AD.BC.EF

AB.FC.ED

SECTION SOPPLÉMENTAIRE. 4o3

parlé, et par lequel Pappus résume le Livre V^ des Porisraes, dont l'analogie avec la théorie dea polygones mobiles ou variables (applications d* Analyse et de Géométrie, t. H, p. i è 66) est évidente; car cette théorie comprend outre les propositions de Pappus sur les lieux à la ligne droite, commentées par Robert Simson et Lhuilier (de Genève), celles qu'on devait à leurs prédécesseurs Maclaurin, Braikenridge ou à d'autres, qui ne se doutaient guère sans doute, grâce à Lahire, de l'affînité de l*»urs idées avec celles de Desargues et de Pascal [voyez aussi Propriétés pmjWtives, 1. 1"", Sect. IV, Chap. Il et ITI).

Cependant, je dois l'avouer, aujourd'hui encore et malgré toutes ces indications, les définitions à priori de Pappus sqr le sens attaché par les Anciens au mot poHsme, même en tenant compte des rectific<n tiens apportées à la traduction latine de Commandin, ces définiiions et leurs commentaires sont demeurés pour moi d'une obscurité profonde, de véritables énigmes que je me garderai bien d'essayer de débrouiller après tant d'autres plus érudits que moi. Je me borne donc à déclarer que mes idées à ce sujet sont restées ce qu'elles étaient lors de la publication de mon ouvrage de iSaa, après avoir consulté, non le Traité posthume de Robert Simson, alors à peu près inconnu en France et même en Angleterre, mais bien un écrit du géomètre allemand AbrahamGottbelf Kaestner (*), qui contient une analyse fort bien faite de cet essai d'inlerprélation des porismes; analyse dont je conserve la traduction parmi mes papiers, mais que je ne saurais rapporter ici malgré sa faible étendue relative; car elle ne comporte que onze pages in-octavo d'un texte allemand qu'accompagnent, il est vrai, des notes historiques et bibliographiques fort intéressantes. C'est pourquoi je me borne à transcrire ici un passage de l'art. 12, p. 73, qui contient le jugement de Kaestner même sur cette restitution ou divination, par R. Simson, du texte grec de Pappus:

« Je me félicite d'avoir amené quelques sujets d'exercices géométriques, en faisant connaitre ce que Ton B entend par le nom de porisme parmi les géomètres.

» Quand Simson Tient à dire qu'il avait, avec beaucoup de peiue, débrouillé quelques propositions » énoncées par Pappus, ex quibus prasstantiam Porismatum, et quant maxime eornm jactura geometris » deploranda sit dignoscere licet, je pense alors : Des enfants qui sont infiniment plus riches que n'étaient » leurs pères, et qui possèdent beaucoup plus do ressources qu'eux pour acquérir des richesses, ne » devraient pas pleurer aussi amèrement la perte d'une part si médiocre de leur héritage. »

Toutefois, je ne puis m'associer entièrement à ces paroles dédaigneuses de Kaestner qui ignorait, il faut le dire, aussi bien que Fermât^ Simson et d'autres, le développement prodigieux qu'ont reçu dans ces derniers temps les idées, les inventions d'£uclide^ de Desargues et de Pascal sous le nom de Géométrie moderne.

Addition relatif aux réciproques des porismes, aux faisceaux projectifs, à Lahire, à Desargues,

à Pascal et à Apollonius,

Parmi les tl^orèmes élémentaires inconnus aux Anciens et qui appartiennent À la réciprocité polaire, mais que la dualité de situation ne suffirait pas à démontrer, & découvrir directement, je citerai celui que l'on attribue ordinairement à Jean Bernoulli, et qui est relatif au triangle des sommets duquel on abaisse, sur les côtés opposés, trois droites issues d'un point quelconque de son plan {Propriétés projectives, t. I, 1833, n** 158), théorème déjà connu de Desargues, mais qui s'étend (n^ 159 du même ouvrage) à un polygone quelconque d'un nombre impair de c6tés; car, d'après nos principes (t. Il, Sect. II,. n<*.120), oes théorèmes sont précisément les réciproques polaires de ceux qui se rapportent au triangle et au polygone plan coupé par une transversale arbitraire. Il y a plus : la relation projective des groupes de segments relatifs à la figure primitive ou à sa réciproque, existe aussi entre les sinus des angles des' droites projetantes qui rayonnent autour du point arbitraire représentant le p6le de la transversale dont il s'agit.

