ALLEMANDS, BELGES OU FRANÇAIS

Dans ce qui précède, je n*ai pas mentionné Tlionorable accueil qui a été fait au Traité des Propriétés projectives des figures par Tillustre auteur des Fundcunenta nova y dès les premiers volumes du Journal de Crelie (années 1828 et suiv.), parce qu'il en est parlé fort au long soit par moi, soit par mon très-savant et trop modeste ami M. le professeur Moutard, dans TArlicle aussi remarquable que profond qui termine le tome P" des applications dJnalyse et de Géométrie, Je rappellerai seulement que, malgré ses tendances à placer TAnalyse algébrique au-dessus de la Géométrie intuitive, Jacobi n'a pas hésité en diverses occasions à faire remonter Torigine de quelques-unes de ses idées à mes propres travaux. Le même sentiment de loyauté et de franchise le dirige dans le Mémoire de i85o dont il a été question à TArticle II ci-dessus; mais il s'en écarte dans Tespèce de post-scriptum (Crelle, t. XL, p. aSg à a6o), où, après avoir démontré algébriquement la formule /7i//(w — 1) (/i — i) déjà citée, il se sert de la tliéorie des polaires réciproques pour vérifier les résultats de son analyse, en oubliant d'en indiquer l'auteur.

Lorsque Monge, dans son admirable Géométrie descriptive, empreinte du génie de l'inspiration, d*un caractère de simplicité et de généralité qu'elle doit à cette Analyse fonctionnelle créée par lui, mais pour ainsi dire ignorée de nos jours, exposait sans calculs, en quelques lignes incomprises, critiquées môme par des esprits étroits et jaloux, les vérités fondamentales de la théorie des sécantes et des cordes réelles ou idéales communes , du pôle et de la polaire , etc., Monge, j'en suis sûr, n'a nullement cédé à un vaniteux sentiment de supériorité ; car il ne pouvait ignorer les lourds et pénibles échafaudages de démonstrations synthétiques employés par Lahire pour masquer ses emprunts à Desargues et à Pascal ; mais, pressé par la trop grande rapidité de la diction, il lui répugnait, sans nul doute, de prononcer sans commentaire un nom qu'il trouvait peujdigne d'une mention exceptionnelle.

Quels sentiments animaient Descartes et Newton, ces grands géomètres analystes, quand ils témoignaient, dans leurs œuvres impérissables, si peu de déférence pour les découvertes et la mémoire de Copernic, de Tycho, de Galilée, de Kepler, do Snellius? Prétendaient-ils en faire accroire à la postérité comme à leurs contemporains passionnés ou crédules? Qui croirait de nos jours que la chute inopinée d'une pomme du haut d'un arbre aurait, sans les admirables expériences de Galilée, suffi à Newton pour poser la base de ses principes de la philosophie naturelle; conceptions toutes géométriques que l'on ne comprend plus guère aujourd'hui et où l'on veut apercevoir ce qui n'y est pas, comme si le génie de l'invention résidait tout entier dans l'Analyse algébrique? Qui a jamais cru sérieusement, même en Angleterre, que les travaux des prédécesseurs ou contemporains de Newton, les Huygens et les Leibnitz notamment, lui aient tout à fait été indifférents ou inutiles? Il est bien évident que de telles suppositions ne sauraient plus être admises à l'époque actuelle, et que le doute même sur la bonne foi de cet esprit sublime est une tache indélébile imprimée à sa mémoire par des amis courtisans et indiscrets.

Pour ma part, je m'afflige sincèrement de la ligne de conduite adoptée par les Collins, les Oldenburg, les Keil, les Fatio et Newton lui-même; je regrette non moins [^il est permis de comparer les petites choses aux grandes) que, dans des spéculations purement géométriques, les modernes imitateurs de ce grand homme, surexcités par des sentiments de vaniteuse jalousie et un ardent désir d'une hâtive célébrité, bien qu'avertis par un aussi illustre exemple, aient si peu redouté les jugements équitables mais sévères de l'avenir ou même la critique contemporaine. Comment, en effet, s'expliquer que les Mœbius, les Steiner et les Plucker en Allemagne, les Gergonne et les Chasles en France, se soient, longtemps après l'apparition du Traité des Propriétés

