II

i54 PROPftIÉTÊS PR0JECTIVE8 DES FIGURES. " *

Donc encore :

Tout point d'inflexion d'une ligne du troisième ordre jouit ^ par rapport à cette courbe 9 de propriétés métriques ou descriptives analogues à celles du pôle d'une conique considéré par rapport à sa polaire.

Et, w particulier,

Si d'un tel point on mène les trois tangentes correspondantes de la cowfhe^ leurs points de contact se trouveront sur une même droite qui peut être appelée h polaire de ce poiru .

Goncevonâ enfin que, par deux quelconques des points d'inflexion d'une courbe du troisième degré, on mène une ligne droite, il en résultera que la dernièr<e intersection de cette droite sera naturellement un troisième point d'inflexion de la courbe qui ne pourra évidemment en avoir aucun autre de cette sorte. Donc :

Les trois points d'inflexion d'une courbe du troisième degré sont toujours en ligne droite.

1 57 . Revendication en faveur de Mao~Laurin. «^Ces corollaires ne sont poi n t tous nouveaux; plusieurs ont été donnés, par Mac^-Laurin, dans son Traité des lignes géométriques de 174^, et ont été même exposés, par M* Chastes, dans la Correspondance physique et mcohématique des Pays^Bas^ LY, p» a35, et t. VI, p. 1 1 (années 1829 et i83o), mais par une soarche qui ne permet pas de supposer que ce dernier géomètre ait eu coonaissancd des recher^ cbes spéciales entreprises par Mac*Laursn, sur \e» lignes du troisième ordre; recherches qui embrassent beaucoup d'autres théorèmes sur ces lignes, et dont les plus généraux et les plus remarquables, par Tanalogie qu'ils présentent avec ies propriétés connues des quadrilatères inscrits aux sections coniques, peuvent être traduits et résumés en ce peu 4« mots :

Un quadrilaière complet et à trois diagùnales éiani inscrit à tme ligne plane du troisième ordre^ i ^ les trois points de concours des couples de tangentes issues des sommets respectivement opposés de ce quadn'latère, sont situés en ligne droite et sur la courbe; a" chacun de ces couples de tangentes forme, par ses intersec^ tions avec l'un quelconque des deux autres couples, un nouveau quadrilatère • circonscrit à la courbe proposée i et dont les trois diagonales contiennent respectivement, soit l'un des points de contact du dernier couple de tangentes , soit leur point de concours situé sur la courbe.

1 58 . Démonstration par nos principes et généralisation. — Ces propositions trouvent leur démonstration naturelle, et en quelque sorte éiridente, dans le principe général du n"* 154, restreint au cas particulier où la ligne du

SECTION III. — ANALYSE DES. TRANSVERSALES. i55

secoQd ordre qu'il eoneerike se réduit au système simple de deux droites. Ce

xnéme théorème conduit encore aux énoncés suivants qui renferment impli-^

^itement les précédents» et prouvent qu'il existe la plus grande analogie

^Qtre les propriétés de situation d'une branche quelconque d'une ligne du

trdisième ordre^ considérée par rapport aux deux antres branches, et les

propriétés pareilles d'une ligne droite quelconque, considérée par rapport

à une section conique dans le plan duquel elle se trouve située :

i^ Dans tout quadrilatère inscrit au système formé par ^eux quelconques des branches d'une ligne plane du troisième ordre^ les droites qui joignent les couples de points de rencontre des côtés opposés et de la troisième branche vont naturellement se couper en un nouveau point de la courbe.

a^ Si l'on inscrit^ au même couple de branches, une suite de quadrilatères dont les trois premiers côtés piwtent constamment autour de trois quelconques des points de la troisième bravache » considérés comme pôles inyariables, le der^ nier côté pÙH)tera, lui-même, sur un quatrième point fixe de cette branche, ayant y par rapport aux trois autres, la corrélation de situation qui vient d'être

indiquée,

159. Hexagone inscrit aux lignes du troisième ordre. — Ces énoncés, qui s'étendent' sur^e-champ aux polygones inscrits d'un nombre quelconque, pair, décotes, etc., forment, en effet, les pendants de ceux des n^' 180 et 51 3 du Traité des Propriétés projectiles, qui sont, comme nous l'avons montré en ces endroits, des conséquences fort simples de la propriété qu'ont (144) les quadrilatères inscrits aux sections coniques, d'être coupés, ainsi que la courbe, par une transversale arbitraire, en six points qui sont en involution.

Mais le principe du n^ 154 ci-dessus, spécialisé comme nous venons de le dire, conduit à des rapprochements plus singuliers encore. En effet, on en conclut, sans discussion» ce nouvel énoncé :

Ayant inscrit à volonté, à une courbe du troisième degré, un hexagone dont deux quelconques des trois points de concours des côtés respectivement opposés soient sur cette courbe, le dernier s'y trouvera naturellement aussi.

1 60. Remarque et théorème général relatif aux lignes du troisième ordre. — L'entière conformité de ce principe avec celui de Pascal (148), relatif à Thexagone inscrit aux lignes du second ordre, nous dispense d'insister sur les nombreux et intéressants corollaires auxquels il donne lieu, et parmi lesquels d'mHeurs, il faut bien le remarquer, ne se trouvent compris ni ceux qui pourraient tfvoir trait aux propriétés réciproques des pôles et polaires des sections eoniqifes, .m celui qui se rapporterait au beau principe deBrianchon sur Ic^;

i56 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

hexagones circonscrits à ces mêmes lignes. Cette circonstance démontre bien clairement, ce me semble, combien il serait dangereux de se livrer, sans réserve, aux conséquences du principe de dualité^ mis en avant, sans démonstration ou même sans preuves suffisantes, par un savant géomètre analyste, qui en en proposant l'adoption» en 1 8ïi6, était loin, comme on sait, de soup* çonner que les propriétés de situation des lignes du troisième ordre, par exemple, dussent se retrouver, non pas précisément dans les lignes mêmes de cet ordre, mais bien dans toutes celles qui n*ont, au plus, que trois tangentes possibles issues des mêmes points, comme l'indique très-explicitement la théorie des polaires réciproques, dont nous avons établi les principes dans divers Mémoires ou Traités* géométriques publiés depuis 1818.

Laissant donc de côté tous les corollaires du théorème ci-dessus, nous nous contenterons d'observer qu'il fournit, sur-le-champ, un procédé facile et purement linéaire pour mener, aux courbes du troisième degré décrites sur un plan, une tangente en l'un quelconque de leurs points; procédé qui, d*ailleurs, est entièrement analogue à celui qu'a proposé Brianehon, pour mener la tangente en un point donné d'une ligne du second ordre dont quatre autres points quelconques sont assignés.

Mais on est conduit plus directement et plus généralement à la solution de ce même problème, en s'appuyant sur la proposition suivante, qui revient à celle que nous avons déjà plusieurs fois mentionnée :

Si par trois points en ligne droite d'une courbe du troisième degré, on con^ duzt arbitrairement trois transversales rectiUgnçs dans cette courbe, les six nou-celles intersections de ces transversales seront à une simple ligne du second ordre.

Supposant, en effet, que deux quelconques de ces six intersections se confondent, en une seule, au peint pour lequel on veut mener la tangente, il est clair que la section conique, appartenant aux cinq autres, touchera elle-même la ligne du troisième ordre en ce point, dont la tangente sera ainsi donnée par le principe cité de Pascal.

