GÉOMÉTRIQUES DANS L*ESPACE

J'aurais volontiers supprimé le n" 163 du tome I*** dans la deuxième édition de ce Traité, à cause des erreurs qu'il renferme et qui offrent un exemple des inconcevables illusions qui peuvent nous surprendre dans la recherche des vérités et des problèmes jusque-là inexplorés ; car rien ne démontre que la courbe à double courbure que Ton se propose d'y construire soit véritablement du troisième ordre, ni qu'elle passe réellement par les points indiqués. Lorsque mon ami Steiner me fit remarquer cette inconcevable bévue, il était trop tard pour y porter le seul remède efficadb : la suppression entière de l'article malheureusement reproduit en deux endroits déjà dans le Journal de Cretle et dans la Correspondance de Bruxelles^ imprimés loin de mes yeux et à une époque où j'étais occupé de choses bien plus sérieuses pour ma réputation d'ingénieur et de savant. En laissant subsister dans cette nouvelle édition ce même art. 163, j'ai voulu ne rien dissimuler aux yeux du lecteur, et conserver à l'ensemble le caractère de franchise et de véracité auquel je tiens avant tout, sans recourir à de vains palliatifs ou subterfuges qui ne peuvent tromper que les ignorants; notamment en montrant les corollaires, les conséquences plus ou moins remarquables qui peuvent découler de pareilles constructions. Mais j'eusse négligé ainsi de donner un exemple utile aux jeunes gens dont l'esprit, trop souvent aventureux, est en général pressé de jouir du fruit d'un premier travail géométrique ou algébrique, et dont les écrits hâtifs viennent ainsi inutilement accroître le bagage déjà si lourd des problèmes, des théorèmes, des lemmes ou scolies dont les Mathématiques sont aujourd'hui encombrées, mais auxquels les futurs progrès de la science sont rarement intéressés.

Au fait, à répoque de i83o-i83i où notre malencontreux article fut si précipitamment conçu, rédigé et publié, il régnait, comme je l'ai montré (IV, p. 423 et suiv.), une grande incertitude relativement à la nature des courbes gauches définies géométriquement^ d'après les principes posés dans le Supplément du tome 1" (Annotations, p. 416), et il était naturel, utile même de chercher à les construire sans l'intervention du calcul ou de l'intersection directe des surfaces. Or, c'est véritablement à M. Chastes que revient, pour les courbes gauches du troisième ordre, l'honneur d'une pareille détermination basée au fond sur les notions qui dérivent du principe de continuité (Aperçu historique, 1837, Note XXXIII, p. 4o3 et 4^4 )» bien que les conséquences qu'il en tire relativement au lieu des sommets des cônes du second degré assujettis à contenir sept points arbitraires de l'espace renferment quelques inadvertances nées aussi de trop de précipitation : ces erreurs, que des savants anglais lui ont dernièrement reprochées [Cambridge and Dublin Journal, t. V, i85o, note de la page 69), ces erreurs, notre confrère les a largement réparées depuis (Comptes rendus^ t. XLV, p. 189, août 1867, ou Journal mathématique de IJouville, t. U, 2* série, 1857, P- 397); d'autant que la Note ancienne de M. Chasles a tout au moins été un trait de lumière mis à profit par ses habiles successeurs.

Dans son Mémoire d'août 1867^ notre savant géomètre affirme de nouveau, comme chose bien connue, que, par un point quelconque de Pespace on peut toujours mener une droite, et Von n'en peut mener qiCune qui s'appuie en deux points sur une courbe gauche du troisième ordre. Ceci est évident d'après les indications des pages 417 à 419 du précédent volume, puisqu'une telle courbe peut avoir une infinité ^^annexes rectilignes^ et que tout plan mené dun point arbitraire de l'espace à une droite, rencontre et ne peut rencontrer la courbe gauche qu'en un troisième point nécessairement réel^ propre à déterminer la droite unique dont entend parler M. Chasles ; or^ de là on infère, en toute raison, que la perspective sur un plan arbitraire de cette môme courbe essentiellement continue a toujours un point double ou conjugué, qui abaisse à quatre, au lieu de six, le

nombre des tangentes issues d*un point quelconque de son plan, et par conséquent à pareil nombre les plans tangents à la courbe de Tespace, issus d'une droite également arbitraire; ce qui abaisse aussi de deux unités (Sect. II et m, n** 68, 84 et suiv. ) le degré de la réciproque polaire de ces courbes, réciproque qui, par conséquent, ne saurait être simplement de la troisième classe y comme l'entendent les géomètres dualistes , MM. Schrœter et autres, ce qui offre une véritable confusion d'idées et de langage.

Enfîn, dans un dernier Mémoire de 1862, également paru dans les Recueils précités de M. Liouyille et de FAcadémie des Sciences, sur les courbes à double courbure du quatrième ordre intersections de deux surfaces quelconques du second degré, M. Chasles développe de plus en plus ses idées; et c'est seulement là qu'il indique, pour la première fois je pense, cette démonstration incomplète et peu satisfaisante même au point de vue des idées algébriques ou d'intuition géométrique, mentionnée dans le précédent Article et qui concerne l'existence des deux points dmd)les ou conjugués de la projection- perspective de cette même intersection sur un plan arbitraire; proposition qu'on pourrait aussi conclure de la considération des cônes du deuxième degré qui la renferme, d'après nos propres théorèmes (t. I, p. 382, et t. II, p. 89]. M. Chasles, en renvoyant dans le Mémoire précité aux recherches de MM. Cayley et Salmon (t. V du Journal de Cambridge et Dublin), fait acte de probité scientiBque, ce dont on doit lui savoir gré; mais cela ne nous éclaire pas suffisamment^ et, quelles que soient Timportance et la prodigieuse fécondité des corollaires ou conséquences, nous voudrions plus de lumière et de franchise dans les démonstrations. Toutefois, en prévenant qu'il existe des courbes de quatrième ordre d'une nature plus générale et provenant de l'intersection possible de deux surfaces du deuxième et du troisième degrés, il nous prémunît contre une confusion rendue facile par l'absence de toute explication authentiquement connue ou dûment nolitiée aux ignorants de mon espèce.

