DES FIGURES, ETC
[Extrait du recueil belge intitulé : Correspondance matliématique et physique, eic., par A. Quetelet (Bruxelles, t. VII, i83i-i832, p. ii8 et 141 à i58) (*).]
a Dans un travail étendu sur les applications de l'analyse des transversales aux )) propriétés projectives des courbes ou surfaces géométriques de tous les ordres t )) travail dont la première partie s'imprime actuellement dans le Journal de Mat hé- )) matiques pures et appliquées de M. le docteur Crelle, de Berlin, j'ai montré » comment les principaux théorèmes de M. Chasles, relatifs aux pôles, diamètres » et plans diamètres de ces lignes et surfaces, insérés au tome VI, p. i de la Corj) respondance mathématique et physique, se trouvent compris, comme cas parti- » culiers, parmi ceux que j'ai moi-même établis depuis nombre d'années sur les » axes, centres et plans de moyennes harmoniques, et dont j'avais offert les prin- » cipaux éléments dans un Mémoire présenté en mars 1824, à l'Académie royale )) des Sciences de Paris, en considérant spécialement le cas où les courbes et sur » faces se trouvent remplacées par de simples systèmes de points, de droites et de » plans quelconques.
» J'ai de plus affirmé, dans le travail dont il s'agit, que toutes les relations métri- )) ques envisagées par M. Chasles, dans ses deux Mémoires sur les transformations » paraboliques [Correspondance mathématique, t. V, p. 281, et t. VI, p. i), non- » seulement ne sont pas plus générales que celles que j'ai caractérisées jus- » qu'ici par l'épithète de projectives, et que j'ai spécialement soumises aux prin- » cipes généraux de la transformation polaire, dans un autre Mémoire également » présenté à l'Académie royale des Sciences au commencement de 1824, mais » encore qu'elles doivent être considérées comme autant de cas particuliers des )) relations de ce dernier genre, relations auxquelles il est toujours possible de » remonter par des transformations fort simples et analogues à celle dont j'ai donné » précédemment une idée dans la Note II de mon Mémoire sur les centres de » moyennes harmoniques. Or, c'est ce que je me propose ici de démontrer d'une » manière générale, en observant que les conditions assignées par M. Chasles aux )) relations métriques de la transformation parabolique reviennent précisément à » celles qui exigeraient que ces relations eussent lieu dans les projections ortho- » gonales de la figure sur une droite ou un axe arbitraire ( rojez t. V, p. 283 et )) 3o6 de la Correspondance mathématique], genre de projection qui n'est effectif » vement qu'un cas très-particulier de celui où elle s'opère, soit orthogonalement
(*) Cette Note est précédée, p. 79, d'une autre sur les lignes du troisième ordre, fort courte, écrite en i83i, mais tardivement parue dans la Correspondance de Bruxelles, et qui, ne contenant rien qui ne soit déjà dans le Mémoire sur t analyse des transversales (t. I", Sect. III) , ferait ici Rouble emploi. — (Note de i865.)
» qu'on ail ramené cette relation à sa forme rationnelle la plus simple, c'esl-à-dire )) à une autre qui ne soit plus-composée que d'une suite de termes monômes sans » dénominateurs ni radicaux, mais contenant différents facteurs simples de dis- » tances ou d'aires, que pour abréger nous désignerons par les épithètes ûe fadeurs » linéaires» facteurs superficiels. Or, il est clair que si l'on substitue, dans une M telle relation, les expressions ci-dessus de chacun de ces facteurs, les lignes » Irigonométriques correspondantes ne pourront disparaître d'elles-mêmes, et gé- » néralement du résultat, qu'autant i** qu'elles s'y trouveraient en nombre égal )) dans chacun des termes, qui ainsi devraient se composer d'un même nombre de » facteurs simples et d'une nature analogue; 2® que les produits de ces lignes irî- » gonomélriques seraient égaux pour les différents termes, ce qui, attendu la » position générale et arbitraire de l'axe et du plan de projection par rapport aux » parties de la figure, exige que les mêmes cosinus se reproduisent dans les déno- }> minaieurs de ces termes.
» AB, par exemple, étant facteur simple dans l'un des termes de l'équation pri- » mitive, il devra correspondre à AB, dans les différents autres termes des dis- » lances A'B', A"B", etc., qui aient respectivement pour cosinus d'inclinaison ou » pour coefficients trigonomélriques celui qui se rapporte à la première. El pa- » reillemenl, s'il entre dans un certain terme un facteur superficiel tel que (ABC) » par exemple, chacun des autres termes de la relation devra contenir un facteur » superficiel (A'B'C), ( A"B"C") analogue, et auquel devra correspondre le même » coefficient ou le même cosinus.
» D'après cela, il est aisé d'apercevoir que, si l'on ne veut absolument rien sta- D tuer de particulier sur la position des distances AB, A'B',..., ou des aires planes » (ABC), (A'B'C),. . ., par rapport à l'axe et au plan de projection, c'est-à-dire si » cet axe et ce plan doivent demeurer quelconques, il est aisé d'apercevoir, dis-je, » que les conditions qui viennent de nous occuper ne pourront être généralement » remplies qu'autant que les distances et les aires dont il s'agit appartiendraient » à la direction d'une même droite, d'un même plan indéfinis, ou à celle de droites )) et de plans distincts, mais tous parallèles entre eux.
)) Telles sont donc finalement les conditions de position générales, auxquelles » doivent être assujetties les différentes grandeurs qui entrent dans toute relation )) métrique appartenant à une certaine figure située dans un plan ou dans l'espace, )> pour que cette relation soit projective orthogonalement. Prouvons maintenant » que, si une telle relation ne satisfait pas naturellement et dans sa forme actuelle M aux conditions particulières des n'** 9 et suiv. du Traité des Propriétés projec- )) tives (t. l"), qui se rapportent à la projection conique ou centrale des figures, on )) pourra toujours l'y ramener, comme cas particulier, en la transformant, selon les )) principes exposés dans la Note II du Mémoire (t. II, Sect. I) sur les centres de » moyennes harmoniques, en une autre plus générale, c'est-à-dire en y introduisant, )) comme facteurs de ses différents termes, certains segments ou distances infinies » ayant pour origine quelqu'un des points de la figure proposée.
» II. Transformation des relations métriques entre les distances rangées sur une
34o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.
» servir, pour ce qui concerne la traduction des relations purement descriptives de » la figure proposée, des principes qui se trouvent exposés, tant dans la Section I » que dans le Supplément du Traité des Propriétés projectiles (t. P') : notamment » on devra se ressouvenir que, dans le passage de cette figure à la figure générale » qui en est la projeclion conique, soit linéaire, soit planCy soit en relief, tous les » points à Tinfini de la première se trouvent remplacés dans celle-ci par d'autres » points à distance donnée, situés sur une même droite si les proposés sont com- » pris dans un même plan, ou sur un plan unique s'ils sont arbitrairement distri- » bues dans l'espace.
B Quant au cas où la relation primitive contiendrait, comme facteurs de ses dif- » férents termes, des aires planes quelconques, il nous suffira de montrer d'une » manière générale comment on peut leur appliquer des transformations analo- » gués à celles qui viennent de nous occuper relativement aux simples facteurs » linéaires.
» D'abord je remarque que si, parmi ces facteurs superficiels, il en est qui ap- » partiennent à des quadrilatères, à des pentagones, etc., on pourra toujours les » remplacer par les sommes d'aires triangulaires dans lesquelles ils sont décom- » posables, ce qui, en effectuant les produits, ramènera l'équation à une autre qui » ne contiendra comme facteurs que de simples aires triangulaires, et qui n'en » sera pas moins soumise aux mêmes conditions (I) quant à sa forme générale; en » sorte, par exemple, qu'à chacun des facteurs superficiels ABC de l'un quelconque » de ses termes, il devra en correspondre d'autres A'B'C, A''B*'C", etc., dans les » termes restants qui appartiennent à des plans parallèles. Cela posé, voici en par- » ticulier comment on pourra transformer cette relation, qui est déjà projective a orthogonalement, en une autre qui le soit coniquement.
» D'un point quelconque situé à l'infini dans l'espace, on projettera les triangles D A'B'C, A"B'C^... sur le plan du triangle ABC; il en résultera de nouveaux » triangles céVc'^ a^Vc", . . . dont les aires pourront être substituées à celles des » premiers dans l'équation proposée, puisqu'elles leur seront respectivement » égales. Maintenant, ayant tracé les droites Aa', Bb\ Ce', ka'\ Bfc", Ce'', etc., et » nommant p', q' et r', p", q" et r", etc., les points situés à l'infini sur ces droites » respectives, on aura identiquement, dans ces suppositions particulières,
ï) substituant ces expressions dans l'équation proposée, elle se changera en une i> autre qui aura lieu de la même manière, pour toutes les projections centrales de » la figure sur un plan quelconque, ou pour ses projections en relief;*car on s'asj) sure aisément qu'elle satisfait aux conditions spécialement énoncées dans le n** 45 » du Traité des Propriétés projectiles des figures.
» Pour compléter l'objet des considérations qui précèdent, il nous resterait à » exposer une suite d'exemples propres à familiariser le lecteur avec l'emploi de » la méthode, et à en démontrer la bonté et l'importance ; mais ces détails nous » entraîneraient beaucoup trop loin, et seront facilement suppléés par quiconque
SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 34i
» est déjà initié aux doctrines de la Géométrie que nous cherchons à faire prévaloir D dans nos écrits. C'est pourquoi, satisfait d'avoir mis chacun sur la voie de dé- » couvertes nouvelles, nous nous contenterons de tirer quelques conséquences » générales des considérations qui viennent de nous occuper.
» VI. Transformation polaire des relations précédentes, et spécialement de leur » transformation parabolique. — Remarquons d'abord que, puisque toute relation » métrique projective orthogonalement, peut être transformée de différentes ma- » nières en une autre qui le soit coniquement, et qui satisfasse notamment aux » conditions indiquées à Tart. II ci-dessus, ces mêmes relations pourront aussi être » converties immédiatement et de plusieurs manières, en d'autres entièrement h distinctes et jouissant du même caractère, au moyen des principes de la théorie » des polaires réciproques qui se trouvent exposés dans les n~ 120 et suivants de » notre Mémoire sur celte théorie. Or, ces dernières relations conduiront, à leur D tour et comme simples corollaires, à une infmité de relations ou de propriétés » particulières relatives au cas oii certains points, certaines droites, certains plans » de la figure s'éloignent entièrement à l'infini, et parmi lesquelles se trouvent B comprises toutes les relations ou propriétés qui ont été examinées par M. Chasles, » dans ses deux Mémoiresy déjà cités, sur la transformation parabolique des rela- » fions métriques des figures.
» Pour le prouver, nous considérerons avec ce géomètre, dans l'espace ou sur un » plan, une figure entre les distances de laquelle il y ait une certaine relation mé- » trique telle, qu'en abaissant, des différentes extrémités de ces distances, des plans » perpendiculaires à un axe fixe donné, et par conséquent parallèles entre eux, la » même relation ait lieu entre les distances qui, sur cet axe, peuvent être censées » la projection orthogonale des premières; il est clair qu'on pourra faire subira p cette relation les diverses transformations indiquées dans ce qui précède, et en » vertu desquelles elle devient applicable désormais aux projections coniques les i> plus générales de la figure proposée. Passant ensuite, au moyen des principes de » la théorie des polaires réciproques, à la figure inverse de ces projections, dans » lesquelles les points à l'infini de la figure primitive sont remplacés (V) par des » points, à distance donnée, situés sur une même droite ou sur un même plan, on » conclura en particulier, des théorèmes exposés aux n°' 122 et 138 du Mémoire » qui contient cette théorie, que les relations ainsi généralisées ou transformées » ont lieu sans changements quelconques, dans cette dernière figure, quand aux » différentes distances qui entrent dans lesdites relations on substitue les seg- » ments formés, sur une droite ou axe arbitraire, parles intersections de ce même » axe avec les polaires ou plans polaires des extrémités respectives de ces diffé- » rentes distances.