Le cas le plus élémentaire do cette réciprocité polaire est évidemment celui de la division de la ligne

(*) Geometrische Ahhandlungen (erste Sammlung), Gœttingen, 1790 {wjyez p. 64» *«/• l'idée des Porismes, principalement d'après R. Simson).

4o4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

droite eii parties harmoniques ; ce qui fait retomber sur la propriété du faisceau de quatre draitet harmonicaies, selon la bizarre appellation de Lahire : les mêmes doctrines (Sect. I et II de ce Yolume), appliquées aux relations projectiires à six ou huù segments de points en ligne droite, mentionnées au début de cet article (p. 4oo) comme appartenant, d'après Pappus, à la section déterminée des Anciens et dont le développement théorique et les appellations non moins étranges par Desargues ont été, quant au fond, si injustement critiqués par Beaugrand, ces doctrines, disons-nous, conduisent aux diverses propriétés des faisceaux, simples ou doubles, de droites rayonnant autour d'un ou de deux points, propriétés aujourd'hui bien connues des géomètres.

En outre, si on les applique aux autres lemmes ou poriames de Pappus et d'Euclide, par exemple au lemme X (p. 366 des Collections et 4oi ci-dessus), on obtient des relations métriques projectives du quadrilatère complet sans diagonale et à six sommets, en regardant comme tels les deux points de concours des côtés opposés de ce quadrilatère ; relations dans lesquelles le point représentatif du pôle de la transversale primitive, pris pour centre de projection des six sommets du nouveau quadrilatère, donne entre le sinus des six angles correspondants une égalité (relation d'involution ) analogue à celle de segments compris sur cette transversale ; or, de là il suit, d'après les principes du tome \^' ( n*** 9 et suiv. ), que la même relation d'involution a lieu aussi entre les six segments fournis par les lignes rayonnantes ou projetantes sur une droite entièrement arbitraire, et peut recevoir diverses positions relativement aux côtés et aux sommets du nouveau quadrilatère; absolument comme dans la /ig, 5i du lemme X de Pappus, où le quadrilatère n'a que quatre sommets, mais deux diagonales.

Les lemmes correspondant vaxjig, 48, 49 et 5o de notre Pi, VI donnent lieu à des réciproques tout aussi remarquables, mais que je me dispenserai d'énoncer ici, parce qu'ils se rattachent à des théories élémentaires, non moins connues et ayant pour principal but de se substituer au lieu et place de celles du Traité des Propriétés projectiles (ifojrez les Articles suivants).

Enfin, ce qui est bien plus remarquable encore puisqu'il s'agit d'une simple dualité de situation, ces mêmes doctrines, étant appliquées aux lemmes de la Jig. 5a relatifs à l'hexagone inscrit à deux droites, conduisent à ce théorème réciproque, qui jusqu'ici a peu attiré l'attention, si ce n'est de Jacob Steiner, dans l'ouvrage allemand de i833 (p. 83 et 86) dont il sera bientôt question, et où l'auteur multiplie l'emploi des énoncés à doubles f colonnes, non sans avoir eu recours à la formule et aux principes de transformation des n^ 9 et suivants du tome I**" du Traité ci- dessus de i8ia.

Si Ton prend (/ig. 55, PL Vf) deux points A et B pour centres ou pSles respectifs de deva. faisceaujt, formés chacun d'un système de trois droites arbitrairement tracées dans un plan passant par les centres ou pôles A et B, ces faisceaux de trois droites chacun formeront par leurs rencontres mutuelles un réseau quadrilatéral à neuf sommets a, b, c, </, e, /, g. A, 1, parmi lesquels en en choisissant à volonté six, tels que leur ensemble hexagonal ab/edha, formé alternativement de trois des côtés mêmes du réseau, à directions convergeant au point A, et de trois autres côtés qui convergent au point B, il arrivera naturellement que les diagonales bd, ae, hf qui joignent les sommets opposés de cet hexagone iront elles-mêmes eontergsr en un autre point non donné par la figure.

La même chose pouvant se dire d'ailleurs de tout autre hexagone formé sous des conditions analogues, en échangeant entre eux les nœuds ou sommets du réseau, il en résulte que le nombre de tels hexagones distfnels est réellement multiple; remarque applicable également au lemme fondamental de la ^^. Sa, ettpmiltéé à Pappus, mais que je me garderai bien de développer et de justifier pour ne pas tomber dans les considérations de la Géométrie €ombinatoire de Steiner.