projectiles, imposé la tâche pénible et tout au moins chanceuse de se faire passer pour tes promoteurs, sinon les créateurs de cette branche de la science qu'ils ont, sans ma participation directe, intitulée Géométrie moderne, mais dont il serait plus exact de faire remonter les principes à Kuclide, à Pappus, à Desargues et à Pascal? Je crois en avoir dit assez dans le précédent Article pour mettre en lumière la nature et le caractère propre des travaux des géomètres allemands que je viens de citer; je n'ai pas non plus, je pense, à revenir sur les prétentions étranges du Rédacteur des Anciennes Annales de Mathématiques et de quelques-uns de ses plus ou moins complaisants collaborateurs. Sollicité par des considérations diverses, je m'étais même imposé le pénible devoir de ne rien ajouter aux réflexions et aux revendications, fort circonspectes à coup sûr, que j'ai insérées dans mes Mémoires de i83o à i83i (Sect. IV du présent volume); mais la manière maladroite et toute personnelle, quoique détournée, dont s'expriment dans leurs écrits certains disciples de M. Chasles, me contraint à changer de résolution et à dire ma pensée tout entière sur les travaux d'un savant dont, je le dis hautement, j'estime fort le talent géométrique, et qui a plus qu'aucun de ses successeurs et de ses contemporains, peut-être, contribué à propager les nouvelles doctrines géométriques en France et môme à l'étranger, un peu tardivement il est vrai et sous une forme que j'ai déjà critiquée dans le tome I** des Applications d'Analyse et de Géométrie publié en i86a. D'ailleurs, je n'admets nullement qu'une succession de théorèmes et de problèmes, démontrés plus ou moins à la manière d'Euclide et de Legendre, puisse autoriser à se croire seul dans le vrai, seul rigoureux, et à repousser tout autre mode de raisonnement, comme le font aujourd'hui encore quelques algébristes arriérés qui dédaignent de lire et de comprendre cette infime Géométrie.

Je ne crains pas d'ajouter qu'en agissant ainsi, en rejetant la forme explicite sinon le bénéfice de la manière de raisonner de nos devanciers, on s'expose à envahir le terrain d'autrui, et, sans le vouloir peut-être, à s'approprier les idées, les points de doctrine fondamentaux, et les plus féconds, de manière à en masquer l'origine philosophique et à faire illusion à bien des personnes prévenues, irréfléchies ou incapables d'établir une exacte et scrupuleuse distinction entre les anciennes et les nouvelles théories.

Mon savant confrère M. Chasles, disciple de Carnot, élève de Poinsot et de Hachette, dont en 1812 et i8i3 il suivait les leçons à l'École Polytechnique, s'est par cela même beaucoup rapproché de leurs idées et de leur doctrine, qui n'étaient ni celles de Lagrange, ni celles de Monge, jadis aussi professeurs dans celte célèbre École. Favorisé à juste titre par le Rédacteur de la Correspondance sur r École Polytechnique, il put exposer dans ce Recueil privilégié { t. III, 181 4 à 1816, p. II, 807, 3'i6, 328, 341), sur les courbes et les surfaces du second degré, une succession d'articles analylico-géométriques dont quelques-uns* ont déjà été cités aux pages 85, 170 et 4 16 du tomel" des Propriétés projcctit^es, mais dont les plus dignes d'intérêt, à mon sens, sont relatifs à la transformation du cercle et de la sphère en ellipse et ellipsoïde à trois axes inégaux, par la substitution, dans leurs équations considérées sous la forme la plus simple, je veux dire par rapport au centre, de nouvelles coordonnées proportionnelles aux anciennes. Celte généralisation d'une méthode géométrique fort ancienne lui permit, non-seulement do démontrer avec une remarquable facilité un grand nombre de théorèmes relatifs à l'ellipse et à l'ellipsoïde, mais aussi d'étendre les théorèmes antérieurement connus sur Venveloppe de la surface sphérique tangente à trois autres, aux théorèmes analogues concernant les surfaces ellipsoïdales du second degré, semblables et semblablement placées entre elles.

Dans ces divers articles, surtout dans le dernier, M. Chasles montre une aptitude particulière à démontrer, à étendre en quelques points, les théorèmes déjà connus ; mais, à l'exemple de son mattre et ami feu Hachette, il oublie à tort de rappeler les droits justement revendiqués par M. Dupiu à la page 4^0 du tome II de la Correspondance poljtecfmique.