D Maintenant on remarquera que les différents points situés à l'infini dans la » figure primitive sont ici remplacés par des droites ou des plans polaires conver- » géant en un point unique, qui lui-même remplace le lieu de tous les premiers jo points, et représente le pôle de ce lieu dans la nouvelle figure réciproque de la » proposée. Supposant donc que l'axe transversal dont il a été question ci-dessus
» soit conduit en particulier, par ce même pôle, dont la position peut d'ailleurs être » censée quelconque puisqu'elle ne dépend que de celle de la directrice des po- D laires, il arrivera que les distances auxiliaires, introduites dans la relation pro- )) posée pour la rendre projective coniquement, et qui sont infinies sur la figure » primitive (II et suiv.), il arrivera, dis-je, que ces distances seront représentées, ]> dans la figure réciproque, par d'autres qui auront pour origine commune le point » de concours ou pôle dont il vient d'être parlé. Supposant en outre que ce pôle, D au lieu d'être pris d'une manière quelconque sur l'axe transversal, y soit censé à » l'infini, de sorte que les droites et plans polaires correspondants deviennent tous D parallèles à l'axe, il est évident que les distances, comptées de ce même point, D deviendront infinies dans la nouvelle figure comme celles qui leur sont corrélaj) lives dans la première; donc elles devront être censées égales entre elles (II), et » elles disparaîtront comme facteurs communs aux différents termes de la relation » générale à laquelle elles se rapportent; donc enfin cette relation se réduira pré- D cisément à la forme particulière de celle d'où l'on est parti; corollaire qui D constitue précisément l'objet des transformations paraboliques de M. Chasles, et » qu'on peut énoncer ainsi :
a S'il existe entre les distances d'une figure quelconque, située dans un plan ou » dans V espace, une relation métrique telle, qu'elle subsiste dans toutes les pro^ ï> jections orthogonales de cette figure sur une droite arbitraire, la même relation m aura lieu aussi, dans sa polaire réciproque prise par rapport à une parabole ou à » un paraboloïde quelconque, entre les distances formées, sur Vaxe de cette para- » bole ou de ce paraboloïde, par ses intersections avec les polaires ou plans po- » laires des extrémités respectives des distances qui appartiennent à la première » relation. »
» En effet, dans la parabole ou le paraboloïde, toutes les polaires et plans po- » laires des points à l'infini de l'espace sont autant de diamètres ou plans diamé- D traux parallèles à l'axe principal. Mais ce qui précède montre que la même D relation a lieu aussi pour les intersections relatives à des diamètres quelconques » pris pour axes transversaux, et conduit d'ailleurs à des modes de transformations » dont la transformation parabolique n'est, comme on va le voir, qu'un cas très- » particulier.
K) VII. Généralisation des résultats particuliers à la transformation polaire » parabolique. — Supposons, entre autres, que la relation qui concerne la figure » primitive soit, de sa nature, tellement générale qu'elle subsiste, sans conditions » quelconques, pour toutes les projections coniques ou centrales de la figure; il est » clair qu'il en sera de même de celle qui se rapporte à la figure polaire, dont la » directrice .pourra aussi être une courbe ou surface auxiliaire quelconque du » second degré, conformément aux principes des n*** 122 et 128 de notre Mémoire j) sur la théorie de la réciprocité; la transversale de cette dernière figure pourra D donc être quelconque, et non plus simplement parallèle à une direction donnée. » Si, au contraire, la relation appartenant à la figure primitive ne subsiste que dans » les projections orthogonales de cette figure, la même restriction aura évidem-
34i5 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.
» fesseur s*esl proposé de rechercher, d'une manière directe et purement analy- » tique, ce qui, dans les surfaces du second degré, peut être l'analogue du foyer et » de la directrice des lignes du même degré. Avec sa fécondité ordinaire, noire n savant confrère a montré, soit dans le texte même du Rapport, soit dans une » série de notes qui s'y trouvent annexées, que la démonstration des nouveaux » théorèmes découverts par M. Amyot pouvait être généralisée et étendue, à cer- » tains égards, au moyen de considérations analytiques d'un ordre élevé et qui lui x> sont propres. Les amateurs de cette branche de Mathématiques regretteront » néanmoins que, sous ces développements, auxquels je suis le premier à rendre » justice, les idées de l'auteur du Mémoire et le caractère de sa méthode aient à » certains égards disparu; car, il est bon ici de le répéter, ce qui intéresse le plus o dans l'histoire et la philosophie des sciences, c'est la route par laquelle l'esprit » humain est parvenu à la découverte des vérités fondamentales.
D Quoi qu'il en soit, le Rapport de notre savant confrère ayant donné lieu, de la D part de M. Chasles, à une réclamation de priorité ou à des observations scienti- 2) flques qui ont conduit l'auteur à venir protester, dans la séance suivante, contre » toute interprétation qui tendrait à priver ses recherches du mérite de la nou- 1) veauté qui les caractérise, et en ferait remonter l'idée à des théories antérieures, D je crois de mon devoir de déclarer, dans cette occasion, comme je l'ai fait pri* D mitivement en encourageant M. Amyot à présenter son travail à l'Académie : 1) I*» que ses théorèmes sur \es foyers, les focales, les directrices et les plans direc^ D teurs des lignes et surfaces du second degré me semblent tout à fait neufs, et B par la marche qui les lui a fait découvrir, et par le caractère même des énoncés; 1) a® que les propriétés des lignes du second ordre, citées, par M. Cauchy, comme appartenant à M. Chasles, et qui se trouvent exposées aux pages 898 et suivantes D du tome III de l'intéressant Journal de notre confrère M. Liouville, n'ont pu 9 servir de point de départ aux nouvelles doctrines, aux nouvelles définitions de D M. Amyot, dont même elles n'offrent aucune trace ; 3® que ces propriétés et leurs » correspondantes, pour les surfaces du second degré, mentionnées dans les ob- » servations de M. Chasles, ne sont que des corollaires, des .cas particuliers de j) propriétés plus générales et déjà anciennement connues.
» Pour se convaincre de la vérité de la première de ces assertions, il suffit de j> remarquer que la proposition revendiquée par M. Chasles et citée dans le Rapport 9 de M. Cauchy se réduit à ceci :
a Un cercle quelconque étant tracé dans le plan d'une section conique, le carré
droits de priorité, et qui fut bientôt après appelé à l'honneur de soutenir ses doctrines au Collège de France, mais dont je n'ai plus entendu parler depuis.
D'ailleurs, la Note ci-dessus ne serait pas en soi d'un intérêt assez puissant pour mériter d'être insérée dans cette Section supplémentaire, si elle ne contenait quelques indications historiques et un passage où je me proposais de rappeler mes anciennes recherches sur la théorie de l'involution généralisée et appliquée aux courbes ou surfaces d'ordre quelconque. C'est par des motifis tout autres qu'ont été supprimées dans ce § I*' les rares communications que j'ai eu occasion de faire à l'Académie des Sciences, sur des matières purement géométriques. -- (Note de i865.)
^ de la tangente à ce cercle^ menée par un point quelconque de la conique^ sera » au produit des perpendiculaires abaissées de ce point sur les deux lignes con^ » jointes j dans un rapport constant. » (Tome IV, p. 4oo> du Journal de M. Liou- » ville.)
j) Pour comprendre cel énoncé, il faul savoir que les lignes conjointes donl il » s'agit, nommées dans d'autres circonstances, par M. Chasles, axes de symptose, » ne sont autres que les sécanfesy réelles ou idéales, communes à la section co- » nique et au cercle proposés; sécantes dont je me suis d'abord occupé, soit dans 1) un Mémoire présenté en 1818 à l'Académie des Sciences, soit dans le Traité des » Propriétés projectiles des figures, publié en 1822. Il faut observer, en outre, que » les propriétés de pareilles sécantes, celles qui en définissent le caractère le plus D général, sont indépendantes de la réalité de leurs communes intersections avec a les courbes proposées, et demeurent, en vertu d'un principe fondamental de » Géométrie posé pour la première fois dans ces deux écrits, applicables à tous les » états par lesquels peuvent passer les grandeurs de la figure, comme, par exemple, » lorsque l'une des coniques ou toutes deux se réduisent à des points, à de simples » droites ou deviennent complètement Imaginaires. C'est ainsi, en particulier, qu'à » l'endroit cité du Journal de M. Liouville, M. Chasles, après avoir déduit l'énoncé » ci-dessus de la considération des sections sous-contraires dans le cône du second » degré, en conclut la propriété corrélative pour le cas où le cercle considéré » devient Infiniment petit ou se réduit à un point.
D Or, quoiqu'il n'y ait, pour ainsi dire, qu'un pas à faire pour passer, de la pro- » priété de ce point et de ses droites conjointes, à la définition générale des foyers » et des couples de directrices des coniques, qui font l'objet du Mémoire de » M. Amyot, quoique M. Chasles ait pu apercevoir directement, dans le cône, que » la coïncidence des deux lignes conjointes faisait retomber sur la définition ordij> naire de la directrice et du foyer ; cependant, cette généralisation et les consé- » quences qui en dérivent ne lui sont pas venues à la pensée ; et, sans aucun doute, » la proposition ci-dessus, relative aux lignes du second degré, serait longtemps » encore restée stérile et inaperçue au milieu de tant d'autres exposées dans le » Mémoire de M. Chasles, si M. Amyot n'était venu, de prime abord, se poser cette » question purement analytique : Existe-t-il, dans l'espace, des points tels, que le » carré de leur distance à un point quelconque d'une surface donnée du second » degré soit décomposable en deux fadeurs des coordonnées de ce dernier point, » purement linéaires et, par conséquent, susceptibles de représenter deux plans » conjugués à la surface et aux premiers points?
D En second lieu, on peut se convaincre, tout aussi facilement, que le Mémoire » de M. Chasles renferme encore moins de traces des définitions et des théorèmes » relatifs aux foyers et plans directeurs des surfaces dont il s'agit; tout ce qui a » été exposé à ce sujet, dans les pages 83 1 et 832 du Compte rendu de la précédente » séance, étant déduit de propriétés dont rien même ne peut faire soupçonner » l'énoncé dans ce Mémoire.
D Ainsi, de quelque façon qu'on envisage les choses, l'idée des nouvelles défini- D tions et des nouveaux théorèmes sur les foyers des lignes et des surfaces du
B deuxième degré appartient, sans aucune réserve, à M. Amyot. Mais, en venant D ici soutenir ses droits à toute priorité, la justice me fait un devoir de déclarer » que, dans ma conviction, basée sur une lecture attentive des observations de nos » savants confrères, rien n'autorise à croire qu'ils aient eu la pensée d'amoindrir » ou d'obscurcir, en quoi que ce soit, le mérite des recherches géométriques dont » il s'agit, bien que les apparences aient fait craindre à leur estimable auteur que » les expressions dont s'était particulièrement servi M. Chasles pussent induire » en erreur les personnes peu au fait de la matière.
» Trop souvent, d'ailleurs, il arrive, au détriment du progrès des sciences, que j) des mots nouveaux servent à cacher dei vérités anciennes, et que les inventeurs » de ces mots essayent de donner le change à certains lecteurs ; mais ce n'est point » ici le cas; et, quelle que soit la facilité avec laquelle MM. Cauchy et Chasles sont » parvenus à démontrer, à étendre même les bases des nouvelles doctrines de dM. Amyot, elle ne saurait, je le répèle, en diminuer le mérite scientifique : car » il n'est pas moins vrai de dire qu'une simple défmition, quand elle renferme une » idée nouvelle, un point de doctrine demeuré jusque-là inaperçu, peut devenir » la source des plus fécondes découvertes.
» J'en viens maintenant à prouver que les théorèmes de Géométrie qui servent » de base aux démonstrations à posteriori de M. Chasles ne sont que de purs co- » rollaires, des cas particuliers d'autres propriétés générales déjà bien connues.