Au sujet de Tacadémicien Pfa. de Lahire, qu'on me permette de rappeler que son père (Laurent Lâliir«), peintre et aaii du célèbre graveur Bosse, élait,'comme ce dernier, élève de Desargues et de Pascal; que par coaséquent il a dû aToir «ne exacte eonttaissence des écrits originaux de ces célèbres géomètres, AOQt U ne noui reste que des fragmenta imparfaite {Introduction au tome I*** de ce Traité, p. bli 0iMtt.)}qiiet trè»>pr»bableacBt Muai, Pk. de Lahire possédait ces éofits îi l'époque de 1673 où il publiait wm Plùfiieùmquës, el, à fortiori , lorsque, en |685, û faisait imprimer aon Traité in-folio sur loi ooniqÊSot, dont les réticences faciles à remarquer dana là préface latine et le commentaire interprétatif et comparatif (p« 316 à 344) *"' 1m coniques d' Apailoniaa de Ptrge» suffiraient seuls pour démontrer que ce Lahire fils, bien qu'académicien, n'était qu'un vulgarisateur privé du génie de l'invention et très-habile à s'approprier les idées d'autrui, comme il en existe encore de nos jours, qui, selon la maxime des Gergonne, pensent que la /«nue têmpono sur U/ond; ce q«l Ml parCsitimeat eiàct quand ft t^n^ de ces Talgarisationa élégantes et modestes, en elles-mêmes fort utiles, mais non quand on y pt^taad âa titra 4Pinte&têiir, at

qu*OD dÎMimule, k propos de doctrines fondamentales, les noms des vrais initiateurs, comme l'a fait Lahire dans ses divers écrits géométriques.

Ainsi, notamment, il est bien certain qu^Euclide, Apollonius et Pappus n'ont jamais employé dans leurs énoncés et démonstrations les mots de proportions, de divisions harmoniques^ et c'est gratuitement que, à cet égard, Labire s'appuie de l'autorité de leurs noms et de leurs œuvres, d'autant jplus qu'ils ne 80 sont nullement occupés de ces quadrilatères inscrits ou circonscrits aux coniques, du pâle et de la polaire dont lui-même, Ph. de Lahire, a longuement expose les tbéoriesaux trois premiers Livres de son Traité de i685; tbéories que, d'après les énoncés de la lettre de Leibnitz à la famille Périer, on reconnaît aisément pour appartenir aux Cbapit. III et IV du Traité des coniques de Pascal, de i65/|. C'est ce dont, au surplus, on s'assure facilement en comparant ces énoncés avec ceux des pages lo et i4 de l'ouvrage cité de i685, dont Xoifig, jq et 60 de notre Pi. fV offrent la copie exacte, mais qui n'ont qu'un rapport indirect avec celles des pages 197 et suivantes des Coniques d'Apollonius {voyez la traduction latine d'Halley); tandis que ces dernières concernent exclusivement la division harmonique des sécantes issues d'on p6]e ou point fixe arbitraire, comme dans les Collections de Pappiu que nous avons interprétées graphiquement dans \e& fg. 54 et 58 de la même Pi. VI ^ et qui sont à quelques égards plus complètes que celles d'Apollonius dont, je le répète, aucune n'a trait aux quadrilatères.

QUELQUES MOTS SUR L'àGCUEIL FAIT A l'ÉTRANGER AUX IDÉES ET AUX DOCTRINES DU TRAITÉ DES PROPRIÉTÉS PROJEGTIVES DES FIGURES.

Cette tâche serait pour moi aussi délicate que pénible si, tout en laissant de côté notre France scientifique et même la Belgique, naguère encore pays de contrefaçon et de contrebande littéraire qui, sous une décevante liberté de tout dire et de tout faire, el sous le patronage de l'aristocratique et Jalouse Angleterre, oublie sa glorieuse origine gauloise, ses instincts naturels et ses véritables intérêts matériels, cette tâche, dis-je, serait pour moi comme impossible même en laissant de côté la France et la Belgique, si je devais étendre mes investigations jusqu'à Tépoque actuelle ou beaucoup au delà de i83o, et si je n'avais déjà, dans les tomes I et II des Applications d^ Analyse et de Géométrie, donné quelques indications touchant le but que je me propose actuellement d'atteindrç ; enfin, si je devais prolonger cette enquête historique en dehors de l'Allemagne du Nord, seule contrée où, avant 1840-45, on eût prêté une attention sérieuse à un genre de questions qui se rattache bien plus à la philosophie qu'à la scolastique des études.

