II

» ployer des mesures pour éviter dorénavant que leurs estimables travaux subissent » de pareilles altérations.

B II est clair, d'après l'exposé de ces faits, qu'en particulier M. Plucker a eu tort » de se fâcher contre moi, et que, dès lors qu'il n'est pas l'auteur de la partie de ses Hémoires contre laquelle je réclame, il n'a aucun droit de me reprocher des » attaques envers sa personne; qu'enfîn, d'après sa propre déclaration, ces attaques D ne concernaient uniquement que l'auteur pseudonyme de ces mêmes articles. Il » n'en restera pas moins à expliquer comment M. Plucker approuve les changex> ments subis par ses Mémoires, changements qu'il déclare ne pas connaître, non D plus que les discussions qui en ont été la suite; comment enfm, ne les connais- D sant pas, il s'est décidé à prendre fait et cause dans une discussion que je croyais » entièrement terminée. M. Plucker annonce, il est vrai, a qu'une méthode purement analytique lui a fait découvrir, de son côté, il y a environ un an, le secret de o ta dualité; qu'il rédige, de ses papiers, un Mémoire sur le sujet en discussion. » » Il déclare, en outre, ne faire aucun cas c de quelques résultats réclamés par moi, » qui, en eux-mêmes, tous corollaires d'un théorème connu y ne sont d'aucune im- » portance; » mais tout cela ne motive pas suffisamment l'objet de la lettre de ce )) savant. Nos droits à la dualité ou plutôt à la réciprocité des relations métriques D et de situation semblent parfaitement constatés, soit par les discussions élevées » à leur sujet, soit par la publication qui vient enfin d'être faite, dans un journal » aussi généralement estimé que répandu (*), de notre Mémoire de 1824 ««r la D théorie des polaires réciproques. Quant à l'espèce de dédain que M. Plucker » témoigne pour l'objet particulier des recherches dont nous avons revendiqué » la priorité, on observera que ces recherches concernent les contacts et oscula- D tions des sections coniques, questions auxquelles nous attachons quelque prix, » n'en déplaise à ce géomètre, parce qu'elles ont des applications utiles aux arts » graphiques, et qui ne doivent pas, en elles-mêmes, être dénuées de toute espèce » de mérite, puisqu'elles sont devenues entre les mains de MM. Gergonne et j> Plucker le sujet de développements fort étendus. La facilité et la simplicité » même avec lesquelles ces conditions dérivent, soit de nos principes sur Yhomo- X) logie ou la perspective des figures ( Traité des Propriétés projectiles, Secl. III, j) Ch. I"), soit des théorèmes féconds de Pascal et de Brianchon, n'en font qu'ac- D croître le mérite à nos yeux, comme ils l'accroîtront, sans doute, aux yeux de D tous les vrais amateurs des sciences, qui tiennent encore plus au fond qu*îi la » forme, et qui n'apprécient pas uniquement les résultats des recherches mathé- » maliques d'après la facilité plus ou moins grande de les démontrer à posteriori. Nous savons aussi que, dans les sciences rationnelles, les vérités se touchent, » sont corollaires les unes des autres, à des degrés plus ou moins rapprochés, et » que telle découverte qui a coûté beaucoup à son auteur devient presque tou- » jours, entre les mains des successeurs, une vérité facile et presque triviale; je

(* ) a Journal fur die reine und angewandte MatJiematik, publié par le D^Crelle; voyez IV* vol., » I** cahier, 1829. Le Mémoire s'y trouve imprimé en français, conforme, quant au texte, au ma- » nuscrit déposé à l'Institut le 12 avril 1824. »

38o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

» Il résulte évidemment de ces considérations que si une flgure plane composée de points assujettis à être distribués sur des droites, et de droites assujetties à concourir en divers points» est possible, une autre flgure dans laquelle les points en ligne droite seraient remplacés par des droites concourant en un même point, et réciproquement, sera possible aussi; d'où il suit que les théorèmes relatifs à de telles flgures sont toujours doubles; de telle sorte que les deux d'une même couple ne diffèrent uniquement qu'en ce que les mots point et ctroite y sont permutés entre eux. Il faut seulement en excepter le cas où le théorème serait symétrique par rapport aux points et aux droites; car alors il serait à lui-même son correspondant; tel est, par exemple, le cas de celui-ci : un polygone a autant d'angles que de sommett,

» Cetie correspondance inévitable entre les théorèmes du genre de ceux dont il est question ici peut encore être rendue manifeste d'une manière plus savante et plus simple : soit tracée sur le plan de la flgure noire une ligne quelconque du second ordre, et soient marqués en encre rouge, sur le même plan, par rapport à celte courbe, les pôles des droites et les polaires des points de la première flgure. Comme les pôles des droites qui concourent en un même point sont en ligne droite et que les polaires des points en ligne droite concourent en un même point, la flgure rouge se trouvera avoir avec la noire les mêmes relations et la même correspondance que ci-dessus.