Malheureusement encore, pendant que M. Chasles complétait avec son talent de rédaction habituel la classification monographique des courbes du quatrième ordre de MM. Salmon et Cayley, ce dernier géomètre insérait dans le môme volume de nos Comptes rendus (t. LIV, p. 55, janvier 1862) un Mémoire intitulé : Considérations générales sur les courbes en espace, principalement fondé sur des données algébriques pour moi difficiles à saisir sans commentaires a cause des réserves, sous-entendus, pétitions de principes et néologismcs même qu'il renferme à notre point de vue tout français, et qui proviennent, je le crains, d'un trop faible désir de convaincre ses lecteurs, tout en prenant date, d'une manière hâtive, vis-à-vis d'un public qui n'a pas suffisamment médité les excellents ouvrages de M. Salmon ; mais surtout parce que M. Cayley, partisan des nomenclatures et des classifications, prétend embrasser à la fois les cas généraux et les cas particuliers dans une même démonstration analytico-géométrique. Or, c'est là une autre source de confusion et d'obscurité regrettable, dont la large adoption du principe de continuité et les procédés si clairs de l'École de Monge l'auraient facilement débarrassé, et n'eussent pbs permis à une aussi forte tète mathématique d'écrire ce que nous lisons à la page i52 du tome XXXIV (1847) ^^ Journal de Crelle, à propos des hyperdéterminants algébriques et de la classification des courbes à double courbure; car une telle courbe, si elle est continue [Annotations du tome I"', p. 416), peut être placée tout au moins sur une infinité de cônes de même degré, ou d'un degré moindre d'une unité en prenant leur sommet sur le périmètre même de la courbe.

Une pareille manière de raisonner, de démontrer, même en Géométrie, est bien propre, en eiïet, à jeter les esprits dans le doute sur la certitude des Mathématiques, et elle explique comment divers autres Mémoires remarquables de ce savant ont amené des revendications, des commentaires de la part de certains géomètres algébristes : cela est arrivé par exemple pour le Mémoire qui a paru à la page 21 3 du tome XXXï du Journal de C relie (sur quelques t/téorèmes fie la Géométrie de position), et qui a provoqué, tout comme celui de Steiner sur les courbes planes da troisième ordre (t. XXXII, p. 182), les tardives observations de M. Plucker (t. XXXIV, p. 829 et 337), principalement dirigées contre la prétentieuse et complexe généralisation du célèbre

théorème de Pascal, au moyen de laquelle M. Plucker, oublieux à son tour, ne se fait pas scrupule d'englober comme simples corollaires quelques beaux théorèmes sur les fiexagunes inscrits aux courbes planes du troisième ordre, compris parmi ceux qu'on trouve exposés au commencement de mon Mémoire sur l'Analyse des transversales (Sect. III). Cest, comme j*en ai déjà fait la remarque dans l'article précédent, ce dont M. Chasles lui-même avait le premier donné un fâcheux exemple à la page 149 déjà citée de V Aperçu /listori^iie ; aperçu de 85o pages grand in-4**, qui n'est pas, redisons-le, une histoire impartiale de la Géométrie moderne, mais bien un traité où se trouve jeté, comme à plaisir, un voile sur les noms et les écrits de certains auteurs; ce qu'on peut voir p. 643, 667, 680, 687, 695, où les mots figures corrélativesy bien définis par Carnot, signifient au fond polaires réciproques, mais où Ton n'a pas craint, si ce n'est pris à tâche, de dépouiller le Traité des Propriétés projectives de ses meilleures inspirations. Tout est dans tout, selon le célèbre apophthegme de Jacotot, qui, avec Pestalozzi, n'a pas peu contribué à répandre le désordre dans les jeunes esprits^

Mais je ne me propose nullement ici de multiplier ces citations, tendant seulement à justifier non à démontrer la vérité des réflexions qui terminent les Annotations du volume précédent (p. 419) sur la confusion introduite depuis un certain temps dans le domaine de la Géométrie; confusion à laquelle MM. Steiner et Plucker, fort capables comme on Ta vu, contribuaient entre tous par des suppressions de dates et de noms propres, qu'on ne saui^it mettre complètement sur le compte de l'ignorance ou de l'oubli.

Je tiens, comme on voit, à me disculper de plus en plus des sévères et injustes reproches qui m'ont été adressés par quelques écrivains journalistes sur les signes de mécontentement et de mauvaise humeur qu'ils auraient entrevus dans mes publications de 1862, 1864 et i865. Mais ces reproches peu fondés ne doivent pas m'empôcher de poursuivre la lAche pénible que je me suis imposée dans cette Section supplémentaire, et que je me propose de poursuivre dans le § lY ci-après, avec la même franchise. Seulement^ qu'on me permette auparavant de joindre à ce qui précède de courtes observations relatives au contenu des n*** 84 et 85 de la Théorie des polaires réciproques (Sect. II, p. 78-79); écrites en i865 à litre d! Annotations, elles pourraient faire partie du § lY dont je viens de parler, mais elles trouveront mieux ici leur place, parce qu'elles se rattachent intimement aux matières que nous venons de traiter.

