EXTRAITS DE DIVERS ÉCRITS DE M. GERGONNE SUR LA IWÀLITÉ, ETC

Les passages du Bulletin des Sciences que je viens de transcrire textuellemeiit, et où M. Gergonne lui-même rend compte des Annales dont il était le rédacteur souvent peu scrupuleux, ^ son profit et à celui de quelques collaborateurs; ces passages, surtout ceux qui concernent la rédprocité ]>olair€y sont, quant aux dates et aux asserlions, arrangés avec un tel art, qu^il deviendrait bien difficile de distinguer la vérité du mensonge, à moins de les confronter page pour page avec les articles correspondants des Annales de Mathématiques ^ où M. Gergonne expose ses idées et sa défense relatives à la dualité de situation. C'est pourquoi je crois devoir aussi rapporter textueMe* ment les passages de ces articles qui peuvent intéresser la discussion, et qui ont enhardi les collaborateurs dont il vient d'être parlé à explorer un champ de vérités géométriques dont, avant les spiriluoUes divulgations et amplifications de M. Gergonne en 1827, ils n'avaient guère pressenti la fécondité et la richesse; vérités auxquelles, je l'avoue sincèrement, je n'avais pas moi*mème, (ians mes écrits de 18 17 et 18 18, 1820 et 1821, donné les développements indispensables pour en faire saisir la portée philosophique aux esprits vulgaires ou inattentifs.

Considérations philosophiques sur les éléments de la science de V étendue, par M. Gergonne, avec cette épigraphe : Tantum séries juncturaque pollet (Horace;. [AnnaleSf t. XVI, p. 209, numéro de janvier 1826.)

c Les diverses théories dont se compose le domaine de la science de l'étendue peuvent être rangées en deux classes très-distinctes. Il est, en effet, certaines de ces théories qui dépendent essentiellement des relations métriques qui se trouvent exister entre les diverses portions d'étendue que Ton compare, et qui conséquemment ne sauraient être éublies qu*à l'aide des principes du calcul. D'autres, au contraire, sont tout à fait indépendantes de ces mêmes relations, et résultent uniquement de la situation que se trouvent avoir les uns par rapport aux autres les êtres géométriques sur lesquels on raisonne ; et bien que très-souvent on les déduise des proportions et du calcul, on peut toujours, en s*y prenant d'une manière cou-

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(*) LHrascible rédacteur des Annales de Montpellier a jugé fort prudent de supprimer entièrement ce Mémoire, comme il l'avait fait précédemment du dernier chapitre de celui de notre illustre Sturm; procédé tout au moins peu délicat, dont M. Plucker se plaint dans un ouvrage ailiBi^and d^ 1828, qui sera Dd^tioimé daD9 l'art. JDQl du p^agr^pheci-apr^, r>- C^Pled^ liB^S.)

venable» les en dégager complètement. Mais il peut quelquefois devenir nécessaire pour cela de passer tour à tour de la Géométrie plane à celle de l'espace et de celle^î à la première, comme Monge et les géomètres de son école l'ont si souvent pratiqué, et avec tant de succès.

» Il est donc raisonnablement permis de se demander, d'après cela, si notre manière de diviser la Géométrie en Géométrie plane et Géométrie de l'espace est aussi naturelle et aussi exactement conforme à l'essence des choses que vingt siècles d'habitude ont pu nous le persusrder. Toujours du moins demeure-t-ii vrai qu'en y renonçant on parviendrait, en ne recourant, pour ainsi dire, qu'à la simple intuition, à pousser assez avant dans la Géométrie des commençants que l'étude du calcul, présentée dès rentrée, ne rebute que trop souvent, et qui peut-être s'y livreraient plus tard avec beaucoup moins de répugnance, lorsque leur intelligence se serait agrandie et fortifiée par l'étude d'une série plus ou moins prolongée de propriétés de l'étendue.

» Mais un caractère extrêmement frappant de cette partie de la Géométrie qui ne dépend aucunement des relations métriques entre les parties des figures, c'est qu'à l'exception de quelques théorèmes s;ymétrlques d'eux-mêmes, tels, par exemple, que le théorème d'Euler sur les polyèdres, et son analogue sur les polygones, tous les théorèmes y sont doubles ; c'est-à-dire que dans la Géométrie plane, à chaque théorème il en répond toujours nécessairement un autre qui s'en déduit en y échangeant simplement entre eux les deux mois points et droites; tandis que, dans la Géométrie de l'espace, ce sont les mots points et plans qu'il faut échanger entre eux pour passer d'un théorème à son corrélatif.