En citant à plusieurs reprises, dans llntroduclion du Traité des Propriétés projectives (t. l*'), avec les noms do Desargues, de Pascal, de Monge, Livet, Dupin, Brianchon, Servois ou autres, le nom II. 53

4ao PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

fHtraboIi'qne ries relations métriques (les figures , et veut bien me citer pour les relations « d'angles et de longueurs qui sont de la nature de celles^u*on rencontre dans la théorie des transversales, » M. Chasles use de cette périphrase, sans doute pour ne pas prononcer le mot de projective, adopté au commencement de la Section II du tome I^ de mon Traité de i Sit. et comportant un sens beaucoup plus étendu, plus général, quoi qu'en dise ce savant géomètre, qui, peu au fait alors de la véritable et invariable tendance do mes anciens écrits, confond ici encore, par une préoccupation d*esprit exclusive, Thomologie avec Xhomothétie, La dernière suppose en effet des relations métriques spéciales et purement élémentaires d'égalité, de proportionnalité des figures, au lieu de relations projectives coniquement, telles que le comportent les divisions harmoniques simples ou composées; ce qui revient à confondre, par exemple, les propriétés du centre de mojrenne distance avec celles du centre de moyennes harmoniques, la convergence des lignes en un point avec leur parallélisme, etc., bien que la considération en soit séparée par Tablme de l'infini : de semblables-rapprochements se rattachent, en -effet, à la philosophie des sciences dont M. Chasles ne s'était point encore, paraît-il, suffisamment occupé en 1829 ou i83o; ses idées le reportant sans cesse en arrière, vers l'époque où, en 1812 et 181 3, il cultivait avec prédilection les ouvrages de Camot et du professeur Ilachette.

C'est en vertu de cette manière restreinte de voir que M. Chasles croyait avoir devancé mes écrits de 1817, 1822, 1824, de même, sans doute, qu'en 1829 et i83o il se croyait l'auteur des beaux théorèmes de Sturm sur les propriétés d'involution des coniques inscrites ou circonscrites au même quadrilatère. Pensant d'ailleurs avoir suffisamment satisfait mon amour-propre d'auteur en citant quelques points de mon Mémoire sur les centres de moyennes harmoniques (Sect. I^ déco volume), où il pouvait lire en toutes lettres (p. 8, Préliminaires) que « les propriétés fondamen- » taies démontrées dans ce Mémoire pour les systèmes de droites et de plans s'étendaient aux » courbes et aux surfaces géométriques en général. » M. Chasles, conséquent avec lui même dans ses récents écrits, attribue à M. Lamé des théorèmes auxquels ce géomètre n'avait jamais songé dans son original ouvrage analytique de 1818, où, comme tous ses prédécesseurs, Monge même, il était resté dans les idées géométriques anciennes sans être en mesure encore de donner à ses énoncés la généralité qui leur manque essentiellement, ni de combler une lacune devenue, depuis 1822, en apparence du moins, trè&-facile à remplir.

En se montrant, jusque dans ces derpières années, aussi gratuitement généreux envers notre confrère, dont auparavant il n'avait jamais cité les travaux analytico-géométriques, M. Chasles m'a suffisamment autorisé à poursuivre l'examen critique de ses écrits antérieurs à i852. J'ajouterai que si, à son exemple, j'avais cédé à l'attrait de multiplier les corollaires et les théorèmes, j 'aurais pu grossir indéfiniment, mais à mon sens peu utilement, le Traité des Propriétés projectives ; car, je le répète, le tome I" de ce Traité avait pour but principal d'indiquer la route à suivre aux esprits intelligents, et si j'insiste sur ces réflexions, cela prouve seulement l'importance que j'attache aux derniers écrits du professeur du Cours de Géométrie supérieure.

Dès l'époque de 1829 et i83o, en effet, ce savant, dans le Mémoire précité du tome V de la Correspondance de Bruxelles (p. 281), entrevoyait le moment où il pourrait se passer tout à fait des polaires réciproques, comme il se figurait déjà avoir mis de côté cette vaine spéculation de Vhomolooie ou projectivité centnde. Mais j'en ai dit assez sur ce sujet, dans les Sections m et IV de ce tome II pour ne plus être obligé d'y revenir ici, en entretenant le lecteur des articles du tome VI de la Correspondance de Bruxelles, où se trouvent soit les revendications de M. Chasles envers M. Plucker (p. 81 ), soit son second Mémoire sur la transformation parabolique des relations métriques des figures (p. i à 25), soit divers autres articles (p. 92, ii3, 289, 3i2), où l'auteur entre de plus en plus dans la voie des généralisations qu'il avait d'abord trop négligée; articles dignes d'intérêt, sans aucun doute, mais qui m'ont contraint d'abandonner momentanément la Mécanique, de rédiger mes Mémoires de i83o-i83i, et d'adresser à M. Quetelet les extraits tardivement parus dans le tome VU, i832, du Recueil précité (p. 78, 118, 14I) i43, 146, i49) i^i? i^^

et i57, art. I" à VIII) sur les courbes dti troisième degré et les principes généraux rie transformation (les relations métriques (les figures^ extraits rapportés tout au long dans le présent volume (p. i5a et 332 à 35i).

