II. 5i

4o2 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

que nous possédons aujourd'hui dans \e principe ^ér /7<?r/na;ze/7r^ des relations géométriques, es^ntiellement basé sur la loi des signes de position, que certains d'entre les modernes se refusent à examiner et à reconnaître sous le nom abréviatif de principe de continuité (voyez les applications d^ Analyse et de Géométrie , t. II, 1864, Cah. III et IV). Ajoutons que les obscurités inhérentes au texte d'Euclide expliquent comment le Traité des Porismes a été entièrement perdu, contrairement à ce qui est advenu de ses autres écrits ainsi que de ceux d'Ârchimède, d'Apollonius, etc., tous marqués du sceau de la clarté et de l'utilité générale..

Dans les lemmes V, XIX et XXVIII des Collections mathématiques (p. 36^, 871, 384), malgré les erreurs de la traduction de Commandin, sinon du texte de Pappus, on reconnaît aisément des théorèmes relatifs à Taxe harmonique, au pôle d'un couple de lignes droites, à la polaire du cercle, théorèmes bien connus de Desargues et de Pascal, de même que les précédents, qui appartiennent également à ce que j'ai nommé propriétés pmjectives des figures. Toutefois, ces propositions sont ici- réduites à un état tellement rudimentaire, qu'il pardît difficile d'admettre qu'Euclide, dans son Traité des Porismes^ n'y ait pas vu plus que Pappus dans ses lemmes ou propositions diverses. Car, en admettant même que le texto grec ou la traduction latine de Commandin soient corrompus quant aux lemmes Y, XXVIII et XXXIIl relatifs au quadrilatère et au cercle (fi^. 53 et 54) (ce que j'ai facilement reconnu et rectifié dans mes Notes de 1818, où se trouvent aussi restiluôs à la manière antique mais non systématique les lemmes que le texte suppose); cette rectification et les commentaires dont seraient susceptibles les lemmes suivants, exclusivement consacrés au cercle ou au demi-cercle, ne pourraient suffire à restituer aux propositions diverses de Pappus la généralité qui leur manque, et dont par suite se trouve privé le Livre m des Porismes d'Euclide.

Néanmoins, d'après l'introduction du Livre Vn des Collections^ ij est au moins douteux qu'Euclide ait étendu les propriétés d'int^olution et de division harmonique aux quadrilatères inscrits ou circonscrits aux trois sections coniques, tâche réservée non à Apollonius de Perge, mais & Lahire fils, disciple ingrat de Desargues et de Pascal (voyez la Note additionnelle ci-après), n y a plus, et ceci est particulièrement remarquable, Pappus, qui fait un aussi grand cas de la proportion liarmonique daiis lo préambule du Livre III des Collections^ ne semble plus s'en ressouvenir à l'occasion d'aucun des lemmes ci- dessus, et Apollonius, le continuateur d'Euclide, ne se sert pas davantage de cette locution, due à Platon, comme on l'a vu plus haut.

Après avoir ainsi passé en revue les lemmes les plus importants exposés par Pappus dans le but d'élucider les trois Livres des Porismes, les Notes manuscrites de 1817- 18 18 en tirent ces conséquences générales :

« Nous penchons à croire, d'après tout ce que dit cet auteur, que les porismes étaient des espèces de propositions qu'on ne pouvait appeler, à proprement parler, ni théorèmes, ni problèmes, parce qu'elles n'avaient pour but, ni la démonstration d'un théorème énoncé en particulier, ni la solution ou construction de tel ou tel problème, mais la recherche en général de toutes les propriétés, relations, lieux parcourus, etc., dans une figure composée d'une certaine manière, de lignes et de points. Ainsi, tandis que, dans un théorème, on démontre que, telle relation ayant lieu, tel point décrit une certaine ligne, dans un porisme on cherchera quelles sont les relations variables ou constantes qui lient entre elles les diverses parties du système, dans cette transformation. Euclide aura sans doute fait connaître dans son Traité des Porismes la marchesystématique à suivre pour enchaîner les parties connues ou données par leurs rapports aux premières, avec les autres parties de la figure, dont tout d'abord on n'apercevrait pas la relation intime, et de là sera né, pour chaque cas, une espèce de tableau analytique analogue à« ceux qu'on trouve dans la Géométrie de position de Carnot, incomplet peut-être, mais d'où l'on pourrait facilement déduire toute autre Relation qui n'y serait pas portée. »