» Parmi un grand nombre d'exemples que nous pourrions puiser, dans le présent Recueil, de cette sorte de dualité des théorèmes qui constituent la Géométrie de situation, nous nous bornerons à indiquer, comme les plus remarquables, les deux élégants théorèmes de M. Coriolis, démontrés d'abord à la page 826 du XI* volume, puis à la page 69 du XIP, et l'article que nous avons nous- même publié à la page 167 du précédent volume, sur les lois générales qui régissent les polyèdres. C'est, au surplus, une suite inévitable des propriétés des pôles, polaires, plans polaires et polaires conjuguées des lignes et surfaces du second ordre, qui jouent ici un rôle assez analogue à celui que joue le triangle supplémentaire dans la Trigonométrie sphérique, où, comme il a été montré dans tout le cours de l'intéressant Mémoire de M. Sorlin (t. XV, p. 273), les théorèmes peuvent également être répartis en deux séries parallèles, de manière à se correspondre deux à deux avec la plus grande exactitude.

D Toutefois, quelque digne de remarque que puisse être un fait géométrique de cette importance, et quelque ressource qu'il puisse offrir, dans un grand nombre de cas, pour faire deviner en quelque sorte de nouveaux théorèmes, à peine a-t-il été entrevu, même par les géomètres qui, dans ces derniers temps, se sont le plus spécialement occupés de la recherche des propriétés de l'étendue ; tant est peu philosophique encore, même de nos jours, la manière d'étudier les sciences.

» Voilà ce qui nous détermine à faire de èelte sorte de Géométrie en parties doubles, s'il est permis de s'exprimer ainsi, le sujet d'un écrit spécial dans lequel,

après avoir rendu manifeste le fait philosophique dont il s'agit dans l'exposé même des premières notions, nous nous en appuierons, soit pour démontrer quelques théorèmes nouveaux, soit pour donner de quelques théorèmes déjà connus des démonstrations nouvelles, qui les rendent à l'avenir tout à fait indépendants des relations métriques desquelles on a été jusqu'ici dans l'usage de les déduire.

» Nous pourrions fort bien nous borner à démontrer seulement une moitié de nos théorèmes, et à en déduire l'autre moitié, à l'aide de là théorie des pôles. Mais nous préférons les démontrer directement les uns et les autres, tant pour ne pas sortir des premiers éléments et rendre ce qu'on va lire accessible à ceux-là même qui ne connaissent pas les Éléments d*Euclide, que pour avoir l'occasion de faire remarquer qu'il existe entre les démonstrations de deux théorèmes d'une même couple la même correspondance qu'entre leurs énoncés. Nous aurons même soin, afin de rendre cette correspondance plus apparente, de présenter les théorèmes analogues dans deux colonnes, en regard l'une de l'autre, comme nous en avons déjà usé dans l'article sur les polyèdres rappelé plus haut; de telle sorte que les démonstrations puissent se servir réciproquement de contrôle.

» Nous croyons superflu d'accompagner ce Mémoire de .figures, souvent -plus embarrassantes qu^'utiles, dans la Géométrie de l'espace ; figures que nous ne pourrions d'ailleurs offrir que sous un aspect unique et individuel au lecteur qui pourra, au contraire, les construire et façonner à son gré, si toutefois il en juge le secours nécessaire. Il ne s'agit ici, en effet, que de déductions logiques, toujours faciles à suivre lorsque les notations sont choisies d'une manière convenable. »

iVb/fl. — J'ai supprimé ici les §§ I, U et UI du Mémoire de M. Gergonne, où, pour la première fois^ les énoncés de diverses propositions géométriques déjà connues et purement élémentaires apparaissent sous Taspect de doubles colonnes verticales; ces énoncés, mis en regard les uns des autres, étant interrompus seulement par quelques remarques, dont la plus importante (p. a3o et 23 1) est ainsi conçue :