Addition relative aux numéros 85 et 86 de la Section II de ce volume.

Supposez en particulier, dans le n^ 84, p. 78, que la ligne à double courbure (m), d'une nature essentiellement continue par hypothèse, soit tout entière située sur la surface même du second degré qui sert do directrice aux pôles et polaires, les relations descriptives dont il est parlé ne cesseront pas d'avoir lieu, si ce n'est que les points de (m) auront pour polaires les plans tangents en ces points respectirs; de sorte que sa développable réciproque se confondra avec l'enveloppe de la surface du second ordre directrice des pôles le long de (m). Or de là résulte cette conséquence remarquable que, d un point quelconque A de V espace, il pourra être mené à cette développable, ou réciproque, un nombre de plans tangents égal à celui des intersections de la courbe (m) par le plan polaire du point donné A, c'est-à-dire précisément (m^.

Pour s'en convaincre à priori, il suffit de remarquer que le plan polaire de A se confond ici avec le plan de contact du cône circonscrit à la surface directrice du second degré ayant son sommet en ce point; ce plan, d'après les définitions admises, coupe en effet la courbe gauche considérée en un nombre m de points réels, imaginaires, etc. En adoptant le langage des géomètres dualistes, on peut donc énoncer ce théorème : la développable circonscrite à une surface du second degré quelconque, le long dune courbe gauche continue du degré m, située tout entière sur cette sur/ace, appartient à la classe m; ce qui ne veut pas dire pourtant que cette courbe soit à la fois de l'ordre m et de la classe m; car la classe d'une courbe gauche continue, de degré m, est généralement m{m—i), et non simplement m, contrairement au prétendu principe de dualité; car tel est aussi le nombre des plans tangents qui peuvent (84) lui être menés, en général, par une droite située d'une manière arbitraire dans l'espace; ce

43o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

§ IV ET DERNIER. — j4nnotations spéciales et développements relatifs à différents passages du texte.

En corrigeant les épreuves des Sections I à IV de ce second volume, je me proposais de les accompagner ou faire suivre immédiatement de diverses notes et développements qui eussent servi de commentaires, sinon indispensables, du moins utiles, aux matières, déjà bien anciennes, traitées dans ces mêmes Sections. Ainsi» par exemple, en corrigeant l'épreuve de la feuille 7, j'avais le dessein {voxez au bas de la page 56) de donner un assez grand développement à la partie de la Note II (Section I*^) qui concerne la transformation et la généralisation des propriétés métriques relatives à la théorie du centre des moyenhes distances ou des moyennes harmoniques de figures considérées dans le plan ou sur la surface sphérique; les n* 84 et suivants, plus particulièrement encore le n» 163, dont je me suis déjà occupé dans le paragraphe précédent (art. IV, p. 4^3), et tant d'autres passages du texte de ce second volume eussent exigé diverses explications non moins utiles, même à l'époque de vulgarisation et de progrès où nous sommes; mais rétendue exorbitante qu'a prise à l'impression le contenu des §§ I, II et III de la présente Section supplémentaire me force à renoncer à de telles notes ou développements, qui devraient comprendre une variété de questions ou de sujets tout aussi intéressants pour certaines catégories de lecteurs, que ceux sur lesquels j'ai déjà appelé et voudrais mieux encore appeler leur attention.

rehâkques préalables.

Qu'on me permette de faire remarquer ici que le but de ce paragraphe se trouve partiellement rempli par la Note des pages 332 à 345, ainsi que par la discussion de divers points de doctrine contenus dans la Section II (p. m, n** 131) et les Sections VU et IV [Transformations dipcrses et dépeloppements des théorèmes de Newton, de Cotes, de Mac-Laurin^ de Camot, etc)

Toutefois, je rappellerai que la Section P de ce volume, qui remonte à l'hiver de i8a3 et 1824, et a précédé de longue date tout ce qui a été écrit par d'autres sur ces matières , contient en germe les Sections III et lY que je viens de citer, et qui, dans mes intentions premières, n'ont jamais dû comprendre les relations métriques étrangères à celles que Ton peut proprement nommer linéaires et projectiles. Celles-ci en effet sont les seules qui, par leur élégante symétrie et homogénéité, soient dignes, à mes yeux, de TÉcole des Lagrange, des Monge, des Euler et des Clairaut, parce que, susceptibles d'être immédiatement traduites, par la théorie des polaires réciproques, en d'autres relations de segments ou de lignes trigonométriques analogues, elles laissent aux très^faabiles disciples des Lahire, des Robert Simson, des Camot, des Goudin ou à ceux de leurs modernes successeurs qui ne craignent ni l'arbitraire des transformations ni la complication des relations métriques et descriptives, une entière latitude pour appliquer des méthodes plus ou moins faciles à la recherche toujours épineuse de certaines catégories de théorèmes, de propriétés non immédiatement projectiles. Parmi ces méthodes mixtes, en soi d'ailleurs très-recommandables, je distinguerai, à cause de leur simplicité et de la fertilité des applications, celles qui se rattachent

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 43i

à la transformation poiaire, relatives au cercle et à la sphère, transformation dont j'ai moi-même, le premier, offert dans mon Mémoire de 1824 (Sect. II), quelques exemples qui ont depuis attiré Taitention toute spéciale de MM. Bobillier et Mannbeim.

Le premier de ces géomètres, M. Bobillier (Annales de Montpellier , janvier 1828, t. XVIII, p. i83), a eu Tidée mère d'un genre de transformations métriques à coordonnées polaires, nommées depuis par rayons vecteurs réciproques , et dont il a été fait de belles, de nombreuses applications soit en France, soit en Angleterre [wtyez hg^ Applications d'Analyse et de Géométrie^ 1. 1, note de la page 490].

