ANALYSE BU MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES POLAIRES RÉCIPROQUES

[Extrait d'une Lettre en dale du 10 décembre 1826^ adressée au rédacteur des anciennes ^/?/?a^5 (le Mathématiques, et publiée partiellement dans le tome XYII, p. 265 (mars 1827), et t. XVIQ, p. 142 et 145 (novembre 1827)].

Le Mémoire dont M. Ârago a bien voulu, Monsieur, vous entretenir lors de son passage à Montpellier, a pour objet la Théorie générale des polaires réciproques, et fait suite au Mémoire sur la théorie des centres de moyennes harmoniques, dont vous avez inséré le Rapport fait à l'Institut par M. Cauchy, dans votre cahier du mois de mai dernier. C'est précisément le Mémoire dont j'ai eu l'honneur de vous parler dans ma dernière lettre à l'occasion du principe de dualité que vous avez mis en avant et développé d'une manière très-philosophique à la page 209 du tome XVP des Annales de Mathématiques. Il se trouve en effet que le Mémoire sur la théorie des polaires réciproques que j'ai présenté à l'Académie royale des Sciences le 12 juin 1824» et sur lequel j'ai lu une Notice fort étendue en présence

des membres de cette société célèbre» n*a d'autre objet que de démontrer dans toute sa généralité cette double existence, si je puis m'exprimer ainsi, des relations soit métriques, soit descriptives qui appartiennent aux figures projectiles du plan ou de l'espace, et que j'avais déjà fortement recommandé, pour ce qui concerne les relations descriptives, à l'attention des géomètres, soit dans votre recueil, soit dans le Traité des Propriétés projectiles que j'ai fait paraître en 1822 (*), Dans un article du Bulletin des Sciences mathématiques de M. le baron de Férussac (n» 2), février 1826, p. 112 et suiv., où l'on rend compte, Monsieur, de vos vues sur ce sujet sans mentionner mes propres recherches antérieures de quelques années et d'ailleurs plus étendues, puisqu'elles embrassent les lignes et surfaces ainsi que les relations métriques; dans cet article, dis-je, on a avancé que « si la j> théorie des pôles et polaires a mis en évidence cette sorte de dualité d'une partie 2> notable de la Géométrie, ce n'est certainement pas en vertu de cette théorie » qu'elle a lieu, mais bien en vertu de la nature même de l'étendue; » ce qui revient à dire, ce me semblei qu'un théorème quelconque préexiste à sa démonstration, ou plutôt existe indépendamment du principe qui y a conduit : or cela ne prouve nullement que l'on y fût arrivé sans ce principe, ni qu'il y eût aucune difficulté à l'établir et à le signaler. Il est même très-peu philosophique de prétendre que certaines analogies de propriétés soient étrangères aux théories qui y ont conduit; car les mots analogie, corrélation, dualité sont en eux-mêmes vides de sens si l'on ne spécifie les caractères par lesquels on les définit rigoureusement : par exemple, c'est ce que fait la théorie des projections centrales, le principe de continuité, enfin la théorie des polaires réciproques, qui, par là même, sont seules aptes à justifier et à faire découvrir les propriétés, les relations qui, selon la définition admise, répondent à des relations, à des propriétés déjà connues. Voilà pourquoi aussi l'on ne saurait dire qu'il n'y a simplement que dualité entre certaines propriétés des figures, et il serait facile au contraire de prouver qu'il y a souvent aussi trialité.

Quant à ce que l'on a dit, au même endroit [du Bulletin des Sciences, sur l'indépendance de ces propriétés, qui vont par couple, de toute espèce de calculs, il me semble que j'ai fait dans le Traité des Propriétés projectiles assez d'efforts pour la mettre hors de doute et que je n'ai point été sans obtenir quelque succès (**). Je ne puis pas même admettre avec M. Sarrus [Annales de Mathématiques, t. XVI, p. 378 ) que les géomètres de l'école de Monge ne soient pas encore parvenus à déijaontrer, sans calculs, les propriétés des axes, des plans et des centres radicaux des cercles et des sphères, supposé toutefois que l'on ne tienne pas à la définition

(*) Voyez Annales de Mathématiques ^ t. VIII, janvier 1818, p. 201. — Traité des Propriétés projectii>es des figures, n" 235, 400, 406, 407, etc. — Supplément du même Traité, n" 592, etc.

(**) Consultez particulièrement, pour le cas des figures comprises dans un plan, les n°*293, 294, 295, 300, 301. 302 et suiv., relatifs aux sections coniques, etc., ainsi que les n** 247, 248, 281, 282 et suiv., relatifs aux cercles en particulier et aux droites qui leur appartiennent; consultez pareillement, pour le cas des figures dans l'espace, les n^ 577, 578, 583, 589, ainsi que la plupart de ceux qui les suivent dans l'ouvrage jusqu'à la fin.

primitive de ces mois ; et pour le convaincre qu'il s'est totalement trompé à cet égard, il me suffirait de le renvoyer à l'ouvrage déjà souvent cité, ainsi qu'à ceux de Monge, de Dupin, etc. ( * ). Enfin j'ai peine à comprendre pourquoi quelques géomètres, tout en rendant justice à ce qu'ils appellent Yécole de Monge, montrent une telle répugnance à en adopter les méthodes, qu'ils se croient obligés de refaire la démonstration des théorèmes qu'elles ont servi à découvrir et à établir. Sans contester d'ailleurs le mérite réel de ces nouvelles démonstrations, je me permettrai cependant de faire observer qu'elles conduisent rarement à quelque chose de neuf, et sont circonscrites dans des limites fort étroites, tandis que les méthodes en question, qui ne sont actuellement un mystère pour personne, offrent, comme vous l'avez vous-même remarqué. Monsieur, des moyens larges et puissants de démontrer et de découvrir en Géométrie. Au surplus, ces reproches ne s'adressent qu'à un petit nombre d'écrits géométriques de notre époque, et, je dois me hâter de le dire, ils ne sauraient concerner ceux du savant rédacteur des Annales de Mathématiquesy qui a suffisamment prouvé dans divers endroits de son recueil, que non-seulement il avait goûté ces méthodes, mais encore qu'il savait les appliquer heureusement à la recherche de vérités nouvelles et utiles.