a Quelques personnes trouveront peut-être que ce qui précède manque de développement; mais ' nous les prierons de remarquer que nous n'écrivons pas pour les commençants, et qu'il nous a dû sembler préférable de multiplier les points de comparaison que d'entrer sur quelques-uns d'entre eux dans de minutieux détails que tout lecteur tant soit peu versé dans la Géométrie pourra facilement suppléer. Nous croyons en avoir dit suffisamment pour mettre hors de contestation ces deux points de philosophie mathématique, savoir : i*" qu'il est une partie assez notable de la Géométrie dans laquelle les théorèmes se correspondent exactem«it^deux à deux, ainsi que les raisonnements qu'il faut faire pour les établir, et cela en vertu de la nature même de l'étendue ; t!* que cette partie de la Géométrie, qui prendrait une très-grande étendue si l'on voulait y comprendre les lignes et les surfaces courbes, peut être complètement développée indépendamment du calcul et de la connaissance d'aucune des propriétés métriques des grandeurs que l'on considère.

» 11 nous a paru qu'un point de doctrine d'une importance aussi majeure^ dont nous avons été frappé pour la première fois il y a plus de dix ans et que l'esprit de détail avait dérobé jusqu'ici à la vue des géomètres, ne devait pas demeurer plus longtemps sans être mis en pleine évidence. Nous craignons bien toutefois que ce que nous venons d'écrire passe sans être aperçu, ou que du moins, d'après un examen superficiel, beaucoup n'y voient qu'un de ces rapprochements forcés qui n'ont de consistance que dans l'esprit de ceux qui les imaginent. »

Du reste rien, si ce n'est l'épithète de relation métrique, ne témoigne que M. Gergonne se soit inspiré de la lecture de mes propres écrits (1817, 1818, 1822, etc.).

Recherches sur quelques lois générales qui régissent les lignes et les surfaces algébriques de tous les ordres, par M. Gergonne, avec une épigraphe tirée des Leçons de Laplace à l'École Normale (Annales, l. XVII, p. 214, novembre 1826).

<f Nous observions, il n'y a pas longtemps (*), qu'au point où les sciences mathématiques sont aujourd'hui parvenues, et encombrés comme nous le sommes de théorèmes, dont la mémoire la plus intrépide ne saurait même se flatter de conserver les énoncés, on servait moins utilement la science en cherchant des vérités nouvelles qu'en s'efforçant de ramener à un petit nombre de chefs principaux les vérités déjà découvertes. Une science d'ailleurs se recommande peut-être moins encore par la multitude des propositions dont se compose son domaine que par la manière dont ces propositions sont liées et enchaînées les unes aux autres. Or, il est dans chaque science certains points de vue élevés où il suffit de se placer pour embrasser d'un même coup d'œil un grand nombre de vérités que, dans une position moins favorable, on aurait pu croire indépendantes les unes des autres, et que l'on reconnaît dès lors dériver toutes d'un principe commun, souvent même incomparablement plus facile à établir que les vérités particulières dont il est l'expression abrégée.

» C'est dans la vue de confirmer ces considérations par quelques exemples assez remarquables que nous nous proposons ici d'établir, sur les points communs et tangentes communes aux courbes planes, situées dans un même plan, sur les lignes communes et points communs aux surfaces courbes, sur les surfaces développables qui leur sont circonscrites et sur leurs plans tangents communs, un petit nombre de théorèmes généraux, offrant une infinité de corollaires, parmi lesquels nous nous bornerons à signaler les plus simples ou les plus dignes de remarque. Plusieurs de ces corollaires sont connus depuis longtemps ; mais nous ne pensons pas qu'on eif rencontre autre part des démonstrations aussi simples et aussi brièves, et qui exigent aussi peu de contention d'esprit, que celles qu'on trouvera ici des théorèmes généraux qui les renferment tous.