Le second^ M. Mannheim, a publié, en i85i et 1867, sur la transformation des propriétés mé" triques des figures à Taide de la théorie des jjolaires réciproques^ deux intéressants écrits où il s'est principalement proposé pour but d'opérer cette transformation sans faire subir à la relation métrique donnée aucune prépcuration spéciale; c'est-à-dire en exprimant directement la distance, le segment rectiligne compris entre deux points sur une droite donnée, en fonction des grandeurs linéaires ou trigonométriques qui se rapportent au centre, au pôle et a la polaire relatifs à une droonférence choisie à volonté sur le plan de la Ggure. Par là, en effet, l'auteur est arrivé à divers résultats remarquables, les uns déjà connus, les autres tout à fait inconnus.

ftÉFLSXIONS SUR LA FRÉQUENCE ET l'iKOPPORTUMITÊ DES CHANGEMENTS DE NOMS ET DE DÉFINITIONS EN MATHÉMATIQUES, PRINCIPALEMENT EN GÉOMÉTRIE.

Je n'ai pas le dessein de m'étendre sur cette délicate et importante question philosophique, déjà traitée fort au long, mais incomplètement, par Biaise Pascal ; je me serais même contenté des rares et timides observations critiques répandues dans le § II de cette Section supplémentaire , et dans les n* 327 et suivants de la Section IV du texte, si les lettres confidentielles des auteurs dont j'ai quelque droit de me plaindre, à cause des changements de définitions, des suppressions de dates et de citations qui "Se laissent apercevoir dans les articles publiés par eux aux Anciens Recueils de Mathématiques y sur des sujets dont je m'étais occupé longtemps auparavant, si ces lettres, dis-je, ne m'avaient en vain fait espérer pour ces mêmes articles, tous antérieurs à i83o, une rectification ou erratum très-important pour mon amour-propre d'initiateur dans la nouvelle branche de Géométrie. Car c'était là un déni de justice d'autant plus capable d'égarer l'opinion publique, que le talent des géomètres dont j'entends parler, le mérite, au moins apparent, des modifications ou altérations apportées par eux à mes propres doctrines, enfin les réticences dont je ne puis me rendre compte, étaient éminemment propres à séduire, illusionner les esprits non encore initiés et familiarisés avec les doctrines, le but et les intentions du Traité des Propriétés projeC'tives des figures publié par moi en 1822.

Une longue et tiécevante attente m*ayant appris qu'il ne faut pas compter sur des rectifications volontaires de la part d'écrivains dont, par un motif quelconque, on ne s'est pas mis en devoir de combattre immédiatement les erreurs et empiétements, cette attente m'a obligé, après bien des années d'impatients soucis, à m'imposer, sur le déclin de ma vie, la lourde tâche d'une réédition entière de ce que je n'oserais appeler mes œuvres édites ou inédites, et encore moins mes œuvres posthumes; tâche rendue indispensable cependant par l'oubli de plus en plus marqué de mes droits de priorité dans des livres de Géométrie justement appréciés de nos jours.

Du reste, je suis d'avis avec l'auteur des Pensées, qu'en Mathématiques on est le maître d'imposer des définitions, des noms nouveaux aux idées et aux choses inconnues, pourvu qu'en se soumettant aux règles du bon sens et de la logique naturelle, on n'en change ou n'en altère jamais l'acception première. J'ajoute, comme conséquence, ce que Pascal ne dit pas et ce que ROtre illustre géomètre et philosophe Ampère soutenait en pleine Académie avec une persistante

43a PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

ardeur : c'est qu'il n*est, en aucun cas et sous aucun prétexte, permis, même en fait de Chimie et de Mécanique, de substituer à des défmitions ou appellations déjà établies et reçues, d'autres définitions, d'autres noms, à moins de démontrer les erreurs, les non-sens ou l'insuffisance radicale des premières; autrement ce serait introduire dans la langue qui devrait être la plus daire de toutes, une confusion inextricable. Or, c'est là un abus dont on ne se fait pas faute de dqb jours, même en France, où, à l'exemple des nations étrangères, on commence à faire usage, sans scrupule, d'un néologisme que repousse notre langue, naguère encore si lucide^ parce qu'elle fuyait ces amphibologies de mots, ce vague et ces non-sens qui ne peuvent être la pâture que des hommes faciles à satisfaire.

C'est pourquoi aussi, ancien élève de ce bon et spirituel Andrieux, notre professeur vénéré de grammaire et de littérature à l'École Polytechnique, en 1808, je repousse de toutes mes forces l'introduction, dans la langue géométrique, d'expressions hybrides, telles que axes de symptose, substituée aux mots français de sécantes ou cordes communes, si anciennement connus, si facilement compris et saisis par tous ceux qui ont une légère teinture des Mathématiques; substitution qu'on est en droit d'attribuer au désir, sinon d'effacer entièrement, du moins de jeter un blâme indirect sur les doctrines du Traité des Propriétés projectives des figures, que toutefois on se gardait bien d'attaquer directement, ouvertement.