La prodigieuse activité de M. Chasles lui a fait rédiger un grand nombre d'autres Notes ou écrits géométriques avec ou sans doubles colonnes, imprimés en 1829, i83o et i83i dans les Mémoires de V Académie de Bruxelles dont il a bien voulu, tardivement il est vrai, me communiquer les extraits, où se trouvent de beaux corollaires relatifs (nix cônes cycliques et aux surfaces du second degré y aux coniques sphéri(jues avec un ou deux foyers communs, etc., corollaires presque tous tirés de la théorie des polaires récipro(fueSy ici nommée transformation polaire^ mais où se trouve aussi évitée avec soin toute notion empruntée au principe de continuité, sauf quand il s*agit de descendre des coniques spliériques aux coniques planes avec ou sans asymptotes. Comme on le voit, d'ailleurs, M. Chasles n*avait point encore songé à refondre, sinon supprimer, les définitions et les procédés soi-disant de transformation qui constituent la base fondamentale et vraiment philosophique du Traité des Propriétés projectivesy mais il s'y enhardit de plus en plus dans le pays de contrefaçon et de malfaçon dont j'ai à me plaindre à divers titres ; car je ne saurais en conscience être de l'avis des personnes qui, exemples de tels soucis et appartenant à l'école usurpatrice de Gergonne, se montrent moins soucieuses que la loi protectrice du travail, en prétendant qu'il y a bénéfice pour les consommateurs.

£n pr^ntant ses divers Mémoires à l'Académie de Bruxelles et non à celle de Paris» M. Chasles s'évitait l'ennui des discussions scientifiques, répandait promptement à l'étranger, en Angleterre et en Belgique surtout, et cela au détriment de ses concurrents, ses propres travaux, et obtenait d'un seul coup, en i83o, le titre de lauréat et de membre de la jeune Académie de Bruxelles, alors dirigée par M. Quetelet. C'est ce qui» sept années après, donna lieu à ce volumineux Aperçu historique sur l'origine et le développement des métJuxles en Géométrie, imprimé en 1837 aux frais de l'Académie de Bruxelles» Aperçu dont j'ai assez parlé à la fin du tome II des Applications d'Analyse et de Géométrie (j 862) pour n'avoir point à y insister beaucoup ici ; car je n'ai rien à retrancher relativement aux droits de priorité justement acquis par BIM. Mœbius, Steiner et Plucker quant au mode d'exposition et de démonstration des principes généraux qui touchent à la théorie de la réci» procité ou dualité, et à celle des faisceaux projectifs; démonstration et exposition qui n'offrent (art. II, ci-dessus) que des déductions particulières et faciles de la formule générale de transformation métrique exposée aux n**' 9 et suiv. du tome I" du présent Traité, Or c'est précisément pour justifier ce que j'en ai dit en 1862 que je me suis livré à l'examen consciencieux, et pour moi fort pénible, des écrits de ces géomètres en les comparant aux miens propres.

Je ferai cependant observer qu'à défaut des explications qui nous avaient été promises lors de l'apparition du tome P" de mes Applications, etc., sur les circonstances qui ont précédé la publication de V Aperçu historique, j'ai dû recourir au tome IX (année 1837, p. 28) de la Correspondance mathématique de M. Quetelet, auteur lui-même d'un autre Aperçu fort écourté sur Vétat des sciences en Belgirpte, écrit à la demande de Y Association Britannique réunie en i835 à Dublin, pour obtenir quelques renseignements bien insuffisants sans nul doute et qui m'ont appris : d'une part, que l'Académie de Bruxelles avait, au concours de i83o, proposé Vexamen plùlosophique des différentes méthodes employées dans la Géométrie récente et partictdiêrement des polaires réciproques; d'une autre, que « M. Chasles, à qui la médaille d'or a été décernée, a traité » ce sujet avec beaucoup de talent, et a fait voir» dans un écrit qui ne tardera pas à paraître, » que la plupart des théories nouvelles peuvent être déduites de quelques principes fondamentaux » d'une fécondité remarquable, et qui sont pour la Géométrie à peu près les analogues du priait cipe des vitesses virtuelles pour la Mécanique (*). »