En effet, l'Angleterre et l'Italie elles-mêmes, ces nations aujourd'hui si avancées à certains égards, se trouvaient alors plongées dans cette sorte d'engourdissement et d'indifférence qu*amène avec elle la culture exclusive du calcul algébrique ou de la lourde synthèse géométrique des Anciens, jusqu'à l'époque précitée où les Trudi (1840), les Padula (1844), les Bellavitis (i85i), les Cremona (i86a) en Italie; les Hamillod, les Cayley, les Sylvester en Angleterre, et surtout le loyal et docte Salmon, cet interprète bienveillant et lucide des nouvelles doctrines algébrico-géométriques, éveillèrent, quoique tardivement, dans ces pays illustrés par tant de grands hommes et de grandes choses, le goût de la moderne Gréométrie, émanée de l'École dé Monge et depuis longtemps introduite dans les institutions polytechniques de l'Allemagne (PolftechniÂschtde). Peut-être même auraient-ils ignoré l'existence de cette Géométrie longtemps après 1840 s'ils n'en avaient pris un aperçu dans les publications de Bruxelles^ cette capitale demi-anglaise d'un pays violemment séparé de la France en 1814, Géométrie dont le philosophique point de départ date en effet de TËcole de Monge^ ou plus particulièrement, comme je l'ai tant de fois répété, de 18 17, 1820, 1822, 1824 et i83o à i83i; Géométrie enfin qui, à partir de 1827 ^^ '^^^ seulement, a été cultivée, développée et propagée avec un succès incontestable par les Sturm, les Gergonne, les Bobillier et les Chasles en France ou en Belgique, par les Moebius, les Steiner, les Plucker et les Jacobi en Allemagne.

Qu'on me permette à cette occasion de présenter quelques réflexions qui, en apparence étran-

4o6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

gères au but de cet ouvrage, ne s'y rattachent pas moins de la manière la plus intime, et ne sont point en elles-mêmes d'ailleurs dt^nuées de tout intérêt scientifique.

Depuis l'époque de i8i5, Tesprit de rivalité et de nationalité s'est développé chez nos voisins en haine de la Révolution française et du grand homme qui, présidant à ses destinées, fut si mal apprécié dans ses projets d'émancipation et de progrès civilisateurs, projets rudement combattus par les gouvernements arriérés et les savants mêmes des divers pays moins avancés «idministrativement, politiquement que le nôtre, pays qui s'étaient montrés naguère aussi injustes, aussi ingrats envers Frédéric II de Prusse , cet autre grand homme non moins absolu que Napoléon I*' et n'admettant que le latin ou le français comme interprètes des hautes questions de sciences philosophiques, politiques ou diplomatiques en Europe. Ces gouvernements réactionnaires de i8i5, passionnés et bien autrement despotiques, ont amené dans le domaine des lettres et des sciences, même entre les Académies, une sorte d'isolement, de confusion des langues qui rappelle la tour de Babel, et dont le cosmopolitisme industriel ou mercantile, les télégraphes électriques, les chemins de fer, la navigation à vapeur, etc., ne parviendront pas de longtemps à nous faire sortir, je le crains fort.

Du reste, depuis le siècle de Frédéric le Grand et la fondation de l'Académie des Sciences de Berlin sous les auspices de Voltaire, de Mauperluis, de Diderot, de d'Alembert, etc., lo gouvernement, sinon le peuple un peu arriéré de Prusse, n'a pas cessé de sympathiser avec les idées françaises, je ne dis pas au point de vue politique, à cause des ménagements dus à des puissances rivales et jalouses, du moins philosophiquement et scientifiquement, comme le prouve le séjour de notre grand citoyen Carnot à Magdebourg en i8i5. Je ne doute nullement que ce soit à cette même* sympathie autant qu'à l'intervention de l'illustre voyageur physicien Alexandre de Humboldt que MM. Arago, Biot et moi-même, qu'on me permette de le rappeler ici, avons dû l'honneur de faire partie de cette pléiade d'illustrations scientifiques et artistiques qui constitue l'ordre du Mérite de Prusse, sous le patronage du Roi et l'invocation de Frédéric II; ordre dont les titulaires ont préalablement passé sous le contrôle et l'élection de l'Académie des Sciences de Berlin, où, comme à l'Institut de France, l'intelligent et bienveillant appui de l'amitié est souvent nécessaire.

