SUR LES INVOLUTIOKS ET LES RÉSEAUX PARTIELS OU IMPARFAITS

(Note rectificative et complétive des n°* 252 et suivants du texte).

Les paragraphes et articles divers de la Section III nous ont offert des exemples plus ou moins remarquables de relations métriques et descriptives qui se rapportent aux réseaux et aux involutions que j'appellerais volontiers simples ou élémentaires^ parce qu'il n'y entre qu'un seul système ou ensemble de lignes indépendantes entre elles, et par conséquent un seul système de figures polygonales inscrites à ces lignes, contrairement à ce qui a lieu pour les figures des §§ I et n de la Section IV , où les systèmes entre-croisés de lignes ou de surfaces, ainsi que les involutions y afférentes, composées ou multiples^ peuvent offrir un caractère particulier de symétrie et de réciprocité parfaites, dû à ce que les systèmes distincts que l'on y considère sont d'un même degré, et les groupes de points déterminés par une transversale rectiligne assujettie ou non à des conditions données invariables, sont de même ordre, c'est-à-dire Jcomposés d'un nombre égal de points. Mais, entre ces hypothèses extrêmes, il en est une infinité d'autres non moins intéressantes, et dans lesquelles les systèmes considérés isolément sont d'un degré différent; c'est ce dont nous avons eu également des exemples au commencement de la Section IV (n** 255 et suiv.), où la ligne de moindre degré est complétée par une autre ou par un système de droites en nombre convenable pour égaliser les degrés.

Par cette considération géométrique fort simple, en effet, le problème qui consiste à mener, par un point arbitrairement choisi sur le plan de la figure, la courbe nodale contenant tous les sommets du réseau ainsi défini, se trouve résolu géométriquement, grâce à nos méthodes relative» aux propriétés de Vim^olution complète, et qui offrent par là môme l'exemple de faisceaux de lignes d'égal degré, dont les intersections communes sont en nombre supérieur à celui des conditions strictement nécessaires (n^ 215, p. 200) pour déterminer toute courbe de ce degré à une unité près ; genre de questions qui a beaucoup occupé les modernes successeurs d'Euler et de Cramer, conune je l'ai fait remarquer à la fin de Y Article 111 ci-dessus, p. 438.

Mais, en recourant aux auxiliaires dont il vient d'être parlé, on complique inutilement la so-

kition du problème, et c*est pourqud, tout en travaillant à réunir les matériaux de 4a Section IV, je me préoccupais (note do la page 253, n"" 281) de Tidée d'ajouter au § Il de cette Section un article spécial ayant pour but de rechercher s'il n'existerait pas quelque propriété générale des involutions partielles, qui permit de déterminer directement les points qui, sur chacune des transversales à considérer (261 et suiv.), appartiennent à la nodale correspondante.

Nommons m le degré de l'une des deux lignes ou systèmes de lignes à considérer, /i<m celui de l'autre; m^n sera le degré du système complémentaire ou auxiliaire, qu'on peut représenter par l'indice (/i), les indices (m) et (m — n) représentant les lignes ou systèmes de degrés m et m^ n respectivement, d'après les conventions mêmes du texte dont on a supprimé, lors de l'impression, deux Notes qui devaient constituer V Article adfUtionnel du § U, mentionné ci-dessus. Ces Notes étant demeurées dans un état de rédaction fort imparfait, je me contenterai simplement d'en donner ici une idée tant à cause de leur étendue que des lacunes mêmes qu'elles renferment, lacunes que je n'ai nullement l'intention de combler.