Je reviens au Mémoire sur la Théorie des polaires réciproques^ dont vous me demandez l'analyse (**).

J'ai avancé et prouvé, ce me semble, par un nombre suffisant d'exemples, soit aux endroits cités des Annales de Mathématiques^ soit dans le Traité des Propriétés projectiles de 1822, qu'il n'existe pour ainsi dire aucune relation descriptive et suffisamment générale d'une figure donnée sur un plan ou dans l'espace, qui n'ait son analogue, ou plutôt sa réciproque, dans une autre figure tout aussi générale que la première, et cela en vertu même de la théorie des polaires réciproques; mais je n'avais fait qu'indiquer à la hâte les principes de cette théorie pour le cas de l'espace, et surtout j'avais totalement négligé ce qui concerne les relations métriques d'angles et de distances, sur lesquelles jusqu'ici il n'existe rien nulle part. Cette nouvelle extension étant indispensable à l'objet des recherches que j'ai depuis longtemps entreprises sur les propriétés des courbes et des surfaces d'un ordre quelconque, j'ai jugé à propos d'en faire le sujet d'un Mémoire spécial, qui, avec celui sur les centres de mx>yennes. harmoniques y pût servir d'introduction à mes recherches subséquentes.

Le but principal que je me propose dans ce Mémoire est d'examiner quelle espèce de modification éprouvent une figure donnée et les relations qui lui appartiennent lorsque l'on passe à celle qui en est la polaire réciproque, et vice versa, de façon à réduire en quelque sorte à un pur mécanisme, à une simple substitution de mots et de lettres mis à la place les uns des autres, la traduction de toutes les affections, de toutes les propriétés tant soit peu générales qui concernent une figure donnée et sa réciproque; enfin, de montrer comment on peut, au simple

(* ) Fojrez le numéro de mars des Annales de Mathématiques , t. VIII. (**) C'est cette analyse qui a paru tardivement dans les Annales de Matltématiquesy numéro de mars 1827^ p. 265.

énoncé d'une proposition qui se rapporte soit aux relations projectives en général, soit aux relations d'angles des figures situées dans un plan ou dans l'espace, comment on peut, dis-je, obtenir sur-le-cbarap et sans recourir à aucun calcul ou raisonnement, une, deux ou trois autres propositions tout à fait distinctes de la première et néanmoins tout aussi générales.

Ce Mémoire est divisé en quatre parties. Dans la première, j'expose la théorie des polaires réciproques pour le cas du plan; je reviens ainsi, mais avec plus d'extension, sur les principes que j'avais déjà mis en avant ailleurs, en insistant plus particulièrement sur les relations de réciprocité qui concernent les Ggures polygonales et les lignes courbes ; la discussion complète des affections qui surviennent dans le cours d'une ligne quelconque, et qui constituent ce que l'on nomme les points singuliers^ met en état d'assigner le degré véritable des polaires réciproques de courbes données dans chaque cas particulier.

La seconde partie du Mémoire est relative aux figures dans l'espace; j'y établis les relations de réciprocité qui existent entre les polygones gauches et les polyèdres indéfinis, et entre les polyèdres définis ordinaires qui sont polaires par rapport à une surface du second degré quelconque; je montre ainsi l'emploi de ces principes pour la démonstration des propriétés les plus générales des polyèdres, etc. Ces notions préliminaires me conduisent directement par l'applicatîon de la loi de continuité aux relations de réciprocité entre les courbes à double courbure et les surfaces développables, ainsi qu'entre les surfaces quelconques; en un mot, je généralise ici, pour le cas de l'espace, tous les principes de la première partie relatifs aux figures' comprises dans un seul plan, ce qui permet de traduire sur-le- . champ toute relation descriptive donnée en une autre essentiellement distincte, pourvu toutefois qu'il ne s'agisse que de relations et de figures projectives; on peut même, à l'aide de ces principes, transporter à l'espace toute relation pareille qui n'aurait été établie que pour les ligures comprises dans un seul plan. En les appliquant en particulier aux surfaces du second degré, ils conduisent à un grand nombre de nouveaux théorèmes, dont quelques-uns ont été indiqués dans le Supplément du Traité des Propriétés projectives^ n°* 592 et 610. Par exemple, j'ai fait voir, n"* 636, comment les nombreuses propriétés des systèmes de sphères qui, par leur généralité, appartiennent à la classe de celles qui nous occupent, comment, dis-je, ces nombreuses propriétés pouvaient s'étendre immédiatement aux systèmes de surfaces quelconques du second degré qui ont un plan de section commune réelle ou idéale; or, de là on est conduit par les principes de la théorie des polaires réciproques aux propriétés générales qui appartiennent aux systèmes de surfaces du second degré inscrites à un même cône, à deux cônes, ou à une autre surface du second degré quelconque.