En eflet, feu Gaultier, de Tours, en 18 12 ou 181 3, et Steiner, de 1826 à i83o, avaient adopté pour la corde commune à deux cercles, la seule dont ces savants s'occupassent alors, les dénominations é*axe radical, à!axe d'égales tangentes, qui paraissent admissibles dans ce cas particulier parce qu'elles ont l'avantage de ne dépendre en aucune manière de la réalité ou nonréalité de l'intersection de ces cercles. Mais ces dénominations ne pouvaient s'étendre au système de deux coniques s'entrecoupant ou non sur un plan, dont Gaultier, de Tours, n'avait nullement à s'inquiéter, et pour lequel Steiner, dans son Mémoire de 1825 ou 1826 [Journal de Crelle, t. I, p. 38), ne propose aucune dénomination spéciale et évite même de s'occuper des sécantes communes que, d'après ce qu'on a vu (p. 4o^)) M. Plucker appelait simplement clwrdales, sans distinction des cas de réalité et d'imaginarité ; dans ces cas, en effet [voyez nos applications, t. II, lY* Cahier) les quantités et formules algébriques conservent le même signe ou symbole explicite dans les transformations diverses qu'on leur fait subir.

Qu^nt à M. Chasles, excité par le bruit et les succès des Bobillier, des Gergonne, etc., rompant enfin le silence qu'il gardait depuis quatorze ans (181 4 à 1828), repoussant d'ailleurs le principe de continuité à l'imitation de Cauchy, et interprétant mal l'adjectif idéal dont je me servais pour caractériser la circonstance où une sécante porte des intersections imaginaires tout en conservant dans sa direction indéfinie une existence réelle et distincte, qui peut devenir impossible, imaginaire, même lorsque cette direction contient un point réel à distance donnée ou infinie; quant à M. Chasles, désireux, je le crains fort, de montrer sa supériorité sur l'auteur des P/ry^nV/e^ projectiles, et comprenant bien que l'expression abréviative d*axe radical est ici inadmissible, il est venu en 1828, avec une précipitation et des intentions que j'ai déjà qualifiées, 4)roposer, six ans après la publication de mon Traité, l'expression ci-dessus d'axe de symptose, en conservant, faute de mieux sans doute, l'épithète de centres d'homologie aux points de concours des tangentes, communes du système de deux coniques qui s'entrecoupent ou non sur un plan. Or^ cette dernière épithète, M. Chasles veut bien l'accepter à cause de sa correspondance avec celle de centre de si" militude des coniques semblables et semblablement placées sur un plan, dont il s'était particulièrement occupé à rÉcole Polytechnique.

De là, dans son Mémoire inséré à la page 277 du tome XYIII des Anciennes Annales de Matlié* matiques, sont sortis une série de corollaires sur lesquels je n'ai point à revenir et où les expressions daxe de symptose, de centre d'homologie et de coniques liomothétiques jouent un rôle facile à deviner quand on a lu ou seulement parcouru mon Traité de 1822, dont ce géomètre s'excuse d'être, à Nice, hors d'état de consulter le texte pour en confronter les résultats avec les siens propres;

excuse que je veux bien admettre pour quelques énoncés de problèmes, de corollaires ou théorèmes isolés, mais non quant au fond des doctrines, pas plus que je ne Tai fait pour MM. Gergonne, Plncker ei Steiner, qui, il est vrai, ont agi avec moins de circonspection que M. Cbasles et se sont écartée, dans leurs écrits, de la loyauté, de la franchise intelligentes dont mes amis Sturm et Bobillier avaient donné auparavant l'honorable exemple.

M. Chasles, provoqué d'ailleurs par les réclamations» à coup sûr fort réservées, que je lui adressai, dès le printemps de i8a8, au sujet de ses empiétements, ne parut comprendre ni le véritable sens de ces réclamations ni le désir que j'éprouvais de ne point entrer dans de nouvelles et pénibles discussions avec un savant moins philosophe, moins rhéteur, il est vrai, que Gergonne, mais en revanche plus érudil, plus disert et plus géomètre, qualités qui Tont fait surnommer, par M.Cremona YJrchimêde, par M. de Jonquières le La Fontaine de la Géométrie moderne. M. Chasles donc, bien averti, mais aussi difficile à combattre qu'à convaincre, adressa au rédacteur des Anciennes Jn* noies (t. XIX, p. a6) une sorte & erratum qu'il m'avait annoncé dans sa réponse officieuse du i5 juillet i8a8, et où il maintint, sous le patronage du journal, ce qu'il considérait comme un droit dûment acquis de substituer ses théories et dénominations aux miennes propres, que cette fois il blâme sans ménagement, assuré désormais que» discret par nécessité et exclusivement occupé de Mécanique, je ne me risquerais pas à rétorquer des arguments tout aussi peu valables d'ailleurs que ceux dont Gergonne s'était servi envers moi.

Ainsi, dans ce soi-disant erratum, non-seulement M. Chasles conserve l'épithète d'axes de spnptase pour désigner ce que je nommais conies ou sécantes communes au système de deux coniques sur un plan, mais encore il critique vivement l'emploi des mots centres d*homologief pour les circonstances diverses où la direction correspondante des rayons vecteurs ne rencontre pas simultanément les deux courbes. De là, d'ailleurs, il tire divers corollaires et conséquences qui prouvent qu'en i8a8 il n'avait pas compris ou lu avec une attention suffisante le contenu de la Section m du Traité des Propriétés projectives, et qu'imbu alors des idées étroites des géomètres de l'École d'Alexandrie» il n'entendait rien ou ne voulait rien entendre au principe de continuité^ aux imaginaires, à Tinfini de l'espace, dont la notion peut s'étendre même aux centres d'homologie et aux soi-disant axes de symptose supposés même indéfinis. Évidemment ses anciennes études sur la similitude (homothétie) de certaines figures, et celles de MM. Gergonne, Quelelet et Dandelin sur les projections stéréographiques^ entreprises en 1826 et 1827 à propos de la discussion relative à la dualité et à la théorie des polaires réciproques, ces études qui servent de base unique aux démonstrations de M. Chasles, excellentes à certains égards quoique insuffisantes et arriérées sous d'autres, ne pouvaient, comme j'en ai déjà fait la remarque expresse» conduire directement aux notions exposées dans mon ouvrage de i8aa. En cela donc, notre savant confrère commettait une inadvertance que Ton peut comparer à celle de certains auteurs pressés de produire, et qui veulent se faire chefs de doctrine avant d*avoir lu avec une attention suffisante les ouvrages de leurs prédécesseurs. Mais, par cela même que l'on s'affranchit de la sévère logique des Anciens, que Ton démontre peu et qu'on suppose beaucoup, on se trouve à la portée d'un plus grand nombre de lecteurs et l'on obtient des succès brillants et faciles.