Cette seconde manière de construire les tangentes fait, de plus, apercevoir des méthodes générales pour tracer linéairement ou avec la régie les sections coniques osculatrices du second et du troisième ordre en des points donnés des courbes du troisième degré.

161. Corollaires relatifs aux coniques osculatrices des lignes du troisième ordre. — Supposez, par exemple, que l'une des intersections, relative à la troisième des transversales ci-dessus, vienne k se réunir aux deux premières

éjà coofoDdues en une seule au' point de tangence^ la section conique cquerra évidemment, en ce point» un contact du second ordre avec la :'Ourbe proposée; ce qui conduit à cet élégant théorème :

Si, d'un point pris à volonté sur une courbe du troisième degrés on mène^

trois autre points quelconques de cette courbe, situés en ligne droite, trois

^S-JunsverscUes rectilignes, la section conique qui touche la courbe au premier

^^r^oint et contient^ de pluSf les trois dernières intersections des transversales,

-^era réellement l'une des osculatrices du second ordre relatives à ce même

Par trois points quelconques on ne peut mener qu'une seule section oonique tangente en un point donné d'une ligne droite; donc Tosculatriee ci*dessus est complètement déterminée» et, de plus, on a des procédas fort élégante [Propriétés projectiles, Sect. Il, n°» 206 et 207; Sect. III, n° 318 et suivants) pour la décrire par points et linéairement, ou pour construire directement le cercle osculateur qui lui appartient en commun avec la courbe proposée.

Supposez, en particulier, que les trois points en ligne droite, par lesquels passent nos trois transversales, se réunissent en un seul, en Tun des points d'inflexion de la courbe, on sera immédiatement conduit à ce corollaire :

5/, par un point d'inflexion quelconque d'une ligne du troisième ordre, on mène, à cette courbe, une transversale arbitraire, elle la rencontrera en deux autres poinis appartenant à une section conique osculatrice du second ordre en chacun deux, et qui sera ainsi plus que déterminée.

1 62. Osculatrices des troisième et quatrième ordres en un point donné. -^ Prenons encore que Tune quelconque de nos trois transversales devienne tangente à la courbe, au point qui est leur concours commun : la section conique ci-dessus deviendra, elle-même, osculatrice du troisième ordre en ce point, et sera entièrement déterminée de position par la condition d'être osculatrice du second ordre avec celte qui a été considérée précédemment, et de passer, en outre, par les deux intersections restantes des transversales [Ibid., n~321 et 323).

Enfin, si nous admettons qu'une seconde de nos trois transversales se réunisse à la première déjà devenue tangente à la courbe proposée, on en déduira ce nouveau corollaire propre k faire trouver la section conique unique qui est osculatrice, du quatrième ordre, au point de concours commun de ces transversales :

Si, en un point donné et quelconque, d'une courbe du troisième degré, on

i58 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

mène la tangente relative à ce point, puis la tangente qui répond à la nouvelle intersection de la première , puis enfin la transversale qui joint le point donné avec la troisième intersection de cette seconde tangente, elle ira^ à son tour^ rencontrer la courbe en un naweau et dernier point qui appartiendra à la section conique osculatrice du quatrième ordre au point donnée

Et, comme cette seetioD coniqae doit» ene-mème, avoir an centact da troisième ordie^ avec Vinfinité des osculatrices de cet ordre qui résultent des considérations précédentes, it parait clair, d'après les endroits déjà cités du Traité des Propriétés projectives, qu'elle se trouve complètement déterminée an moyen de l'une quelconque d'entre elles» et sans qu'il soit même nécessaire de recourir directement au tracé effectif de cette osculatrice auxiliaire ni de celle du second ordre dont elle dépend immédiatement d'après ce qui précède. En effet, les méthodes indiquées aux endroits dont il s'agit fournissent le moyen de déduire suceessivement et directement, les uns des autres, les différents points de ces osculatrices, qui appartiennent a un rayon vecteur ou k une transversale quelconque issue du point de contact donné.

Il y a plus même: comme on. possède déjà un point et la tangente en un autre point donné de l'osculatrice du quatrième ordre, on voit qu'il suffira de déterminer deux nouveaux points quelconques de cette courbe, pour être en état (145 et suivants) d'en construire directement et linéairement autant d'autres qu'on le voudra. Mais nous ne saurions insister davantage sur ces considérations faciles sans dépasser, de beaucoup, les bornes que nous nous sommes prescrites dans ces préliminaires ^ et sans anticiper par trop sur ce que nous aurons à dire, dans la seconde partie de ces recherches, touchant \e& osculatrices des courbes de degré quelconque, dont la construction par points peut également s'opérer à l'aide de procédés fort simples et qui n'exigent que la règle pour tout instrument. Néanmoins je ne puis résister à l'attrait d'indiquer encore quelques conséquences de nos théorèmes, qui d'ailleurs sont susceptibles de s'étendre à l'espace, et nous conduiraient faci* lemeat à des procédés généraux pour décrire, par points, toute ligne du troisième ordre dont on connaît, soit un point d'inflexion, soil un point double, soit des points quelconques en nombres suffisants pour la déterminer complètement de forme et de position.

103. Problème relatif au cas de l'espace. — Ce qui précède fournît déjà, par exemple, plusieurs moyens de construire linéairement le neuvième point d'intersection de trois droites arbitraires avec une courbe plane du troisième

SECTION IIL - ANALYSE DE« TRANSVERSALES. iSg

-egré; or il en résulte des procédés en eux-mêmes assez simples pour contruire, par points, la courbe à double courbure» du même degré, qui coulent huit points donnés à volonté dans Tespace.

Une semblable courbe peut évidemment toujours être censée résulter de ^intersection mutuelle de deux surfaces du second degré; ce qui ne peut iToir lieu d*aîlleursk inoios qu'elles ne soient réglées et n'aient en commun *uae queleonque de leurs génératrices rectilignes; mais il nous suffit ici de considérer les courbes du troisième degré comme ayant pour caractère essentiel et général de pouvoir être coupées, par un plan arbitraire, suivant trois points au plus, ou de demeurer une courbe du troisième degré quand on la met en projection conique sur un pareil plan.

*En effet, concevant, k volonté, un plan par deux quelconques des huit points donnés, il rencontrera la courbe qui les renferme, en un neuvième point qu'on déterminera ainsi qu^il suit.

Pap les six points donnés non compris dans le premier plan, conduisez deux nouveaux plans qui les contiennent trois par trois; du point de ren« contre de ces plans avec le premier pris pour centre de projection, mettez le système de tous les autres points en perspective ou projection centrale sur un nouveau plan quelconque; il en résultera neuf points situés à l'intersection d'une courbe du troisième degré qui est k déterminer, avec les trois droites projections mêmes de nos trois premiers plans; or huit d'entre eux sont donnés, donc le neuvième s'obtiendra par quelqu'un des procédés linéaires dont il vient d'être parlé, et, par suite, celui qu'on cherche dans l'espace se trouvera sur la projetante qui joint le précédent au centre de projection.

Opérant de la même manière sur une nouvelle combinaison du plan qui contient le point cherché, avec deux des autres plans joignant, trois par trois et dans un ordre différent, les six derniers points donnés, on aura ainsi obtenu deux droites ou projetantes qui, dans le premier plan, se couperont au point demandé; mais, attendu qu'il existe dix manières distinctes de combiner, trois par trois, les six points dont il s'agit, on voit qu'on pourrait aussi construire dix lignes droites différentes s'entrecoupant toutes au point cherché et situées dans le plan qui lui' correspond.