» En effet, notre savant confrère, M. Sturm, dans un intéressant Mémoire inséré » aux tomes XVI et XVIÏ des Annales de Mathématiques (années 1826 et 1827), a » démontré analytiquement, parmi beaucoup d'autres propositions du même genre, D cet élégant et nouveau théorème, qui doit être considéré comme fondamental » dans la théorie des coniques :
a Lorsque trois lignes du second ordre, tracées sur un même plan, ont les mêmes D intersections communes, soit réelles, soit imaginaires, toute transversale recti^ » ligne les rencontre en six points qui sont en involution, suivant l'expression de » Desargues; c'est-à-dire tels que, si Von forme les rectangles des segments corn- » pris, sur cette transversale, entre l'un quelconque de ces points, appartenant à » rune des trois courbes, et les couples respectifs de ceux qui appartiennent aux S) deux autres, le rapport de ces rectangles sera égal à celui que l'on obtiendrait » en substituant, au premier point, son conjugué dans la première courbe. »
» Menant, d'ailleurs, de l'un quelconque des deux points d'où se mesurent les » segments, dans les courbes qui ne leur appartiennent pas, des sécantes parallèles » à des directions fixes arbitraires et distinctes pour chacune de ces courbes, j> M. Sturm conclut immédiatement, en s'appuya.nt sur un théorème bien connu » relatif aux appliquées parallèles des coniques, cet autre principe non moins » fécond que le précédent, et qui renferme, comme cas particulier, le théorème » des Anciens concernant les quadrilatères inscrits aux coniques :
a Étant données, dans un plan, trois lignes du second ordre ayant les mêmes » points d'intersection, si par un point A, pris à volonté sur Vune d'elles [c), on » mène des parallèles à des droites données de position, l'une coupant la courbe [c') » en deux points c, d, et l'autre coupant la courbe {c") en deux points e,f, les
» produits de segments AcX Arf, A^X A/, seront toujours entre eux dans un » rapport constant (*). »
p Substituez, à l'une des trois courbes, le système de deux droites devenues les » sécantes réelles ou idéales communes aux deux autres; supposez, de plus, que j» l'une de ces dernières courbes se réduise à un cercle ou h un point, et vous » retomberez sur le théorème particulier de H. Chasles, rappelé au commencement » de cette Note : car, dans la proposition ci-dessus, on peut toujours remplacer D les segments obliques, relatifs aux sécantes communes, par des perpendicu- » laires abaissées, du point A de la courbe (c), sur leurs directions respectives.
D M. Sturm n'a pas fait connaître, dans la partie de son Mémoire qui a été mise » au jour, l'extension dont sont susceptibles les théorèmes ci-dessus pour le cas de » trois surfaces du second degré qui ont les mêmes intersections planes ou à » double courbure ; mais, outre que cette extension est, par elle-même, évidente » et comporte identiquement le même genre de démonstration, elle a encore été » indiquée, d'une manière très-explicite, dans divers Mémoires de Géométrie, j> publiés peu d'années après celui de M. Sturm.
» Supposez donc que l'une des trois surfaces proposées se réduise à deux plans » de sections, réelles ou imaginaires, communes aux deux autres surfaces, auquel » cas celles-ci seront inscripiibles à un même cône du second degré, dont le somo met, toujours réel, conservera, par rapport à la direction indéfinie des plans n dont il s'agit, des relations indépendantes de la réalité de leurs intersections avec » les surfaces proposées (**}; supposez, plus particulièrement encore, que l'une » des deux surfaces restantes soit une sphère, ce qui exige que ses sections planes, » communes avec la troisième, soient circulaires, et que le cône droit, circonscrit » à toutes deux, ait son sommet situé dans l'un des plans principaux de cette troi- » sième surface, et vous retomberez sur les théorèmes énoncés, en dernier lieu, D par M. Chasles, pour le cas de l'espace; théorèmes dont, comme on l'a vu, son » Mémoire sur les lignes conjointes des coniques ne laisse aucunement pressentir D la démonstration, à cause de la manière restreinte avec laquelle leurs analogues, » pour le cas du plan, y sont tirés de la considération directe du cône.
» Au surplus, ces observations n'ont aucunement pour but de prouver que D M. Chasles ait ignoré l'extension dont sont susceptibles les théorèmes cités par » lui dans sa dernière Note à l'Académie, comme étant propres à servir de base » aux nouvelles doctrines sur les foyers (***), mais bien qu'il l'avait perdue de vue, » ou ne lui avait pas accordé le degré d'attention et d'importance qu'elle mérite, » importance qui, à fortiori, ne pouvait être soupçonnée par M. Amyot beaucoup D moins au fait des récents progrès de la Géométrie. Car, si ce jeune professeur
(*) royez la page 178 du tome XVII des Annales de Mathématiques, En vertu de la théorie des polaires réciproques y ces propositions ont leurs analogues évidentes pour les cas où l'on substitue la considération des tangentes à celle des points d'intersection.
(**) Traité des Propriétés projectiles des figures , 1. 1"", Supplément, p. 878, 38o et 4o4« (***) Voyez notamment les Mémoires insérés par ce géomètre dans le tomo V de la Correspondance mathématique et physique de M. Quetelet.
35o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.
p avait fait une étude spéciale des écrits originaux que nous avons précédemment » cités, s'il n'avait tout tiré de son propre fonds, il eût puisé plus largement dans ces écrits, et n'aurait pas manqué de déduire des théories qui s'y trouvent expo- » sées beaucoup de propriétés curieuses et caractéristiques des nouveaux foyers, o indépendamment même de celles qui- ont éié indiquées en dernier lieu, par D H. Chastes, dans sa Note à l'Académie ; propriétés qui sont une suite nécessaire » de ce que ces foyers sont les points de l'espace d'où Ton verrait la §urface pro- » posée sous l'aspect d'une sphère dont les sections circulaires représenteraient D ainsi, perspectivement, les sections planes correspondantes de cette surface {*).
D En terminant cette Note déjà si étendue, je ferai remarquer que les théo- » rèmes de M. Sturm, relatifs aux lignes du second degré qui ont les mêmes inter- » sections, réelles ou imaginaires, sur un plan, s'étendent, ainsi que leurs » corrélatifs dans les surfaces de ce degré, aux systèmes analogues de courbes B planes ou de surfaces géométriques d'un degré quelconque, et qui peuvent » d'ailleurs être formées de la réunion de plusieurs courbes ou surfaces distinctes j) de degrés inférieurs. J'ai annoncé cette extension dans l'introduction d'un » Mémoire sur V Analyse des transversales y publié dans le tome Vlll du Journal de » M. Crelle: sa démonstration purement géométrique se trouve exposée dans la » partie de ce Mémoire encore inédite, et qui renferme d'autres théorèmes analo- » gués, ainsi que leurs réciproques polaires. Pour l'établir, j'ai dû, au préalable, » étendre la définition même et les propriétés de Vinvolution, telle que l'avait d'a- » bord envisagée Desargues, au système de trois groupes (A), (B), (C), de m points » chacun, rangés en ligne droite et qui jouissent de, ce caractère remarquable :
a Si l'on forme, respectivement, les produits de m segments interceptés entre » l'un quelconque des points du groupe (A), par exemple, et les m points apparte- D nant respectivement à chacun des deux autres groupes (B) et (C), le rapport de » ces produits restera le même pour un autre point choisi à volonté dans le pre- » mier groupe. De plus, cette égalité de rapports aura lieu pareillement si l'on » substitue aux points du groupe (A), qui servent d'origine aux segments, ceux de » tout autre groupe. »
(*) yàfez les endroits déjà cités du Supplément du Traité des Propriétés projcctives; notamment ceux qui concernent la perspective ou projection centrale des reliefs, que nous avons généralement nommée homologie des figures. Je saisirai celte occasion pour présenter, au sujet de la théorie de la perspective des reliefs donnée dans ce même endroit, une remarque concernant la prétendue conformité qui existerait eptre cette théorie et les méthodes pratiques exposées dans la Perspective des reliefs, publiée à Magdebourg, en 1798, par J.-A. Breysig, conformité que je me suis trop empressé de .reconnaître dans une Note insérée à la page 397 du tome VIII du Journal mathématique de M. Crefle (i832). Une traduction exacte de cet ouvrage diffus, entreprise à ma recommandation par M. Polke, sous la direction de M. Bardin, ancien professeur aux Écoles d'artillerie, a convaincu cet estimable professeur que l'analogie des méthodes n'existe absolument que dans le titre. J'ai d'autant plus de regret d'avoir commis à mon préjudice cette erreur, qu'elle a été depuis reproduite dans VJperçu historique sur l'origine des méthodes en Géométrie, publié par M. Chasles, lequel, je dois le reconnaître ici, se trouvait, moins que moi, à môme d'en constater l'existence. — (Note de 1843.)
de rappeler en quoi consiste la division harmonique d'une droite AB, par rapport à un point pris sur cette droite ou sur son prolongement. Si Ton désigne par la lettre C le point milieu de la droite dont il s'agit, la dislance d'un point quelconque P de la même droite au point C sera évidemment la moyenne arithmétique entre les distances PA et PB ; en sorte qu'on aura
PC = -(PAh-PB).
Or, si dans Téquation précédente on remplace les distances PA, PB, PC par les rapports WT^ fû^ fr^^^ formule qu'on obtiendra, savoir :
pc'^2\pâ"^pb)'
ne pourra être vérifiée qu'autant que le point C coïncidera, non plus avec le milieu de la droite AB, mais avec un autre point situé sur cette droite, et qui se déplacera en même temps que le point P. Le point C, déterminé comme on vient de le dire, est le centre des moyennes harmoniques des points A et B, relativement au point P pris pour origine. Si plusieurs points consécutifs A, B, C, D, E, .. . sont tels, que l'un quelconque d'entre eux coïncide avec le centre des moyennes harmoniques des deux points les plus voisins, ces différents points formeront une échelle harmonique ; et il est facile de prouver que, pour obtenir une semblable échelle,
les noms des Membres qui, par la nature de leurs travaux, en étaient les juges les plus compétents depuis Texpulsion politique et la mort des illustres Monge et Carnot. Je ferai aussi observer : 1° qu'à l'époque de la présentation de mes Mémoires à cette célèbre Compagnie, on n'y avait point encore, sous le titre de Comptes rendus hebdomadaires, établi un Bulletin d'annonces scientifiques en concurrence avec les feuilletons si souvent inexacts et passionnés des revues et des journaux politiques; Bulletin où, par une faveur spéciale de MM. les Secrétaires perpétuels, chaque auteur peut prendre date par une analyse plus ou moins étendue, et par là même dispenser l'Académie de tout examen ultérieur ; 2° que les Annales de Mathématiques pures et appliquées avec commentaires de M. Gergonne étaient alors Tunique recueil de son espèce, en Europe, sauf le Journa de l'École Polytechnique auquel il était bien diflBcile d'atteindre, même tardivement, sans la recommandation expresse de MM. Binet et Cauchy ; 3^ que grâce au but, à la tendance philosophique, à rétendue même de mes anciens Mémoires de Géométrie si peu encouragés par les vulgarisateurs de l'époque, ils pouvaient bien moins encore recevoir un favorable accueil du public des Écoles et des libraires-éditeurs, alors, comme aujourd'hui, si rares pour un genre d'écrits qui s'adresse bien plus à la raison qu'aux passions des lecteurs.
D'après cela, on conçoit comment j'ai dû attendre avec une impatience anxieuse les jugements en quelques lignes qui terminent les Rapports ci-après de M. Cauchy, qu'il faut bien se garder de confondre avec les textes mêmes de ces Rapports qui expriment les opinions scientifiques personnelles du plus jeune ou du plus actif des Commissaires. On comprend aussi comment, par la revue rétrospective ci-après de mes luttes passées, mon but a été de mettre à nu les appréciations inexactes de quelques savants privilégiés, dont on s'est trop souvent autorisé pour rabaisser, aux yeux des lecteurs mal éclairés, la valeur de quelques-unes de mes doctrines géométriques ou mécaniques. — (Note de i865.)
il suffit de meure en perspective une échelle de parties égales. Plusieurs des conséquences qui résultent de la division harmonique d'une droite avaient déjà été développées par divers géomètres, entre lesquels on doit distinguer Mac-Laurin. M. Poncelet ajoute de nouvelles propositions à celles qui étaient connues. Les plus remarquables sont celles auxquelles il est conduit en généralisant la définition du centre des moyennes harmoniques. On peut en simplifier la démonstration et les rendre plus faciles à saisir, en substituant aux définitions qu'il présente celles que nous allons indiquer.