Je n'oublie pas d'ailleurs que, dès le printemps de iBoB, alors qu'étant à l'infirmerie de l'École Polytechnique atteint d'une longue maladie qui me fit perdre une année d'études, j'ai acquis l'amitié de M. de Humboldt qui, en attendant le résultat de ses expériences faites en collaboration de Gay-Lussac au laboratoire de cette École, condescendait à s'entretenir familièrement avec l'élève de l'infirmerie, dont ce grand philosophe ami d'Arago déjà professeur de Géométrie analytique, a conservé un assez long souvenir pour continuer la môme bienveillance à cet élève et lui en donner témoignage, tant lors d'un séjour à Metz, où il s'occupait d'observations sur le magnétisme terrestre, qu'à l'époque plus rapprochée de son passage à SaratolT, au retour d'un voyage d'exploration en Asie, où il s'enquit de Tex-prisonnier de guerre des Russes.

Enfin, je me rappellerai toujours avec reconnaissance les entrevues et les entretiens que, avant et après i83o, j'ai eus avec le célèbre Associé de l'Académie des Sciences de Paris, soit chez notre ami jcommun Arago, soit chez l'honorable général Baudrand, soit chez moi-même où je pus librement le solliciter en faveur de Jacobi, l'illustre professeur exilé à Kœnigsberg, et de Jacob Steiner, alors professeur agrégé (privat-docent) à Berlin, réduit aux plus minimes rétributions universitaires. Là, comme dans sa spirituelle correspondance intime et scientifique, j'ai trouvé en Alexandre de Humboldt un ami et un protecteur dévoué, qui n'a pas toujours eu, malheureusement pour les sciences, près du ministère de l'Instruction publique à Berlin, toute l'influence qui était due à sa haute renommée dans les deux mondes; renommée qu'il employait^ à Paris ainsi qu'à Berlin, à plaider chaleureusement la cause de ses amis scientifiques, au nombre desquels je pourrais citer quelques-uns de mes illustres confrères à l'Institut.

C'est encore, je n'en doute nullement, au baron A. de Humboldt que sont dus les encouragements et la protection qui furent accordés à l'excellent et savant D^ Crelle pour la fondation du Journal

de Mathématiques pures et appliquées; ce qui peut expliquer le favorable accueil fait dès Tannée i8a6 à mes travaux de diverses natures, mentionnés ou insérés dans cet utile et honnête journal, et Tamitié sincère que m'a dès lors et depuis témoignée l'honorable D*" Crelle, dont il m'est interdit de rapporter ici les bienveillants articles bibliographiques; amitié qui ne fit que s'accrotlre lors du séjour de ce savant à Paris, en juillet i83o, où il se trouva seul et étranger au milieu de la terrible crise sociale subie à celte époque par notre turbulente capitale.

D'ailleurs, je n*ai absolument rien à dire des époques antérieures à celle de 1822, à partir de laquelle on put prendre connaissance du Traité ries Propriétés projcctivcs partout où l'on cultivait les Sciences mathématiques; mais je dois ici le répéter, ce fut pour moi un véritable bonheur que l'apparition A\x Journal de Crelle en janvier 1826, au milieu des discussions inconcevables que mon ouvrage avait fait naître en France.