On remarquera d'ailleurs que les plans sur lesquels les projections s'opèrent peuvent être choisis de manière k simplifier notablement les construc-* lions, etc.; mais en voilk assez pour prouver que le problème où il s'agit de décrire la ligne a double courbure, du troisième degré, qui contient huit points donnés arbitrairement dans l'espace, est complètement déterminé,

i6o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

et peut se résoudre par des méthodes qui exigent seulement rintersectioû de la ligne droite ou d'une simple rë^le.

Des différents modes par lesquels on peut combiner entre elles et traduire graphiquement les relations métriques relatives aux trans* i^er sales des lignes géométriques.

164. Observations préalables . — Toute courbe à double courbure, d'un degré donné, ayant pour projection ordinaire ou conique, sur un plan queU conque, une ligne géométrique du même degré; toute surface géométrique étant pareillement susceptible d'être coupée» par un plan arbitraire, suivant une ligne géométrique de son propre degré; enfin tout polygone, plan ou gauche, considéré comme transversal d'une ligne ou surface, pouvant toujours être décomposé en une suite de simples triangles, on conçoit, à priori^ qu'il suffira de bien étudier les propriétés qui se rapportent au système des intersections d'une courbe géométrique plane et d'un ordre quelconque avec trois droites ou transversales rectilignes arbitraires, pour être ensuite en état de découvrir, avec facilité, les relations métriques ou descriptives diverses qui peuvent appartenir à des lignes a double courbure, à des surfaces géométriques, et à des polygones transversaux d'un degré ou d'un nombre de côtés quelconques. Tel est l'objet de ce second paragraphe.

En nous restreignant ainsi au cas le plus élémentaire, nous éviterons de compliquer inutilement la marche des raisonnements, et nous pourrons donner aux divers résultats le degré de simplicité qui peut les rendre vraiment recommandables aux yeux des géomètres.

EXPOSÉ DB Ll RELATION HÉTRIQUB K DEUX TERMES FONDAMENTALE.

165. Rappel des notations et conventions. — Rappelons d'abord l'énoncé de cette relation, cela nous fournira l'occasion de présenter quelques observations préliminaires qui serviront à en faciliter la parfaite intelligence ainsi que les applications.

^o\i abc [fig. 35) untriangle arbitrairement situé sur le plan d'une ligne géométrique d'un ordre quelconque, et dont les côtés aft, bc^ ca^ prolongés indéfiniment, rencontrent respectivement cette courbe aux points/), />', p"...; q, q\ q"...; r, r', r"..., dont le nombre, pour chaque côté, est marqué par le degré même de la courbe. Désignons par (a/>) le produit ap.ap\ap".,: de

SECTION IIL — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i6i

tous les segments compris sur le côté ab du triangle abc, depuis le sommet a de ce triangle jusqu'aux diiTérentes branches ou régions de la courbe; par {bq) le produit semblable de tous les segments bq, bq*, bq'\... qui, sur le côté bc^ correspondent à ces mêmes branches et au sommet b, et ainsi de suite pour les autres segments ou côtés; on aura l'égalité

{ap)[bq){cr) = {bp){cq)(ar),

que nous mettrons sous cette forme fractionnaire

{ap){b q){or) [bp)(cq){ar) '

et qui demeure applicable à la courbe proposée, même quand quelques-unes de ses intersections avec le triangle deviennent imaginaires, se réunissent par couples ou passent à l'infini, auquel cas le côté correspondant de ce triangle devient simplement parallèle à l'une des branches ou des asymptotes dé cette courbe.

En effet, dans celte dernière hypothèse, le rapport des segments infinis se réduit à l'unité (147) et disparait totalement de la relation ci-dessus; dans la précédente, les segments des paires de points qui se confondent sur chacun des côtés du triangle, devenus tangents à la courbe proposée, sont simplement égaux entre eux, de sorte qu'ils continuent à demeurer dans la relation dont il s'agit; enfin, dans la première, les produits des couples de segments imaginaires restent réels, comme on sait, et peuvent toujours être censés donnés implicitement, soit par le tracé ou la constitution propre de la courbe, soit parle tracé effectif ou possible d'autres courbes plus simples et qui auraient en commun, avec la proposée, les couples de points imaginaires relatifs à ces segments. Les intersections r et r\ par exemple, étant imaginaires, les produits ar.ar\ cr.cr' qui leur correspondent, ou plutôt le rapport de ces produits, sera donné par la relation même qui les renferme, ou par ses analogues relatives soit à la courbe proposée, soit à une section conique ou à une ligne géométrique quelconque, qui aurait, avec cette proposée, la direction indéfinie de rr' ou ac pour sécante commune idéale (t. F, Sect. I et III).

166. Application directe et numérique de la relation fondamentale. — La relation générale qui nous occupe met d'ailleurs à même de trouver l'une quelconque des intersections de la courbe avec les côtés du triangle, quand toutes les autres sont connues. En effet, elle donne immédiatement le rapport des segments relatifs à cette intersection, ou des deux distances qui,

i62 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,

sur le côté auquel elle appartient, la séparent des sommets correspondants du triangle ; mais il est nécessaire de remarquer qu'on peut diviser» de deux manières distinctes, ce côté en parties proportionnelles à deux nombres donnés» selon que le point de division doit se trouver entre les extrémités mêmes de ce côté ou sur son prolongement. Or un seul de ces points appak*tient à la courbe, puisqu'il doit être tel (149), que le système de toutes les intersections de celle-ci avec les côtés du triangle transversal en offre un nombre zéro ou pair sur le périmètre même de ce triangle, condition qui lève évidemment toute espèce d'incertitude.

167. Possibilité de tracer une ou deux des branches d'une courbe au moyen de toutes les autres. — Il résulte en particulier, des précédentes observations, que si les difTérentes branches d'une courbe géométrique, une seule exceptée, sont décrites sur un plan, il suffira de connaître deux quelconques des points de cette branche pour être à même d'en déterminer successivement tous les autres par une méthode qui se rapporte uniquement au premier degrés et qui n'exige même que l'intervention de la ligne droite ou de la règle, comme nous le verrons tout à l'heure.

Effectivement, si Ton suppose que la direction indéGnie de deux des côtés du triangle transversal restent invariables sur le plan de la courbe, tandis que celle du troisième côté change de position d'une manière quelconque, par exemple en pivotant autour de l'un de ses sommets, il est clair, d'après ce qui précède, que les intersections successives de ce côté, avec l'une des branches de la courbe choisie à volonté, pourront être déterminées à l'aide des autres intersections variables de ce même côté et des intersections fixes qui appartiennent aux deux premiers.

On voit donc que chaque branche distincte d'une courbe géométrique se comporte, par rapport à toutes les autres, comme si elle était une simple ligne droite; car deux points de sa direction suffisent pour la déterminer complètement, et son tracé n'exige que des constructions du premier degré.

