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par où l'on Toit que AG est divisée harmoniquement en C et B; division que Pappus apprend géométriquement à eonitmire au moyen de parties égales.

» Les Grecfl aTaient disUngrué plusieurs espèces de relations dans le genre de la précédente, auxquelles ils donnaient le nom commun de moyennes {medietas), mais qu'ils appelaient arithmétique , harmonique et géométrique, quatrième, cinquième,,.,, dixième, a Vanalogie, dit Pappus (p. 20 de la traduction latine B de Commandin), dérive de la proportion; mais le principe de toute proportion est une égalité, La 9 moyenne géométrique, donc, tirant sa première origine de l'égalité, elle se constitue elle-même et les il autres moyennes, en nous faisant connaître (comme le dit le très-divin Platon) la nature de Tanail logie, la cause de l'harmonie universelle et la source de l'ordre et de la raison. Platon observe en effet » qu'il n'existe qu'une seule chaîne entre les vérités mathématiques; mais la nature divine de l'analogie » (proportion) est la cause, l'origine et le lien de toutes les choses créées. »

B On voit d'après cela quelle importance les Anciens attachaient à ces sortes de relations, puisqu'ils croyaient qu'avec leur secours seul on pouvait enchaîner toutes les vérités, on propositions mathématiques. Mais, aujourd'hui que l'Analyse algébrique a fait de si grands progrès, on a reconnu qu'il existe entre les grandeurs diverses des lois beaucoup plus compliquées, plus difficiles à saisir, et qui ne sauraient constamment être ramenées à de simples analogies ou proportions. »

Uintroduclion du Livre Vil des Collections, le plus important de tous, fait connaître à Hermodore fils ce dont se composaient les ouvrages d'Euclide, d'Apollonius de Perge, d*Aristé TAncien et d'Ératosthènes, au nombre de trente et un Livres, connus sous le nom de Lieu résolu. An sujet de cette introduction, on ne peut trop regretter que le savant helléniste Peyrard n'ait pas étendu à Touvrage entier de Pappus, ses utiles traductions des écrits d'Archimèdo et d'Euclide, encouragées et payées, dit-on, par l'Angleterre, moins dédaigneuse que nous envers la Géométrie antique. Heureusement M. P. Breton (de Champ) nous a dédommagés de cette perte pour toute la partie si obscure, si laconique qui concerne le célèbre Traité des Porismes d'Euclide; car notre savant compatriote nous en a livré ( Journal de Liouville, t. X, i855) une traduction française exempte des commentaires et des altérations ou interprétations que Commandin avait fait subir au texte, aux figures et aux énoncés; altérations que j'avais moi-même remarquées dans mes Notes manuscrites de 181 7-1 81 8.

Je ne transcris point ici les passages de ces Notes où, tout d'abord, j'ai vainement tenté de traduire, pour m'en faire une idée personnelle, ce que Pappus dit des trois Livres des Porismes d'Euclide ;ie ferai seulement observer que, malgré les vices de la traduction de Commandin et les lacunes qu'elle présente, je n'avais pas eu trop de difficulté à comprendre les énoncés des théorèmes dont Pappus fait suivre son exposé relatif aux Porismes. Ces énoncés se rapportent à une classe de lieux plans ou à la ligne droite aujourd'hui bien connus, que cet auteur présente comme le résumé de tout le premier Livre d'Euclide ; mais les deux Livres suivants ne lui semblent pas susceptibles d'un tel résumé à cause du manque d'exemples ou d'applications des principes. Peu satisfait d'ailleurs de ses généralisations relatives au contenu du premier Livre des Porismes , Pappus ajoute modestement (p. 246 de la traduction de Commandin) :

« Euclidem vero non verissimile est ignorare hoc^ sed principium dumtaxat statuere, et in omnibus » porismatibus apparet principia, et seminaria sola multarum, ac magnaruro roultitudinum ab eo jacta, » quorum vnumquodque non juxtapositionum differentias distinguere oportet, sed juxta differentias » accidentiiim et quœsitorum. Et positiones quidem omnes inter se differunt, cum specialissimœ » sînt, accidentium, vero et quaBsitorum vnumquodque vnum, et idem existons multis positio- » nibus differentibus contingit, eo quod génère sint eadem. » (Passage aussi explicite que facile à interpréter et à saisir, comme on le verra plus loin. )

« Quant k l'extension que Lhuilier de Genève (Éléments d* Analyse géométrique, 1809) a donnée aux énoncés qui précèdent les réflexions ci-dessus de Pappus, non-seulement elle ne peut être regardée comme la véritable interprétation du passage qui s'y rapporte, mais on peut même démontrer qu'elle est fausse, et d'ailleurs, Pappus n'entendant parler que de droites qui ne se coupent qu'au nombre de deux on chaque point, exclut par là les diagonales qui, avec les côtés adjacents, font trois droites passant par un même point. C'est donc à tort que cet auteur reproche à Robert Simson d'avoir oublié le cas où l'on envisage le lieu des points de rencontre des diagonales (voyez p. 107 et suiv. de l'ouvrage de Simon Lhuilier).