» Si Ton suppose que chaque élément d'une droite matérielle homogène, et prolongée de part et d'autre à l'infini, attire un point situé hors de cette droite, suivant une certaine fonction de la distance, ce point sera sollicité au mouvement par une force perpendiculaire à la droite et proportionnelle à une autre fonction de sa distance à cette droite. Si l'attraction entre deux points est réciproquement proportionnelle au carré de leur distance, la force dont il s'agit sera réciproquement proportionnelle à la simple distance du point donné à la droite vers laquelle il est attiré. Cela posé, soient DE la droite que Ton considère et A, A', A", . . . plusieurs points situés avec elle dans un seul et même plan. Si l'on suppose différentes masses m, m', m", . . . concentrées sur les points A , A', A'', . . . , ce que M. Poncelet nomme le centre de leurs moyennes harmoniques , par rapport à la droite DE, ne sera autre chose que le centre des forces parallèles qui solliciteront les masses m, m', m'\ . . . dans les directions perpendiculaires à la droite.
)) Concevons maintenant que les masses m, m', m'\ . . . soient concentrées sur les points A, A', A", . . . , situés d'une manière quelconque dans l'espace. Ce que M. Poncelet nomme le centre des moyennes harmoniques des points A, A', A'',..., relativement à un plan donné DEF, ne sera autre chose que le centre des forces parallèles qui solliciteront ces différents points, dans des directions perpendiculaires au plan, si Ton admet encore que chaque force soit réciproquement proportionnelle à la distance au plan, ce qui revient à supposer l'attraction entre deux points réciproquement proportionnelle au cube de l'inlervalle qui les sépare. En partant des définitions qui précèdent, on établit sans peine les diverses propriétés des centres des moyennes harmoniques.
» Ainsi, par exemple, concevons que, les points A, A', A",. . . étant situés dans un même plan avec la droite DE, on joigne un quelconque D des points de cette droite avec les points A, A', A", . . . , et qu'une parallèle de à DE coupe les droites
DA, DA', DA", . . . aux points a, a', a'\ Si, après avoir pris la droite DE pour axe
des x^ on désigne par h la distance entre les droites DE et de, puis par^, j', y ,... les ordonnées des points A, A', A", . . . , et si l'on applique à ces points des forces
parallèles V= —^ P' = — , ?" = —;:,,..., la force P = — pourra être remplacée
par deux composantes parallèles, l'une égale à y? appliquée au point a, et l'autre
appliquée au point D. Donc le système des forces P, P' P", . . . pourra être rem-
1 ' j /. mm' m'' ,. ' . , « . t
place par des forces y-j -r;» -i^? • • • » appliquées aux points a, a', a ,. . . , et par la
résultante des forces appliquées au point D. Donc la droite qui joindra le |>oint D avec le centre de gravité G des masses m, m! , m", . . . , concentrées sur les points a, a' y a",,., j passera par le centre des forces parallèles P, P', P",. . . , ou, ce qui revient au même, par le centre des moyennes harmoniques des masses m, m',
m",, . ., concentrées sur les points A, A', A", Cette proposition continuera de
subsister si les points A, A', A", . . changent de position sur les droites DA, DA', DA*',. ... Or, on peut imaginer que, par suite du changement de position, ils se rangent sur une nouvelle droite KL, qui soit parallèle à DE, ou qui vienne rencontrer DE en un point donné E; et comme, dans ce dernier cas, le centre des moyennes harmoniques des points A, A', A'^, . . . restera le même, par rapport à toutes les droites qui passeront par le point E, on pourra le nommer centre des moyennes harmoniques des points A, A', A", . . . , relatif au point L. Les remarques précédentes fournissent les principales propriétés du centre des moyennes harmoniques de plusieurs points situés dans un plan.
» Concevons encore que, les points A, A', A'', . . . étant placés à volonté dans l'espace, on trace dans un plan donné DEF une droite quelconque DE, et qu'ayant coupé les plans DEA, DEA', DEA", ... par un nouveau plan def, parallèle à DEF, on prenne, sur les droites d'intersection, des points quelconques a, a', a",.,. . Si, après avoir choisi le plan DEF pour plan des xy-y on désigne par h sa distance au plan defj puis par 2, 2', z'\ ... les ordonnées des points A, A', A", . . . , et si l'on
applique à ces mêmes points des forces parallèles P = —7 P'= -7-> P"= -^,...>
la force P = — » appliquée au point A, pourra être remplacée par deux forces parai-
lèles, Tune égale à -r-> appliquée au point a, et l'autre appliquée au point d'intersection de la droite ka avec la droite DE. Donc le système des forces P, F, P', . . .
pourra être remplace par des forces -r^ » -rpi -r^'i • • • > appliquées aux points a, a',
a" y . . . , et par la résultante des forces appliquées à différents points de la droite DE. 9 Donc le plan qui renfermera la droite DE et le centre de gravité G des masses m,m!f m", . . . , concentrées sur les points a, a', a^, . . . , passera par le centre des forces parallèles P, P', P'^..., ou, ce qui revient au même, par le centre des moyennes harmoniques des masses m, m', m", . . . , concentrées sur les points A, A', A*', ••.. Cette proposition continuera de subsister, si les points A, A', A', . . . changent de position dans les plans DEA, DEA', DEA'', .... Or, on peut imaginer que, par suite du changement de position, les points dont il s'agit soient ramenés dans un nouveau plan qui soit parallèle à DEF, ou qui coupe DEF suivant une droite donnée KL, et il est clair que, dans le dernier cas, le centre des moyennes harmoniques des points A, A', A", ... , relatif au plan DEF, sera aussi le centre des moyennes harmoniques relatif à la droite KL. Observons d'ailleurs que, si l'on suppose les points A, A', A'', . . . situés sur les droites AD, A'D, A"D, . . . , menées des points A, A', A", . . . au point D, les composantes P, P', P'', . . . , précédemment appliquées à divers points de la droite DE, passeront par le point D, et
centre des moyennes harmoniques demandé. Si, pour fixer les idées, on cherche le centre des moyennes harmoniques d'une sphère homogène décrite avec le rayon r, et dont le centre soit placé sur Taxe des js , à la distance h du plan des xjTy on reconnaîtra que ce centre est lui-même situé sur Taxe des z à une distance Z de Torigine, la valeur de Z étant
(6) zJi
;Ar+(r'-A')log(|^)
» Si la valeur de h est très-grande , par rapport au rayon r, la valeur précédente de Z, ou
deviendra sensiblement égale à A, et par conséquent le centre des moyennes harmoniques se confondra sensiblement avec le centre de la sphère, comme on devait s*y attendre.
» Soient mainlenant c', c", v"\ . . • les coordonnées des points A', A", A"', . . , relatives à un plan quelconque, perpendiculaire ou oblique au plan des xy\ c'est-àdire, en d'autres termes, les distances des points A', A", A*',. . . au nouveau plan, prises tantôt avec le signe -j-, tantôt avec le signe — , suivant qu'elles se comptent dans un sens ou dans un autre. Soit de même c la distance du centre des moyennes harmoniques des points A', A'', A'^,. . . , au nouveau plan dont il s'agit. On aura, en vertu des propriétés connues du centre des forces parallèles,
(7) Pi'=2{P'«"),
ou, ce qui revient au même,
» Cette dernière formule comprend, comme cas particuliers, les formules (2), et celles que M. Poncelet a établies relativement au centre des moyennes harmoniques de plusieurs points situés en ligne droite.
» Le Mémoire de M. Poncelet est précédé d'un discours préliminaire qui offre une sorte de résumé de ses recherches sur la Géométrie, et d'une Note sur les moyens d'exprimer que quatre points, appartenant respectivement à quatre droites qui convergent vers un point unique, sont compris dans un seul et même plan. Dans le discours préliminaire, l'auteur insiste de nouveau sur la nécessité d'admettre en Géométrie ce qu'il appelle le principe de continuité. Nous avons déjà discuté ce principe, dans un Rapport fait il y plusieurs années sur un autre Mémoire de M. Poncelet, et nous avons reconnu que ce principe n'était, à proprement par^ 1er, qu'une forte induction qui ne pouvait être indistinctement appliquée à toutes sortes de questions de Géométrie, ni même en Analyse. Les raisons que nous avons
lendu manque de rigueur d'un fait primordial que je considérais simplement, je le répèle, dans ses applications à la Géométrie pure, mais non aux formules à' intégration; manque de rigueur que M. Bertrand étend hardiment aux démonstrations et aux résultats qui en sont les conséquences nécessaires, en s'exclamant, après avoir cité textuellement un long passage mal compris et qui n*y a qu'un rapport fort indirect :
a Nous sommes bien loin, on le voit, de la rigueur géométrique ! »
L'exemple relatif à l'attraction d'une couche sphérique sur un point matériel tour à tour situé à l'extérieur ou à l'intérieur de cetto«couche prouve, non pas, comme l'entend M. Bertrand, que le principe de continuité avancé et démontré dans mes ouvrages souffre des restrictions en Géométrie, mais bien qu'il y a ici entre la loi des signes et les changements de position un véritable désaccord, dû [vofez les endroits précités du tome II des applications) à ce que les forces attractives, supposées proportionnelles à V inverse du carré de la distance, ne peuvent algébriquement changer do signe en même temps que de sens ou de direction.
Voilà, ce me semble, un fait qui aurait dû faire réfléchir un esprit aussi sagace que celui de M. Bertrand, d'autant que de telles restrictions étrangères au principe établi par moi se présentent dans des circonstances analogues en Mécanique et même en Géométrie analytique, comme j en ai donné la preuve ailleurs (p. '241, n°"79 et suiv. du tome II précité), afin d'avertir les professeur» (note de p. a43) chargés de cette branche d'enseignement, des méprises que l'on risque alors de conamettre, même en employant toutes les ressources du calcul algébrique; méprises ou erreurs dont les solutions et énoncés de problèmes proposés aux concours généraux des lycées et collèges offrent souvent de fâcheux exemples.
En 1820, date du Rapport de M. Cauchy sur les propriétés projectiles, comme en 1828 où il fit son dernier Rapport sur la théorie ùq% polaires réciproques, l'Analyse algébrique, qui, de même que l'Analyse géométrique des Anciens harcelés par l'école des ergoteurs ou sophistiques rhéteurs d'alors, avait horreur do l'infini et de toute mutation dans les signes de position ; l'Analyse algébrique, disons-nous, malgré ses notations symboliques trop souvent abusives et stériles, se trouvait débordée par les développements de la nouvelle Géométrie, posés dans le Traité des Pro^ priétés projectives des figures. Et cet état de choses, nonobstant l'extension donnée à la méthode ingénieuse des multiplicateurs indéterminés ^ des déterminants, etc., etc., devait continuer jusqu'à nos jours^ malgré les efforts souvent heureux des Plucker, des Jacobi, des Dirichlet, des Otto Hesse, desCayley, des Sylvesler, des Salmon, etc.; ce dont M. Bertrand, peu au courant de ces matières, ne paraît pas jusqu'ici s'être encore aperçu, si l'on en juge par les objections qu'il m'adresse et le récent appui qu'il vient donner aux anciennes critiques de Cauchy et de Gergonne que je croyais à jamais détruites du moins pour les esprits tant soit peu attentifs, d'après les anciennes recherches des tomes I et U de mes Applications de 1862 et 1864, invoquées dans l'Introduction même du tome l*"" du présent ouvrage, etc.