Pour ne pas rester dans des généralités trop vagues, j'ai rapporté dans mon Mémoire quelques-unes des propriétés d'un système de surfaces du second degré ayant huit points communs ou la même courbe d'intersection, et j'en ai déduit sans discussion les propriétés réciproques des surfaces du second degré qui ont huit plans tangents communs, ou qui sont inscrites à une même surface développable : il en résulte, par exemple, que les centres de toutes ces surfaces sont situés sur une même

étranger à sa nature. Car, outre qu'il arriverait rarement que cette équation fût bien simple, elle n'aurait encore lieu que pour la courbe elle-même envisagée d'une manière individuelle, et n'apprendrait autre chose que la propriété dont elle jouit, en chaque point, à l'égard des nouvelles coordonnées, et des moyens de construire l'une de ces coordonnées à l'aide de l'autre ou du système des autres quand celles-ci sont immédiatement données par le tracé de la courbe, ainsi qu'il arrive, par exemple, dans le système admis par M. Frégier. Toute combinaison directe d'équations pareilles des lignes devenant ihnpossible, un tel système de coordonnées serait bien loin d'offrir les avantages qui, sous ce rapport, sont inhérents à celui des coordonnées ordinaires, et qui le rendent éminemment propre à la recherche des propriétés les plus générales des figures.

Loin donc qu'il soit convenable de remplacer ce dernier système de coordonnées des courbes par un système tellement particulier, qu'il ne contienne rien d'arbitraire ou d'étranger à la nature de ces courbes, il paraîtrait au contraire beaucoup plus à propos de choisir, pour les définir et les représenter par des équations, une propriété tellement générale, qu'elle puisse appartenir à la fois à toutes les lignes et à toutes les combinaisons de lignes, sans cesser pourtant de les caractériser d'une manière individuelle. Nous avons déjà eu occasion de le rems^rquer {Traité des Propriétés projectiles y Introduction, p. xxxiv), « les propriétés de l'étendue sont » d'autant plus fécondes qu'elles sont renfermées sous des énoncés plus généraux j> et plus simples ; car, sous cette indéterinination même, elles embrassent impli- » citement et comme corollaires immédiats toutes les propriétés particulières des D figures. x> Or ces conditions ne peuvent être remplies que par un système de coordonnées qui offre lui-même la plus grande indépendance possible, soit quant à la situation des parties, soit quant à leur grandeur; en sorte, par exemple, que le simple déplacement de ce système ne puisse aucunement modifier l'équation qui représente la courbe, non-seulement quant à la forme générale, mais aussi quant aux constantes ou coefficients qui y entrent : on peut même dire, en généralisant davantage encore, que la question est de trouver un système de coordonnées qui délivre l'équation de la courbe de toute espèce de constante explicite. En effet, cette équation fera découvrir les propriétés les plus universelles de toutes les courbes du même genre, sans égard à l'espèce particulière et à la grandeur des figures, c'est-à-dire ce que j'ai nommé ailleurs leurs propriétés projectives.

Le système de coordonnées rectangulaires ne remplit qu'en partie ces conditions, puisque le changement d'axe, s'il ne modifie pas essentiellement la forme générale, le degré des équations des lignes, entraîne au moins la variation des constantes ou des coefficients.

Ainsi, comme l'observe Carnot (Géométrie de position, p. 474)» ^< la propriété » connue des cordes qui se coupent dans le cercle présente la nature de cette D courbe sous un point de vue plus général que son équation à l'égard des axes D coordonnés, » car cette propriété est même indépendante du paramètre ou rayon. Par la même raison, la propriété due à Newton, sur les abscisses naturelles et les appliquées parallèles des courbes, est plus générale que celle qui définit ces courbes par les abscisses et ordonnées ordinaires; car elle ne dépend pas comme

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celle-ci de la position particulière de Torigine des coordonnées, quoiqu'elle contienne encore la condition du parallélisme ou de la constance des angles formés par les appliquées avec Taxe des abscisses. Enfîn, suivant notre illustre auteur, la relation découverte par lui entre les différents segments formés par une courbe géométrique quelconque prise pour transversale, sur les côtés d'un triangle ou d'un polygone tracé arbitrai)*ement dans le plan de cette courbe, cette relation, disons-nous, entièrement indépendante de toutes grandeurs constantes autres que celles de la courbe, exprime les propriétés et la nature de celle-ci d'une manière plus générale et plus simple encore que la précédente entre les appliquées et les abscisses naturelles.

D'après ces réflexions de Carnot, qui se rapprochent ici beaucoup des nôtres, n'a-t-on pas lieu d'être surpris de le voir ensuite (n*** 431 et 4-32) en abandonner les conséquences pour proposer comme plus général et plus élégant le système de coordonnées mentionné d'abord, attendu qu'il ne concerne aucune grandeur étrangère à la nature de la courbe, aucun axe, aucun point fixe auxiliaire pris pour termes de comparaison? Les segments formés par les intersections d'une courbe avec des transversales droites arbitraires sont-ils donc des grandeurs plus étrangères à la nature de cette courbe que son rayon de courbure, son arc ou ses diamètres de sections coniques osculatrices, etc.? Ces segments ne sont-ils pas tout à fait indépendants de toute origine, de tout axe fixe dans la relation qui les lie entre eux, puisque les transversales sont entièrement arbitraires? Enfin quoi de plus générai que cette relation elle-même, qui appartenant à la fois à toutes les courbes, ne dépend explicitement d'aucune grandeur absolue et particulière de ces courbes ou des objets auxquels on les rapporte. D'ailleurs, quelles que soient les coordonnées qu'on emploie pour définir les courbes, elles seront d'autant plus avantageuses qu'elles seront plus simples, plus faciles à comparer et à construire; et, comme la ligne droite entre comme élément nécessaire dans toutes les considérations qui ont pour objet la mesure ou les propriétés de situation des lignes, il semble qu'on doit accorder la préférence à la propriété des transversales comme définition générale de ces lignes, d'autant plus que cette propriété s'étend facilement à un nombre quelconque de transversales, ainsi qu'à des surfaces et à des courbes quelconques considérées dans l'espace.