4oo PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

Le Livre VII des Collections dont il s'agit ici contient 238 propositions et 222 théorèmes ou problèmes constituant , à la réserve de quelques-uns d'entre eux, autant de lemmes afférant aux divers écrits géométriques mentionnés dans la préface, et dont les plus intéressants, au point de vue qui nous occupe, au nombre de 38, sont relatifs au Traité même des Porlsmes (PortS' maton libri III). Les plus importants de ces lemmes se trouvent rapportés , discutés et interprétés dans mon manuscrit de 181 7- 181 8, et je ne saurais les transcrire ici en entier à cause de la place qu'ils prendraient dans cette Section supplémentaire, bien que leur caractère, fort intéressant à mes yeux, concerne la projectivité de certaines relations métriques ou descriptives des groupes de points ou de lignes droites coupées par d'autres droites ou un cercle; propositions, redisons-le, dont Commandin, peut-être même Pappus, restreignent, mutilent parfois les énoncés, les démonstrations ou les figures. Ces relations, ces propriétés, en effet, se reconnaissent facilement pour appartenir à la théorie des transversales, et satisfont toutes, comme telles, aux règles établies dans les n** 8 et suivants du tome I"^ de ce Traité.

Aujourd'hui encore, il n'est pas aussi facile qu'on le pense de deviner à première vue , ou sans quelque contention d'esprit, si les figures dont il s'agit, à angles saillants et rentrants, appartiennent véritablement à un même type. En particulier, il en est ainsi de celle qui se rapporte à l'hexagone inscrit au système de deux droites que Pappus fait apparaître à nos yeux dans une succession de lemmes sous une forme invariable, quoiqu'il semble bien certain qu'Ëuclide entendît embrasser toutes les formes possibles sans changement fondamental des énoncés.

A ce propos, qu'on me permette de remarquer, ce que Ton verra mieux dans l'un des Articles subséquents, qu'aucune des figures et des propositions mentionnées par Pappus ne se rapporte à celles qu'on pourrait en déduire par voie de réciprocité polaire^ mais non de simple dualité; car ici cette dualité factice et boiteuse, puisqu'elle n'est que linéale et descriptive, serait absolument sans application ; ce qui laisse en dehors toute une classe de théorèmes élégants et élémentaires échappés aux Anciens, et mémo à ceux des modernes qui ont témoigné trop de dédain pour la théorie des polaires réciproques, et se sont efforcés de la remplacer, de la travestir sous des prétextes divers. Il y a plus, nos géomètres hellénistes ne paraissent pas avoir songé que les propositions et les lemmes de Pappus, d'après la traduction latine de Commandin, se rapportent à un état rudimen taire qui s'accorde assez peu avec la préface si élogieuse du Traité d'Euclide par Pappus. Enfin, le passage latin rapporté ci-dessus semble signifier, selon ma façon de voir et de comprendre , mais rien de plus, que , dans ce Traité, un même porisme s'applique à des positions diverses des objets de la figure, et se distingue de tout autre, non par la différence des accidents, mais bien par la nature des choses cherchées ou à démontrer.

En particulier, cette dernière supposition devient évidente à l'égard des huit figures qui accompagnent la page 36i-36a (théor. CXIX, propos. CXXX, lemmelV) de l'ouvrage de Commandin, toutes relatives au quadrilatère plan GHKLG [fig, 48, 49, PL F)^ à deux diagonales HL, GK, de formes diverses, et coupé par une droite transversale arbitraire ABCDEF où se comptent les divers segments; figures dans lesquelles la droite KNM, parallèle à AF, sert d'auxiliaire pour la démonstration. Ces huit figures, que je crois fidèlement extraites par Pappus du Livre I*' des Porisme^ d'Euclide, semblent en effet, sous un énoncé et une démonstration uniques, se rapporter à des propriétés projectives distinctes, bien qu'on puisse les considérer comme appartenant diversement à la projection centrale ou perspective, sur une droite quelconque, dç Tun des triangles dans lesquels les diagonales divisent le quadrilatère considéré, en prenant pour centre de projection le quatrième sommet de ce quadrilatère : soit ici le triangle LHK choisi pour exemple par Pappus, et qui se trouve projeté, à partir du sommet opposé G, sur la transversale ABCDEF ; ce qui , d'après la démonstration fort simple de cet auteur, fondée sur la similitude des triangles que détermine l'auxiliaire KN, conduit à une proportion équivalente à l'égalité