On prouverait, de la même manière, que le système de deux branches distinctes d'une courbe géométrique se comporte comme une simple ligne du second ordre par rapport à l'ensemble des autres branches censées connues; de sorte, par exemple, que ce système serait entièrement donné au moyen de cinq points quelconques de son contour; et ainsi de suite pour les systèmes de trois ou d'un nombre quelconque de branches. Or ces circonstances mettent à même de prévoir à l'avance que plusieurs des propriétés connues de la ligne droite et des sections coniques doivent âtre

SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i63

applicables aux braoches simples et aux couples de branches des lignes géométriques de degré quelconque.

C'est ainsi, par exemple, que nous avons vu (155 et suiv.) les propriétés projectives les plus générales dont jouit une ligne du second ordre par rapport à une droite arbitraire de son plan, subsister, d'une manière analogue et sans modifications essentielles, pour le système de deux branches quelconques d'une ligne du troisième ordre par rapport a la dernière branche.

1 68. Remarques générales concernant les courbes géométriques. — Il résulte, de la nature des relations qui nous occupent, que toutes les propriétés, toutes les conséquences qu'il sera possible d'en déduire pour les courbes géométriques considérées d'une manière individuelle, seront aussi applicables aux systèmes de droites ou de courbes géométriques quelconques dont la somme des degrés serait un nombre donné, et qui se trouveraient compris dans le même plan. Mais, afin d'éviter les répétitions et de ne pas compliquer inutilement les énoncés ou les démonstrations, nous convenons, une fois pour toutes, de comprendre sous la dénomination de lignes géométriques^ aussi bien les lignes individuelles et distinctes que les assemblages ou systèmes de lignes auxquels notre théorème fondamental est directement applicable.

Et, puisque ce théorème établit une relation nécessaire entre les intersections des côtés du triangle transversal avec les différentes branches des lignes géométriques, il en résulte réciproquement qu'un système de points, choisis arbitrairement, mais en nombre égal, sur chacun des côtés d'un triangle quelconque, ne saurait, en aucune manière, appartenir k une ligne géométrique de Tordre marqué par ce même nombre, s'il ne satisfait pas à la relation dont il s'agit; ce qui revient à dire qu'il sera impossible de faire passer une telle ligne par l'ensemble de tous ces points. Ainsi, par exemple, six points étant situés arbitrairement, mais deux par deux, sur les côtés d'un triangle, on ne saurait construire aucune ligne du second ordre qui contienne ces six points, et il est également de toute impossibilité d'en faire passer une du troisième par neuf points qui seraient choisis à volonté, quoique trois par trots, sur ces mêmes côtés.

Enfin il parait évident, d'après le n^^lfid, que, lorsque les points considérés satisfont aux conditions de grandeur et de position dont il y est question, toute courbe géométrique, du degré marqué par le nombre des points qui appartiennent a un même côté, et qui passerait par le système de

i64 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

ces points et de tous les autres, un seul excepté, devra nécessairement aussi passer par ce dernier.

Ainsi, bien que nous ignorions actuellement les moyens géométriques de construire une telle courbe à Taide des points donnés, quand son degré surpasse le deuxième (145), nous n'en devons pas moins regarder la relation métrique qui lie entre eux ces points, comme un indice de l'existence de cette courbe en général, ou, si l'on veut, comme une définition qui exclut seulement toute idée de son impossibilité absolue. Au surplus, lorsque, dans le courant de ce paragraphe, il nous arrivera d'énoncer qu'un certain groupe de 3m points, assujettis aux conditions que suppose cette relation, appartient à une ligne du degré m marqué par le nombre des points qui sont situés sur chaque transversale, ce sera uniquement dans la vue de simplifier le langage, et nullement de rien prononcer à l'avance sur l'existence ou la possibilité effective de cette courbe, possibilité qui sera démontrée complètement et généralement dans le paragraphe suivant, où nous nous occuperons, d'une manière spéciale, de la construction des lignes et surfaces géométriques par leurs systèmes d'intersections avec des transversales rectilignes données.

169. ÉUmincuion des segments nuls, infinis ou imaginaires. — Après les observations préliminaires qui précèdent, nous nous occuperons des différents modes par lesquels on peut transformer notre relation primitive en d'autres également propres à caractériser les lignes géométriques, et à faire construire numériquement ou graphiquement l'une quelconque de leurs intersections avec les côtés du triangle transversal, quand les intersections restantes sont censées données; ce qui conduit nécessairement aussi à autant de théorèmes distincts ou de propriétés nouvelles des lignes géométriques.

En effet, il suffit de traiter cette relation comme nous l'avons fait dans le § Y\ pour le cas particulier des lignes du second ordre, c'est-à-dire en faisant intervenir de nouvelles transversales rectilignes ou courbes qui contiennent quelques-uns des points d'abord considérés, et qui, donnant lieu à d'autres relations analogues, permettent d'éliminer simultanément ou successivement de la proposée tout ou partie des segments qu'elle renferme, de manière à retomber finalement sur une égalité plus simple, sur une relation qui indique plus explicitement que la première la dépendance graphique qui lie entre elles les intersections primitives de la courbe et ses transversales.

SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i65

Observons en outre que, par de telles transformations, on peut aussi généraliser notre équation fondamentale, de manière à la rendre applicable à des situations de transversales pour lesquelles elle cesserait de l'être sous le point de vue purement géométrique. En effet, par l'élimination de tous ou de partie des segments qui y entrent, au moyen d'équations et de trans* versales auxiliaires, on rend les relations nouvelles indépendantes du mode d'existence propre des points auxquels ces segments appartiennent; de sorte que ces segments peuvent devenir nuls, infinis, imaginaires, sans que ces dernières relations deviennent, pour cela» identiques» illusoires, etc.

170. Exemples généraux de pareilles éliminations, ^ Nous avons déjà offert différents exemples de ces transformations pour le cas particulier des lignes du second et du troisième ordre, mais il convient de les étudier ici d'une manière tout à fait spéciale et pour les courbes de degré quelconque.

Supposant, entre autres, que, dans le cas général ci-dessus (165, y?^. 34) d'une courbe géométrique plane coupée par les côtés indéfiniment prolongés du triangle abc^ il arrive que le sommet c de ce triangle doive être situé sur la courbe, et se confondre ainsi avec les points q et r qui lui sont adjacents; les segments cq^ cr devenant à la fois nuls, la relation proposée prendra la

forme - = i ou o==o» et cessera ainsi d'être apte h définir la courbe» ou à

déterminer l'un quelconque des segments du triangle a l'aide de tous les autres. Mais si l'on conçoit, par les points q et r, une nouvelle transversale rectiligne ou courbe quelconque» le système de toutes ces intersections, avec les côtés du triangle abc^ donnera lieu à une seconde relation qui permettra d'éliminer de la première, les segments cq et cr censés nuls ou infiniment petits, et qui conduira à une dernière équation propre à déterminer inimédiatement l'une quelconque des intersections du triangle abc^ avec les deux courbes devenues tangentes entre elles au point c, quand on connaîtra le sys^ tème de toutes les autres.

171. Application au cas de la fig. 34- *— Pour nous borner, ici, à ce qu'il y a de plus simple et de plus élémentaire» nous supposerons que la ligne auxiliaire soit la droite indéfinie ^r rencontrant au point P le troisième côté ab du triangle transversal; on aura évidemment

ar.cq.bV

cr.bq^aV '

équation qui» multipliée membre à membre par la proposée (165)» donne

i66 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

cette autre

(ap)(V)6P(cr') ^

(bp){cq'){ar^)aP '

dans laquelle {bq') est censé représenter le produit de tous les segments bq\ bq\ ègr*,..., h l'exception de bq; {or") le produit semblable de tous les segments ar\ ar'^^ar'^f..,, à Texception de cw, etc., et d'où l'on déduit immédiatement le rapport de bP à aP propre à construire le point P« et par conséquent la transversale qrP, qui devient naturellement une tangente de la courbe proposée, dans l'hypothèse ci-dessus où les points 9 et r se confondraient en un seul avec le sommet c du triangle considéré.