Ces lignes sont suivies, dans notre vieux manuscrit, d'une seconde tentative faite en vue, non d'approfondir le sens énigmatique des paroles de Pappus au commencement du Livre VU des CoU lections mathématiques, mais seulement d'expliquer, d'interpréter l'énoncé général dont j'ai déjà

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 4o3

parlé, et par lequel Pappus résume le Livre I*^ des Porismes, dont Tanalogie avec la théorie des polygones mobiles ou variables {applications d^ Analyse et de Géométrie, t. II, p. i à 66) est évidente; car cette théorie comprend outre les propositions de Pappus sur les lieux à la ligne droite, commentées par Robert Simson et Lhuilier (de Genève), celles qu*on devait à leurs prédécesseurs Maclaurin, Braikenridge ou à d^autres, qui ne se doutaient guère sans doute, ^râre à Lahire, de Taffinilé de leurs idées avec celles de Desargues et de Pascal [voyez aussi Propriétés projectives, t. P', Sect. IV, Chap. Il et III).

Cependant, je dois Tavouer, aujourd'hui encore et malgré toutes ces indications, les définitions à priori de Pappus sur le sens attaché par les Anciens au mot porisme, même en tenant compte des rectifie;) tiens apportées à la traduction latine de Commandin, ces définitions et leurs commentaires sont demeurés pour moi d*une obscurité profonde, de véritables énigmes que je me garderai bien d'essayer de débrouiller apr^s tant d'autres plus érudits que moi. Je me borne donc à déclarer que mes idées À ce sujet sont restées ce qu'elles étaient lors de la publication de mon ouvrage de 182a, après avoir consulté, non le Traité posthume de Robert Simson, alors à peu près inconnu en France et môme en Angleterre, mais bien un écrit du géomètre allemand Abraham-Gotthelf Kœstner (*), qui contient une analyse fort bien faite de cet essai d'interprétation âes porismes; analyse dont je conserve la traduction parmi mes papiers, mais que je ne saurais rapporter ici malgré sa faible étendue relative; car elle ne comporte que onze pages in-octavo d'un texte allemand qu'accompagnent, il est vrai, des notes historiques et bibliographiques fort intéressantes. C'est pourquoi je me borne à transcrire ici un passage de l'art. 12, p. 73, qui contient le jugement de Ksestner même sur cette restitution ou divination, i^r R. Simson, du texte grec de Pappus:

« Je me félicite d'avoir amené quelques sujets d'exercices géométriques, en faisant connaître ce que Ton » entend par le nom de porisme parmi les géomètres.

» Quand Simson Tient à dire qu'il avait, avec beaucoup de peine, débrouillé quelques propositions » énoncées par Pappus , ex quitus prœstantiam Porisrmuum, et quant maxime eorum jactura geometris » deploranda sic dignoscere licet, je pense alors : Des enfants qui sont infiniment plus riches que n'étaient > leurs pères, et qui possèdent beaucoup plus de ressources qu'eux pour acquérir des richesses^ ne • devraient pas pleurer aussi amèrement la perte d'une part si médiocre de leur héritage. >

Toutefois, je ne puis m'associer entièrement à ces paroles dédaigneuses de Kœstner qui ignorait, il faut le dire, aussi bien que Fermât, Simson et d'autres, le développement prodigieux qu'ont reçu dans ces derniers temps les idées, les inventions d'Euclide^ de Desargues et de Pascal sous le nom de Géométrie moderne,

Addition relative aux réciproques des porismes, aux faisceaux projectifs, à Lahire, à Desargues,