Dans la première de ces Notes, je me proposais de rechercher non-seulement l'équation en x du degré nf, analogue à celle de la page 248 (n° 271), et qui est propre à déterminer sur une transversale arbitraire les points qui jouissent, par rapport aux deux groupes d'intersection de cette transversale et des systèmes [m) et (//), do relations d'involutions analogues aussi à celle de cette page, mais encore de construire la courbe nodale des points x, x\ or", ... , qui contient les sommets divers du réseau formé par rentre-croisement de [m] et de (/i), et cela même dans le cas où l'on se dispenserait de recourir au système complémentaire de degré m — n dont il a été question d'abord : ce système pouvant être remplacé par des conditions diverses, tour à tour essayées dans cette première Note. Mais j*ai dû y renoncer à cause de la longueur des éliminations, me contentant d'observer que la courbe [m) et la courbe inconnue des points x, étant toutes deux du degré ///, constituent par elles-mêmes un réseau complet, dont les m^ sommets doivent comprendre les mn intersections de (//<) et de (/i) plus m-^n autres points fixes, réels ou imaginaires, à distance donnée ou inGnie. D'ailleurs, ces différents points doivent jouir dans leur ensemble des propriétés d'involution définies aux divers endroits du texte (Secl. III, n^l78 à 210; Sect. IV, n^ 2S3 ctsuiv.), et qui concernent non-seulement les sommets dont il s'agit, mais aussi les cordes ou sécantes qui les joignent deux à deux diagonalement et les tangentes simples ou multiples correspondantes ainsi que certains de leurs points singuliers, etc. ; tout consistant à modifier convenablement les constructions du n° 261 (fg. 42).

A ce dernier égard, je ferai observer que la difficulté que Ion pourrait éprouver à comprendre et appliquer les méthodes que ces numéros indiquent pour déterminer les m — 1 dernières intersections r', r",,.., d'une transversale arbitraire />(/r avec la courbe qui contient les sommets d'un réseau complet d'ordre //i, en assujettissant cotte transversale à passer par un point r donné à volonté sur le plan des deux lignes fondamentales de ce réseau, je ferai, dis-je, observer que cette difficulté provient uniquement de l'accumulation, de la diversité des méthodes ou systèmes de tracés que le n"" 261 et la^. 42 indiquent, et dont les démonstrations ont été supprimées dans le texte comme étant à peu près inutiles d'après le contenu des n** 181 et 204 ou suivants. Malgré le désir bien légitime d'abréger, je n'en crois pas moins à propos, pour la satisfaction des lecteurSj de reproduire ici (fg, 67) avec les mêmes lettres, mais sur une autre échelle, la partie de la fig, 4a relative à la dernière des solutions indiquées au n"* 261 , ainsi que le passage du manuscrit qui lui servant d'explication, est ainsi conçu :

« Sopposons, pour fixer les idées, que ap et aq soient les transversales distinctes dont il s'a(;it, et soient » F, P*, P*, . . . , Q', Q*, cy, . . . leurs intersections respectives avec les autres transversales y', 5^', 5//*, . . . , • «t tq\ sq^f sq^t . . . , issues de s. Par ce dernier point, considéré comme pôle des rayons vecteurs de la » eonrbe cherchée, menons une suite de transversales dans l'angle des droites aP' et.aQ'; soit a6 Tudo » d'elles rencontrant aP' en b etaQ' en c, c'est-à-dire. considérons le triangle a&c comme transversal de » U courbe dont il^s'agit^ et observons que bc contient m -> 2 points do cette courbe confondus avec ^,

44o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

» pins un autre point x, distinct de s et qu'il s'agit de construire sur chaque transTersale, on aura » d'après notre principe fondamental (13) :

(aP'){cQ')Is'^\bx (6F)(aQ').«'*"*.«r

» équation qui permettra de calculer immédiatement le rapport de bx k ex, et par suite (i 3), de dëter- » miner la position du point x,

» Parmi les différentes manières de construire linéairement x, nous choisirons la snîTante, qui est une » des plus simples et des plus symétriques.

> Traçons, une fois pour toutes, les droites FQ', P'Q% P^Q^,..., rencontrant aux m— i pointe » n\ n't ff^, . . . la transrersale arbitraire ^c, points qui seront ainsi connus, on aura, en considérant à » son tour le système de toutes ces droites comme une ligne géométrique transTersale du triangle nBCf

{bP')(aQ'){cn') ' » équation qui, étant comparée à la précédente, donne immédiatement

\bx {bx')

^{cx')'

» laquelle exprime que le système des m — ci points confondus en s, joint h x, et le système de m — i » points r', n*, n'', . . . , sont en inyolution par rapport aux deux points b et c. Donc on obtiendra im- » média tement le seul point inconnu x par les constructions linéaires du n^ 183, en inscrivant, par » exemple, dans l'angle bac ou dans tout autre formé par deux droites issues de b et de c, un polygone » quelconque dont les m — 1 c6tC8 de rang pair passent respectiTement par les points n\ /i", r*", . . . et dont » les côtés de rang impair passent de môme par les m — 3 points s ; car le dernier côté ira naturelle- » ment rencontrer bc au point x demandé.