En effet, malgré l'appréhension que devaient lui inspirer les critiques et les dénis de justice d'hommes aussi considérés alors que GergonneetCauchy, mal<:ré l'esprit de rivalité qu'il risquait de provoquer dans son propre pays, le bon et loyal D*^ Crelle osa annoncer avec éloge, dès le premier numéro de son recueil (t. I**", janvier 1826, p. 96), le Traité des Propriétés pmjcctives des figures^ dans un article bibliographique remarquable sous le rapport du courage scienlifique et de l'équité. Mais, pour ne pas trop éveiller la susce[>tibililé de son jeune collaborateur, ïff. Steiner. il fut induit à admettre que 1824, époque probable des études analogues de ce géomètre, était très -voisine de celle de mes propres publications, de 1817 a 1822 : cet acte de bon vouloir a dû confirmer dans leur erreur bien des auditeurs des leçons de Tingénieux disciple des Pestallozzi en Suisse et desMœbius à Leipzig, lorsque Steiner aDDrmait (Crelle, t. P', p. 162) n'avoir rien emprunté aux auteurs français avant 1826, où le docte Journal lui fit faire connaissance avec le Traité des Propriétés pmjertis^es, et n'avoir jusque-là consulté que les écrits antérieurs à cet ouvrage ; ce que je consens à accorder pour tout ce qui 'concerne les problèmes de Pappus, d'Apollonius, de Viète, de Malfatti, etc. (Crelle, t. I*', 1826, p. 161), c'est-à-dire pour le contact et Tintersection mutuels des cercles sous des angles donnés : problèmes incomplètement résolus avant M. Steiner et fort amplifiés de nos jours, mais non pour tout ce qui a trait aux propriétés projectives des courbes, des cônes et des surfaces du deuxième degré qui s'entrecoupent sur un plan ou dans l'espace, autres problèmes dont Steiner parle aussi dans un premier Mémoire [ihid.^ p. 38 à 5o). C'est là, en efl'et,*de la belle et bonne Géométrie de l'École de Monge, alors comme aujourd'hui peu cultivée en Allemagne, en Italie et en Angleterre par les algébristes purs. Mais cela prouve seulement qu'à la date de novembre 1826 où il publiait ce premier Mémoire, date postérieure de trois années à celle de 1822, l'esprit intelligent et fertile de Steiner s'était rendu familières les doctrines géométriques et analytiques qui appartiennent à cette célèbre École. Or, si cela est évident d'après ses propres citations, cela ne prouve nullement qu'il n'eût aucune connaissance avant 1825 du Traité des Propriétés projectives, ainsi qu'il le prélend à la page 162 du journal précité. Pourquoi donc, devenu professeur à la savante Université de Berlin, s'est-il écarté, dans ses écrits postérieurs, de cette voie géométrique élégante et facile? Serait-ce pour éviter des aveux pénibles au point de vue de ramour-propre?Ce que je vois seulement à la lecture de ces mêmes écrits, c'est que, sauf dans les dernières années, il a constamment évité de citer aucun des ouvrages français qui ont pu servir historiquement ou philosophiquement de guide à ses propres études sur la matière.

Quant à M. Mœbius, dans sa longue introduction au Calcul harycentrique publié en 1827, cinq années après le Traité des Propriétés projectives et postérieurement aussi aux premières recherches de Steiner, il no semblait pas non plus avoir connaissance de ce dernier ouvrage ni de ceux qui l'ont précédé à dater de 1817, bien qu'il cite d'après Gergonne, ou plutôt d'après l'article apocryphe du Bulletin Férussac rapporté à la page 379 ci-dessus^ divers théorèmes de la Géométrie de la règle ou des transversales, ici démontrés par une méthode de transformation eoUinéaire (Collineations Fenvandschaft) tirée de la doctrine des moyennes distances qu'on doit

i Caraot et à Lhuilier, de Genève, et que M. Mœbius applique à trois ou quatre points fixes noroméf fondamentaux y auxquels il en rapporte un dernier variable, supposé joint aux précë^ depts par un ensen^ble de droites qu'il nomme réseau (neiz), et qui, par des relations purement linéaires à coeflBcienls numériques arbitraires (tenant lieu de masses)^ permettent à Fauteur de transformer certaines relations à deux termes et certaines figures les unes dans les autres, à peu près comme dans notre théorie des polaires réciproques que Mœbius, d'ailleurs, ne paraît pas ou ne veut pas connaître, bien qu'elle remonte à 1 817 (t. VllI des Jnnales de MontpelUer) et qu'elle contienne en réalité la première démonstration du principe de dualité.

Au surplus, ce n'est que beaucoup plus tard (en 18^19) que le même Mœbius, dans le tome IV, p. loi, du Journal mathématique de Crelie^ recourt à d'autres démonstrations analytiques moins nuageuses et plus directes, stimulé en quelque sorte par les exemples de MM. Bobillier et Plucker, mais sans doute aussi après avoir pris connaissance dans le même recueil (t. m, p. 21 3, et iV, p. i) de mes deux Mémoires de mars et avril i8a4 (Sect. I et II du présent volume), dont le dernier, accompagné d'une note par le timide rédacteur du Journal de Berlin^ montre l'-espèce de fascination et d'intimidation exercée par son prédécesseur M. Gergonne. Cela me semble évident d'après la page 1 1 1 du Mémoire cité de M. Mœbius, où les faits, les preuves sans réplique ne manquent certainement pas : la mention même faite à la page ao5 du tome m du Journal de CreUe démontre que, dès 1828 tout au moins, on avait connaissance en Allemagne de la théorie française des polaires réciproques, que feu Steiner invoquait à son tour pour la démonstration d'un théorème sur les surfaces du second degré.