(*) Cette dernière phrase semble prouTer que l'honorable Secrétaire perpétuel de rAcadémie royale de Bruxelles ignorait beaucoup en fait de Géométrie moderne. En la prononçant à la réunion scientifique

4i8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

de M. Chasles comme étant celui de Tun des précurseurs des méthodes de projectioD, de transformation des Bgures; en négligeant maladroitement d'y faire valoir mes propres inventions, je ne m'attendais guère que, après quatorze années d'un silence regrettable, ce savant, réveillé enfin par le bruit de mes discussions avec Gergonne, surtout par les belles applications de la théorie des polaires réciproques publiées par l'impatient, mais intelligent Bobillier, dans le numéro de janvier 1828 (Annales, t. XVIIl, p. i85), je ne m'attendais pas, dis-je, que M. Chasles, à son tour, viendrait prendre pied sur mon propre terrain, encouragé par cette remarquable et peu amicale conclusion de Bobillier, où la plume de l'irascible Gergonne (p. 202 du volume cité) se laisse deviner, et où on lit entre autres les lignes suivantes :

« Tout ce que nous pouvons affirmer avec certitude, c'est que, en rédigeant Tarticle qu'on 2> vient do lire, nous ne nous sommes uniquement aidés que du contenu de la lettre de M. Pon- » celet, déjà citée [voir la copie de cette lettre et la discussion qui l'ont suivie aux pages 3^4 » à 332, 363 à 376 du présent volume). C'est sans doute un devoir, lorsqu'on s'aide du travail » d'autrui, de citer soigneusement les sources où l'on a puisé; mais on serait évidemment » découragé de toutes recherches si, après être parvenu, par ses propres méditations, à quelque » résultat que l'on croit nouveau, on était tenu, avant de rien mettre au jour, de lire tout ce qui » aurait pu être écrit sur le môme sujet. »

C'est d'après ces faits que je m'explique comment M. Chasles a rédigé hâtivement et a publié, toujours sous les auspices de Gergonne, son Mémoire de mai 1828 (p. 26) stir les sections coniques confoncales^ où il expose avec un succès facile des corollaires négligés par d'autres, et qu'on retrouve pour la plupart dans le tome I" des Propriétés projcctives^ ou dans le tome II (Sect. II). Mais, jusque-là, je ne vois rien encore qui constate que M. Chasles se soit rendu familières les notions relatives aux systèmes de coniques sur un plan, aux intersections imaginaires, aux points ou aux droites situés à l'infini, etc. C'est dans le Cahier suivant (p. 277) du tome XVlil des anciennes Annales^ que le môme géomètre prétend faire dériver les propriétés de ces systèmes de la théorie de la similitude que j'ai rappelée ci-dessus; mais on peut se convaincre que le Mémoire relatif à cette théorie, daté de 181 3 et paru deux ou trois ans plus tard, ne contient absolument rien en ce genre. D'ailleurs, dans ce nouveau Mémoire, M. Chasles s'excuse de n'être point en mesure, à Nice où il résidait^ de me citer pour certains points de rencontre entre son récent travail et les miens qui remontent à 181 7 et 1 818.

Ici commence en réalité l'empiétement : mais, quoique M. Chasles mentionne mes derniers écrits et se serve même avec habileté de la théorie des polaires réciproques et des centres d'komologie^ il n'aperçx)it pas encore que les sécantes communes, qu'il nomme axes de symptose (axes de rencontre) , peuvent passer tout entières à l'infini. Or, c'est là précisément le cas d'un système de cercles quelconques sur un plan, de sphères quelconques dans l'espace, que l'on croyait à tort, chose remarquable mais non remarquée avant 1822, posséder (sauf leur similitude) la plus grande indépendance possible relative à la situation dans le plan ou dans l'espace : les courbes et les surfaces du second degré homothétiques jouissant elles-mêmes de la propriété d'avoir une sécante commune à l'infini et une certaine indépendance mutuelle, non de forme, mais de position relatipe. Évidemment M. Chasles avait horreur de l'infini ou n'osait pas encore s'y fier, tout en se perdant dans une série de corollaires censés jusque-là inconnus.