On remplira aussi le même but d'éliminer, de la relation primitive, les segments cr et c^ qui la rendent identique, en observant que, dans le triangle cqr, le rapport des segments ou côtés dont il s'agit conserve une valeur déterminée et finie, même quand ce triangle s'évanouit, ou que la direction indéfinie de qr devient tangente a la courbe. En effet, ce rapport est égal à celui des sinus des angles cqr, crq opposés respectivement aux côtés cr et cq dont il s'agit. Mais ce dernier mode d'élimination aurait l'inconvénient de faire intervenir, dans la relation primitive, des éléments d'une nature étrangère à ceux qu'elle contient, et qui ne se prêteraient pas, avec la même facilité, aux interprétations géométriques ou aux transformations que nous aurons à lui faire subir par la suite.

172. Théorème de situation qui en découle. ■— On se convaincra, dès à présent, des avantages inhérents au premier mode d'élimination, en observant que la relation obtenue ci-dessus (171) peut immédiatement se ramener à la forme même de celle d'où nous sommes partis. Il suffit, pour cela, de supposer, qu'on mène par le point P, situé sur le côté ab du triangle abc, une seconde droite arbitraire rencontrant en q^ et r^ les deux autres côtés de ce triangle; car, étant considérée, à son tour, comme transversale de ce même triangle, elle donnera lieu à une nouvelle relation dont la combinaison avec la précédente conduira à celle-ci

(ap)Xbqy{bq')>c^cr^(cr') (bq)x cq, ( cq') X ar, (ar') "^ ''

qui, étant absolument de même forme que la relation primitive et assujettie aux mêmes conditions (149), exprime (168) que lestrois groupes de points/?, p\ /?", ... ; ^< , q\ (][\ ... ; r^ , r', r", . . . , appartenant à la courbe proposée à l'exception des deux points q et r, sont eux-mêmes situés sur une autre courbe géométrique d'un degré égal au sien propre.

SECTION IlL — ANALYSE DES TRANSVERSALES. 167

Ce théorème» qui a son inverse, d*aprës les principes de la théorie des polaires réciproques» conduit à des énoncés aussi élégants que faciles» maïs sur lesquels nous ne pouvons ici insister. Contentons-nous de remarquer que le moyen par lequel nous sommes parvenus à ramener Téquation du n^ 171 a la forme de celle du n^ 165 peut être mis en usage dans beaucoup d'autres circonstances analogues» ce qui permet de traduire immédiatement» en relations purement descriptives, toute égalité à deux termes» du genre de celles qui nous occupent» et qui ne différerait de celle du n^ 165 dont il s'agit, que par l'ordre des facteurs qui y entrent ou l'arrangement des points auxquels elle s'applique.

1 73 . Manière d'amener certains sommets du triangle transversal en des points ordinaires ou singuliers de la courbe. — Nous venons de montrer comment on peut transformer cette dernière relation en une autre qui ne devienne pas illusoire quand l'un des sommets du triangle abc {fig, 34) se trouve situé sur la courbe proposée» et nous avons vu que cela revient à éliminer de cette relation les deux segments qui sont susceptibles d'y devenir nuls à la fois; or» il est clair qu'on pourrait» de même» en faire disparaître deux autres segments quelconques relatifs à des côtés différents du triangle transversal» ce qui permettrait d'amener de nouveaux sommets de ce triangle sur la courbe, sans que la relation» ainsi transfoirmée» cessât d'être applicable aux intersections qui sont demeurées distinctes de ces sommets.

Je dis plus» c'est que le même procédé d'élimination pourra servir à amener un ou plusieurs des sommets du triangle proposé» ou» en général» d'un polygone transversal quelconque» en des points multiples de la courbe» et cela quelle que soit l'espèce de ces points ou le nombre des branches qui y passent. En effet» il suffira évidemment de faire intervenir» dans la figure» autant de transversales auxiliaires (171) qu'il y a de ces branches» et qui soient telles que» réunissant deux par deux les intersections du triangle et de la courbe» qui doivent se confondre» soit avec l'un des sommets de ce triangle» soit avec Tun des points multiples de cette courbe, elles finissent par devenir des tangentes véritables aux différentes branches dont il s'agit.

Les points conjugues, de rebroussement ou à'injleœion donnant lieu à des observations analogues» on voit qu'il doit en résulter une infinité de théorèmes absolument neufs sur les points singuliers des courbes géométriques, et» en général» sur les figures qui leur sont inscrites ou circonscrites. Ces propositions pourraient ensuite être doublées au moyen des principes exposés dans notre Mémoire sur la théorie des polaires réciproques , et Ton en dédui-

i68 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,

rait notamment des procédés fort simples et sur lesquels nous aurons occasion de revenir dans le paragraphe suivant, pour construire» par points, toute ligne géométrique ayant un point multiple d'un ordre inférieur, d'une ou de deux unités, au sien propre, etc. Mais ce n'est pas ici le lieu de s'étendre sur ces différentes matières dignes d'intérêt et qui sont susceptibles des plus grands développements, soit qu'on s'arrête aux figures situées simplement dans un plan, soit que l'on considère des polygones gauches quelconques coupés par des surfaces géométriques dans l'espace.

TRADUCTION DE L*ÉQUàTION FONDAMENTALE EN RELATIONS LINtAIRES OU DESCRIPTIVES^

174. Méthode générale. — Revenons maintenant aux suppositions générales du n^ 165, où le triangle a&ca une situation quelconque par rapporta la courbe, et montrons comment, en suivant la marche qui précède, on peut aisément découvrir les moyens de construire linéairement 9 c'est-à-dire avec une simple régle^ l'un quelconque des points définis par la relation

{ap){bq){cr) __ (bp)(cq){ar}-' '

quand tous les autres sont censés donnés sur la direction des transversales aft, bc et ac.