Quant au calcul harycentrique même de M. Mœbius, je dois rappeler ici qu'il contient, sur la loi des signes dans les relations métriques à deux termes de la théorie des tranversales, une doctrine que je suis loin d'approuver au point de vue de la Géométrie antique ou moderne, et dont les contradictions deviennent surtout manifestes dans les égalités projectives à quatre, six ou huit segments rangés sur une même droite, ^lités dont l'auteur s'était, dès 1827, occupé et parmi lesquelles je remarque principalement ce qu'il nomme DoppelschnittsverhœUniss (rapport de double section), à quoi Steiner, dans son ouvrage de i832, ajoute avec raison Tépithète ^^ projective^ en observant que ces relations, déjà connues de Pappus ou d'Euclide, ont lieu entre les sinus mêmes des angles correspondant aux divers segments dans le faisceau des droites rayonnantes ou projetantes(*).

Ainsi, dans l'intervalle de i8a6 à 1829, cette théorie de la réciprocité polaire, ou la dualité qui prétend en tenir lieu, avait fait des progrès en Allemagne comme en France.

Déjà aussi on connaissait à Berlin mes revendications de priorité qu'avait provoquées le Mémoire de 1827, à double colonne, de M. Gergonne (p. 363 à 378]^ et M. Plucker, dans un premier volume intitulé : Développements analftico-géométriques [Jnaljrtische geometrische Entîvicke^ lungen\ Essen, 1828), avait traité algébriquement, avec une certaine franchise (préface) et par des méthodes qui lui sont propres, mais dérivées de l'ancienne Analyse des coordonnées de Descartes, la théorie de l'intersection et du contact mutuel des cercles et des coniques, de leurs sécantes communes (c/iordales), de la réciprocité polaire, etc., théories, questions géométriques qui constituent spécialement l'objet du tome I^ des Propriétés projectives, et à l'occasion desquelles M. Plucker reproche, non sans quelque raison, à son compatriote Steiner d'avoir marché sur mes traces (fusstapfen) : reproche trop général sans doute et contre lequel l'indulgent D** Crelle

( * ) ^oyejc le tome !•' du présent ouvrage, n^ 6 et suiv. ; inf^ez aussi mes applications d'Analyse et de Géométrie, publiées en 186a, 1. 1^^*, p. 4^ à 498, et t. II, 1864, III" Cahier, où j'ai non-seulement combattu U loi des signes géométriques de M. Mœbius, adoptée sans discussion par M. Chasles (i853), mais aussi ses singullôres prétentions et celles de Steiner à certaines doctrines du Traité des Propriétés projectives des figures (t. I*'', 1823). Voyez enfin dans ce Trait4 Ves notes des pages 4i3à4i4} 41?^ 4i8, ainsi que cellet du tome II (p. 359 à 36o), où il est «paiement fait mention des savants écriu.de ces géomètrea^

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 4i5

» degré en a 24» une du cinquième 120, une du sixième 824» une du septième 700, et qu'il aTait trouTé » la formule en question après avoir découvert la relation qui existe entre le nombre des tan^ntes dou- ■ blés et le nombre des points d'inflexion. Or, on voit maintenant que la formule trouvée par vous » établit précisément cette relation, et si c'est l'équation (i) qui doit être admise, on trouve précisément, » en y faisant ^ = 3 m (m — 2),

» qui concorde bien avec les résultats indiqués par Steiner. »