Enfin, dans un dernier article du tome XViU (p. 3o5), et dans le tome suivant (p. 167), où Bobillier se montrait d'une fécondité remarquable, M. Chasles expose sur Xe?, perspectives om projections stéréographiques divers théorèmes qui rappellent ceux de MM. Dandelin et Gergonne, et ont pour principal but de parvenir indirectement à divers corollaires relatifs aux axes de symptose (sécantes communes) des coniques homothétiques sur un plan, etc. Ici encore M. Chasles ne s'aperçoit pas qu'en détournant les yeux du Traité des Propriétés projectiles, il reste de beau-

coup au-desâous de sa tâche, et jelte la confusion dans l'esprit des personnes qui ne connaissent pas encore ce Traité.

Au point de vue où je me suis exclusivement placé, les Mémoires insérés par M. Chasles dans les Annales de Montpellier (1828 à 1829) n'offrent donc qu'un intérêt secondaire. Mais ce savant, désormais averti par moi sinon entièrement éclairé et convaincu, devancé d'ailleurs par Bobillier dans l'application de la théorie des polaires réciproques qui préoccupait beaucoup d'autres géomètres, et redoutant peut-être des discussions scientifiques auxquelles il était insuffisamment préparé, M. Chasles recourut au bon vouloir du Rédacteur de la Correspondance mathématique et physique de Bruxelles^ qui alors, comme il nous l'apprend lui-même à la page 27 du tome IX de son Recueil, consentit, en s'en excusant, à prendre sous son patronage la moderne Géométrie^ alors fort dédaignée par les partisans exclusifs de l'Analyse algébrique. Là donc (t. V, p. 6, 1829), sans peut^-ètre s'en rendre compte ni le déclarer explicitement, M. Chasles se propose de démontrer divers théorèmes appartenant à l'illustre Sturm ou à d*aulres qu'il ne juge pas à propos de citer, tout en mentionnant Bobillier pour ses études originales sur les coniques confocales, recherches insérées dans le tome III (1827) du même Recueil (*].

Mais ce qu'il y a de particulièrement remarquable, ù mon point de vue, dans le Mémoire inséré par M. Chasles à la page 6 du tome V (1829) de la Correspofulance de Bruxelles^ c'est qu'on y rencontre (n° 14) cette phrase abréviative et tout à fait insolite : « On sait que, quand deux coniques » sont semblables et semblablement placées (ou homothétiques), elles ont deux points réels ou » imaginaires à Vinfni. » Si je ne me fais illusion, cela valait bien un renvoi à mon Traité de 182^, ou, tout au moins, un léger commentaire.

Dans l'analyse rapide, mais sans démonstrations [ihid.^ p. 85], d'un autre Mémoire sur les principes des transformations polaires des coniques^ des cônes, etc. , qui manque d'originalité en quelques points, M. Chasles s'abstient religieusement de toutes notions de cette espèce; enfin, à la page 235, encouragé par M. Quetelet dans ses études sur les courbes des troisième et quatrième degrés, il observe que VÉnumération faite par Newton de ces courbes n'est point complète; ce qui n'a rien d'étonnant, puisque ce grand géomètre ignorait les doctrines aujourd'hui encore à peine comprises de la moderne école. Or, M. Chasles se sert de ces doctrines dans l'énoncé de quelques théorèmes relatifs aux points d'inflexion des courbes du troisième degré, également inconnus à l'illustre auteur de VÉnumération, par le motif fort simple qu'ils sont la déduction des découvertes postérieures de Mac-Laurin sur ces courbes, découvertes dont j'ai (Sect. lïl du présent ouvrage, p. i54, n** 157 et suiv.) présenté le commentaire et le développement relatif aux quadrilatères et aux hexagones inscrits, qui, longtemps après, ont attiré l'attention de M. Plucker (Crellb, t. XXXIV, p. 339), et de M. Chasles (Aperçu historique, p. 149) sans qu'ils en comprissent l'importance et la fécondité, et sans même remarquer que, tous deux, ils avaient été devancés par moi dans leurs prétendues découvertes.

D'autre part, M. Chasles, familiarisé désormais avec la théorie des polaires réciproques, s'en sert ici (Corres/wndance de Quetelet, t. V, p. 281) pour établir ce qu'il nomme la transformation