Note de i865. — Ce préambule historique était suivi, dans le manuscrit de 1822-1823, de diverses considérations concernant l'application du théorème fondamental de Carnot aux lignes ou surfaces géométriques et à la remarquable correspondance qu'il indique entre les propriétés de ces lignes ou surfaces avec celles des systèmes de droites et de plans quelconques. Mais ces considérations se trouvant reproduites avec des développements, dans la Section III de ce volume, il serait fort inutile de les rapporter ici .

33o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

» aux sommets A, B, G; /? et p' ses inlersecUons avec les tangentes issues de C; » q eiq' ses intersections avec les tangentes issues de A; ret r', etc., on aura, » entre les divers segments formés sur la transversale, la nouvelle relation

ap,ap' . bq,bq' ,cr.cr' = bp,hp\ cq . cq\ ar . ar' y

)) analogue à la première, quoique bien distincte dans le fond. »

Les principes posés dans le Mémoire permettent également de traduire la relation primitive en une autre relation entre les lignes trigonométriques des angles formés par les droites de la dérivée; enfin ils donnent des moyens pour traduire immédiatement cette même relation en d'autres qui appartiennent à des figures situées dans l'espace et dans lesquelles les angles dièdres remplacent les angles plans, etc. Le Mémoire est terminé par quelques applications de la théorie des polaires réciproques aux propriétés métriques des courbes à double courbure et des surfaces géométriques quelconques, ainsi que par Texposé de la méthode très-simple à l'aidé de laquelle on peut transformer toute propriété qui se rapporte à celles que j'ai nommées ailleurs projectives en plusieurs autres très-différentes de la première et non moins générales. La conclusion de ce travail est donc que les principes qu'il contient mettent en état de doubler et de tripler même le nombre des propositions dont il s'agit, ainsi que celles qui concernent les angles des figures, ce qui comprend toutes celles de la théorie des transversales^ de la Géométrie de la règle, et une infinité d'autres plus générales encore.

Permettez-moi, Monsieur^ de profiter de l'occasion de cette Notice pour vous adresser quelques réclamations relatives à des articles insérés récemment dans les Annales de Mathématiques, et dont il a été rendu compte dans divers numéros du Bulletin des Sciences mathématiques.

M. le docteur Plucker a donné, t. XVII, p. 37 et 69 des Annales, divers problèmes et théorèmes sur les contacts des sections coniques fort intéressants en eux-mêmes, mais dont, ce me semble, il aurait dû citer plus scrupuleusement les auteurs : par exemple, le théorème énoncé au bas de la page 71 et la construction qui en dérive pour le cercle osculateur des sections coniques, sont, si je ne me trompe, bien les mômes que le théorème du n° 336, p. 180 du Traité des Propriétés projectives, et que la solution donnée au n° 405, p. 224 et 225 de cet ouvrage ; le théorème du n" 4-04, dont elle a été déduite, est même plus général que celui de M. Plucker, quoiqu'il soit encore un cas particulier de l'énoncé du n° 403 qui, en observant (voyez n'* 184 et la fin des n*** 490 et 407 bis) que le système de deux droites peut être considéré comme une section conique, comprend aussi les problèmes et les théorèmes fondamentaux du Mémoire à deux colonnes, inséré à la page 37 du tome cité des Annales. Que l'on compare également les autres théorèmes de ce Mémoire et les solutions de problèmes qu'il renferme sur les contacts des sections coniques avec ce qui en a été dit du n" 297 au n® 326 du Traité des Propriétés projectives, et spécialement du n** 318 au n** 326; que l'on compare enfin les Jig. 4i> 4^ <^t 43 de cet ouvrage, qui sont relatives à des exemples particuliers, avec celles qui ré-

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sultent de plusieurs des énoncés de M. Plucker, el Ton trouvera que ce géomètre n'a pas dû éprouver beaucoup de difficultés à refaire, en parlant des belles propriétés de Pascal et de Brianchon sur les hexagones inscrits et circonscrits aux coniques, les démonstrations des théorèmes el des problèmes contenus dans son Mémoire sur le contact de ces courbes. Je dirai même plus, c'est que les endroits cités du Traité des Propriétés projectiles, malgré leur laconisme, indiquent des solutions plus générales, plus directes et plus complètes des problèmes en question, puisqu'elles permettent de trouver, au moyen de la section conique donnée, tout ce qui appartient à celle qu'on cherche: par exemple, son centre, ses axes el diamètres, ses intersections avec une droite donnée, ses tangentes partant d'un point également donné, etc. (n** 302 et suiv., 328 et suiv. de cet ouvrage, t. I").