» Ceci nous fait apercevoir sur-le-champ que quelque chose de tout à fait analogue doit arriver dans la Géométrie à trois dimensions, toutes les fois du moins qu'il n'est question que de points situés en ligne droite ou compris dans un même plan, de droites situées dans un même plan ou concourant en un même point, et enfln de plans se coupant suivant une même droite ou passant par un même point. Si, en effet, une flgure est donnée dans l'espace, en imaginant une surface quelconque du second ordre, et en construisant, par rapport à cette surface, les plans polaires, les polaires conjuguées et les pôles des points, droites et plans de la flgure donnée, leur ensemble formera une autre flgure qu'on pourra appeler sa corrélative; et tout théorème relatif à l'une de ces deux flgures aura pour l'autre son analogue, qu'on en déduira en laissant subsister le moi droite partout où il se trouvera, et en échangeant seulement entre eux les mots point et plan.

» Mais si les propriétés des pôles, polaires et plans polaires mettent en évidence cette espèce de dualité d'une partie notable de la Géométrie, ce n'est certainement pas en vertu de ces propriétés, mais bien en vertu de la nature même de l'étendue qu'elle a lieu; et c'est principalement à mettre cette vérité dans le plus grand jour queM.Gergonne a consacré la livraison de son recueil qui vient de paraître.

» Les propriétés de l'étendue, qui marchent ainsi par couple, ont encore un autre caractère extrêmement remarquable; c'est que, bien que jusqu'ici on les ait démontrées, pour la plupart, en s'aidant des proportions et du calcul, leur démonstration peut néanmoins en être rendue tout à fait indépendante; mais il devient souvent nécessaire pour cela de passer alternativement de la Géométrie plane à celle de l'espacé, et de celles-ci à la première, comme Monge et les géomètres de son école l'ont si souvent pratiqué et avec un si rare bonheur. M. Gergonne se demande.

application trop étendue du principe de dualité, M. Gergonne ne s'en est pas moins cru obligé de revoir avec soin son Mémoire sur les lois générales qui régissent les lignes et surfaces algébriques; Mémoire dont nous avons rendu compte dans notre cahier de mars 1827 (p. i65) et dans celui d'avril, même année (p. 221), et qu'il avait signalé lui-même comme pouvant fort bien être entaché de quelques inexactitudes à raison de la nouveauté des recherches, de celle des procédés d'investigalion et de l'imperfection du langage. Voici le résumé de ses réflexions sur ce sujet.

D Si Ton appelle courbe ou surface du m'^"* degré une courbe ou une surface qui coupe une même droite en m points, et si l'on appelle courbe ou surface de ^iffM elasse une courbe à laquelle on peut mener m tangentes d'un même point quelconque, ou une surface à laquelle on peut conduire m plans tangents par une droite quelconque, on pourra dire que la polaire réciproque d'une ligne ou d'une surface du m**"* degré est une ligne ou une surface de m"** classe, et vice versa. ' D Ces choses ainsi entendues, tous les théorèmes de situation^ c'est-à-dire ceux dans lesquels il ne sera aucunement question de relations métriques d'angles et de longueurs, seront doubles et se correspondront deux à deux de telle sorte que, pour.passer de l'un quelconque à son correspondant, il faudra substituer aux courbes et surfaces des divers degrés des courbes ou surfaces des classes correspondantes, et réciproquement, et faire en outre à son énoncé toutes les autres modifications connues qui résultent du principe de dualité de situation.

» Pour donner un exemple de ces sortes de traductions, M. Gergonne présente en deux colonnes quatre beaux théorèmes de M. Bobillier, qui renferment, comme cas très-particuliers, les théorèmes connus sur les pôles, polaires, plans polaires et polaires conjuguées. Les voici :

L » Une droite étant tracée arbitrairement sur I. » Un point étant pris arbitrairement sur le

le plan d'une courbe du n&"* degré, si, de diffé- plan d*une courbe de /w*** classe, si, par ce point,

rents points pris arbitrairement sur cette droite, on mène arbitrairement diverses sécantes à la

on mène toutes les tangentes possibles à la courbe, courbe, puis des tangentes à cette même courbe,

les courbes qui contiendront les points de con- par ses points d'intersection avec les sécantes, les

tact des divers faisceaux de tangentes, lesquelles courbes que toucheront les divers faisceaux de

ne seront que du (m — i)**" degré seule- tangentes, lesquelles ne seront que de (m— i)**^*

ment, passeront toutes par les ( m — i Y mêmes classe seulement, auront toutes les [m— i )' mômes

points. tangentes.