Après cela, est-il bien nécessaire de relever dos assertions telles que celles qui concernent MM. Terquem, Servois et Brianchon, dont le dernier, véritable géomètre initiateur en fait de Géométrie, s'est refusé à signer la lettre, aussi décourageante que peu réfléchie, due à la plume du premier de ces savants, que je ne refuse cependant pas de considérer comme mes amis scientifiques et mes maîtres en Mathématiques, si M. Bertrand l'exige absolument? Que dire encore de l'interprétation défavorable donnée par mon jeune confrère à une phrase trop réservée d'une note de la page 297 du tome II des Applications, etc, dans laquelle je témoignais le déplaisir d'avoir été mal compris par le Rapporteur Président de la Société Académique do Metz, qui contenait alors très-peu de juges compétents dans la matière? Ce Président, M. Bergory, journaliste moralisant et vulgarisant, esprit faux quand il marchait sans guide, de plus mathématicien médiocre, avait, il est vrai, rendu des services incontestés à la population messine, dont il fut adoré pour ses leçons du soir et ses publications sur la Géométrie industrielle qui lui valurent, dans un bui facile à deviner de la part du Ministre puritain Guizot, le titre rétribué de Directeur do l'École
comment ces points singuliers changent de nature, quand on passe d'une courbe donnée à sa polaire réciproque, et comment le degré de la polaire réciproque s'abaisse dans le cas où la courbe donnée offre des points conjugués.
• Les deux premières parties du Mémoire de M. Poncelel sont particulièrement consacrées à l'établissement des principes et des théorèmes que nous venons de rappeler, ainsi qu'à la recherche des conséquences qui s'en déduisent. Parmi ces conséquences, nous en citerons plusieurs qui nous paraissent dignes de remarque. Elles sont renfermées dans les propositions suivantes :
» Le nombre des tangentes communes à deux courbes dont les degrés sont représentés par les nombres m et n est en général et au plus égal au produit mn[m — i)(n — i). — Le nombre des plans que l'on peut mener par un point unique, de manière qu'ils touchent à la fois deux surfaces, l'une du degré m, l'autre du degré n, est en général et au plus égal au produit mn(m — i)'(/i — i)'. — La surface développable circonscrite à deux surfaces quelconques du second ordre offre en général quatre lignes de striction planes et du second ordre seulement. — Lorsque plusieurs surfaces du second degré ont une même développable circonscrite, un plan quelconque a pour pôles, dans ces surfaces respectives, une suite de points rangés sur une même droite. — Lorsque plusieurs surfaces du secoAd ordre ont les huit mêmes plans tangents communs, un plan quelconque a pour pôles, dans ces surfaces respectives, une suite de points rangés dans un nouveau plan, qui jouit de la propriété réciproque à l'égard du premier.
» Les diverses propositions qui précèdent se déduisent, par la théorie des polaires réciproques, d'autres propositions déjà connues; et en général, ainsi que l'observe M. Poncelet, on peut, à l'aide de cette même théorie, déduire d'une propriété graphique commune à toutes les surfaces du second ordre, ou à toutes les surfaces représentées par des équations algébriques, une seconde propriété des mêmes surfaces aussi générale que la première. On doit seulement excepter le cas où la première propriété serait elle-même sa réciproque.
» Dans les trois dernières parties de son Mémoire, M. Poncelet expose, non plus les propriétés graphiques ou descriptives des figures polaires réciproques, c'est-à^lire celles qui concernent les directions indéfinies, l'intersection ou le contact des lignes et des surfaces, mais les propriétés qu'il nomme métriques et qui sont relatives aux rapports de grandeur des parties rectilignes des figures dont il s'agit. Ces propriétés consistent, soit dans les relations d'angles qui ont lieu, dans certains cas, entre les figures polaires réciproques, soit dans les relations projoctives qui peuvent exister entre les sinus d'angles et les distances. Pour en donner une idée, nous citerons les propositions suivantes :
» Deux droites étant situées à volonté dans l'espace, si entre ces droites on fait mouvoir un angle droit dont le sommet soit en un point fixe de l'espace et dont les côtés s'appuient respectivement sur ces droites, la suite de celles qui appartiennent & la fois aux paires de points de rencontre des droites fixes et des côtés de l'angle mobile sera une surface gauche du second degré ou un hyperboloïde à une nappe. — Une figure quelconque étant donnée sur un plan, s'il existe entre les diverses distances de ses points une relation métrique projective, la même relation existera
» lire la Notice dont l'extrait a paru dans le numéro de mars 1827 des Annales de » Mathématiques, Notice dont la singularité des vues a même fait dire plaisamment » à d'illustres académiciens que c'était de la Géométrie romantique, de la Géomé-^ » trie à quatre dimensions.
D On ne me reprochera pas, sans doute, d'avoir attendu jusqu'ici sans réclama- » tions le jugement de MM. les Commissaires de l'Institut; mon silence prouve, » tout au plus, le prix que j'attache à ce jugement, le respect que je professe pour )) la personne des Commissaires, enfin le peu d'empressement que je mets à tirer » avantage de mes recherches géométriques.
» Le fait est que le Mémoire sur la théorie des polaires réciproques et celui qui » a pour objet la théorie générale des centres des moyennes harmoniques, dont il » a été rendu compte, l'année dernière, à. l'Académie, par M. Cauchy, composent » les préliminaires d'un grand travail sur les propriétés des lignes et des surfaces » géométriques, déjà annoncé dans le Traité des Propriétés projectiles des figures. » Les occupations de mon service militaire ne m'ont pas permis, jusqu'à présent, » de perfectionner et de mettre au jour ce travail, et je suis encore moins à même » de le terminer depuis que Son Excellence le Ministre de la Guerre m'a chargé » de créer le cours de Mécanique appliquée aux machines, à l'École spéciale d'ar- » "tillerie et du génie, à Metz. Mais si, dans cette position, j'ai dû renoncer à l'idée 1) de poursuivre et de publier prochainement mes recherches géométriques, je » n'en dois pas moins être jaloux de m'assurer la possession de celles qui ont pu » arriver à la connaissance des géomètres. Comme j'ai eu d'ailleurs occasion de » communiquer, depuis longtemps, quelques-uns des résultais de ma théorie à dif- » férentes personnes, je crois pouvoir déclarer ici que l'objet de ces recherches » embrasse les propriétés descriptives et métriques les plus générales de Vinter^ » section, de Vosculation des lignes et des surfaces de divers ordres, et que c'est » en prenant principalement pour base les deux Mémoires ci-dessus, les principes » de la projection centrale ou perspective et ceux de la théorie des transversales, )) que je suis parvenu aux résultats de mon travail ; je crois devoir déclarer, en » outre, que la méthode par laquelle j'applique la théorie des transversales à la 1) découverte des propriétés des lignes et des surfaces, présente les caractères d'une » véritable analyse qui permet de combiner les relations des figures et de recon- » nattre ce qui leur appartient, même quand ces relations prennent Informe de Vin- » détermination, ou que certaines grandeurs deviennent imaginaires, infinies, etc. ïi J'ajouterai que, pour faciliter l'intelligence de cette méthode, j'ai commencé par » l'appliquer aux sections coniques, et que je suis ainsi parvenu à établir, en quel- » ques pages, les propriétés les plus fécondes, les plus générales de ces courbes, » notamment celles des hexagones inscrits et circonscrits, celles du contact des » divers ordres, celles enfin que Desargues a nommées insolations : ces dernières » relations, comme on sait, ont été étudiées spécialement par M. Brianchon, dans » son intéressant Mémoire sur les lignes du second ordre; elles se trouvent repro- » duites dans le Traité des Propriétés projectiles, et elles ont servi de base à D M. Sturm pour établir, dans les Annales de Mathématiques (t. XVI et XVII; Bul- » letin des Sciences, mai 1826 et février 1827), plusieurs des propriétés des sec-
» lions coniques considérées isolément ou combinées entre elles. On conçoit aussi » que la démonstration de Thexagone de Pascal donnée par M. Gergonne, t. XVII j) des Annales de Mathématiques y n"5, en partant des propriétés des sécantes du » cercle, démonstration mentionnée p. 98 du Bulletin des Sciences de février 1827, » que cette démonstration, dis-je, doit se trouver comprise nécessairement dans » Tapplication particulière que j'ai faite de la théorie des transversales aux sections » coniques; et, s'il fallait à ce sujet un témoignage plus spécial, j'invoquerais celui » de M. Brianchon, auquel, depuis nombre d'années, j'ai fait part de ma méthode » avec cette connance qu'on doit à un ami, à un savant modeste, assez riche de w son propre fonds pour n'avoir rien à envier à Ses émules,
» En entrant dans ces développements, mon intention n'est pas de revendiquer )) pour mon compte toutes les propositions sur les courbes et surfaces qui ren- )) trent dans l'objet spécial de mes recherches; à Dieu ne plaise 1 Je prétends seu- )) lement qu'on m'accorde que je n'ai pas emprunté aux autres les principes et les )) méthodes qui en constituent la base essentielle.
D Revenons à la dualité dont le Bulletin des Sciences attribue uniquement la n découverte à M. le rédacteur des Annales de Mathématiques. Je ne manquai pas )) de faire remarquer à cet estimable géomètre l'analogie de ses idées avec les )) miennes, dès l'apparition, en janvier 1826, de son Mémoire sur la dualité; et, » d'après la demande qu'il voulut bien me faire ensuite de lui donner une idée » plus étendue de mes dernières recherches concernant la théorie des polaires » réciproques, je me hâtai de lui en adresser l'analyse au mois de décembre 1826; » j'y joignis un article de réclamations qui me paraissait assez intéresser la philo- » Sophie de la science pour mériter une place dans les Annales de Mathématiques, » et que par la même raison je crois utile de publier à la suite de cette Note (*). )) Je respecte les motifs qui ont empêché M. Gergonne d'insérer, avant le numéro » de mars 1827 de son recueil, l'analyse dont il s'agit, et qui lui ont fait supprimer » entièrement ma réclamation. J'ignore d'ailleurs pourquoi il a cru devoir ré- » pondre à cette réclamation, dans ce même numéro, sans la citer et sans mettre » ses lecteurs en état d'apprécier ses propres observations. Enfin, je ne comprends I) pas davantage pourquoi il a totalement négligé de mentionner mes recherches » dans ses deux Mémoires de janvier et de février 1827, sur les lois générales qui » régissent les lignes et les surfaces courbes, Mémoires dont l'analyse a été donnée » dans les cahiers de mars et d'avril derniers du présent Bulletin. J'ai d'autant plus » lieu d'en être étonné, que la publication de ces Mémoires est postérieure à l'en- » voi de ma réclamation, et qu'ils sont entièrement basés sur la partie de la théorie » des polaires réciproques que j'ai le plus d'intérêt à revendiquer pour mon » compte, puisqu'elle concerne la réciprocité ou, si l'on veut, la dualité des proi) priétés des lignes et des surfaces courbes, réciprocité que j'ai étudiée d'une ma- » nière toute spéciale, soit dans mon Mémoire d'avril 1824, soit dans le Traité des » Propriétés projectiles, et dont j'avais même déjà exposé les principes fondamen-
(*) « Le manquo d'espace nous oblige à la renvoyer au Bulletin suivant. »
» taux et signalé Timporlance, dès janvier i8i8, dans un article inséré au tome VII » des Annales de Mathématiques.
D Quoique les deux Mémoires de M. Gergonne, que nous venons de citer en der- » nier lieu, renferment, quant à l'objet en discussion, beaucoup de conséquences » qui, suivant nous, sont plus que sujettes à controverse, et dont la publication » peut faire tort aux vues philosophiques de l'auteur sur le principe de dualité, on » avouera que, d'après l'importance même qu'il leur accorde, nous avions quelque » droit d'espérer qu'il ne tairait pas ce que nous avons fait dans ce genre de re- » cherches. Nous professons au surplus, envers sa personne et son caractère, une » trop haute estime pour ne pas croire qu'il serait revenu, dans les numéros sui- » vants des Annales, sur ce qui nous concerne, et nous eussions gardé presque în- » défmiment le silence sur l'objet de la présente réclamation, si l'article inséré à la » page 276 du Bulletin des Sciences de 1827 n'était pas rédigé de manière à laisser » croire aux géomètres qu'en effet nos recherches sont postérieures à celles de » M. Gergonne. L'auteur de cet article est d'autant plus excusable d'ailleurs que » l'omission, dans les Annales de Mathématiques, de la date de la présentation à » l'Académie des Sciences du Mémoire sur la théorie générale des polaires réci- » proques, la suppression d'une partie de la lettre d'envoi de l'analyse de ce Mé- » moire, enfin les réflexions mêmes dont M. Gergonne a jugé à propos d'accom- » pagner cette analyse, ne sont pas très-propres à éclairer la conscience des lec- » teurs sur l'objet en discussion.