Pour y parvenir, il ne s'agira évidemment que d'éliminer successivement, de la relation dont il s'agit, tous les segments qui y entrent, en conduisant par les points d'intersection de la courbe, pris deux a deux et dans un ordre convenable, de nouvelles droites considérées, à leur tour, comme autant de transversales des côtés du triangle, et en procédant, du reste, comme cela a déjà été indiqué plus haut (171) relativement aux segments des points q et r, c'est-à-dire en s'arrangeant de façon à retomber toujours sur une dernière relation de la forme de la proposée et qui appartienne simplement au système de trois derniers points situés en ligne droite; ce qui est possible d'une infinité de manières différentes, et conduit à autant de procédés graphiques distincts pour construire l'un des points primitivement considérés quand on connaît tous les autres, procédés dont nous nous contenteron3 de donner quelques exemples, sans insister même sur les conséquences ou las théorèmes qui peuvent en découler pour les lignes géométriques de divers ordres,

175. Exemple relatif aux courbes du quatrième degré. — Qu'il s'agisse, en particulier, d'une ligne du quatrième degrés coupée par les côtés d'un triangle abc [fig. 36), comme il a été expliqué au n^ 165; on considérera

d'abord le groupe des six points p et p', q et q\ ret r' situés par couples ou deux par deux sur les côtés dont il s'agit, et on les traitera de la même manière qu'on l'a fait au n® 148 pour le cas des simples sections coniques, en complétant, par exemple, l'hexagone inscrit pp'q(jfrr'p, ou, ce qui revient au même, en traçant les trois transversales q'r,pr\p'q, joignant des points d'intersection qui appartiennent à des couples de côtés différents du triangle ahc, et dont la rencontre respective, avec chacun de ses troisièmes côtés, déterminera les nouveaux points P, Q, R qui sont les points de concours des côtés opposés de l'hexagone dont il s'agit. On mènera pareillement, par les six intersections restantes et toujours dans le même ordre, les trois transversales yV", p"r"',p"'q'\ rencontrant en F, Q', R' respectivement les côtés du triangle ahcy dont ces transversales ne dépendent pas. Cela pose, considérant le système complet de ces six transversales comme une courbe unique (167) du sixième degré, on aura, entre les trente-six segments qu'elle détermine sur les côtés abc ou sur leurs prolongements, la relation générale

( ^P)[cq) (ar) x 6P.6P' x cQ.cQ' x aU.aK' " ''

qui, en vertu de celle qui appartient à la courbe proposée» se réduit à la suivante

aP.aP'xftQ.iQ'X cR.cR'

^P.6P'X cQ.cQ'x aR.aR'

Cette nouvelle équation exprime évidemment que le système des six points P et P', Q et Q', R et R', distribués deux par deux et symétriquement sur les côtés ah^ bc et ac du triangle proposé, appartient a une seule et même ligne du second ordre, car elle satisfait aux différentes conditions spécifiées aux n*** 148, 149, 165 et suivants. Traitant donc ces six nouveaux points comme il est indiqué dans le premier de ces numéros, ou comme on vient de le faire des deux groupes des douze premiers points appartenant à la courbe proposée, on obtiendra finalement trois derniers points qui seront situés en ligne droite, conformément à ce qui a été établi dans ce même numéro et à ce qu'indique le principe de Pascal sur les hexagones inscrits aux lignes du second ordre.

Ces constructions, comme on voit, lient entre elles graphiquement les douze intersections de la courbe du quatrième degré et des côtés du triangle abcj de manière que onze quelconques d'entre elles étant données, la dernière s'ensuit nécessairement parle tracé de simples lignes droites. IL 22

176, Remarques diverses. — S'il s'agissait d'une ligne du troisième ordre seulement, on tracerait une droite arbitraire formant» avec cette ligne» un système qu'on traiterait comme on vient de le faire pour la courbe du qua«trième degré. On pourrait aussi détacher» des neuf intersections de la ligne du troisième ordre avec les côtés du triangle abc^ un groupe de six points symétriquement situés sur ces côtés» afin de traiter ce groupe comme on l'a fait précédemment; mais la relation & laquelle on parviendrait ainsi» n'ayant pas la forme de celle du n^ 165» on n'en pourrait conclure que les trois points nouvellement obtenus» réunis aux trois derniers points de la courbe proposée» appartiennent à une ligne du second ordre; il faudrait nécessairement lui faire subir la transformation du n'' 172 pour la rendre susceptible d'ex* primer in^médiatement uoe dépendance graphique entre les points auxquels elle se rapporte, ce qui enlèverait à la construction finale toute la symétrie qui caractérise le premier mode d'opérer.

Cette difficulté n'existe pas pour les lignes du cinquième ordre; car, si Ton détache des quinze intersections qui leur appartiennent sur les côtés du triangle transversal» trois quelconques d'entre elles relatives k des côtés différents, puis qu'on traite les douze intersections restantes comme on l'a fait des douze intersections relatives k la courbe du quatrième degré ci-dessus» on arrivera finalement à trois derniers points qui» réunis avec les trois points réservés» appartiendront naturellement a une ligne du second ordre; ce qui tient essentiellement k ce que les douze premiers points ont été soumis à un nombre pair d'opérations qui n'ont pas changé l'ordre des produits des segments qui» dans les équations successives» se rapportent à ces douze points.

Pour les lignes du sixième ordre» on partagerait les dix-huit intersections correspondantes en trois groupes de six points respectivement situés sur les c/>tés du triangle» et» les traitant séparément comme s'ils appartenaient à une ligne du second ordre» on arriverait à neuf derniers points situés sur une ligne du troisième ordre, qu'on traiterait» à leur tour, comme nous venons de l'indiquer pour cet ordre, en faisant intervenir une droite auxiliaire quelconque dans la figure, afin de n'avoir qu'une ligne du quatrième ordre à considérer.

On procéderait d'une manière analogue pour les lignes des ordres supérieurs au sixième.

177. Réflexions relatives aux constructions graphiques. — Les constructions qui précèdent établissant des dépendances purement graphiques et linéaires

SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. iji

«ntre les intersections d'une courbe plane donnée et les côtés d'un triangle pris pour transversal de cette courbe, il est clair que ces dépendances ne cesseront jamais d'être applicables au système des intersections correspondantes, pourvu seulement qu'aucune d'entre elles ne devienne imaginaire : elle servira donc à construire Tune quelconque de ces intersections au moyen de toutes les autres, même quand le triangle dont il s'agit s'évanouira, aura des sommets placés sur la courbe ou situésà l'infini, etc., ce qui fournira, entre autres (171), le moyen de construire, toujours par de simples intersections de lignes droites, la tangente en l'un quelconque des points d'une courbe géométrique donnée sur un plan.

Ce sont précisément ces constructions, dont l'analogie avec celles qui résultent du principe de Pascal pour les sections coniques est de toute évidence, que nous avions découvertes dès 1816, et que nous avons annoncées à la page i54 du tome YIII des Annales de Mathématiques, novembre 1817 (ou t. II de nos Applications , p. 47^). On voit qu'envisagées individuellement et pour chaque courbe d'un certain ordre, elles sont assez simples en elles-mêmes pour être facilement appliquées, et assez symétriques pour être aisément retenues et saisies par l'esprit. Mais elles n'en manquent pas moins, dans leur ensemble, de ce caractère d'uniformité et d'universalité qui peut seul rendre les méthodes mathématiques vraiment recommandables; c'est pourquoi, dans ce qui va suivre, nous exposerons des constructions absolument exemptes de cet inconvénient.

RÉDUCTION DU SYSTÈHB DE TROIS TRAJfSVERSÂLES A DEUX.

178. Remarques concernant les cas d'identité ou d'indétermination. — Afin de mieux faire apercevoir la marche qui nous a fait parvenir à ces constructions, nous remarquerons que la relation du n^ 165 devient complètement illusoire quand l'un des côtés du triangle abc passe à l'infini, en sorte que cette relation n'apprend plus rien par elle-même sur la loi ou la dépendance qui lie entre elles les différentes intersections de ce triangle et de la courbe. Or, nous venons de voir que cette dépendance, considérée sous le point de vue purement graphique, n'en existe pas moins dans la supposition dont il s'agit, puisque, d'après les notions généralement admises, toute droite, a distance donnée, qui contient l'un des points d'une courbe, situé à l'infini, n'est autre chose qu'une parallèle à la branche ou à l'asymptote correspondante de cette courbe; donc il doit exister aussi une relation métrique nécessaire entre tous ceux des différents segments du triangle ahc

qui, faisant partie de la relation primitive, n'ont pas acquis une valeur

infinie dans l'hypothèse dont il s'agit.