Cette lettre, de juin i844f qui m'a été transmise par M. Dufresne, ingénieur des Ponts et Chaussées de France, fut suivie, en date du 29 octobre i8/|4, d'une seconde lettre de M. Padula, à qui sans doute ma réponse n'était point encore parvenue, réponse dans laquelle je me prononçais affirmativement pour la formule 2x4- 3^ = m* (m —2), c'est-à-dire de l'hypothèse des trois cordes ou tangentes réunies en une seule au point d'inflexion, conformément à la manière d'entendre le principe de continuité qui n'a jamais varié chez moi. Pour cela je n'avais pas besoin de prendre connaissance de l'article inséré à la page io3 du tome XII (i834)du Journal de Crelle, article plein de réminiscences de mes idées géométriques sur la continuité, et où M. Plucl^er, heureux d'avoir pu énoncer cette fois la formule ci-dessus, me pre^d & partie, exalte la dualité de Gcrgonne à mes dépens, et, pour mieux faire valoir le mérite de sa première découverte, me reproche un peu vivement un îapstis que j'avais moi-même rectifié dès i83o-i83i, dans le Mémoire sur V Analyse des transversales, inséré au même journal (t. IV, 1832, n^ 245, ou Section III du présent volume), c''est-à-dire deux années auparavant, mais auquel sans doute M. Plucker ne voulait pas prêter une attention convenable par un motif d'amour-propre facile à deviner, et par suite duquel il me traite, je puis dire injustement, quant au soi-disant et célèbre />arA/ox« qui, en 1826, avait été la pierre d'achoppement du même Gergonne, si longtemps resté dans une inconcevable erreur mathématique {vorez Sect. II, n® 67, Sect. III, n» 23o, etc.).

A eet égard, l'illustre géomètre Jacobi a été plus juste et plus généreux envers moi dans son Mémoire de i85o (CaELLE, t. XX, p. 287) siw les tangentes doubles des courbes du degré n, où il donne pour la pr^ mière fois une démonstration analytique complète des énoncés géométriques de M. Plucker, en la tirant d'une théorie générale des équations différentielles qui lui est propre, mais que je ne place pas, pour la clarté géométrique, au-dessus de celles de M. Padula, et dont la marche purement algébrique lui fait trop oublier, après M. Plucker, que la formule n* (/i — 2), qui représente la somme des indices de multiplicité d'une courbe algébrique quelconque, m'appartient incontestablement (Crelle, t. VIII, n^ 249, ou Sect. III, p. 23 1), aussi bien que la formule mn{/n — i)(/i — i), relative au nombre des tangentes communes à deux lignes courbes sur un plan, formule établie, démontrée également par moi dans un premier Mémoire de 1817, sur la théorie des polaires réciproques {voyez nos Applications d*Analjrse et de Géométrie, t. II, p. 476 à 483).

Si nous n'étions pas à une époque où trop souvent les vérités sincères passent pour des mensonges et vice versa, je dirais que, dès avant 1824» je m'étais vivement préoccupé de découvrir, par la voie de l'Analyse différentielle, le nombre des points d'inflexion, des points de rebroussement et des tangentes doubles des courbes planes algébriques. Ces recherches n'étaient nullement dépourvues en soi d'intérêt* mais n'ayant pu les accomplir par la voie purement géométrique, à mon sens seule rigoureuse, je me gardai de rapporter ces aperçus dans mes écrits ultérieurs.

Il serait inutile d'ailleurs de rappeler la Note qui termine le Mémoire ci-dessus de Jacobi, où N. Otto Hesse, l'un de ses élèves les plus célèbres, taxe d'erronée la recherche de M. Plucker relative au degré de la courbe qui contient les points de contact des vingt- huit tangentes d'une ligne du quatrième degré, dont, par la théorie des déterminants, ce savant algébriste donne l'équation du quatorzième degré d'une remarquable composition, sinon d'une grande simplicité; cette mention, dis-je, serait tout à fait sans objet si elle ne prouvait que M. Plucker était, à son tour, passible de reproches plus graves, encore que ceux qu'il adresse à d'autres dans une multitude d'écrits imprimés où se montre un esprit très-peu sûr de lui-même, et qui marche dans sa propre voie sans jamais changer de route ou de méthode, c'est-à-dire sans s'abandonner au caprice ou au besoin du moment : maladie fort répandue* de nos jours. Toutefois, je ne prétends nullement exagérer le mérite de M. Otto Hesse au détriment de celui de M. Plucker; car je vois par une Note subséquente du premier de ces savants algébristes, du 27 novembre 1849 (Crelle, t. XL, p. 3i5), que, malgré la théorie des déterminants, il n'était point non plus en mesure dés lors d'expliquer le mystère relatif aux courbes gauches on à double courbure.

4i6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

BBHARQCES DIVERSES A l'OGGASION DU PRÉGÉDEMT ARTIGLE ET DE QUELQUES AUTRES ÉGRITS