M. le docteur Plucker a bien voulu rappeler, dans une note de la page 52 de son Mémoire, que j'avais énoncé (t. VIII des Annales de Mathématiques) la construction de la section conique osculatrice du second ordre en un point donné d'une autre section conique; je crois à propos de remarquer que cette construction est uniquement relative au contact du troisième ordre, et qu'elle a été justifiée complètement, ainsi que beaucoup d'autres analogues, dans les endroits cités du Traité des Propriétés projectivesy que M. Plucker connaît sans doute et qu'il aurait pu citer comme il Ta fait à l'occasion de la construction particulière dont il s'agit. Il me semble d'ailleurs que s'il est louable de développer dans des articles spéciaux les théories qui n'ont pu l'être en détail dans les ouvrages qui embrassent un grand nombre de sujets divers, on n'est pas pour cela dispensé, en aucune manière, d'indiquer les sources auxquelles on a puisé ses principaux résultats ; il ne suffit même pas de dire en termes généraux, comme le fait M. Plucker, que les questions dont on s'occupe ont fait le sujet des recherches de tel ou tel auteur, il convient encore de dire qu'elles nous ont été utiles. Quant à l'usage de mettre en deux colonnes les propositions de Géométrie de la règle, il me semble que c'est un double emploi très-pénible, peu motivé quant aux démonstrations, et qu'il sufOra toujours d'indiquer, d'après les principes de la théorie des polaires réciproques, la manière directe de conclure les unes de ces propositions des autres déjà démontVées; du moins ne saurait-on arguer de ce que je n'ai pas employé un tel mode de rédaction dans le Traité des Propriétés projectives, que je n'ai point établi ni justifié les propositions réciproques qui dérivent aussi immédiatement des principes que j'ai posés dans cet ouvrage et que j'y ai rappelés dans tant de circonstances différentes.

J'aurais, Monsieur, plusieurs autres réclamations à vous adresser pour mon propre compte, mais elles trouveront naturellement leur place ailleurs, et la lâche deviendra alors pour moi moins délicate et moins pénible. Permettez-moi, au surplus, d'espérer que la Notice qui précède et les réflexions qui l'accompagnent pourront trouver place dans votre savant recueil, et que vous ne les considérerez pas comme entièrement dénuées d'intérêt pour vos lecteurs.

Agréez, etc.

Metz, le 10 décembre i8a6.

Note de i865. — On trouvera dans le paragraphe II ci-après, un extrait des discussions auxquelles cette lettre a donné lieu.

NOTE SUR QUELQUES PRINCIPES GÉNÉRAUX DE TRANSFORMATION DES RELATIONS MÉTRIQUES

DES FIGURES, ETC

[Extrait du recueil belge intitulé : Correspondance mathématique et physique, etc., par A. Quelelet

(Bruxelles, t. VU, i83i-i832, p. ii8 et i4i à i58) (*).]

« Dans un travail étendu sur les applications de l'analyse des transversales aux » propriétés projectiles des courbes ou surfaces géométriques de tous les ordres^ » travail dont la première partie s'imprime actuellement dans le Journal de Mathé- )) matiques pures et appliquées de M. le docteur Crelle, de Berlin, j*ai montré » comment les principaux théorèmes de M. Chasles, relatifs aux pôles, diamètres » Qi plans diamètres de ces lignes et surfaces, insérés au tome VI, p. i de la Cor- » respondance mathématique et physique, se trouvent compris, comme cas parli- » culiers, parmi ceux que j'ai moi-même établis depuis nombre d'années sur les » axes, centres et plans de moyennes harmoniques, et dont j'avais offert les prin- » cipaux éléments dans un Mémoire présenté en mars 1824, à l'Académie royale » des Sciences de Paris, en considérant spécialement le cas où les courbes et sur » faces se trouvent remplacées par de simples systèmes de points, de droites et de » plans quelconques.

» J'ai de plus afGrmé, dans le travail dont il ^'agit, que toutes les relations métri-

» ques envisagées par M. Chasles, dans ses deux Mémoires sur les transformations

» paraboliques {Correspondance mathématique, t. V, p. 281, et t. VI, p. i), non-

» seulement ne sont pas plus générales que celles que j'ai caractérisées jus-

» qu'ici par Tépithète de projectives, et que j'ai spécialement soumises aux prin-

)> cipes généraux de la transformation polaire, dans un autre Mémoire également

)) présenté à l'Académie royale des Sciences au commencement de 1824, mais

» encore qu'elles doivent être considérées comme autant de cas particuliers des

» relations de ce dernier genre, relations auxquelles il est toujours possible de

» remonter par des transformations fort simples et analogues à celle dont j'ai donné

» précédemment une idée dans la Note II de mon Mémoire sur les centres de

» moyennes harmoniques. Or, c'est ce que je me propose ici de démontrer d'une

» manière générale, en observant que les conditions assignées par M. Chasles aux

» relations métriques de la transformation parabolique reviennent précisément à

» celles qui exigeraient que ces relations eussent lieu dans les projections ortho-

» gonales de la figure sur une droite ou un axe arbitraire (vojez t. V, p. 283 et

)) 3o6 de la Correspondance mathématique], genre de projection qui n'est effectif

» vement qu'un cas très-particulier de celui où elle s'opère, soit orthogonalement

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(*) Cette Note est précédée, p. 79, d'une autre sur les lignes du troisième ordre, fort courte, écrite en i83i, mais tardivement parue dans la Correspondance de Bruxelles, et qui, ne contenant rien qui ne soit déjà dans le Mémoire sur t analyse des transversales (t. I"", Sect. III) , ferait ici double emploi. — (Note de i865.)

D sur un plan quelconque, soit coniquement par des systèmes de droites et de » plans convergeant en un même point, ou suivant une même droite.