» Telle est la construction simplement énoncée aux n<>* 183, 204, etc., et de laquelle il nous serait facile » de déduire un bon nombre de propriétés intéressantes relatives aux lignes géométriques qui ont un » point multiple d'ailleurs de Tordre le plus élevé ; mais nous ne pouvons nous arrêter ici à ce problème. •

Au surplus, je dois rappeler à cette occasion (p. 207^ n° 223 ) que les constructions géométriques indiquées dans ces solutions fondamentales, bien que toutes linéaires et faciles en apparence, reposent sur des hypothèses rarement réalisables dans les applications, si ce n'est pour les cas les plus simples de chaque espèce. Il ne s*agit là, en effet, que de figures de démonstrations, et les raisonnements, les procédés dont on 8*y sert sont entièrement comparables à ceux de FAnalyse algébrique, surtout de TAnalyse fonctionnelle où les équations des courbes d'un degré indéterminé m, simplement supérieur au deuxième, telles que/"'(x^) = o, par exemple, sont de purs symboles de raisonnement et de démonstration irréalisables par le calcul ou le tracé, bien qu'on en connaisse certaines propriétés très-remarquables ; équations dont, au point de vue de la perception intellectuelle, de la divination et de l'argumentation, on pourrait comparer la puissance virtuelle à ce que les Anciens, Euclide notamment, appelaient les données (data) dans leur Analyse parlée ou écrite consistant véritablement en tableaux mnémoniques dans le genre de ceux de la Géométrie de position de Carnet, comme j'en ai déjà fait la remarque dans un autre endroit. La Géométrie de Descartes ou toutes autres méthodes symboliques et de transformation moins universelle et moins parfaite qu'on a vues apparaître depuis un certain temps, ne sauraient donc, sauf la brièveté et la concision pour certains cas fort rares, offrir aucune puissance, aucune supériorité absolue réelle et constante sur les modes ordinaires de découvrir ou de démontrer à posteriori les vérités géométriques, et je ne prétends aucunement en excepter V Analyse des transversales^ \e& Principes de perspectii^e ou projection centrale, etc., etc.

Après ce préambule indispensable pour les esprits exclusifs ou qui manqueraient de jrfiiloflophie

SECTION SDPPLÉMENTAIRE. 44i

mathématique, je passe i^u contenu d'une autre Note manuscrite non moins ancienne et qui ftdt suite à la précédente que je terminais en me demandant si le réseau formé par la rencontre des lignes ou systèmes différents de lignes, de degrés m et /i, ne jouirait pas de quelques-uns des caractères de Vinvolution complète et réciproque par rapport à toute courbe nodale, de degré m, contenant leurs mn points de rencontre ou sommets; notamment si l'on ne pourrait pas se servir des procédés du n"* 261 pour déterminer séparément chacun des groupes d'intersection r, r", r",,..^ ou x^ x\ x*, en nombre m^^n^ de cette courbe, avec les diverses transversales issues de l'un quelconque, r ou x, de ces points, censé fixe ou le même pour chacune de ces transversales. Bfais, faute de loisir encore, il m'a été impossible en i83o de vérifier ce soupçon fondé, je Tavoue, sur une pure analogie de ce qui doit exister entre les résultats des procédés géométriques d'involution et la très-ancienne et ingénieuse méthode algébrique des coefficients ou multiplicateurs indéterminés, appliquée par exemple aux équations fonctionnelles

qui donnent pour l'équation de toute ligne contenant les intersections mutuelles des courbes correspondantes,

nouvelle équation du degré m^n dans laquelle K représente un coefficient numérique arbitraire, tenant lieu ici du point qu'on se donne aussi à volonté dans nos méthodes géométriques pour y faire passer la courbe nodale ou des mn sommets du réseau ; car en représentant par x' et y les coordonnées ordinaires de ce point, on a pour calculer le facteur numérique K,

Lorsque /i = /n, la courbe nodale, représentée par l'équation (3), constitue avec celles des équations fondamentales (i) et (a) du réseau un système en involution triple, c'est-à-dire complète, réciproque et jouissant, par cela même, de toutes les propriétés métriques ou descriptives que nous avons longuement étudiées dans la Section IV, et dont la plus remarquable concerne les différents groupes de 3/11 intersections relatives aux mêmes transversales rectilignes arbitraires; transversales parmi lesquelles se distingue celle qui répond à l'infini du plan des courbes (i), (i) et (3) : les tangentes relatives aux points de rencontre de cette transversale constituant un réseau de 3/ii asymptotes déterminables, constructibles par nos méthodes ou celles de l'Analyse des coordonnées (voyez les n*" 478 et suiv. de ce volume et la Théorie des Polaires réciproques avec réflexions et additions, p. 4^3 à 5o3 du tome II de nos applications, etc.).