à Pascal et à Apollonius,

Parmi les théorèmes élémentaires inconnus aux Anciens et qui appartiennent à la réciprocité polaire, mais que la dualité de situation ne suffirait pas à démontrer, à découvrir directement, je citerai celui que Ton attribue ordinairement à Jean Bernoulli, et qui est relatif au triangle des sommets duquel on abaisse, sur les côtés opposés, trois droites issues d'un point quelconque de son plan {Propriétés projectives, t. I, iSoQ, n^ 158), théorème déjà connu de Desargues, mais qui s'étend (n^ lâ9 du même ouvrage) à un polygone quelconque d'un nombre impair de côtés; car, d'après nos principes (t. H, Sect. II, n^ 120), ces théorèmes sont précisément les réciproques polaires de ceux qui se rapportent au triangle et au polygone plan coupé par une transversale arbitraire. 11 y a plus : la relation projective des groupes de segments relatifs à la figure primitive ou à sa réciproque, existe aussi entre les sinm des angles des droites projetantes qui rayonnent autour du point arbitraire représentant le pôle de la transversale dont il s'agit.

Le cas le plus élémentaire de cette réciprocité polaire est évidemment celui de la division de la ligne

(*) Geometrische Abhcmdlungen (erste SammlungX Goettingen, 1790 {'vcyez p. 64» sur Vidée des PO' rismeSf principalement d'après R. Simson). '

4o4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

droite en parties harmoniques ; ce qui fait retomber sur la propriété du faisceau de quatre droites hmrmo' mtales] selon la bizarre appellation de Lahire : les mêmes doctrines (Sect. 1 et H de ce volume), appli* ^ées aux relations projectives à six ou huit segments de points en ligne droite, mentionnées au début de cet article (p. 4oo) comme appartenant, d'après Pappus, à la section déterminée des Anciens et dont le développement théorique et les appellations non moins étranges par Desargues ont été, quant au fond, si injustement critiqués par Beaugrand, ces doctrines, disons-nous, conduisent aux diverses propriétés des faisceaux, simples ou doubles, de droites rayonnant autour, d'un ou de deux points, propriétés aujourd'hui bien connues des géomètres. «

En outre, si on les applique aux autres lemmes on poriames de Pappus et d'Euclide, par exemple au lemme X (p. 366 des Collections et 4oi ci -dessus), on obtient des relations métriques projectives du quadrilatère complet sans diagonale et à six sommets, en regardant comme tels les deux points de concours des côtés opposés de ce quadrilatère ; relations dans lesquelles le point représentatif du p6le de la transversale primitive, pris pour centre de projection des six sommets du nouveau quadrilatère^ donne entre le sinus des six angles correspondants une égalité ( relation d'involution ) analc^pue à celle de s^pnents compris sur cette transversale; or, de là il suit, d'après les principes du tome 1*' (n^* 9 et suiv.), que la même relation d'involution a lieu aussi entre les six segments fournis par les lignes rayonnantes ou projetantes sur une droite entièrement arbitraire, et peut recevoir diverses positions relativement aux côtés et aux sommets du nouveau quadrilatère; absolument comme dans la fig. 5i du lemme X de Pappus, où le quadrilatère n'a que quatre sommets, mais deux diagonales.

Les lemmes correspondant auxyf^. 48, 49 ^ ^o de notre PL VI donnent lieu à des réciproques tout aussi remarquables, mais que je me dispenserai d'énoncer ici, parce qu'ils se rattachent à des théories élémentaires, non moins connues et ayant pour principal but de se substituer au lieu et place de celles du Traité des Propriétés projectives (vqjrez les Articles suivants).

Enfin, ce qui est bien plus remarquable encore puisqu'il s'agit d'une simple dualité de situation, ces mêmes doctrines, étant appliquées aux lemmes de la Jig. 5a relatifs à l'hexagone inserit à deux droites, conduisent à ce théorème réciproque, qui jusqu'ici a peu attiré l'attention, si ce n'est de Jacob Steiner, dans l'ouvrage allemand do i839 (p. 85 et 86) dont il sera bientôt question, et o& l'auteur multiplie l'emploi des énoncés à doubles fcolonnes, non sans avoi^ eu recours à la formule et aux principes de transformation des n^ 9 et suivants du tome I*** du Traité ci- dessus de 1823.