» Les relations métriques qui sont projeclives d'après ce dernier mode le sont » nécessairement aussi et à fortiori pour les projections ordinaires de la figure; » mais Tinverse n'a évidemment pas lieu : c'est-à-dire que, de ce qu'une relation )) métrique subsiste dans les projections orthogonales d'une figure ou même dans » sa projection par des parallèles quelconques, ce n'est pas un motif suffisant pour » croire qu'elle ait lieu, par cela même, dans ses projections coniques ou centrales : » cette circonstance n'arrive que dans quelques cas spéciaux, pour lesquels d'ail- )) leurs la transformation parabolique n'offre aucun avantage sur la transformation » polaire en général, et a l'inconvénient de ne point laisser apercevoir immédiate- » ment la possibilité de traduire la relation proposée en une relation pareille » d'angles ou de lignes trigonométriques, comme le fait cette dernière iransfor- » mation d'après ce que nous avons établi aux n**' 123 et 137 du Mémoire sur la » Théorie générale des polaires réciproques. Or, je le redis encore, l'objet de cette )) Note est précisément de faire voir comment il est toujours possible, par des » règles précises, de convertir une relation, projective orthogonalement, et qui ne » l'est pas coniquement, en une autre qui, non-seulement le soit en général, mais )) qui de plus satisfasse aux conditions particulières examinées aux n®* 9 et suivants » du Traité des Propriétés projeclives des figures y t. I*"".

» I. Caractère général des relations projeclives orthogonalement. — Rappelons » d'abord les conditions d'après lesquelles on peut reconnaître qu'une relation )) métrique entre les diverses grandeurs d'une figure subsiste dans les projections » orthogonales de cette figure sur un axe ou un plan arbitraires.

)) Soient AB l'une quelconque des distances, (ABC) l'une quelconque des aires » planes qui entrent dans cette même relation, et auxquelles correspondent res- » pectivement, en projection, la distance ab et l'aire abc : on aura évidemment

^^'^coslABjût)' ^^*^^^cos(ABC, a6c)'

» (AB, ab), (ABC, abc) désignant respectivement les angles que forment la droite

» et le plan d'aire considérés avec l'axe ou le plan de projection correspondant.

» Supposant donc qu'ayant substitué, pour chacune des distances et des aires

» planes qui entrent dans la relation proposée, sa valeur ci-dessus en fonction de

» la distance ou de l'aire qui en est la projection orthogonale, il arrive que les

» dénominateurs ou cosinus disparaissent d'eux-mêmes du résultat, et sans qu'on

» soit obligé de faire aucune hypothèse particulière sur la position de l'axe ou du

» plan de projection par rapport aux diverses parties constituantes de la figure; cela

» arrivant, disons-nous, la relation dont il s'agit sera projective orthogonalement,

» elle aura lieu pour toutes les projections orthogonales possibles de la figure sur

» des droites ou des plans arbitraires.

» Pour découvrir maintenant comment ces conditions peuvent être généralement

ji remplies pour une relation métrique et une figure données, il faut supposer

)> qu'on ait ramené cette relation à sa forme rationnelle la plus simple, c'est-à-dire )r à une autre qui ne soit plus composée que d'une suite de termes monômes sans i> dénominateurs ni radicaux, mais contenant différents facteurs simples de dis- » tances ou d'aires, que pour abréger nous désignerons par les épithètes ûe facteurs » linéaires, facteurs superficiels. Or, il est clair que si l'on substitue, dans une » telle relalion, les expressions ci-dessus de chacun de ces facteurs, les lignes » trigonométriques correspondantes ne pourront disparaître d'elles-mêmes, et gé- » néralement du résultat, qu'autant i° qu'elles s'y trouveraient en nombre égal » dans chacun des termes, qui ainsi devraient se composer d'un même nombre de » facteurs simples et d'une nature analogue; 2» que les produits de ces lignes tri- » gonométriques seraient égaux pour les différents termes, ce qui, attendu la )) position générale et arbitraire de l'axe et du plan de projection par rapport aux » parties de la figure, exige que les mêmes cosinus se reproduisent dans les déno- )) minateurs de ces termes.

» AB, par exemple, étant facteur simple dans l'un des termes de l'équation priï) mîtive, il devra correspondre à AB, dans les différents autres termes des dis- )) tances A'B', A"B", etc., qui aient respectivement pour cosinus d'inclinaison ou » pour coefficients trigonométriques celui qui se rapporte à la première. Et pa- » reillement, s'il entre dans un certain terme un facteur superficiel tel que (ABC) )) par exemple, chacun des autres termes de la relation devra contenir un facteur » superficiel (A'B'C), ( A'^B'^C) analogue, et auquel devra correspondre le même » coefficient ou le même cosinus.

j) D'après cela, il est aisé d'apercevoir que, si l'on ne veut absolument rien sta- » tuer de particulier sur la position des distances AB, A'B',. . ., ou des aires planes » (ABC), (A'B'C),. . ., par rapport à l'axe et au plan de projection, c'est-à-dire si » cet axe et ce plan doivent demeurer quelconques, il est aisé d'apercevoir, dis-je, » que les conditions qui viennent de nous occuper ne pourront être généralement )) remplies qu'autant que les distances et les aires dont il s'agit appartiendraient )) à la direction d'une même droite, d'un même plan indéfinis, ou à celle de droites » et de plans distincts, mais tous parallèles entre eux.