(*) Dans ce journal belge, né en iSaj, mais qui a éprouve des interruptions diverses, brillent, entre autres, les noms de MM. Dandelin, Gergonne, Hachette, Garnier, Olivier, Quetelet, esprits imita» tears dont le premier néanmoins a découvert un fort beau théorème relatif au foyer des sections planes du cône de révolution, et qui, avec Bobillier, ne se faisaient pas, comme M. Chasles, scrupule d'adopter les notions et les idées empruntées au Traité des Propriétés projectives, notamment sur les sécantes réelles ou idéales, \e& intersections imaginaires, Vinfni, etc. C'est là aussi, pour le dire en passant (t. 111, p. igS de la Correspondance), que feu Olivier attaque le principe de la loi de continuité qu'il ne comprenait pas, et dont il avait précédemment fait de fausses applications; c'est là enfîn que M. Quetelet, le savant astronome statisticien de Bruxelles, adresse à M. Ch. Dupin (note de la page 373) quelques réclamations de priorité sur divers points relatifs aux coniques confocalcs, etc.

surfaces témoigne, sinon d'erreurs manifestes, du moins d'une grande incertitude dans les idées et les résultats du calcul, cela prouve cependant que MM. Chasles et Quetelet avaient, dès 1829 et sans en faire Taveu explicite, prêté une attention sérieuse à mes objections et revendications envers M. Gergonne. De plus, ce que ces savants affirmaient et niaient tour à tour relativement aux courbes du troisième degré m'a conduit, comme malgré moi, à rechercher la solution géométrique du problème ébauché à la page iSg de la Section II, en me fondant exclusivement sur la définition la plus générale de ces courbes par V Analyse des transversales y d'autant plus qu'il m*était bien démontré qu'il existe des lignes planes du troisième ordre qui, ne possédant aucun point double, offrent par là même six tangentes distinctes et réelles issues d*an fwint arbitrairement donné sur leur plan.

Bn6n dans le § 51, p. 248, du grand ouvrage belge intitulé : Aperçu sur l'origine des métliodes en Géométrie^ après une série d'articles historiques, l'auteur, à mon sens, s'est trop complu à rabaisser le but et la portée réelle de mes théories relatives à la projection centrale, à l'homologie, à la réciprocité polaire, nommées ici méthodes de transformation y et qu'en sa manière restreinte de voir et de sentir il compare à des procédés fort anciens déjà, mais étrangers au Traité des Propriétés projectiles des figures et à la Géométrie de Descartes et de Monge. Néanmoins, dans le même ouvrage, M. Chasles veut bien, pour l'invention de quelques théorèmes, me donner rang entre ses deux amis scientifiques, MM. Hachette et Quetelet, Rédacteurs de deux célèbres recueils mathématiques français et belge, comme m'étant occupé en 1822 des propriétés des courbes d'intersection de deux surfaces quelconques du second degré [voyez les Annotations du tome P**, p. 4^^ à 419] ; ce que j'avais fait, je pense, sans erreurs ni hésitUions. Je dis sans erreurs, parce que M. Chasles affirme, il est vrai encore contre l'opinion de M. Quetelet, que la projection ou perspective plane d'une telle intersection n'est pas la courbe la plus générale possible du quatrième degré, et qu'elle a généralement deux points doubles; ce qui réduit de douze à huit le nombre des tangentes issues d'un point quelconque de son plan, et produit un pareil abaissement dans le degré de la développable du système des deux surfaces polaires réciproques des proposées (Sect. II, n° 103); ce qui ne veut pas dire pourtant que j'aie commis là une bévue, comme le donne à entendre M. Chasles à la page 268 de son Aperça historique.

Du reste, selon sa constante habitude, notre savant confrère énonce cette dernière proposition sans la démontrer; mais, quand bien même il ne l'aurait établie rigoureusement que pour le système des surfaces réglées du second degré, en en étendant les conséquences au cas des surfaces fermées, par une pure induction ou translation du réel à l'imaginaire que n'autorise rigoureusement ici ni le principe de continuité ni l'Analyse algébrique, ce n'en est pas moins une preuve que M. Chasles avait, dès 1837, devancé les géomètres qui se sont occupés depuis de semblables questions; d'autant plus qu'il ne s'est point borné là, et prévient qu'il s'occuperait plus tard des conséquences, en observant (p. 261 ) que la perspective d'une courbe à double courbure du troisième degré ne saurait donner toutes les courbes planes de ce degré; ce qui concorde avec la détermination d'une telle courbe au moyen de points donnés (p. 4o3 à. 407 ^^V Aperçu lUstorique)^ déduite de considérations qui ont un rapport très-intime, comme corollaire, avec les théorèmes généraux sur l'intersection des surfaces du second degré, exposés dans le Supplément du tome I*' de ce Traité (2* édition, p. 4 16 à 417).