D Par exemple, tout en avouant (*) que les points principaux de la nouvelle doc- » irine se trouvent indiqués dans le Traité des Propriétés projectiles, il avance (( que c'est d'une manière si fugitive, qu'il n'en est fait aucune mention, ni dans le » Rapport des Commissaires de l'Académie, ni dans la préface de l'auteur, ni même » dans son introduction de trente pages ; d puis il ajoute : a N'est-on pas fondé, » d'après cela, à penser que M. Poncelet avait d'abord regardé cette partie de son j) ouvrage comme très-accessoire, surtout lorsqu'on lui voit recommander les éléi> ments d'Euclide, et qu'on le voit débuter par des proportions et des calculs. » » Un peu plus loin il nous accuse d'avoir laissé glisser parmi les doctrines qui font l'objet du Traité des Propriétés projectiles des doctrines qui sont au moins » sujettes à controverse. Or, rien n'est plus facile que de réfuter ces assertions; et D sans parler de l'omission qui a pu être faite dans l'avertissement de deux pages » du Traité dont il s'agit, ne paraît-il pas évident que les Commissaires de l'Acadé- D mie ont dû se borner, dans leur Rapport, à parler de ce qui était contenu dans la j) première Section de l'ouvrage, la seule qui ait été soumise à leur jugement, à » quelques propositions près relatives au contact et à l'intersection des cercles. » Quant à l'introduction de trente pages, nous ferons observer que, indépendam- D ment de ce qu'elle a été rédigée fort à la hâte, à l'instant même où l'on terminait » l'impression du texte, cette introduction n'est point une analyse et n'a pour » objet que de signaler le but et l'esprit général de l'ouvrage, mais non pas son
*) « Annales de Mathématiques y mars 1827, p. 274 et 276. »
D contenu. Tout ce qu'avance à ce sujei M. Gergonne ne saurait donc prouver que » nous n'avons pas donné une attention très-sérieuse à la théorie des polaires réci- » proques et à la dualité qui en dérive, dès la publication du Traité des Propriétés D projectivesy en 1822, et même avant cette publication. Il est vrai. qu'à l'époque » dont il s'agit nous n'avions point fait de cette théorie l'objet d'un Mémoire ou » d'un chapitre spécial, et que nous nous réservions d'y revenir avec plus de détails dans la partie de lios recherches relative aux propriétés générales des lignes et )) des surfaces courbes; toujours est-il que nous en avons traité à toute occasion, » et avec assez de développements pour être à l'abri des reproches que nous » adresse M. le rédacteur des J anales de Mathématiques.
» Au surplus, cette discussion doit paraître bien superflue, et l'importance que j) nous attachions à la chose bien démontrée, d'après l'empressement que nous » avons mis à faire suivre, presque immédiatement, le Traité des Propriétés pro- » jectives du Mémoire sur la théorie des polaires réciproques {*); il est seulement » surprenant que l'apparition de ce Traité n'ait pas stimulé davantage l'esprit d'in- » vestigation des géomètres, et que l'année 1823 tout entière se soit écoulée sans o qu'on ait songé à rien publier qui ait trait à cette théorie. Cela nous prouve que » les idées répandues dans notre ouvrage auront quelque peine à s'établir, et qu'il » se passera encore des années avant qu'on en ait saisi le véritable esprit et qu'on » lui rende le degré de justice qui peut lui être dû : les Rapports qui en ont été » faits à l'Académie royale des Sciences n'ont malheureusement que trop servi à I) reculer cette époque, en jetant une sorte de défaveur sur les principes d'où nous » sommes parti, et en donnant à penser qu'il s'agit d'une espèce de Géométrie où » l'on remplace la rigueur du raisonnement par des inductions hasardées, des aper- » çus de pur sentiment. Le fait est que ce reproche a été reproduit vaguement par » divers géomètres et par M. Gergonne lui-même, sans motifs plausibles, disons » plus, sans en avoir suffisamment approfondi le sujet. Nous aurions bien mal em- D ployé notre temps et nos peines, si nous n'avions pas réussi, aux yeux des per- » sonnes non prévenues, à mettre le résultat de nos démonstrations à l'abri de » toute attaque; peut-être même n'en saurait-on dire autant de beaucoup d'écrits » géométriques de notre époque, où la logique sévère des Anciens est quelquefois )) négligée, par suite de l'habitude acquise, assez généralement, d'accorder aux » symboles et aux opérations de l'Algèbre une rigueur mathématique presque indé- » finie.
» Nous n'en dirons pas davantage, pour le moment, sur ce qui concerne le » manque de rigueur dont M. Gergonne accuse quelques-unes des doctrines qui » entrent dans le Traité des Propriétés projectii^'es; quant au reproche qu'il nous 1) adresse d'avoir recommandé, dans l'introduction de ce Traité , les éléments d'Eu- » clide, en lisant la page 26 de cette introduction, on comprendra, de reste, que
(*) u Nous avions déjà annoncé les conséquences étendues de ce Mémoire, pour la démonstra- » lion des théorèmes de Géométrie, dans l'introduction qui accompagne le Mémoire sur la théorie » des centres de moyennes Jiarmoniqiies y c'est-à-dire avant la fin de Tannée 1823, époque à laquelle » nous remimes à M. Arago la copie de ce dernier Mémoire, pour en faire hommage à l'Académie » royale des Sciences. »
» nous avons entendu parler, en général, de tous les traités élémentaires où Ton » emploie la synthèse pour établir l'enchaînement des propositions, et dans les- » quels on prétend se borner aux considérations les plus simples sur chaque obj) jet. Cette recommandation de la Géométrie synthétique sera, si Ton veut, une » concession faite aux idées du siècle, un moyen détourné de faire goûter les nou- » velles doctrines, et de ne point effrayer les géomètres qui tiennent à l'ancienne » forme des éléments; mais, à coup sûr, on n'en conclura pas, avec M. Gergonne, » que nous n'ayons point senti l'importance de ces mêmes doctrines, au dévelop- » pement desquelles nous avons consacré presque entièrement un volume de » 4oo pages. Pareillement on comprendra, sans difficulté, qu'en débutant par des » proportions et des calculs, nous avons cherché à éviter le reproche que nous » adresse ce géomètre, dans ses réflexions du numéro de mars 1827 de son recueil, )) d'avoir voulu brusquer une révolution; on reconnaîtra que, toute nécessaire que » cette révolution ait pu paraître à nos propres yeux comme à ceux de M. Ger- » gonne, nous avons agi prudemment en prenant d'abord un vol moins élevé, » et procédant d'après la manière ordinaire d'envisager la science de. l'étendue, » dans un ouvrage dont les derniers chapitres devaient s'en éloigner considérable- » ment, et qui devait contenir une multitude de relations métriques ou de lon- » gueurs, qui rentreront nécessairement, et quoi qu'on fasse, dans le domaine de » la science du calcul.
» Le savant rédacteur des Annales de Mathématiques^ qui ne paraît pas avoir été
)) frappé, comme nous, de l'existence de la dualité de ces dernières relations, et
» qui n'a eu jusqu'à présent en vue que les propriétés de situation les plus simples,
» a donc tout à fait méconnu le but véritable de nos recherches; peut-être même
» s'en est-il exagéré, à ses propres yeux, l'importance, quand il a prétendu (numé-
» ros de janvier et de février 1827 des Annales y p. 214 et 229) soumettre indis-
» tinctement au principe de dualité toutes les propriétés descriptives des figures ;
» car nos propres méditations nous prouvent que, si cette dualité est exactement
» appliquable aux lignes et aux surfaces des deux premiers degrés, il s'en faut
» qu'elle le soit aux lignes et aux surfaces des degrés supérieurs, du moins de la
» manière dont il l'a entendu dans ses derniers Mémoires : nous n'oserions, par
» exemple, affirmer avec lui que, de ce que deux lignes de degrés m et n s'entre-
» coupent en général, sur un plan, en mji points au plus, de pareilles lignes n'ont
» aussi, en général, que mn tangentes communes, ni que la réciproque polaire
» d'une ligne d'un certain ordre soit elle-même de cet ordre, etc. En nous occu-
» pant des mêmes questions dans un article déjà cité plus haut {Annales de Mat hé-
» matiques, t. VIII, p. 211 et suiv., année 1818), nous sommes arrivé à des résul-
» tats très- différents et que nous avons reproduits, avec l'extension convenable,
» dans notre dernier Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques; or,
» nous ne pensons pas qu'on puisse attaquer l'exactitude de ces résultats, bien
» qu'ils conduisent à des conséquences qui ne sont pas entièrement d'accord avec
» celles que M. Gergonne a déduites des siens propres, dans ses Recherches sur
» les lois qui régissent les lignes et surfaces algébriques. »
Signé : Poncblbt (date omise, pour cause, dans le Bulletin de Férussac).
sum LÀ duàuté de situation et sur Là théorie des polaires réciproques, second article en réponse aux observations pseudonymes du Bulletin des Sciences de Ffrussac.
[Extrait du tome IX (1828), p. 292 à 32o de ce Bulletin.]
a Comme il s'agît ici d'une discussion relative à la priorité de vues et de recher- » chesje crois indispensable de donner une notice succincte des découvertes des » géomètres relatives à la matière, ainsi que je Tai fait dans l'introduction de mon » Mémoire de 1824 sur la Théorie générale des polaires réciproques. Cette notice, » pour le développement de laquelle je renverrai à la 111' Section du Traité des » Propriétés projectives des figures, servira à faire la part de chacun et mettra un » terme, j'espère, à une polémique qui, sans cela, deviendrait interminable.
» En lisant, dans les Annales, les nombreuses Notes de M. Gergonne, on s'aper- D cevra que, dans la vue d'être court, j'ai négligé de répondre à beaucoup des » assertions, des inculpations ou des personnalités qu'elles contiennent, et je me suis contenté de réfuter ce qui intéresse directement l'objet en discussion.
» Les propriétés fondamentales du pôle et de la polaire des sections coniques » sont dues, comme on sait, à de Lahire. Monge, Livet et Brianchon les démon- D trèrent depuis par des méthodes plus générales, et les étendirent au pôle, au plan » polaire et aux droites polaires des surfaces du second degré. M. Brianchon s'en » servit le premier pour déduire, du théorème de Pascal sur les hexagones inscrits » aux sections coniques, le théorème corrélatif sur les hexagones circonscrits, D dont les conséqueilces ne sont ni moins étendues ni moins remarquables;, il D mit ainsi les géomètres sur la voie des applications de la théorie des pôles et D polaires.
D On a reproduit depuis les propriétés fondamentales de celte théorie, par divers » moyens plus ou moins recommandables; leur énoncé s'est simplifié et a pris un i) peu plus d'extension par l'emploi des mots pôles et polaires. A l'exemple de » M. Brianchon, on s'en servit pour établir la corrélation de situation entre les » polygones inscrits et circonscrits aux mêmes points d'une section conique (*). D Mais jusque-là les figures que l'on considérait avaient une relation intime et » toulè particulière avec la courbe.