» Comme il ne s'agira aucunement ici des relations métriques, tous nos théorèmes seront doubles. Pour en faire mieux saisir la correspondance, nous placerons dans deux colonnes, en regard les uns des autres, les théorèmes qui devront se correspondre, ainsi que nous l'avons déjà pratiqué plusieurs fois. »

Nota. — Ce qui suit, divisé en deux sections relatives aux courbes planes et aux surfaces courbes, contient, sans contredit, sous forme de doubles colonnes, la partie la plus originale des recherches géométriques de M. Gergonne, bien qu'elle soit une déduction fort simple de la méthode des multiplicateurs indéterminés do M. Lamé (Annales, t. VII, p. aag, septembre 1817). Dans la première section, l'auteur se sert, pour la première fois, des notions relatives aux polaires réciproques, aux intersections réelles, idéales (imaginaires) à distance finie ou infinie, établies dans le tome I* du Traité des Propriétés projectiles; mais la rigueur des propositions réciproques n'est pas justifiée directement , ce qui semble prouver que M. Gergonne en s'appuyant, sans en faire Taveu explicite, sur les doctrines de ce Traité que, en sa qualité d'algébriste, il avait tout d'abord condamné à l'exemple de Cauchy, se trouve ici obligé d'admettre le résultat de ces

(*) a rojrez la page 3i4 du précédent volume des Annales de Mathématiques. >

55a). C'est à ce titre seulement que je joins, au préambule dont il s'agit, la note insérée par M. Gergonne au bas de la page laS de Tendroit cité des Annales,

a Personne n'a été plus fâché que moi de voir M. Poncelel chargé de ce Cours ( il s'agit ici des leçons de Mécanique dont, à partir de janvier iSaS, j'avais été chargé à l'École d'application de Metz); je m'en suis expliqué à son ami le colonel Vainsol, dès qu'il m'en a donné la première nouvelle, et plus tard j'ai dit publiquement ce que j'en pensais (t. XVU, p. 274). Il ne manque pas en effet d'hommes propres à appliquer les sciences; et on ne saurait laisser trop de loisirs au petit nombre des esprits privilégiés qui peuvent en reculer les limites. Malheureusement tout le monde ne pense pas ainsi. La roue à aubes courbes de M. Ponceletlui a valu d'honorables récompenses, et sa théorie des polaires réciproques {Annales^ t. VIII, p. 201), bien que d'une tout autre importance, a passé pour ainsi dire inaperçue.

» Mais, parce que M. Poncelet est empêché de publier les résultats de ses recherches, s'ensuit-il que tout le monde sera tenu de se croiser les bras pour l'attendre? Je ne puis me persuader qu'il pousse l'exigence à ce point. »

Réponse à cette dernière phrase. — Non certes I mais, quand après avoir seulement sarclé, émondé, greffé, etc., sur le terrain péniblement défriché, labouré, semé et planté par son voisin, on vient à en récolter les fruits, il est de stricte justice de le déclarer sans réserve ni réticence ; à moins de braver tout respect humain, de renier Dieu et d'admettre, avec le Proudhon de 1 848, que la propriété c*est le vol, même pour les choses scientifiques et littéraires.

Au surplus, la façon dont le savant Recteur de l'Université de Montpellier a traité (t. XXI des Annales^ note de la page 181) M. Liouville, son successeur autorisé, en i836, dans la rédaction du Journal français, in-4°) de Mathématiques pures et appliquées; cette façon plus que cavalière suffit, et de reste, pour prouver que, même en fait de théories mathématiques de la chaleur^ aux yeux de M. Gergonne, le fond est peu de chose et la forme ^ lestyle^ presque roitf; jugement sévère ici mal appliqué, démenti par certains écrits de d'Alembert (Dynamique et Opuscules), et bien peu justifié par les Préliminaires d'un Cours de Mathématiques pures , plein de réminiscences philosophiques [Annales^ t. XXI, p. 3o5], parmi lesquelles je citerai celles de la page ia4, où M. Gergonne se montre imbu de Tespoir que a le genre humain est appelé, peut-être, à des des- » tinées que T imagination la plus brillante et la plus féconde pourrait à peine concevoir. Qu'estrce » au fond que cinquante ou soixante siècles, observe notre philosophe , que serait-ce même qu'un » million de siècles comparé à la durée possible des choses? > Cette doctrine alors admise dans la savante École de médecine de Montpellier, rivale de celle de Paris, depuis reproduite, et en quelque sorte vulgarisée, donnerait à l'homme pour ancêtres, soit le singe, avec ou sans queue, le têtard de la grenouille, soit l'un des mollusques les plus infimes de la création, Vhuûre avec ou sans écailles, comme me le soutenait en 1843 l'ex-ami de Gergonne, mon compatriote le D' Lallemand, le spirituel auteur du Hachich et d'anciens écrits beaucoup plus sérieux et surtout plus savants. Enfin, l'Univers, à tout jamais mystérieux pour nous, je le crains fort, serait, d'après ces philosophes matérialistes, non le résultat d'une volonté première de Dieu, l'étemel géomètre de Platon, de Newton, de Linné, de Cuvier, mais le produit fortuit ou spontané de Vincubation et de la transformation progrefiëive de» êtres. ^