Évidemment, en feignant de confondre mes recherches de i83o avec celles de MM. Hachette et Quetelet, qui ont si peu ajouté à la nouvelle branche do Géométrie, en gardant dans ses derniers écrils relatifs aux courbes gauches des troisième et quatrième ordres les mêmes résen'es et le même silence sur certaines particularités historiques (voyez Journal de Liouville et Comptes rendus, vol. de 1867 et 1861), mais surtout en négligeant d'entrer dans aucune des explications et des démonstrations qui eus&ent servi à initier les lecteurs aux doctrines de cette moderne Géométrie, M. Chasles, non-seulement en a relardé et compromis les progrès ultérieurs, mais encore il s'est fait à lui-même un tort considérable, attendu que, dans ces dernières années (i85oà i865),

on a, sans sa participation directe, beaucoup ajouté à ses précédentes études sur les courbes ^auckesy et qu'il s'est ainsi laissé devancer par les géomètres algébristes des pays voisins qui, ignorant les belles méthodes de l'École de Monge, sont allés rechercher dans l'obscur ouvrage de Mœbius, publié seulement en 1827, les premières traces de l'existence des lignes à double courbure et de leurs réciproques polaires, soi-disant de même classe pour ne pas démentir le dualisme géométrique rêvé par un journaliste philosophe [voyez la note de la page 241 de l'ouvrage de M. Salmon intitulé : Analytic Geometry of three dimensions, 1862].

C'est ainsi encore que les nouvelles doctrines, après être allées tardivement de la France à l'Angleterre, en passant par la Belgique, reviennent de l'Angleterre à la .France par la voie officielle la plus sûre et la plus directe. Parmi ces doctrines je range, pour une très-grande part, celles qui servent de base à la classification des courbes à double courbure exposée dans le Journal mathé" mtuique de LiouviUe (t. X, i845, p. a45) par M. Arthur Cayley, qui paraît tenir aujourd'hui le sceptre des Mathématiques en Angleterre, puisque M. Sylvester Tappelle notre grand géomètre dans un article, en bon français, des Comptes rendus de notre Académie des Sciences. Cette tentative de classification, on doit bien s'y attendre, est fondée principalement sur les résultats de la théorie algébrique des points singuliers, dont il a été précédemment parlé à propos de M. Plucker, résultats ici appuyés de considérations géométriques qui, au fond, offrent beaucoup d'analogie avec celles que fournit le principe de continuité, et conduisent l'auteur à cette proposition particulièrement remarquable, que » la projection perspective d'une courbe à double courbure, sur un plan arbitraire, résultant de l'intersection de deux surfaces de degrés m et /i, supposée de l'ordre m/?, contient en général un nombre de points doubles

im/i(/w--i){/i-i),

la classe de la courbe étant au plus

mn (/7i -h /i — 2 ) ; »

résultats sur lesquels M. Cayley n'insiste guère ici et promet de revenir dans une autre occasion, ce qu'il a fait dans le Cambridge and Dublin mathcmatical Journal do Thomson (t. V, i85o, p. 18), avec quelques rectifications utiles, mais sans plus mentionner les formules ci-dessus que M. Salmon, dans l'article suivant, s'efforce de justifier au moyen de l'Analyse algébrique, sans élucider, ce me semble, complètement la question au point de vue géométrique. D'ailleurs, cet article de M. Salmon est à son tour suivi d'un troisième où M. Cayley s'occupe, toujours par la voie géométrico-analytique, de la développable circonscrite à deux surfaces du second degré, sans arriver à des conclusions bien explicites et sans prendre garde que cette dernière question avait été traitée géométriquement avant lui (Sect. II de ce volume) ; ce qui arrive également à l'honorable et docte Salmon dans sa Géométrie analytique à trois dimensions (voyez les articles relatifs à la classification des courbes gauches, aux développables, etc.). Depuis l'époque de i85o, d'autres tentatives ont été faites en France ou ailleurs pour justifier la

formule - mn (w — i) (/i — 1) , abstraction faite de toute application à la théorie de la réciprocité

polaire; mais je ne sache pas qu'on y ait jusqu'à présent complètement réussi, du moins par la voie exclusivement algébrique que suivait surtout Jacobi, ou par la voie exclusivement géométrique fondée sur le principe de continuité. Or, c'est là une lacune que je considère comme trèsiiSLcheuse pour l'honneur de la science, mais je n'ai aucune envie de la combler, quoique de là résulte le complément, à mes yeux fort désirable, des théories géométriques qui se trouvent exposées dans le présent Traité des Propriétés projectiles (t. II, Sect. II et III).