» C'est encore M. Brianchon qui, le premier, fit voir (Annales de Mathématiques, » t. IV, p. 196 et 379) la corrélation de situation qui lie entre eux, par rapport à » une section conique quelconque, deux hexagones dont chacun a réciproquement » pour sommets les pôles des côtés de l'autre. A la vérité, il ne s'agit encore là que x> d'hexagones inscriptibles ou circonscriptibles aux lignes du second ordpe; mais
(*) « Vojrez ces diverses recherches dans les premiers yolnmes des Annales de Mathématiques, » et notamment la page 122 du tome P% où M, Encontre établit la corrélation ci-dessus, à Toc- • casion de l'inscription et circonscription à un cercle, d'un polygone dont les côtés passent par > des points donnés, ou dont les sommets sont sur des droites données. »
il. 47
» ces hexagones ont une situation générale» par rapport à la section conique, qui » sert de directrice des pôles et polaires. Or, c'était un pas de fait dans la théorie j) de la dualité ou de la réciprocité des relations de situation. Déjà d'ailleurs » M. Brianchon avait démontré (X* et XlIP Cahier du Journal de V École Poljr- » technique) que, a quand un point se meut sur une surface du second degré, le » plan polaire de ce point, par rapport à une autre surface de ce degré, eirtouche n constamment une même troisième, » et que, a quand une droite se meut, en tou- » chant une section conique, le pôle de cette troisième droite, par rapport à une » autre section conique, demeure continuellement sur une section conique. » Mais il » restait à démontrer les propositions corrélatives, qui seules pourraient établir la D réciprocité des relations de situation des lignes et des surfaces du deuxième » degré.
» Voilà, ce me semble, où en étaient les choses au commencement de 1818, » lorsque, résumant [Annales de Mathématiques, t.VIII,p. 21 1) en ce peu de mots » les propriétés essentielles du pôle des sections coniques, a la polaire de tout » point d'une droite passe par le pôle de cette droite, et vice versa, «j'établis, sans » autre préambule, la théorie des pôles et polaires réciproques, c'est-à-dire la réci- » procité parfaite qui existe, non pas seulement entre les relations de situation des i) points et des droites, mais entre celles des courbes planes quelconques, /?a/ai>c« » par rapport à une section conique prise à volonté pour directrice, ou qui sont » telles que les points de l'une ont pour polaires les tangentes respectives de l'autre, » et vice versa. Me servant de cette réciprocité, ainsi justifiée en général, je déter- » minai le degré et les affections principales des lignes polaires de courbes don- » nées, et je fis voir que cette doctrine pouvait s'étendre aux figures dans l'espace, » notamment aux surfaces du deuxième degré. Enfin, j'annoqçai tout le parti qu'on » en pouvait tirer pour la démonstration et la recherche des propriétés des figures, » en prenant pour exemple la réciprocité des relations existantes entre les points )) d'intersection et les tangentes communes de deux courbes quelconques tracées D sur un même plan.
D D'après ces diverses recherches, d'après tout ce qu'on savait d'ailleurs de la » dualité des propositions de la Géométrie de la règle, on concevra aisément que » M. Gergonne ait pu énoncer, dès 1819 et sans beaucoup d'hésitation, le théorème » sur les intersections de lignes droites, qu'il cite dans l'une des notes de la » page 127 du tome XVIII de son recueil (*), comme étant le corrélatif d'un autre
(*) « M. Gergonne y cite aussi, en faveur de ses idées sur la dualité, l'article de la page 3ai » du tome IX des Annales, relatif aux polyèdres conjugués; tout ce que cet article prouve, c'est » que ses vues sur la dualité de l'espace étaient alors bien restreintes, et qu'il ne savait pas encore » se servir de la théorie des polaires réciproques, comme il le fit beaucoup plus tard (t. XV, » p. i57, novembre 1824), en reprenant ses recherches sur les polyèdres. Du reste, le mot de » dualité n'est pas même prononcé dans un seul de ces endroits, et rien n'y constate les droits » de M. Gergonne à la découverte du principe de cette dualité, pas plus que toutes les autres » propositions doubles, antérieurement connues, ne constatent ceux des géomètres qui les ont, les » premiers, signalées ou démontrées. »
B beau théorème dû à M. Coriolis ; mais ce qu'on ne saurait lui accorder sans » preuves, c'est que ses idées sur la dualité aient été, à cette même époque, corn- » plétement fixées, ainsi qu'il le prétend dans la note en question et qu'on le répète à la page 2i3 du précédent Bulletin. Car il ne s'agit là que d'une appli- B cation fort simple de la théorie des pôles et polaires, comme le prouvent les considérations par lesquelles il a justifié son théorème réciproque, deux années B plus tard, dans un article inséré à la page 335 du XI* volume des Annales, sans dire un seul mot, du reste, qui ait trait à la dualité en général. La fin de cet • article démontre même que M. Gergonne ignorait alors le moyen très-simple » d'établir celte dualité pour le cas de l'espace : en effet, dans ce cas, les points » des énoncés, au lieu d'être remplacés par des droites, devaient l'être par des plans, jp pour passer aux figures corrélatives; ce qui choquait probablement les idées bien » fixées qu'il avait de la dualité.
» D'ailleurs, ceux qui connaissent l'activité infatigable de la plume de M. Ger- JD gonne pour tout ce qui tient à la philosophie des sciences croiront difficilement JB que, s'il avait eu alors sur la dualité des idées aussi complètement fixées qu'il veut 9 bien le faire supposer, il les eût gardées par devers lui jusqu'en 1826, malgré la 9 haute importance qu'il leur accorde maintenant. Ils admettront volontiers, au » contraire, que l'existence de la dualité n'éuit encore, pour ce géomètre, qu'un de » ces sentiments vagues, de ces aperçus obscurs, tels qu'il s'en présente quel- » quefois à l'esprit, et qu'une étude un peu sérieuse ne vient pas toujours con- » firmer; en un mot, tout prouve que, même longtemps après 1819, les vues de » M. Gergonne ne s'étendaient guère au delà de celles que pouvaient faire nattre » les faits déjà bien connus, et ce que j'avais dit d'un peu général, dès 1818 et » surtout en 182a, dans les Annales de Mathématiques et dans le Traité des Pro- » priétés projectives des figures. \o\\h sans doute pourquoi il ne juge pas indispenr » sable d'en entretenir le public avant l'époque de 1826.
» Au surplus, M. Gergonne ne disconvient pas de la priorité de mes recherches A sur les siennes, et son système de réplique paraît se borner à la revendication » des mots dualité de situation, mots, selon moi, vides de sens en philosophie ^ mathématique, et absurdes, qu'on me passe l'expression, lorsqu'on entend en '> fahre le type d'un principe général indépendant de la théorie qui seule les justifie, *^ et ne point en borner l'application aux faits antérieurement connus et rigoureu- ^ sèment démontrés.
» Je passerais donc volontiers condamnation sur de pareilles subtilités et j'accor- ^ derais, selon le désir de M. Gergonne, que le premier il a signalé la dualité, que ? le premier il l'a proclamée dans ses Annales, s'il ne se montrait aussi habile à ^ profiter des moindres concessions de ses adversaires, et s'il n'était évident d*ail- ** leurs que cette dualité n'est que la réciprocité telle que nous l'avons entendue ** dans nos propres recherches, déguisée sous un nom un peu plus séduisant peutêtre. Car, puisque nous y avons démontré qu'en vertu de la théorie des pôles et polaires, convenablement étendue, toute relation, toute propriété descriptive ou de situation d'une figure a nécessairement sa réciproque dans une autre figure, ^ il faut bien aussi que de telles relations soient doubles ou marchent par couples,
» comme le dit M. Gergonne. Conçoil-on, d'après cela, qu'il continue à soutenir » dans ses dernières observations que mes idées iiont presque aucune analogie » avec les siennes, que j*ai tout à fait pris le change sur le sujet de ses recherches, » que la dualité des relations de situation est une conception toute nouvelle et qui » date seulement de 1826, qu'elle n'est que très-faiblement indiquée dans le Traité n des Propriétés projectives, qu'elle n'est g^aèr^ /?/i« apparente dans l'ouvrage que » dans V introduction, ce qui pourrait faire croire que j'en ai à peine parlé, puisque » je suis convenu précédemment qu'elle n'est point mentionnée d'une manière » spéciale dans ce dernier endroit?
p Cette affectation de M. Gergonne à reproduire, sans aucune preuve, des asser- » tiens que je croyais avoir suffisamment réfutées dans mon premier article du » Bulletin d'août 1827, me force de citer ici quelques passages du Traité des Pro- » priétés projectives, qui prouveront, j'espère, sans réplique, que si la dualité n'est » pas apparente dans V introduction, elle l'est du moins très-suffisamment dans le » texte de l'ouvrage, et qu'ainsi je n'ai pas même besoin de recourir à mes recher- » ches de 1824, encore peu connues, pour prouver mes droits à la priorité qu'on » me conteste.
, )) Dans le n*» 235, II* Section, p. 124, après avoir exposé, avec de nouveaux » développements, la Théorie des polaires réciproques, ébauchée dans mon Mé- » moire de 1818, je fais remarquer en général que cette théorie s étend à des » figures quelconques tracées sur un plan, et quelle donne lieu à une foule de con- » séquences et de rapprochements curieux concernant la réciprocité et V analogie » de certaines figures et de certaines propriétés ; j'en cite divers exemples, puis » j'ajoute : a On peut même dire qu'il n'existe aucune relation descriptive d'une » figure plane (ou de situation, suivant l'acception de M. Gergonne] qui n'ait sa » réciproque dans une autre figure, etc., » ce que je confirme par de nouveaux » exemples. Enfin, j'annonce que cette doctrine et ses conséquences s'étendent i) sans peine aux figures dans l'espace, et j'établis, dans les n""* 589, 590 et 592 )) du Supplément, les bases de cette extension; je donne également des exemples » très- généraux relatifs à ce cas dans les n" 592-602, et principalement à la On » du n** 610, où je fais voir comment la théorie des pôles et polaires réciproques » peut servir à passer des relations de situation de figures inscrites aux surfaces D du second degré, à celles qui appartiennent aux figures circonscrites à ces j) mêmes surfaces.
» Dans le corps de l'ouvrage, je suis revenu à plusieurs reprises sur les consé- » quences de la théorie des polaires réciproques (*) pour doubler les propositions » connues et de manière à en devenir presque ennuyeux, attendu l'évidence de la
(*) « Fbxez les n" 397 et suivants; le n*» 400, la fin des n~ 401 et 406, le n** 4^3, la fin des » n* 439, 441 et 5oa, enfin les n** 624, 535 et 549. Je ne cite pas, en faveur de mes opinions, la » foule des propositions doubles ou réciproques qui se reproduisent à chaque pas dans l'ouyrage, » parce que je ne soutiens pas, avec M. Gergonne [voyez plus haut), que la découverte de quelques » propositions isolées de ce genre suffise pour établir des droits à celle du principe qui les domine > toutes. »
» chose ; cependant, M. Gergonne me reproche de n'en avoir point encore traité » assez au long. Je le répète, la dualité de situation dont il est question dans son » Mémoire de 1826 est une conséquence tellement nécessaire, tellement simple » de la théorie des polaires réciproques, que je ne me serais jamais imaginé qu'à » moins de vouloir travailler pour les commençants ou pour les personnes qui » ne liront pas le Traité des Propriétés projectiles^ il fût nécessaire et utile d'écrire 9 de longues pages sur cette matière, ni qu'on pût songer sérieusement à en faire » une doctrine toute nouvelle, indépendante de la théorie des pôles et polaires, » comme Ta tenté sans succès M. Gergonne, qui vient aujourd'hui me demander » dans quel ouvrage la dualité de situation avait été signalée avant la publication
> de son Mémoire de 1826.
» Loin de moi, au surplus, la pensée que M. Gergonne ait puisé dans mon livre » ses principes et ses idées sur la dualité ; j'aime mieux supposer qu'il n'avait donné » aucune attention sérieuse aux passages qui les concernent et qu'il y a été con- » duit par ses propres méditations, pourvu qu'à son tour il m'accorde, sans restric- » tion, que la dualité des relations de situation, je veux dire leur réciprocité, ne » date pas précisément de 1826, mais bien de 1818, 1822, et particulièrement de B mon Mémoire de 1824, lequel en traite fort au long et avec une extension, une » généralité que M. Gergonne n'a point encore atteinte.