Si Ton prend {Jig. 55, Pi, F7) deux points A et B pour centres ou p^les respectifs de deaj. fmseeaux, formés chacun d'un système de trois droites arbitrairement tracées dans un plan passant par les centres ou pôles A et B, ces faisceaux de trois droites chacun formeront par leurs rencontres mutuelles un réseau quadrilatéral à neuf sommets a, 6, c, d^ e, /, g^ A, i , parmi lesquels en en choisissant à volonté six, tels que leur ensemble hexagonal abfedha^ formé alternativement de trois des côtés mêmes du réseau, à directions convergeant an point A, et de trois autres côtés qui convergent au point B, il arrivera naturellement que les diagonales bdy ae, hf qui joignent les sommets opposés de cet hexagone iront elles-mêmes converger en un autre point non donné par la figure.

La même chose pouvant se dire d'ailleurs de tout autre hexagone formé sous des conditions analogues, en échangeant entre eux les nœuds ou sommets du réseau, il en résulte que le nombre de tels hexagones distiMMs est réeUement multiple ; remarque appiteable également au lemme fondamental de la fig. 5a, -enpraatée à Pappus, mais que je me garderai bien de développer et de justifier pour ne pas tomber dans iea oonsidératioBB de la Géemétrim ^Mmbinatcire de Steiner.

Au wj«t d« racadémieien Hi. de Lahire, qu'on me permette de rappeler que son père (Laurent Liidre), peintre «t ami dhi célèbre graveur Bosae, était, conusie ce dernier, élève de Desargues et de Pascal ; ^e pàf cosséquettt II a dû amr «oe OBScte «oniMiissaiiee des écrits originaux de ces célèbres géomètres, #Hst il na ttoaa reste que ëes fn^nems imperlaits {introdmetion au tome 1^' de ce Traité» p. xli ^••i«.);qiw, toèe-^iobablemeBt SMiM, Ph. deLaUre possédsii ces éerits à l'époque de 1673 où il publiait mmJFitaâo^tâquet, et, Aforniori, lorsque, em i665, il fiiisait imprimer son Traité in-feUo aur Jes conique, dont les rétioanoes fadSes à remarquer dans la pré£sce iatine et le commentaire interprétatif et eomparatif ^p, Mb à a44} flur les toniques d'ApoUottius de Perge» sul&raient seuls poor démoatrer que ce Lahire fils, bien qu'académicien, n'était qu'un vulgarisateur privé du génie de l'invention et très-habile à s'approprier les idées d'autrui, comme il en existe encore de nos jours, qui, selon la maxime des Gergonne, pensent que 1m Jbrme tifmptirte ismr k fond; ce npA ^L parfastaount eaimt quand il «'agH deoas vulgarisations élégantes et modestes, en elles-mêmes fort utiles, mais non qaaari «■ y pirfÉini a« <ilr« d^swvntmr, «t

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 4o5

qu'on diflflimule, à propos de doctrines fondamentales, les noms des vrais initiateurs, comme l'a fait Lahire dans ses divers écrits géométriques.

Ainsi, notamment, il est bien certain qu^Euclide, Apollonius et Pappus n'ont jamais employé dans leurs énoncés et démonstrations les mots de proportions, de dmsions harmoniques, et c'est gratuitement que, à cet égard, Labire s'appuie de l'autorité de feurs noms et de leurs œuvres, d'autant plus qu'ils ne 80 sont nullement occupés de ces quadrilatères inscrits ou circonscrits aux coniques, du pâle et de la polaire dont lui-même, Ph. de Lahire, a longuement exposé les théories aux trois premiers Livres de son Traité de i685; théories que, d'après les énoncés de la lettre de Leibnitz à la famille Périer, on reconnaît aisément pour appartenir aux Chapit. III et IV du Traité des coniques de Pascal, de i654* C'est ce dont, au surpins, on s'assure facilement en comparant ces énoncés avec ceux des pages lo et i4 de l'ouvrage dté de i685, dont Xo^Jig. 69 et 60 de notre Pi. ^/offrent la copie exacte, mais qui n'ont qu'un rapport indirect avec celles des pages 197 et suivantes des Coniques d'Apollonius {voyez la traduction latin» d'Halley); tandis que ces dernières concernent exclusivement la division harmonique des sécantes issues d'un pdle ou point fixe arbitraire, comme dans les Collections de Pappus que nous avons interprétées graphiquement dans lesjig. 54 et 58 de la même Pi. FI, et qui sont à quelques égards plus complètes que celles d'Apollonius dont, je le répète, aucune n'a trait aux quadrilatères.

