont il s'agit, constituent quatre groupes de points qui, combinés deux à deux, sont à la fois en involution par rapport aux points a et 6 de la transversale.
182. Énoncé plus explicite et théorème relatif aujo polygones inscrits. — Pour traduire ces conséquences en un langage plus explicite encore, concevons une courbe géométrique du degré m tracée sur un plan; soient acetbe deux transversales arbitraires rencontrant cette courbe respectivement en autant de points qu'il est marqué par son degré; inscrivons à volonté à cette même courbe {fig, Sg) un polygone de im côtés qui ait alternativement pour sommets les m points de rencontre de ac et les m points de rencontre de bc; soit en outre ab une troisième transversale arbitraire rencontrant les deux premières en a et 6, la courbe aux m points/?,/?', /?",..., les côtés de rang impair du polygone aux m points P, P', P,..., et enfin ceux de rang pair aux m points P,, P'j, P*j,..., respectivement; on aura, selon ce qui vient d'être démontré, les deux relations
{bp)-{bP)' (biPj-{bp,y
d'où l'on déduit immédiatement cette troisième,
(aP)(aP.)
(éPj-ftP.)'
qui se rapporte uniquement aux intersections de la transversale ab avec les côtés de rang pair ou de rang impair du polygone, et à laquelle on arrive» rait directement et généralement, pour un polygone quelconque d'un nombre pair de sommets, inscrit à l'angle de deux droites arbitraires ac et bcy en considérant alternativement le système de tous les côtés de rang pair de ce polygone et celui de tous les côtés de rang impair comme autant de lignes géométriques (165) transversales du triangle abc^ formé par la rencontre mutuelle des deux droites ac et bc dont il s'agit, et d'une troisième droite arbitraire aJ?.
183. Application linéaire ou graphique de Vinvolution. — Ce dernier théorème, qui, selon ce que nous avons fait voir de deux manières différentes aux n*** 515 et 517 du tome I*^ du Traité des Propriétés projectives, s'étend aisément aux polygones, d'un nombre pair de côtés, inscrits à une ligne du second ordre quelconque; ce théorème, disons-nous, lie entre eux tous les points de deux systèmes en iwolution simple par rapport à deux points donnés, de manière à faire découvrir linéairement l'un .quelconque d'entre eux, quand tous les autres sont assignés à priori.
Qu'il s'agisse, par exemple, des deux systèmes de points /?,/i\/^'',..., P, F, P'',,.., considérés dans le n*^ 181, et qui sont en insolation par rapport aux sommets a et 6 du triangle a6c, on inscrira à volonté dans l'angle acb des deux transversales ac et c6, c'est-à-dire de deux droites quelconques issues de a et de 6, un polygone dont les sommets, en nombre égal à celui des deux systèmes de points proposés, s'appuient alternativement sur ces droites et de manière que les côtés de rang pair, je suppose, passant respectivement par les points />, p\p'\..., les côtés de rang impair, un seul excepté, passent respectivement aussi par ceux des points P, F, P",... qui sont censés donnés. Cela posé, le dernier côté ira naturellement rencontrer la transversale ab au point qui a été excepté, circonstance qui d'ailleurs arrivera quel que soit ce point et quel que soit l'ordre dans lequel on ait opéré.