Pour découvrir cette nouvelle relation, il ne s'agira, suivant l'esprit de la méthode que nous avons jusqu'ici prise pour guide, que de transformer la relation du n^ 165 en une autre qui cesse de devenir identique quand le côté du triangle abc que l'on considère s'éloigne a une distance infinie sur le plan de la courbe, ce qui consiste toujours à éliminer de cette relation, et à l'aide de nouvelles transversales rectilignes convenablement tracées, tous les couples de segments dont le rapport conserve essentiellement la forme indéterminée -? attendu qu'en devenant infinis ils diffèrent entre eux d'une

quantité qui reste elle-même infinie. Or, cette circonstance n'a évidemment lieu que pour les seuls segments qui appartiennent au côté dont il s'agit; c'est donc aussi de ces seuls segments qu'il faut débarrasser la relation proposée, en menant par les intersections correspondantes de la courbe des transversales rectilignes arbitraires.

179. Cas spéciaux; théorème de Waring relatif aux asymptotes. — Supposant, par exemple, que ce soit le côté bc du triangle abc [fig^ 35 ou 37) qui soit susceptible de passer à l'infini ; pour faire sortir de l'égalité du n^ 165 les segments qui appartiennent a ce côté, on mènera, par ses intersections ^, q\ q'\... avec la courbe, des droites ou transversales arbitraires coupant respectivement en P et R, F et R', P" et R",..., les deux autres côtés ab^iac de ce triangle. Cela posé, on aura évidemment, en considérant le système de ces transversales comme une ligne géométrique du même ordre que la proposée, et en conservant d'ailleurs les conventions jusqu'ici admises,

(flP)(frg)(6>R) ^

(ftP)(c?)(aR) ' d'où l'on tire, en combinant avec la relation du n^ 165,

(ap)(cr) __ (flP)(cR) (hp)[ar) (6P)(aR)'

équation dont l'énoncé facile donnerait lieu à un nouveau théorème sur les courbes géométriques, et qui, dans la supposition où bc s'éloigne à l'infini et où les transversales auxiliaires P^R, F^'R',... se changent, comme nous l'avons dit, en un système de parallèles quelconques aux différentes branches infinies de la courbe, prend cette autre forme encore plus simple

[ap) __ (gP) (ar)-(aR)'

attendu que les rapports de segments infinis se réduisent ici à l'unité» puisque ceux-ci ne différent entre eux que d'une quantité donnée.

D'ailleurs, quand les transversales auxiliaires, au lieu d'être menées arbitrairement, sont prises tangentes k la courbe proposée ou qu'elles se confondent avec ses différentes asymptotes, on retombe sur un théorème démontré par Waring, k la page 85 de ses Mélanges analytiques, lequel n'est ainsi qu'un cas particulier du nôtre.

180. Théorème général concernant les branches infinies des courbes. — Supposons encore [fig. 38) que ces transversales soient conduites par les intersections respectives r, r', r",... de la courbe et de l'un, 6c, des côtés du triangle abc^ dont elles ne dérivent pas ; ce qui revient à supposer que R coïncide avec r, R' avec r\ et ainsi des autres; la relation obtenue en premier lieu deviendra, attendu qu'alors le produit [cr) = (cR), le produit

{ar) = (aR),

[ap) (oP) {bq) (6P)'

nouvelle équation qui, lorsque le dernier côté bc du triangle s'éloigne à l'infini ou devient simplement parallèle au côté a6, se réduit à cette autre encore plus simple,

et qui indique, d'après nos conventions (165), que c le produit de tous les » segments ap^ ap\ ap'\... relatifs à la courbe proposée, est égal à celui de

> tous les segments aP, aP', aP,... déterminés par les sécantes ou cordes » indéfinies ^r, (][r\ q^*r'\... devenues parallèles aux différentes branches

> ou asymptotes de cette courbe. >

181. Système de points en inçolution simple par rapport à deux points

donnés. — L'équation

(ap){aV)

(bp)'^(bV)'

relative au cas où ac ou bc restent quelconques, se rapporte évidemment à la forme des trois premières de celles qui ont été établies aux n^ 143 et 144 pour le cas des lignes du second ordre; ce qui conduit à quelques conséquences intéressantes concernant les lignes géométriques en général, et qui peuvent être considérées comme l'extension des propriétés dont jouissent les quadrilatères inscrits au système de deux droites ou à une section conique quelconque, supposés coupés par une transversale arbitraire. En effet, le système des transversales PyR, P'j'R', P'^gr^R",..., dont il a

174 PftOPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

été question cî-dessus (179), forme ici, avec les côtés indéfinis du triangle abcy une suite continue de quadrilatères PRR' F, P'R'R^P'',... également inscrits à la courbe proposée, et dont les différents côtés se trouvent, aussi bien que les branches de cette courbe, coupés à la fois par la transversale arbitraire ah', l'équation ci-dessus peut donc être considérée comme indiquant que les points a et 6, qui appartiennent aux deux côtés communs à tous ces quadrilatères, jouent le même rôle ou sont en involution simple, soit par rapport aux intersections de la transversale et de la courbe, soit par rapport aux intersections de tous les autres côtés des quadrilatères.

Mais ce rapprochement, entre les propriétés des lignes du second ordre et celles qui appartiennent aux lignes d'un ordre quelconque, peut être rendu plus évident et plus complet encore, en observant que la relation qui nous occupe, étant indépendante de Tordre même dans lequel on joint, deux à deux, les intersections distinctes des côtés ac et hc du triangle transversal, avec la courbe, elle a lieu, d'une manière analogue, pour les deux systèmes de diagonales joignant des sommets différents des quadrilatères ci-dessus; de sorte que les intersections de la transversale arbitraire avec la courbe, et ses intersections avec les côtés ou les diagonales distinctes dont il s'agit, constituent quatre groupes de points qui, combinés deux à deux, sont à la fois en involution par rapport aux points a et 6 de la transversale.

182. Énoncé plus explicite et théorème relatif aux polygones inscrits. — Pour traduire ces conséquences en un langage plus explicite encore, concevons une courbe géométrique du degré m tracée sur un plan; soient oc et hc deux transversales arbitraires rencontrant cette courbe respectivement en autant de points qu'il est marqué par son degré; inscrivons à volonté à cette même courbe {fig* Sg) un polygone de im côtés qui ait alternativement pour sommets les m points de rencontre de ac et les m points de rencontre de hc\ soit en outre ah une troisième transversale arbitraire rencontrant les deux premières en a et &, la courbe aux m points/?,/?', /?",..., les côtés de rang impair du polygone aux m points P, P', P,..., et enfin ceux de rang pair aux m points P^, P^, Fj,..., respectivement; on aura, selon ce qui vient d'être démontré, les deux relations

(bp) (bV)' {bp)^[b\^S

d'où l'on déduit immédiatement cette troisième,

(qP)__(aPO (6P)-(6P.)'