JD Je n'ai pas accusé ce savant d'emprunt envers moi, j'ai revendiqué des droits
> qu'on ne saurait me contester; je me suis 'plaint du peu d'attention qu'il avait
> donné à mes réclamations du commencement et de la fin de 1826, de la manière » dédaigneuse et tant soit peu cavalière dont il les a traitées, dans ses Réflexions » du n** 3 de mars 1827, sur V analyse de mon dernier Mémoire. Quand bien » mdme les termes dans lesquels je réclamais eussent été peu convenables quant » à for /orme, l'essentiel était surtout que j'eusse raison quant au fond, et l'on en B va juger par l'exemple qui concerne en particulier M. Piucker, dont M. Gergonne
> cherche à défendre la cause comme la sienne propre, en soutenant, contre mon
• opinion, que ce géomètre ne connaissait pas le Traité des Propriétés projectiles. » Supposant même que je me fusse trompé à ce dernier égard, il n'en résulterait
A pas moins, des citations et des preuves irrécusables que j'ai apportées, que les
• théorèmes et problèmes du docteur Piucker, insérés p. 87 et 69 du tome XVII B des Jnnales, étaient, pour la plupart, loin d'avoir le mérite de la nouveauté. C'en » était assez, par conséquent, pour rendre obligatoire l'insertion ou la mention de » mes réclamations dans les Annales; mais elle eût fait écrouler l'échafaudage des » doubles colonnes du docteur allemand, auxquelles M. Gergonne attachait beau- » coup d'importance, sans doute par esprit de prosélytisme pour la dualité. Que » penseront donc les lecteurs si, les Mémoires de M. Piucker à la main, nous prou- » vous clairement qu'il avait une parfaite connaissance du Traité des Propriétés D projectiles?
B Or, c'est lui-même qui, dès la première page du premier de ses Mémoires » nous en informe en ces termes ( t. XVII, p. 87) : a Ces considérations donnent nais* B sance à une série de problèmes curieux qui ont fait le sujet des recherches de B M. Poncelet, dans son Traité des Propriétés projectives des figures. Ce que nous
B nous proposons ici est de considérer quelques cas de cette théorie qui reposent sur » des considérations fort simples et conduisent à des démonstrations qui ne le sont D pas moins. »
» J'ai prétendu seulement prouver que ces mêmes constructions se trouvaient » nettement et pour la plupart indiquées dans mon ouvrage, et que M. Plucker » n'avait pas eu beaucoup de peine à les reproduire sous une nouvelle forme, en JD leur faisant perdre même leur caractère primitif de généralité.
D Je n'ai jusqu'ici relevé que la première partie des allégations et des assertions D mentionnées à la page 23 du présent volume du Bulletin, j'en viens maintenant » à la partie la plus délicate de ma réplique, parce qu'elle ne pourra manquer, D quelle qu'en soit la forme, de mettre en jeu la susceptibilité de M. Gergonne : D je veux parler des erreurs qui se sont glissées dans les derniers Mémoires de 1827 » sur les lois générales qui régissent les courbes et les surfaces algébriques de tous D les ordres, et que j'ai déjà signalées vers la fln de mon précédent article (p. 117], D erreurs d'autant plus graves qu'elles entachent plus universellement sa théorie » de la dualité, et qui ne peuvent s'expliquer, de la part d'un tel géomètre, que par » la précipitation avec laquelle il a rédigé ses Mémoires et les a livrés à la publicité.
» En se rappelant ce que nous avions démontré, dès 1818, dans le tome XIII » des Annales, il n'eût pas commis des inadvertances aussi capitales et il n'eût » pas été obligé de les rectifier après coup. Dans tous les cas, ces inadvertances ne » sauraient certes prouver, qu'à l'époque de janvier 1827, pas plus qu'en 1819, » M. Gergonne ait eu sur la dualité de situation des idées complètement fixées ; sans D cela, s'excuserait-il en disant que a le principe de dualité ne date que d'hier, » qu'on peut se méprendre quelquefois dans les applications, qu'on est forcé » de parler une langue qui n'a point été construite pour les idées qu'il fait » nattre, etc. (*) »
9 Enfin, peut-on expliquer d'une autre manière le pressentiment qu'il manifeste, » tout en terminant les Mémoires, des inexactitudes qui pouvaient les entacher, » attendu, dit-il, la nouveauté des recherches, Vimperfection du langage, etc. » Selon M. Gergonne, c'est s'être simplement mépris dans les applications que » d'avoir érigé en autant de principes généraux les propositions fausses qui conx> stituent et qui dominent toute la théorie de la dualité des courbes et surfaces; » de telle sorte que, pour en rectifier les nombreuses conséquences, il ne s'est » agi de rien moins que de torturer le sens des mots, en admettant simultanément » deux classifications essentiellement distinctes pour ces courbes et surfaces, chose jusqu'alors inusitée en Mathématiques et qu'on ne saurait justifier par aucun » prétexte.
» Dans ses notes et dans son article de rectification du 5 novembre 1827, M. Gerx> gonne traite de vagues et d'insinuations obliques les assertions qui ont provoqué » celte rectification un peu tardive, parce qu'elles sont rédigées dans ce style de D modération que nous avons voulu employer envers un des doyens de la science, t comme une marque de notre déférence ; modération que, dans un autre endroit
(*) a Annales, t. XYIII, p. 141, note. »
D prétend dans les notes déjà citées plus haut, que la dualité n'avait pas lieu pour D les courbes et surfaces en général; car je démontre expressément le contraire D dans ce Mémoire (n"^ 100 et 101), quant à ce qui concerne les relations de situa-^ D tion indépendantes de leur degré.
D II résulte aussi de là qu'une infinité de théorèmes généraux relatifs aux courbes » et surfaces peuvent être réciproques, dans le sens même que l'entendait primiti- D vement M. Gergonne, sans qu'il soit nécessaire de recourir à la double définition » si mal à propos adoptée par lui en dernier lieu, et que c'est bien à tort qu'il les » a confondus avec tous les aulres dans son article de rectification.
2> Dans le fait, je suis bien loin de trouver les rectifications de M. Gergonne satis- D faisantes et même suffisantes; de plus, elles ne sont pas les seules qu'il faudrait » faire subir au Mémoire sur les lois générales qui régissent les courbes et sur^ j> faces. En traitant des mêmes matières dans mon Mémoire de 1824, je n'ai pas D reculé devant la difficulté de conserver aux classifications des courbes et sur^ » faces leur définition légitime et universellement admise; et je crois pouvoir dire D que MM. les Commissaires de l'Académie royale des Sciences, chargés de Texa- D men de ce Mémoire, y trouveront, sur la double existence des relations de B rétendue, plus de données positives et surtout moins d'erreurs qu'on n'en » rencontre dans ceux de M. Gergonne. Tout le monde pourra y voir que, même D avant 1824, la dualité de situation, comme les autres dualités, n'était pas pour D moi une doctrine obscure et qui ne datât que de la veille.
\ » PONCBLBT.
» Metz, le 22 janvier 1828. »
RÉPONSE DE H. PONGELET AUX béclamàtions DE M. PLUCKER, iusérécs à la page 33o du tome X du Bulletin des Sciences de Férussac.
[Extrait du tome XI (1829) de ce recueil, p. 33o à 333.}
a M. Plucker se plaint, dans la lettre qu'il a adressée, en juillet 1828, au rédac- » teur du Bulletin des Sciences mathématiques, des attaques que j'aurais dirigées » contre sa personne à l'occasion de la polémique qui s'est établie entre M. Ger- » gonne et moi; le fait est que mes reproches s'adressaient, non à la personne de » M. Plucker que je n'ai pas l'avantage de connaître, mais bien à l'auteur des Mé- D moires à doubles colonnes insérés dans le tome XVII des Annales de Mathémai> tiques, qui semblait avoir pris à tâche de reproduire, sous une forme inusitée, h les théorèmes et les problèmes sur les contacts et osculations des lignes du 9 second ordre, qui se trouvent exposés ou indiqués dans le Traité des Pro^ » prié tés projectives des figures.
» M. Plucker vient ici nous déclarer qu'il n'est point l'auteur des doubles B colonnes de son Mémoire, et que par conséquent il n'y a pas, de sa part, esprit » de prosélytisme pour la dualité; que ce n'est pas lui non plus qui a cité le Traité » des Propriétés projectiles Adiïis une occasion insignifiante, puisque aujourd'hui
» même il ne le connatt pas; que ses citations s'étaient bornées, dans son primitif » et vériuble Mémoire, à ce qui concerne le théorème sur l'osculation du troisième » ordre des sections coniques, que j*ai énoncé dans le tome VIII (année 1817 ) des » Annales de Mathématiques: qu'il avait eu pour but, dans ce Mémoire, de prou- » ver que les méthodes de la Géométrie analytique se prêtent facilement à cette » sprte de spéculations; que c'était le rédacteur des Annales ï\n\^ pour faire préva- » loir ses vues systématiques de dualité, avait ainsi dénaturé son travail, et y D avait ajouté tous les développements favorables; qu'enfin il ne peut qu'approuver » œs changements, bien qu'il ignore, à l'instant même où il écrit sa lettre, tout ce i) qui a été publié dans les deux derniers volumes des Annales^ c'est-à-dire la réj» daction de son premier Mémoire de 1826, et les discussions qui se sont élevées D à son sujet.
» C'est donc encore à M. Gergonne que, sans le savoir, j'avais affaire lorsque je « lui adressai, en 1826, mes réclamations sur les Mémoires de M. Plucker, réclate mations auxquelles 11 ne jugea pas à propos de faire droit alors, par un motif qui peut maintenant se deviner. Voilà aussi le motif de sa sollicitude toute particui> Hère envers M. Plucker et des graves reproches qui m'ont été adressés, dans les » AnncUes, au sujet de ce géomètre que je n'ai aucun intérêt personnel à attaquer. » Je ne me fusse jamais imaginé de telles choses, je l'avoue, avant les éclaircisse- » ments tardifs que M. Plucker vient aujourd'hui nous donner. Le moyen de sup- A poser qu'un homme du caractère de M. Gergonne se soit complu à mutiler le JB travail d'un savant étranger pour lui faire honneur de théories que sciemment » il n'a pas le premier inventées, et en dépouiller ainsi, sans aucun risque, le véritable auteur! Cela explique aussi comment il se fait qu'à trois reprises diffé- » rentes, le Bulletin des Sciences ait, sur le témoignage des Annales, attribué à » M. Plucker et à quelques autres géomètres fort étrangers à toutes ces discusj> sions, diverses propositions qui se trouvent dans nos ouvrages, et notamment ^ celles qui concernent les cercles sécants, tangents et osculateurs d'une section j> conique, etc. (*). On s'explique enfin comment nos réclamations, soit dans le » Bulletin des Sciences, soit dans les Annales de Mathématiques, ont pu paraître » d'injustes agressions, et causer du déplaisir à plusieurs estimables géomètres, n sans que nous ayons fait autre chose que de rappeler que tels ou tels principes, tels ou tels théorèmes se trouvaient déjà établis ailleurs que dans les Annales. Il 9 semble que M. Gergonne ait eu à cœur de prouver à ses lecteurs et à ceux du Bulletin, que les ouvrages qui renferment ces théorèmes sont presque totale- » ment ignorés des géomètres; si donc j'ai eu quelque droit de me plaindre de cet s oubli général de la part d'auteurs qui cultivent avec prédilection le même genre de recherches que moi, je ne puis, en aucune manière, être comptable envers » eux du désagrément que ces plaintes leur ont occasionné; ils doivent uniquei> ment s'en prendre à la personne qui leur a rendu un si mauvais office, et em-
(*) « Nous prions, entre autres, le lecteur de rapprocher les énoncés du n** 148, p. 186 du tome IV > du Bulletin des Sciences de 1828, avec les n"' 394, 404, 405, etc., dvi Traité des Propriétés » projectipes. ù