C'est sans doute aussi d'après un sentiment de hautaine incrédulité envers les inventeurs, que le Rédacteur des Annales s'est cru en droit de gourmander Montucla (note de ^a page aa3 du tome XVn des Annales) d'avoir, contre l'avis de l'ancien philosophe Descartes, attribué au jeune Pascal le théorème de Vhexagramme mystique, que M. Gergonne prétend avoir démontré dans ses doubles colonnes, sans recourir à l'Analyse algébrique des Dupin et des Lamé.

elles-mêmes fort réservées, mais que des esprits hostiles ou mal informés ont trouvées sinon injustes, du moins pleines d'amertunve. Malheureusement l'étendue de Texamen analytique ci-après et de ce qui doit le suivre m'oblige, bien à contre-cœur, d'employer un caractère d'impression qui sera trouvé trop faible et trop fatigant pour certains lecteurs, auxquels je crois devoir en faire ici mes trèssincères excuses.

gum LIS PORISMBS d'buglidb et les collections mathématiques de pappcs, d'après la

TRADUCTION LATUfE ET LES COMMENTAIRES DE GOMMANDIN (BoUOniae, 1660).

Je me décide enfin, après bien des hésitations provenant de différentes causes, à donner une idée succincte de Tétude que j'avais entreprise dans Thiver de 181 7 à 1818, en vue de me faire une opinion personnelle sur les écrits géométriques des Anciens, principalement sur la question des Porisrhes, dont je voulais parler dans le tome I*' du Traité des Propriétés projectipcs des figures, et dont on ne s'était plus guère préoccupé eu France depuis Tépoque de Descartes et de Fermât (lettre à Pascal), du moins sous le rapport des interprétations et des discussions qui, un siècle après, sont devenues le partage pour ainsi dire exclusif de quelques savants de l'Angleterre. Ce exposé, quoique fort incomplet, me permettra de relever plusieurs observations critiques, indirectes il est vrai^ adressées à mes opinions dans des ouvrages postérieurs de beaucoup à la première édition du Traité des Propriétés proJecti^»es, et à propos desquelles je n'ai qu'une seule observation à faire : c'est qu'à aucune époque, et moins aujourd'hui que jamais, je n'ai eu l'intention d'intervenir dans les discussions déjà ^i anciennes, si obscures et à mon sens interminables, qui concernent Tinterprétation du texte grec de Pappus, plus ou moins mutilé ou intelligible en sol, ni par conséquent la prétention de trancher aucune des difficultés qui, dans ces derniers temps, ont été soulevées au sujet des Porismes d'Euclide, devenus l'objet de polémiques assez vives entre de savants géomètres d'un mérite incontestable :

Non nostrum inter vos tantas componere Utes;

car je ne suis ni un helléniste , ni un énidit de profession, et je possède encore moins le don de dtffination. Je me borne donc à présenter ici un extrait analytique de l'ancien manuscrit dont j'ai d'abord parlé.

Les Collections mathématiques de Pappus', qui ne sauraient être considérées comme une simple compilation et datent du iv* siècle de l'ère chrétienne , étaient divisées en huit Livres, dont les deux premiers sont entièrement perdus, et dont le huitième concerne la statique et les machines employées dans les arts par les Anciens. Les Livres m, IV, Y et YI n'offrent qu'un bien faible intérêt au point de vue qui nous préoccupe : ce ne sont, en quelque sorte, que des inventaires suivis d'exercices et de lemmes sur les ouvrages analytico-géométriques des Anciens, en majeure partie perdus. Cependant je remarque particulièrement ce qui suit dans le livre m (p. 12 à a6 j :

« Défirdtions, — Soient sur AB {/ig. 4^) les trois longueurs AB, BC et BG entre lesquelles on ait la proportion harmoniqne suiTante :