» Telles sont donc finalement les conditions de position générales, auxquelles » doivent être assujetties les différentes grandeurs qui entrent dans toute relation » métrique appartenant à une certaine figure située dans un plan ou dans l'espace, )> pour que cette relation soit projeclive orthogonalement. Prouvons maintenant » que, si une telle relalion ne satisfait pas naturellement et dans sa forme actuelle » aux conditions particulières des n*** 9 et suiv. du Traité des Propriétés projec- )) tii^es (t. 1") , qui se rapportent à la projection conique ou centrale des figures, on » pourra toujours l'y ramener, comme cas particulier, en la transformant, selon les » principes exposés dans la Note II du Mémoire (t. II, Sect.I) sur les centres de )) moyennes harmoniques, en une autre plus générale, c'est-à-dire en y introduisant, )) comme facteurs de ses différents termes, certains segments ou distances infinies » ayant pour origine quelqu'un des points de la figure proposée.

)) II. Transformation des relations métriques entre les distances rangées sur une

» même droite* — D'après ce qui précède, les relations dont il s'agit peuvent lou- M jours, si elles ne contiennent aucun facteur superficiel, être censées ramenées » préalablement à d'autres de cette forme

ABXD.EF. . . H- A'B'.CD'.E'F. . . -f- A"B'.r/D".E F^. . . H = o,

f) dans laquelle on suppose que les simples distances ou facteurs linéaires, tels )) que AB, A'B', A'^B'^,..., qui contiennent les mêmes lettres accentuées différem- » ment, appartiennent à une même droite ou tout au moins à des droites parallèles » qui peuvent être considérées comme ayant un certain point commun à l'infini.

» Nommant ce point, on remarquera que les dislances infinies OA, OB, O'A', » O'B',,.., qui lui correspondent, peuvent être considérées comme étant numéri- )) quemcnt égales entre elles, ou comme ayant deux à deux pour rapport l'uniié, » puisqu'elles ne diffèrent entre elles que de quantités assignables et données; si » donc on les introduit, en même nombre, comme facteurs ou diviseurs des diffé- » rents termes de la relation proposée, elles n'en troubleront nullement l'exacti- » tude en tant que celle relation continuera à exprimer une simple égalité entre des » grandeurs mathématiques.

» Cela posé, considérant d'abord le cas où toutes les dislances qui entrent dans » cette relation appartiendraient à une même droite, il ne s'agira, pour la trans- » former en une autre qui soit projective coniquement, que de la traiter comme » celles qui nous ont occupé, en particulier, dans la Note déjà citée plus haut; » c'est-à-dire que, étant le point à l'infini sur cette droite, on multipliera chacun » de ses termes par le produit de tous les segments infinis relatifs à et à ceux n des différents points considérés qui n'appartiennent pas aux facteurs linéaires ou » simples de ce terme ; ce qui revient à diviser chaque terme par le produit de tous » les segments infinis correspondants aux points ou aux lettres de ce terme. Mais, » comme ici la même lettre peut se reproduire dans les différents termes de l'équa- » tion, il conviendra de ne pas comprendre, au nombre des facteurs de ces pro- » duits, le segment infini qui correspond au point indiqué par cette lettre; car ce » segment étant à la fois fadeur ou diviseur de tous les termes, disparaîtrait de )) l'équation finale, même pour les projections de la figure où il acquerrait une ï) valeur finie et quelconque.

» 11 est clair d'ailleurs qu'en opérant ainsi : i" on n'aura nullement troublé l'éga- » lité primitive; a* que l'égalité nouvelle se trouvera composée d'une suite de » termes dans lesquels entreront les mêmes lettres ou qui appartiendront aux » mêmes points; S** qu'à chacun des facteurs linéaires qui composent un terme » quelconque de cette dernière égalité, il correspondra, dans les différents autres » termes, un facteur linéaire ou une distance située sur la même droite queie » premier facteur ou la première distance. Or, si l'on se reporte aux n**" 9 et suiv. » du Traité des Propriétés projectii^es y t. I*% on s'assurera que ces circonstances, D toutes indispensables, suffisent néanmoins pour que la relation dont il s'agit de- I) meure applicable à toutes les projections centrales ou perspectives de la figure, » dans lesquelles d'ailleurs les dislances infinies et primitivement égales seront

)> devenues des distances quelconques aboutissant simplement à un point com- » mun, projection du point 0.

» En effet, S étant un point arbitraire de Tespace pris pour centre de projection, » AB Tune quelconque des distances qui entrent dans la relation proposée, A et B » les longueurs des projetantes SA et SB, m le sinus de Tangle ASB formé par ces )) projetantes, p la perpendiculaire abaissée de S sur la direction indéfinie de AB, » on aura

AB=:sin(ASB) — = m — :

j) et, d'après les conditions des numéros dont il s*agit, il faudra qu'en substituant, » dans cette relation, pour la distance AB et ses analogues, les expressions qui leur » correspondent, il ne reste plus, réductions faites, qu'une relation du même » genre entre tous les sinus m des angles projetants relatifs aux diverses distances; » mais c'est ce qui résulle évidemment des circonstances ci-dessus énoncées. Car, n par suite de la première, toutes les projetantes disparaîtront du résultat de la » substitution comme facteurs communs de l'équation, et, d'après la seconde, il en » sera de même des perpendiculaires abaissées de S, sur chaque distance; perpen- » diculaires ici toutes égales entre elles, mais qui ne le seraient plus s'il s'agissait n de distances quelconques ou simplement parallèles; ce qui démontre que la » transformation ci-dessus ne serait plus applicable, avec le même succès, à une i) relation métrique entre de pareilles distances.