SECTION III. -r- ANALYSE DES TRANSVERSALES. 176

qui se rapporte uniquement aux iotersections de la transversale ab avec les côtés de rang pair ou de rang impair du polygone, et à laquelle on arriverait directement et généralement, pour un polygone quelconque d'un nombre pair de sommets, inscrit à l'angle de deux droites arbitraires ac et bc^ en considérant alternativement le système de tous les côtés de rang pair de ce polygone et celui de tous les côtés de rang impair comme autant de lignes géométriques (165) transversales du triangle ahc^ formé par la rencontre mutuelle des deux droites ac et bc dont il s'agit, et d'une troisième droite arbitraire ab.

183. Application linéaire ou graphique de V insolation . — Ce dernier théorème, qui, selon ce que nous avons fait voir de deux manières différentes aux n"* 515 et 517 du tome P' du Traité des Propriétés projectives, s'étend aisément aux polygones, d'un nombre pair de côtés, inscrits à une ligne du second ordre quelconque; ce théorème, disons-nous, lie entre eux tous les points de deux systèmes en immolation simple par rapport à deux points donnés, de manière à faire découvrir linéairement l'un quelconque d'entre eux, quand tous les autres sont assignés à priori.

Qu'il s'agisse, par exemple, des deux systèmes de points z?,/?', />",..., P, F, ?"",.••, considérés dans le n^ 181, et qui sont en insolation par rapport aux sommets a et 6 du triangle abc^ on inscrira à volonté dans l'angle acb des deux transversales a>c et cb^ c'est-à-dire de deux droites quelconques issues de a et de &, un polygone dont les sommets, en nombre égal a celui des deux systèmes de points proposés, s'appuient alternativement sur ces droites et de manière que les côtés de rang pair, je suppose, passant respectivement par les points/?, p\p"y.,*^ les côtés de rang impair, un seul excepté, passent respectivement aussi par ceux des points P, P% P'',... qui sont censés donnés. Cela posé, le dernier côté ira naturellement rencontrer la transversale ab au point qui a été excepté, circonstance qui d'ailleurs arrivera quel que soit ce point et quel que soit l'ordre dans lequel on ait opéré.

NOUVEAU TRACÉ DES TAIfGElfTES; FAISCEAUX HB DROITES EN INTOLUTlOIf.

184. Exposé, — Ce qui précède fournit une nouvelle méthode, aussi générale qu'elle est symétrique et élégante, pour construire (164 et suiv.) Tune quelconque des intersections d'une courbe géométrique avec trois droites ab^ ac et 6c, arbitrairement tracées sur son plan et lorsque toutes les autres sont connues ou données par le tracé de la courbe. De là également un

procédé nouveau pour construire linéairement, ou sans autre instrument que la règle, la tangente en un point donné d'une courbe géométrique quelconque, plane ou à double courbure, procédé qui peut aussi servir à construire les asymptotes de cette courbe quand on connaît simplement leur direction ou leur point de tangence à Tinfini.

Supposons par exemple que, dans la figure relative aux n^ 180 et 183, le point de rencontre c des transversales ac et bc soit pris sur la courbe, de manière que leurs intersections q et r avec celte courbe se confondent en une seule au point de rencontre dont il s'agit; la droite indéfinie ^r deviendra évidemment une tangente de la courbe, et la relation graphique qui précède donnera le point de rencontre P de cette tangente avec la transversale arbitraire ab,

185- Propositions réciproques. — En appliquant aux divers théorèmes qui nous ont jusqu'ici occupés, les principes exposés dans les n*^ 101, 120 et suivants de la précédente Section sur la théorie des polaires réciproques^ on arrive à divers résultats, dont nous nous bornerons à citer les suivants parce qu'ils conduisent à des énoncés faciles (*).

€ Soient une courbe quelconque, de degré m, tracée sur un plan, et a, 6, c

> trois points aussi quelconques de ce plan, de chacun desquels on ait mené » à la courbe les m (m — -i) tangentes (**) qui lui correspondent (n® 66), » tangentes qui seront ici censées toutes réelles; choisissons, à volonté,

> parmi les m^ (m— i)^ intersections mutuelles des tangentes issues de b et

> de c, un système de m (m — i) de ces intersections appartenant à autant y de couples distincts de ces tangentes; faisons enfin passer, par les inter-

> sections dont il s'agit, un faisceau de m {m — i) droites dirigées vers le

> point a : il résulte des n^* 180 et suivants que ce faisceau et celui des

> m (/n — i) tangentes, issues du même point a, seront en insolation simple

> par rapport aux deux droites indéfinies ac et ab^ c'est-à-dire que les

> intersections respectives de ces faisceaux, avec une transversale arbitraire,

> seront elles-mêmes en insolation par rapport aux interseclions de cette

> transversale et des deux droites dont il s'agit. >

( * ) Ces énoncés suffisent pour dispenser de toute figure, dont le tracé, très-compliqué d'ailleurs, aiderait médiocrement, s'il ne nuisait, à leur conception géométrique intuitive. Or, cette remarque s'applique également à certaines démonstrations algébriques fondées sur de laborieux calculs et qui, trop souvent aussi, substituent, contre l'avis des plus grands géomètres philosophes, Taction directe des sens à celle de l'esprit convenablement préparé. — (Note de i865.)

( ** ) Nous reviendrons, dans le § V, sur ce qui concerne le tracé de ces tangentes.

Il résulte en particulier de ce théorème général que, si Ton se donne toutes les tangentes issues des trois points a, b, c, une seule exceptée, on pourra immédiatement déterminer celle-ci par de simples tracés de lignes droites, et en ayant recours aux constructions du n^ 183 appliquées aux intersections de ta transversale ci-dessus; problème de la solution duquel dépend d'ailleurs la détermination du point de contact des tangentes. Mais on peut aussi opérer directement en renversant les constructions elles-mêmes au moyen de la Théorie des polaires réciproques , et observant que la question revient, en définitive, à déterminer Tune quelconque des droites des deux faisceaux issus du point a, qui sont en invokuion par rapport à ab et ac.

A cet effet, ayant choisi à volonté deux points V et cf sur ces dernières droites respectives, on s'en servira pour faire passer alternativement les côtés, de rang pair et impair, d'un polygone quelconque dont les sommets s'appuieront eux-mêmes alternativement sur chacune des droites du couple de faisceaux considérés, à l'exception cependant de celle qu'il s'agit de déterminer au moyen de toutes les autres. Cela posé, le dernier sommet de ce polygone, celui qui est demeuré entièrement libre, se placera de lui-même sur la dernière droite et servira ainsi a la déterminer complètement de position.

186. Remarque générale. — Ces exemples suffisent pour donner une idée du genre de propositions auxquelles on est conduit quand on applique nos principes sur la réciprocité des figures aux diverses considérations qui précèdent; c'est pourquoi, sans insister davantage, nous retournerons à Tobjet de nos premières investigations relatives aux applications spéciales de la doctrine des transversales, en remarquant qu'il nous reste une dernière transformation à faire subira la relation générale du n^ 165, pour qu'elle puisse s'étendre à toutes les situations possibles du triangle ou des transversales dont elle dérive.

Du changement complet de forme subi, dans certains cas, par la relation métrique fondamentale. — Théorèmes qui en résultent.

187. Remarques préliminaires . — Par les considérations des n*" 171 et suivants, 179 et 180, nous avons déjà converti la relation fondamentale du n^ 165 en d'autres relations métriques qui ne deviennent illusoires ou identiques ni quand les sommets du triangle formé parles intersections mutuelles