QUELQUES MOTS SUR l'aGCUEIL FAIT A L'ÉTRANGER AUX IDÉES ET AUX DOCTRIMBS DU TRAITÉ

DBS PROPRIÉTÉS PROJEGTITES DBS FIGURES.

Cette tâche serait pour moi aussi délicate que pénible si, tout en laissant de côté notre France scientifique et même la Belgique, naguère encore pays de contrefaçon et de contrebande littéraire qui, sous une décevante liberté de tout dire et de tout faire, et sous le patronage de Taristocratique et jalouse Angleterre, oublie sa glorieuse origine gauloise, ses instincts naturels et ses véritables intérêts matériels, cette tâche, dis-je, serait pour moi comme impossible même en laissant de côté la France et la Belgique, si je devais étendre mes investigations jusqu'à l'époque actuelle ou beaucoup au delà de i83o, et si je n'avais déjà, dans les tomes I et n des Applications d'Analyse et de Géométrie, donné quelques indications touchant le but que je me propose actuellement d'atteindre ; enfin, si je devais prolonger cette enquête historique en dehors de l'Allemagne du Nord, seule contrée où, avant i84o-i45, on eût prêté une attention sérieuse à un genre de questions qui se rattache bien plus à la philosophie qu'à la scolastique des études.

En effet, l'Angleterre et l'Italie elles-mêmes, ces nations aujourd'hui si avancées à certains égards, se trouvaient alors plongées dans cette sorte d'engourdissement et d'indifférence qu'amène avec elle la culture exclusive du calcul algébrique ou de la lourde synthèse géométrique des Anciens, jusqu'à Fépoque précitée où les Trudi (1840), les Padula (1844), les Bellavitis (i85i), les Cremona (1862) en Italie; les Hamillon, les Cayley, les Sylvester en Angleterre,- et surtout le loyal et docte Salmon, cet interprète bienveillant et lucide des nouvelles doctrines algébrico-géométriques, éveillèrent, quoique tardivement, dans ces pays illustrés par tant de grands hommes et de grandes choses, le goût de la moderne Géométrie, émanée de l'École de Monge et depuis longtemps introduite dans les institutions polytechniques de l'Allemagne [Pofyiechnikschide). Peut-être même auraient-ils ignoré l'existence de cette Géométrie longtemps après 1840 s'ils n'en avaient pris un aperçu dans les publications de 'Bruxelles^ cette capitale demi-anglaise d'un pays violemment séparé de la France en 1814, Géométrie dont le philosophique point de départ date en effet de TËcole de Monge^ ou plus particulièrement, comme je l'ai tant de fois répété, de 1817, i8ao, 1822, 1824 et i83o à i83i; Géométrie enfin qui, à partir de 1827 ou 1828 seulement, a été cultivée, développée et propagée avec un succès incontestable par les Sturm, les Gergonne, les Bobillier et les Chasles en France ou en Belgique, par les Moebius, les Steiner, les Plucker et les Jacobi en Allemagne.

Qu'on me permette à cette occasion de présenter quelques réflexions qui, en apparence étran-

4o6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

gères au but de cet ouvrage, ne s'y rattachent pas moins de la manière la plus intime, et ne sont point en elles-mêmes d'ailleurs dénuées de tout intérêt scientifique.