Pour apercevoir en particulier combien M. Chasles se trompe dans ses critiques relatives aux centres ithomologie (points de concours des tangentes communes au système de deux coniques sur un plan), il suffit d'observer que, dans le cas même où les rayons vecteurs émanant de certains d'entre eux ne rencontreraient que l'une des deux courbes, ce n'est nullement un motif pour affirmer qu'il n'existe plus de rapports homologiques à l'égard de tels centres et de tels rayons; car, à chacun de ceux-ci correspondent, dans les deux courbes, deux pôles et deux points milieux des cordes réelles ou imaginaires correspondantes, outre une infinité d'autres couples de points déterminés par certaines relations métriques et descriptives, sur lesquelles il serait fort inutile d'insister puisqu'elles sont admises aujourd'hui.

Récemment, dans son Traité des Sections conir/ues (i865), qui mériterait bien le nom de IL 55

434 PROPRIJfeTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

Compendium ou Collection de synthèses géométriquesy M. Giaslea, persistaDt à refuser aux interseotions des tangentes communes l'épi thèie de centre d'homohgie, les a nommées (p. asS), par abréviation, les ombilics des coniques, expression vieillie du moi foyer (Desargues, etc.)» <]vd n'a sa raison d'être, comme celle adoptée par Monge pour les surfaces du second degré, qu'en ce que de tels points conservent certaines des propriétés du centre commun à un système de cercles concttitriques (t. F, n^ 4S3 et suiv.) ; or, cela s'accorde peu avec l'application qu'on tente aujourd'hui d'en faire aux points cycliques de l'infini.

Pour compléter ce que je voulais dire des axes de symptose proposés par M. Chastes en vue de tenir lieu des con^ ou sécantes communes, je rappellerai : i° que symptose, mot dérivé dii grec, signifie rencontre, comme asymptote signifie sans rencontre, expression abréviative qui^ si je ne me trompe, a empèdié nos prédécesseurs, avant 1822^ de deviner l'existence des divers ordres d'asymptotismes ou de contacts de l'infini, réels ou imaginaires, entre les courbes; a** que les points de rencontre d'un ojce de symptose avec une courbe plane continue peuvent cesser d'être réels et passer même à Tinfini, bien que la direction et la position de cet axe conservent une existrace géométrique distincte ; ce qui ne permet pas de dire, dans l'esprit de la nouvelle Géométrie, que cet axe est complètement impossible ou imaginaire. D'après cela donc il nous faudra employer quelque épithète caractéristique, telle que axe de symptose idéal ou idéale, etc., ambiguïté à laquelle je préférerais, comme plus française, plus claire et tout aussi abréviative, celle ù^ axe de concours idéal, ou, ce qui est plus simple encore et rentre tout à fait dans la dénomination que j'ai proposée en 1820 et 1822, et dont je n'ai jamais changé, celle de sécantes idéales, pouvant, selon la remarque ci-dessus, devenir à son tour tout entière imaginaire bu passer à Tinfini : l'adop* tion d'un pareil langage n'ayant d'inconvénient que celui de rappeler les préliminaires du Traité des Propriétés prq/ectives, que M. Chasles ne veut point admettre.

Après cet exemple, est-il bien nécessaire d'examiner un à un les autres changemrats, les autres altérations que ce savant a prétendu faire subir à un langage que je croyais très-l(^que, très-intelligible même pour des esprits ordinaires, dans ses écrits postérieurs à 1828, publiés en Belgique sous le patronage du journaliste et Secrétaire perpétuel de TÂcadémie des Sciences de Bruxelles? A cet égard, je ne puis que renvoyer au tome l" des Applications d* Analyse et de Géométrie, ainsi qu'à tout ce que j*en ai dit dans le cours de cette Section supplémentaire, où j'ai peut-être trop laissé percer l'amer déplaisir que m'avaient causé les tentatives d*empiétements et les critiques, si peu motivées, d'un géomètre dont j'estime fort le talent et les travaux d'érudition, mais auquel je n'ai pu m'empêcher de reprocher d'être en partie le promoteur, du moins en France, de ce néologisme, de cette confusion d'idées et de méthodes qui, en nous envahissant de toutes parts, ont autorisé quelques jeunes célébrités scientifiques, nationales ou étrangères, à remplir nos Comptes rendus académiques et nos autres journaux, hebdomadaires ou mensuels, d'une multitude d'articles où les excentricités et les altérations du langage mathématique ont pris une trop grande extension) sans que je prétende néanmoins méconnaître la valeur de certains théorèmes ou aperçus de Géométrie supérieure, qui sont comme la générahsation transcendante d'autres théorèmes, d'autres points de doctrine antérieurement connus.