n. B Un plan étant situé d'une manière quel- n. » Un point étant situé d'une manière quelconque dans l'espace, par rapport à une surface conque dans l'espace, par rapport à une surface du m^ degré, si l'on circonscrit à celte sur- de n&^ classe, si par ce point on mène à cette face tant de surfaces coniques qu'on voudra, surface tant de plans sécants arbitraires qu'on ayant leurs sommets en des points quelconques voudra, et qu'on lui circonscrive ensuite des surde ce plan , les surfaces courbes qui contien- faces développables qui la touchent suivant ses dront les lignes de contact de ces diverses sur- intersections avec ces plans, les surfaces courbes faces coniques , lesquelles ne seront que du auxquelles les surfaces développables seront cir- (w — i)*"* degré seulement, passeront toutes consentes, lesquelles ne seront que de (/w—i)^*** par les (m — i)* mêmes points. Si, déplus, les classe seulement, auront toutes les (wi — 1)* sommets des surfaces coniques sont tous situés mêmes plans tangents. Si^ de plus, les plans se-

sûr une même droite^ ces mêmes surraces du cants passent lous par une même droite, ces (/w — t)''"* degré se couperont toutes suivant mêmes surfaces de ( /w— i)**** classe seront toutes une seule et môme courbe à double cour- circonscrites à une seule et même surface débure. » veloppable. »

(T. IX, p. 3o2 à 3o3, mars 1828.) — « Dans un premier arlicle de celle livraison, M..Bobillier poursuit les recherches commencées par M. Gergonne et par lui', dans plusieurs des livraisons précédentes, sur les lois générales qui régissent les lignes et surfaces courbes; mais, pour i^ouvoir énoncer les résultats auxquels il parvient dans une langue qui ne soit pas trop prolixe, il se trouve obligé de créer des dénominations en harmonie avec la généralité de ses recherches. D*abord, il continue d'appeler, avec M. Gergonne, courbe et surface du m^'^ degré une courbe ou une surface qui peut couper une droite en m points, tandis qu'il appelle courbe de m'*^ classe une courbe à laquelle on peut mener m tangentes d'un même point, et surface de m'^** classe une surface à laquelle on peut mener m plans tangents par une même droite. Sur quoi il faut remarquer, au surplus, qu'il n'est pas certain que le degré et la classe d'une courbe soient deux choses différentes, et que MM. Gergonne et Bobillier n'ont adopté cette distinction que provisoirement, et seulement à cause des doutes élevés sur ce sujet par M. Poncelet. »

(T.-X, p. 285, octobre 1828.) — a Revenant de nouveau sur ce sujet, M. Bobillier prouve d'abord que si M= o représente l'équation d'une courbe du m'**^ degré, les points de contact de toutes les tangentes menées à celte courbe, par l'un quelconque (a, 6) des points de son plan, seront sur une autre courbe donnée par l'équation

rfM, . rfM, ,. «,

laquelle, par le théorème connu des fonctions homogènes, ne sera que du (m — i)^'^ degré seulement, d'où il suit que le nombre des tangentes issues du point {à,b) sera au plus m(m— i) comme l'avait déjà trouvé M. Poncelet; mais, comme l'observe fort bien M. Gergonne dans une note, ce n'est là qu'un simple maximum^ • que le nombre de ces tangentes pourrait fort bien ne jamais atteindre; d'où il conclut, avec les Commissaires de l'Académie royale des Sciences, que le théorème de M. Poncelet ne doit être considéré que comme purement limitatif. M. Gergonne ajoute qu'en particulier Une conçoit pas bien une courbe qu'une droite ne pourrait couper qu'en trois points seulement et à laquelle néanmoins on pourrait mener six tangentes d'un même point de son plan. Dans le surplus de ce Mémoire, M. Bobillier démontre, d'une manière plus directe, les divers théorèmes qu'il avait déjà établis dans le précédent. »

(T. X, p. 33o à 332, décembre 1828.) — Réclamation de M. Pluckeb. — a Le n" 5 de votre 5tt/fe/i/i (1" Section, 1828), qui vient de tomber entre mes mains, m'oblige à vous adresser la réclamation suivante, que je vous prie d'insérer dans le plus prochain numéro.