Mais, ce quil y a de particulièrement remarquable ici, c'est que le triple faisceau de droites ntjronnantes ou projetantes allant d'un point quelconque du plan de la figure aux 3/ii points de contact des tangentes aux points de l'infini, c'est-à-dire parallèles aux asymptotes respectives dont il s'agit, constitue lui-même une involution complète entre les sinus des angles projetants ou entre les trois groupes de m segments formés sur toute transversale rectiligne, par les faisceaux correspondants de parallèles.

Les articles que je viens de citer, faute d'une suffisante compréhension des notions infinitésinoales de V infini relatif (ibid,, t. II, p. 5^5)^ ces articles, je le redis à regret, n'ont été {voyez p. 4 1 3, 4 19) etc. ) compris, goûtés que longtemps après 1828 par les géomètres algébristes ou non algébristes, si ce n'est par mon excellent ami Bobillier, lui aussi mort avant l'âge dans les angoisses d'une vie troublée par les dénis cruels de l'injustice et de bien légitimes espérances trompées. Si je ne lais pas la même exception en faveur du savant professeur de l'Université allemande de Bonn, c'eat qu'en suivant les traces de Bobillier, il n'est arrivé, comme on l'a vu (III), que lentement et péniblement à la conception des idées philosophiques ou métaphysiques dont il s'agit, dans ses couvres in-4'* de i8a8, i83i et même de i835 et 1839, où il n'était guère, plus que d'autres, II. 56

44a PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

autorisé à btftmer les tentatives de classification des courbes par Newton, Léonard Euler, etc., privés qu'ils étaient, j'en réitère ici l'observation expresse, des éléments de cette métaphysique de rinfini qu'on repoussait naguère encore^ et qui, ipéme aujourd'hui, est à peine comprise par les successeurs de M. Plucker : c'est ainsi notamment que, dans son ouvrage de iSSg (p. 17 et suiv.), il a est arrivé que par une succession de transformations algébriques pénibles, à notre théorème du n"* 2i8 (p. ^17 et at8 de la Section II de ce volume), concernant le système entier des asymptotes d'une courbe plane géométrique, ainsi qu'aux diverses autres notions et propriétés relatives à Vasymptothme de divers ordres ou natures d'une telle courbe : je veux dire paraboUqwe, elliptique, hyperbolique; notions bien évidentes d'après les principes du Traité des Propriétés pnyective» des figures, et auxquelles on n'a ajouté depuis, j'ose le dire, que de simples dévdpppdmenta de calculs algébriques.

Il résulte en particulier des aperçus rapides des articles xvi et suivants, p. 49^ du tome II de nos Applications, etCy articles continués p, 5oo, que a toute courbe plane du degré m, représentée par » une équation en x et j, a généralement un nombre m d'asymptotes dont les tangentes d'incli- » naison sur l'axe des abscisses sont données par une équation de même degré, obtenue en posant, » par exemple^ x = ^^^ substituant, divisant par la plus haute puissance de x, et supposant fina- » lement x = qo , équation qui, par la discussion des racines, permet de découvrir les propriétés » essentielles des points situés à Tinfini Sur la courbe, soit réels, soit imaginaires, simples ou » multiples; le dernier cas se rapportant à celui des racines égales où certains de ces points se i> confondent en un seul sur l'asymptote correspondante, et non simplement à un système d'asympj> totes parallèles selon la note première de la page 497 du volume cité, etc., etc. »

Quant au cas des courbes (m) et (n) de d^rés différents, mentionné au commencement du présent article et défini par les équations (1) et (2), d'où se déduit l'équation (3) de degré m, il est évident que des considérations précédentes découlent un grand nombre de conséquences relatives aux osculations mutuelles des courbes en des points qui leur sont ccnununs (*).