Dans les ouvrages remarquables de i852 et i865 que j'ai souvent cités, plutôt synthétiques qu'analytiques^ à la manière d'Ëuclide, de Legendre, de Carnot, dont je ne pourrais approuver en-^ tièrement l'esprit de philosophie et de critique mathématique, où Tintuition géométrique entre pour une bien faible part, où l'on maintient, comme dans V Aperçu historique, les mots vagues, à double sens, tels que : corrélatif, employé dans un but' très-différent par Carnot, et qui remplacerait dé* sormais le mot réciproque, dont je fais usage depuis 1817 ; dualité pour réciprocité; contingence (principe) pour permanence ou continuité, et autres dénominations, changements de mots déjà critiqués ci -dessus ou qui mériteraient de l'être; M. Chasles parait s'être efforcé ainsi de restreindre^ de changer la signification des anciens mots, sinon de les supprimer tout à fait, de manière à rendre en quelque sorte méconnaissables les ouvrages qui ont précédé les siens, du moins pour les lec-

leurs, nationaux ou étrangers, peu au courant de la matière. Quel sens logique et grammatical, je me le demande, comportent les mots anhanmniquey ftomographique, dont M. Ghasles a tiré un si habile parti dans ses ouvrages classiques, et quona prétendu récemment dériver d*un priticipe de irans' formation plus général que ceux du tome \" du Traité des Propriétés projectiles?

Je ferai observer d'abord que^ d*après l'analogie et le sens attribué aux mots français anarchie [an-harchie selon Proudhon), anhjrdre^ selon les chimistes^ etc., il serait, comme j'en ai déjà fait la proposition, préférable de substituer à l'abréviatif anharmonique^ auquel je suis loin de contester le mérite d'à-propos, Tépithète toute française de surharmonique y dans le sens même que M. Chaales a en vue» ou ce qui vaudrait mieux encore pour se rapprocher de l'école allemande des Mœbius et des Steiner \yoyez l'Article II du § III, p. 4i 0, on pourrait pour l'exactitude se servir du mot dùMe-harmomque auquel il ne manquerait ainsi que le complément ùa perspectif om projectif. Car, non-seulement ces composés sont aussi acceptables que l'hybride homofocal^ moitié grec et moitié latin, employé par de très-savants géomètres, mais encore il y a lieu de ne pas s'en tenir au rapport de r^^tf section^ comme le veulent les auteurs précités qui prétendent interpréter, continuer synthétiquement Pappus et Desargues dans leurs admirables Lemmes porismatiques et inifolutifs, tous projectifs à notre manière et que, dans le présent Traité, nous avons cherché à étendre à des relations beaucoup plus complexes et non moins remarquables. Quant au mot homo» graphie, signifiant même description, comme homologie signifie même discours ou langage, cette expression abréviative, d'une valeur incontestable puisqu'elle sert de base à une très-utile série d'énoncés et de démonstrations élémentaires, n'a d'autre inconvénient que d'être en soi fort vague et de remplacer la locution allemande de projectivischer gebilde, employée par Steiner dans son livre de i832, sans croire emprunter à mes propres écrits.

En second lieu, pour quiconque a médité convenablement sur le contenu des n"^ 8 à 21 , i5, 46 et 47 du tome I" des Propriétés prajectives, dont l'application s'étend aux figures sphériques et aux aires, il est évident que les relations anliarmonîqucs et Itomographiques sont dans leurs conséquences d'une nature essentiellement projcctive ou peuvent le devenir par transformation. Car, d'après les propres remarques et les démonstrations de M. Chasles {Géométrie sujiérieure, n^ 363, p. 4o5 et suiv.), deux figures lu)mographiques quelconques peuvent être placées de mamêre à être, homologiques ou perspectives l'une de l'autre; ce qui suppose un simple déplacement relatif comme pour les figures semblables mais non semblablement situées dans Tespace ou dans un plan, en offrant certains avantages, que j'ai déjà signalés ailleurs [Applications d'Analyse et de Géométrie, 1. 1'', note de la page 498). On le voit, l'homographie n'est qu'une transformation géométrique limitée aux plus simples relations mé\.rif\\xeAprojecti\'es, tandis que la nôtre comprend toutes celles de la Géométrie de la règle, des transversales, etc.

son GBBTA.1NES PBOPRlfiTÉS DES RÉSEAUX FORMÉS PAR LE CROISEMENT MUTUEL DE DEUX LIGNES OU SYSTÈMES DISTINCTS DE LIGNES CONTINUES SUR UN PLAN.

Lorsque, dans l'hiver do i83o à i83i, je m'occupais de rédiger, pour les présenter à Tlnstitut, les Mémoires qui contiennent V Analyse des transversales (Sect. III et lY), je me vis obligé de laisser de côté plusieurs points de doctrine ou d'application relatifs aux systèmes de lignes et de suriaces géométriques à intersections communes, notamment ce qui concerne les osculations mutuelles de ces surfaces, par lesquelles je comptais terminer la lY* Section, et dont s'était occupé M. Plucker dans un intéressant Mémoire de 1829 (Crelle, t. lY, p. 34a), où, cependant, il a eu le grand tort (ibidem, p. 5o) de nier l'influence exercée par le principe de continuité sur la direction de ses idées analytico-géométriques. Mais^ ce qui m'a plus particulièrement donné des regrets, c'est de n'avoir pu développer davantage les applications (Sect. lY), qui concernent le cas de

deux systèmes indépendants de lignes, droites ou courbes, tracées sur un même plan et dont le croisement réciproque sous des formes ou figures polygonales plus ou moins élémentaires, constilne un groupe, un ensemble quMl ne faut pas confondre avec les figures propres à chaque ligne ou système de rencontres mutuelles en particulier. D'après un usage généralement adopté parmi les géomètres q^tronomes, les ingénieurs et les artistes fabricants de tissus et d'ornements divers, nn tel ensemble peut être nommé réseau^ sauf à conserver, d'après Tusage, le nom de fait' ceau à une série indéfinie de lignes ou de systèmes de lignes à points de rencontre communs. Les canevas géodésiques formés de méridiens et de parallèles terrestres, le double système des lignes de courbure d'une même surface, des génératrices croisées de Thyperboloïde à une nappe, etc., offrent tous, comme le canevas à jour des brodeuses, les tulles et les dentelles, le tissu plein, à chatne et trame, des étoffes les plus simples et les plus riches, l'échiquier même du jeu de dames ou d'échecs, autant d'exemples de réseaux quadrillés dont les points de croisement anguleux sont les nœuds ou sommets.