» III. Transformation des relations métriques entre les distances parallèles, — » Considérant maintenant le cas où une partie seulement des distances qui appar- » tiennent aux différents termes de la relation proposée

AB.CD.EF. . . -f- A'B'.CD'.E'F'. . . -f- A''B\C'^D^E'T". . . -f- . . i = o

» se trouveraient rangées sur une même droite, toutes les autres appartetiant à de » simples systèmes de droites parallèles, il est clair que, cette relation étant pro- » jective orthogonalement, chacun des termes qui la composent devra contenir (1) » un nombre égal de ces premières distances comme facteurs simples, supposé )) toutefois qu'il n'y entre aucune autre longueur relative à des droites qui seraient » parallèles à la direction de celle dont il s'agit. Appliquant donc séparément aux » différents produits formés par ces facteurs le mode de transformation ci-dàssus, » et agissant de même pour les divers autres systèmes de points rangés sur\une » même droite, il ne restera plus qu'à s'occuper des groupes de facteurs qui con- » cernent les systèmes de droites parallèles à des directions données. Or, c'est ici «•qu'on peut varier, pour ainsi dire à volonté,- le mode de transformation ^ans « cesser d'obtenir des relations nouvelles tout aussi exactes que la première, et Jjui » soient projeclives coniquement.

» Considérons en particulier, dans la relation proposée, le groupe des dislances » AB, A'B', A"B", . . ., qui sont censées parallèles à une direction donnée; et, pour » plus de généralité, supposons que ces distances n'appartiennent pas toutes à un

i> même plan. Cela posé» concevons que d'un point quelconque de l'espace, on » projette ces distances sur un plan arbitraire, et soient ab, cd^ ^/>- . • les distances » qui leur correspondent respectivement dans cette projection ; il est clair qu'étant » proportionnelles aux premières, on pourra les substituer à leur place dans la » relation proposée» sans altérer en aucune manière cette équation, puisque chacun » de ses termes doit en contenir (I) le même nombre comme facteurs. Concevant )) enfln qu'on ait coupé le système des parallèles ab^ cd, ef,... par une droite arbij) traire qui les rencontre aux points x, x', ;r^,... respectivement; nommant/? le » point situé à l'infini sur cette droite, et remarquant que nos différents systèmes » de parallèles peuvent eux-mêmes être censés avoir un point de concours unique dans l'espace, on apercevra de suite le moyen de satisfaire aux conditions x> précédemment indiquées, quant à ce qui concerne les facteurs linéaires AB, » A'B', A'^B",. . . considérés en particulier. » En effet, si on remplace ces facteurs par les quantités respectives

ab xO a!b' ^0 a'^b^ x^O

aO.bO xp a'0.6'0 x'p' a''0.6"0 a"p

j> qui leur sont simplement proportionnelles attendu l'égalité des segments infinis ]> qui y entrent, d'une part (II) on n'aura point troublé la relation primitive ; d'une B autre, en réduisant tous les termes au même dénominateur, ils se trouveront » composés des mêmes lettres et de facteurs linéaires appartenant, chacun à p chacun, aux mêmes droites indéfinies; la nouvelle relation sera donc applicable à toutes les projections coniques de la figure.

» Dans le cas où toutes les distances parallèles AB, AfB', k"W'y ... se trouveraient 9 naturellement comprises dans un plan unique, il serait inutile évidemment de ' » les remplacer ainsi par d'autres ab, a'b\ a^'b",... assujetties à la même condi- » tion; il suffirait de les couper par une transversale quelconque, puis d'opérer » comme on vient de le dire : on pourra même éviter l'emploi de cette transver* » sale auxiliaire, dans tous les cas où les parallèles en question se trouveraient à la D fois et naturellement coupées par quelqu'une des droites de la figure, etc.

B Concevons encore que, dans le cas général ci-dessus, au lieu de projeter les » diverses distances AB, A'B', A"B'', . . . sur un plan arbitraire, on les projette sur » une simple droite ou axe, soit par un système quelconque de plans parallèles, D c'est-à-dire concourant suivant une même droite à l'infini, soit par autant de D couples d'ordonnées ou de parallèles arbitraires, l'axe étant pris parallèlement D aux distances considérées, soit enfin par des couples d'ordonnées parallèles » choisies de façon que le système de celles qui appartiennent aux extrémités D A, A', A^, • . . , par exemple, aboutissent à un même point de l'axe parallèle dont » il s'agit; il est évident que, dans ces différentes circonstances, les distances pro- » posées étant respectivement égales ou dans un rapport invariable avec leurs )> projections sur l'axe commun, il serait complètement inutile de faire intervenir

» une transversale auxiliaire dans le système, pour atteindre le but désiré; car, *\

D ayant remplacé^ dans la relation primitive, chaque distance par sa projection, il ne II. 43

» s'agira plus que de la traiter comme on Fa fait (II) pour un simple système de » points rangés en ligne droite.

» IV. Modes de transformation plus simples que les précédents. — On peut éviter D entièrement de recourir à des projections auxiliaires des distances parallèles )) AB, A' B', A"B", . . . sur un plan ou une droite arbitraire, et opérer immédiatement )) la transformation qui nous occupe, en joignant simplement, par des droites et » deux à deux, les extrémités respectives de ces distances.

» Considérant, par exemple, lés distances AB et A'B', on mènera parleurs extré- » mités A et A', B et B', les droites AA', BB' se rencontrant en R', je suppose, et T) Ton aura par les triangles semblables ABR, A'B'R',