Le système des lignes représentées par les trois équations distinctes

m'a beaucoup préoccupé anciennement, sans que je fusse arrivé à des conclusions bien certaines, à des résultats entièrement satisfaisants, que pourtant je résumerai ainsi brièvement :

1^ Quand n s m, et que, dans les équations (i) et (a), les sommes de termes de plus haute puissance y sont, à un facteur constant près, identiques, les courbes correspondantes sont sem* blables et semblablement placées, et acquièrent ainsi à l'infini m points communs auxquels corres* pondent, dans chaque courbe, m asymptotes respectivement parallèles : ces mêmes courbes coïn* cident entièrement quand elles ont en outre un autre point comnuin quelconque à distance donnée ou finie. a° Dans le cas de /i < m, les lignes (i) et (a) peuvent acquérir à l'infini un contact de l'ordre /? < /ii/i — i quand les équations en 0. mentionnées plus haut, et qui correspondent à « = 00 dans chaque courbe, sont, dans leurs dérivées respectives de divers ordres, susceptibles de devenir identiques ; ce qui fixe pour chaque ordre les équations de c^mdition entre les données ou coefficients de (a). 3° La courbe nodale de (i) et (a), représentée par l'équation (3), ne peut pour ii<m avoir d'autres asymptotes ou points communs à l'infini que ceux qui appartiennent

(*) Ces rdfultato s'étendent évidemment aux surfaces géométriques en général, et Ton y arrive également, au moyen des notations, symboles et transformations algébriques connus, en rendant les équations homogènes par l'introduction d'une nouvelle coordonnée censée implicitement infinie, et dont le rapport aux coordonnées naturelles correspondantes n'a de signification, de valeur déterminée qu'autant que ces variables convergent simultanément vers un Infini du mftme ordre. Mais en ne s'appuymot qu'implicitement sur le principe de continuité, on double ainsi et l'on complique singulièrement, sinon iautilement, le domaina déjà tl enoombré et si tride de la Géométrie analytique.

à la courbe (i) ; ce qui constitue des courbes ( 3), une catégorie très-distincte et toute particulière relativement à la ligne nodale appartenant au c^s de /i = m, puisque alors les asymptotes ou points de TinGni peuvent être toui autres que ceux des courbes individuelles (i) et (a). 4" Si, pour comparer directement entre elles les lignes (i) et (3) d*éga] degré, on mulliplie cette dernière équation par un coefficient numérique R' distinct de K, puis qu'on retranche le produit de cette même équation de (3), on obtient

(4) (i-K')P'(.:,j) = KK7-(a:,/),

équation d'une nouvelle courbe nodale de degré m, qui se confond avec (i) et (3) quand R'=: -•

Or, cela arrive aussi lorsqu'on donne à ces dernières courbes un seul point commun distinct des mn nœuds ou intersections communes de m et de /i, et provient, sans nul doute, de ce que les courbes (i) et (3) de même degré sont en involuUon complète et réciproque. S'^Etc.

J*abrége pour ne pas dépasser sans motifs les limites imposées à ce second volume.

Inutile aussi d'ajouter que, d'après les remarques des pages 4B3 et suivantes du tome II de nos Applications, tout ce qui précède est susceptible d'être étendu plus ou moins directement au cas des surfaces d'ordre quelconque; il me suffit de faire observer que ces investigations, bien qu'imparfaites, laissent un beau champ d'étude aux partisans des nouvelles doctrines géométriques.

nn DE LA SBCnOIf SUPPLBMBNTÀIBE DU TOMB 11 ET DERNIER DES PROPRIÉTÉS PROIBCTIVBS.

îl" - Pag.

Cas où les moyennes sont prises par rapport à des coefficients numériques arbitraires. . 36 35 Justification à priori des simplifications de ces procédés et définitions par les principes de la perspective ou projection centrale — ,............: 39 87

§ IV. — Application de la théorie du centre des moyennes harmoniques aux propriétés des figures rectUignes et pofyédrales.

Propriété générale et mutuelle des axes de moyennes et d'origines harmoniques d un faisceau de droites rayonnantes ou projetantes 41 Sg

Propositions analogues relatives à des systèmes de droites et de plans quelconques coupés par d'autres droites ou d'autres plans arbitraires 47 43

Propriétés relatives au centre, à l'axe et au plan de moyennes harmoniques d'un système de points, de droites et de plans situés à volonté dans l'espace 49 44

Relations métriques et projectives diverses, tirées des propositions précédentes 51 4Q