D C'est d'une lettre de Berlin que j'ai appris, il y a trois à quatre mois, avoir été l'objet des injustes attaques de M. Poncelet. Je n'ai pu y répondre parce que je

n'avais aucune connaissance exacte du fait. M. Poncelet, infatigable à reproduire toujours les mêmes accusations contre moi, se présente de nouveau pour donner les preuves de ce qu'il a avancé. Deux mots suffiront pour réfuter tout ce que M. Poncelet allègue contre ma bonne foi. a L'échafaudage des doubles colonnes, » auxquelles H. Gergonne attachait beaucoup d'importance, sans doute par esprit » de prosélytisme pour la dualité » (mai 1828, p. ^^99), est l'ouvrage de M. Gergonne et non pas celui a du docteur allemand. » J'ai accordé volontiers à M. Gergonne la liberté de changer la rédaction de mon Mémoire ; s'il y a trouvé des développements favorables à ses idées sur la dualité (moi, j'ignorais absolument le sens dé ce mot avant la lecture du numéro cité de votre Bulletin), je ne puis qu'approuver qu'il l'ait fait ressortir par a l'échafaudage des doubles colonnes. » II n'y a donc ni prosélyte, ni esprit de prosélytisme.

a Que penseront donc les lecteurs si, les Mémoires de M. Plucker à la main, nous » prouvons clairement qu'il avait une parfaite connaissance du Traité des Propriétét » projectiles? Or, c'est lui-même qui, dès la première page du premier de ses » Mémoires (j'abrège le passage suivant), cite ce Traité. x> Non, ce n'est pas lui, c'est encore M. Gergonne. Dans le huitième volume des Annales, que j'avais sous les yeux lorsque je rédigeais le Mémoire en question, M. Poncelet, pour faire prévaloir ses méthodes sur celle de la Géométrie analytique, indique, entre autres constructions, celle de l'un des problèmes traités dans mon Mémoire. C'est cette construction que, moi, j'avais citée en ajoutant les mots suivants : a Voyons si ce problème » se prête si difficilement aux méthodes de la Géométrie analytique, d Ces mots expliquent parfaitemeut le but de mon Mémoire. Je n'avais pas alors la facilité de me procurer le Traité des Propriétés projectives, que je connaissais seulement par le catalogue de M. Bachelier. M. Gergonne, en citant, au lieu de ses Annales, l'ouvrage de M. Poncelet, a reconnu par là, plus particulièrement que je n'avais pu le faire, la priorité de ses recherches sur le même sujet; il ne devait pas s'attendre aux réclamations de ce géomètre pour quelques résultats obtenus par lui, qui, en eux-mêmes, tous corollaires d'un théorème connu, ne sont d'aucune importance.

j» Les arguments allégués contre moi par M. Poncelet ont donc disparu. Je déclare après cela que, jusqu'à ce jour, je n'ai pas vu l'ouvrage de M. Poncelet ; j'ajoute que j'ignore absolument tout ce qui a été publié dans les deux derniers volumes des Annales, en sorte que je ne connais ni la rédaction de mon premier Mémoire, ni les discussions qui se sont élevées sur mon compte.

9 Je vous adresse ci-joint le premier volume de mes Développements de Géométrie ^malytique, qui a paru au commencement de l'année. Je pense que vous y apercevrez des méthodes qui ont dû nécessairement me conduire à beaucoup de résultats nouveaux. Depuis l'impression de ce volume, qui a duré très-longtemps, j'ai perfectionné et étendu de beaucoup les méthodes qui y sont exposées. J'ai devant moi les matériaux pour un second volume, mais je n'en peux garantir la publication prochaine.

» J'ai reconnu dès le premier moment (en parcourant les Annales) l'importance des travaux de M< Poncelet.. Je m'en suis prononcé dans la préface du premier von. 49

\aïne, et si, après cela, je n*ai pas consuUé son Traité, c'est uniquement parce que je ne pouvais me le procurer sur-le-champ et parce que le iitre de mon ouvrage me permettait de le faire plus tard.

D La lecture du numéro cité plus haut m'engage à rédiger de me$ papiers un Mémoire sur le sujet en discussion entre MM. Gergonne et Poncelet« En y exposant une théorie bien différente de celles données jusqu'ici, je ferai voir peut-être qu'une méthode purement analytique m'a fait découvrir, de mon côté, le sécrétée la dualité; mais tout cela ne date que d'un an. J'espère que le savant rédacteur 4es Annales voudra bien recevoir ce Mémoire (*).

» Pluckie.

» Bonn, 00 24 juillet 1826. »