En m'occupant, au printemps dernier ( i865), de l'impression de mes notes manuscrites de i83o-i83i, je remarquai que les propriétés projectivesy les relations tVinvoUuion simple ou multiple dont jouit l'ensemble ou réseau géométrique dont j'entends exclusivement parler, permettent de construire, sous certaines conditions, les lignes qui en contiennent les nœuds ou points de croisement mutuels que, pour ce motif, on peut nommer lignes nodales. Or, pendant la révision de la partie de ces anciennes notes et des souvenirs qui s'y rattachent, j'ai éprouvé le vif regret, pressé par le temps, l'encombrement des matières et un excès de fatigue, de ne pouvoir donner aucun développement à mes premières idées. A cette occasion j'avais, hors de propos je l'avoue, songé à substituer dans l'impression de la IV* Section dont il s'agit, le mot de réseau au mot banal de système^ afin de mieux caractériser le genre particulier de figures que j'avais prétendu considérer dans le manuscrit de i83o, figures auxquelles le nom de faisceau ne pouvait convenir. Mais j'ai renoncé à ces changements ou perfectionnements tardifs, grâce aux observations de mes amis scientifiques, MM. Moutard et Mannheim, qui ont bien voulu soumettre à un contrôle sévère le texte de cette Section restée manuscrite et à laquelle, moi-même, je répugnais d'apporter une modification aussi essentielle. Or^ j'ai d'autant plus lieu de me féliciter aujourd'hui d'avoir déféré à leur avis que l'emploi du mot réseau^ inusité en Géométrie, rappelant celui de netz dont se servaient justement Steiner et Mœbius dans leurs ouvrages allemands, aurait pu me donner fort gratuitement les apparences d'un néologisme et de réminiscences que j'ai souvent reprochés à d'autres, avec d'autant plus de motifs ou d'apparence que certains écrits publiés pendant l'impression même de la IV' Section de ce volume en ont donné un nouvel et fâcheux exemple.

Les premiers numéros de cette Section, et plus particulièrement les n*" 261 et suivants (yf^. 42 et 43), nous ont offert des procédés généraux aussi simples que remarquables pour construire une infinité de courbes nodules d'un réseau formé par les rencontres mutuelles de deux systèmes distincts de transversales rectilignes ou curvilignes de même degré : le but qu'on se propose d'atteindre dans de pareilles questions offre, si je ne me trompe et sauf la forme, la continuité des lignes, des routes à déterminer ou à parcourir, beaucoup d'analogie avec le problème de situation et d*analyse combinatoire relatif au jeu d'échecs, que s'était proposé le grand Euler dans les Mémoires de P Académie des Sciences de Berlin pour 1769, problème au fond identiqiie à celui qui consiste à faire franchir à un cavalier différents ponts jetés sur les replis, les méandres d'un fleuve, sans jamais repasser deux fois sur le même pont, et dont Euler avait déjà tenté la solution dans les Mémoires de l'Académie de Saint-Pétersbourg pour 1736 (*), mais que VsBdermondca résolu â son tour (1771) par des procédés plus simples, comme M. Poinsot eo a

(*) Vqxes la traduction française de cet écrit par M. E. Coupy, Inaéréc à la page Tg6 du toin« Xf |B5j,^ des Nouvelles Annales de Mathématiques,

offert par la propriété des réseaux formés de lignes géométriques droites ou courbes, tracées sur un plan et dont les nœuds, sommets ou points de rencontre en nombre déterminé, sont tels qu*oi\ puisse toujours y faire passer une infinité d'autres lignes géométriques distinctes, bien que ce nombre soit, à partir du troisième degré, généralement supérieur au nombre strict des conditions nécessaires pour déterminer algébriquement l'équation de la courbe.

Ainsi, par exemple, on arrive à ce corollaire remarquable énoncé dans le Journal de Crellc (t. XXXIV, année 1847, p. 339) :

Trois ou plusieurs courbes du troisième ordre passant par les mêmes huit points donnés vont se couper toutes dans un même neuvième point.

Mais, malgré la facilité apparente avec laquelle M. Plucker arrive à cette conséquence et à plusieurs autres non moins intéressantes, relatives aux figures recti lignes inscrites dans les courbes du troisième ordre, ce savant professeur n*aurait pas dû oublier que j*avais moi-même, vingt^trols ans auparavant, établi plusieurs de ces théorèmes au commencement de mon Mémoire sur VAna^ fyse des transversales (Sect. H!, p. i5a, n^ i54 et suiv.).

Je n'insisterai pas davantage sur un genre de questions qui se rattachent de la manière la plus intime au porisme réciproque de la page 404 (fig. 5a ), ainsi qu'au paradoxe d'Euler et de Cramer élucidé par MM. Plucker et Jacobi au point de vue de la Géométrie analytique ; je me contenterai de faire observer en général, que les mn points d'intersection de deux courbes de degrés quelconques i7t et n n'équivalent pas toujours kmn points arbitraires, pas même à m (/?•* i).