APPLICATION DE LA HÉTHODE AUX LIGNES DU TROISIÈME ORDRE

154. Théorème principal qui en dérive. — Soit une courbe plane du troisième degré considérée comme transversale d'un triangle quelconque abc {fig^ 34), tracé sur son plan et dont le côté ah la rencontre aux trois points Pj p\ p"\ le côté hc aux trois points ^, y', 9"; le côté ca aux trois derniers points r, r\ r": on aura, en vertu du principe des transversales dû a Carnot,

ap . ap' . ap" X hq . hq^ . hq" X cr. cr' . cr"

hp . hp' . hp" X cq . c(^ . cq" X ar, ar* . ar*^

Supposons, en particulier, que le système des trois couples de points/? et/9\ ^et 9', ret r* soit à une ligne quelconque du second ordre, on aura aussi l'équation

ap,ap' X bq.bq' x cr,cr'

bp . bp' X cq . cq' Xar.ar' '

qui réduit la précédente à cette autre

, ap'' X bq'' X cr'' __

6/'Xc9"Xar"""''

exprimant évidemment (148 et 149) que les trois dernières intersections p'\ q%-r\ appartenant à des côtés différents du triangle abc, sont situées sur une même ligne droite.

Réciproquement, si ces intersections sont supposées en ligne droite, l'équation qui leur est relative réduira la proposée à celle qui exprime que les six intersections PfP'f q, y', r, r' appartiennent à une simple ligne du second ordre.

SBCtION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i53

Ce théorème, qui s'applique immédiatement au système de trois droites

uelconques d'un même plan, considéré comme une ligne du troisième

rdre, et que nous verrons, dans le § IV, s'étendre aux courbes géométri-

ues de tous les ordres, coupées par des transversales rectitignes quel-

onques et en nombre arbitraire, ce théorème, dis-je, peut s'énoncer très-

implement en cette manière :

Si, parmi les neuf intersections (Tune ligne plane du troisième ordre avec

Mrois transversales arbitraires y six quelconques appartiennent à une même ligne

^u deuxième ordre, les trois intersections restantes seront à une simple ligne

droite; et réciproquement, si trois quelconques de ces neuf intersections, appar--

tenant à des transversales distinctes, sont situées sur une même droite^ les six

intersections restantes seront à une simple ligne du second ordre.

155. Corollaires relatifs aux tangentes accouplées et asymptotes. — Cet énoncé général conduit à une foule de conséquences particulières relatives aux courbes du troisième degré, dont il nous suffira ici d'indiquer rapide* inent les principales et les pjus dignes d'intérêt.

Supposons, par exemple, qu'on remplace, dans ce même énoncé, la ligne du second ordre dont il y ent fait mention, par le système de deux nouvelles droites arbitraires, le théorème subsistera toujours à l'égard des trois dernières intersections qui demeureront en ligne droite; et si, plus particulier rement encore, on suppose que les droites composant ce système viennent à se réunir en une seule, on sera conduit à ce corollaire i

Lorsque les points de contact de trois tangentes d'une ligne quelconque du troisième ordre sont situés sur une même droite,, les trois intersections nouvelles de la courbe et de ces tangentes sont elles-mêmes en ligne droite.

Donc aussi :

Les trois asymptotes d'une ligne du troisième ordre rencontrent la courbe en trois nouveaux points qui sont situés sur une même droite.

156. Points d'inflexion. — On sait que la tangente au point d'inflexion d'une ligne du troisième ordre contient trois points consécutifs de la courbe; donc, en vertu de notre premier théorème.

Si, par Vun des points d 'inflexion dune courbe du troisième degré, on mène * trois transversales arbitraires, les six intersections nouvelles de ces transversales et de la courbe seront à une simple ligne du second ordre, de sorte que trois qùelcorujues d'entre elles, appartenant à des transversales distinctes, ayant été prises sur une même droite, fes trois intersections restantes seront égcdement à une autre droite.