Depuis l'époque de i8i5, l'esprit de rivalité et de nationalité s'est développé chez nos voisins en haine de la Révolution française et du grand homme qui, présidant à ses destinées, fut si mal apprécié dans ses projets d'émancipation et de progrès civilisateurs, projets rudement combattus par les gouvernements arriérés et les savants mêmes des divers pays moins avancés ^dminislralîvement, politiquement que le nôtre, pays qui s'étaient montrés naguère aussi injustes, aussi ingrats envers Frédéric II de Prusse , cet autre grand homme non moins absolu que Napoléon I*' et n'admettant que le latin ou le français comme interprètes des hautes questions de sciences philosophiques, politiques ou diplomatiques en Europe. Ces gouvernements réactionnaires de i8i5, passionnés et bien autrement despotiques, ont amené dans le domaine des lettres et des sciences, même entre les Académies, une sorte d'isolement, de confusion des langues qui fappelle la tour de Babel, et dont le cosmopolitisme industriel ou mercantile, les télégraphes électriques, les chemins de fer, la navigation à vapeur, etc., ne parviendront pas de longtemps à nous faire sortir, je le crains fort.

Du reste, depuis le siècle de Frédéric le Grand et la fondation de l'Académie des Sciences de Berlin sous les auspices de Voltaire, de Mauperluis, de Diderot, de d'Alemt)erl, etc., lo gouvernement, sinon le peuple un peu arriéré de Prusse, n'a pas cessé de sympathiser avec les idées françaises, je ne dis pas au point de vue politique, à cause des ménagements dus à des puissances rivales et jalouses, du moins philosophiquement et scientifiquement, comme le prouve le séjour de notre grand citoyen Carnot à Magdebourg en i8i5. Je ne doute nullement que ce soit à cette même sympathie autant qu'à l'intervention de l'illustre voyageur physicien Alexandre de Humboldt que MM. Àrago, Biot et moi-même, qu'on me permette de le rappeler ici, avons dû l'honneur de faire partie de cette pléiade d'illustrations scientifiques et artistiques qui constitue l'ordre du Mérite de Prusse^ sons le patronage du Roi et l'invocation de Frédéric H; ordre dont les titulaires ont préalablement passé sous le contrôle et l'élection de l'Académie des Sciences de Berlin, où, comme à rinstitut de France, l'intelligent et bienveillant appui de l'amitié est souvent nécessaire.

Je n'oublie pas d'ailleurs que, dès le printemps de 1808, alors qu'étant à l'infirmerie de l'École Polytechnique atteint d'une longue maladie qui me fît perdre une année d'études, j'ai acquis l'amitié de M. de Humboldt qui, en attendant le résultat de ses expériences faites en collaboration de Gay-Lussac au laboratoire de cette École, condescendait à s'entretenir familièrement avec l'élève de l'infirmerie, dont ce grand philosophe ami d'Arago déjà professeur de Géométrie analytique, a conservé un assez long souvenir pour continuer la même bienveillance à cet élève et lui en donner témoignage, tant lors d'un séjour à Metz^ où il s'occupait d'observations sur le magnétisme terrestre, qu'à l'époque plus rapprochée de son passage à Saratoff, au retour d'un voyage d'exploration en Asie, où il s'enquit de l'ex-prisonnier de guerre des Russes.

Enfin, je me rappellerai toujours avoc reconnaissance les entrevues et les entretiens que, avant et après i83o, j'ai eus avec le célèbre Associé de l'Académie des Sciences de Paris, soit chez notre ami commun Arago, soit chez l'honorable général Baudrand, soit chez moi-même où je pus librement le solliciter en faveur de Jacobi, l'illustre professeur exilé à Kœnigsberg, et de Jacob Sleiner, alors professeur agrégé [privat-docent) à Berlin, réduit aux plus minimes rétributions universitaires. Là, comme dans sa spirituelle correspondance intime et scientifique, j'ai trouvé en Alexandre de Humboldt un ami et un protecteur dévoué, qui n'a pas toujours eu, malheureusement pour les sciences, près du ministère de llnstruction publique à Berlin, toute l'influence qui était due à sa haute renommée dans les deux mondes; renommée qu'il employait, à Paris ainsi qu'à Berlin, à plaider chaleureusement la cause de ses amis scientifiques, au nombre desquels je pourrais citer quelques-uns de mes illustres confrères à llnstitut.

C'est encore, je n'en doute nullement, au baron A. de Humboldt que sont dus les encouragements et la protection qui furent accordés à l'excellent et savant D^ Grelle pour la fondation du Journal

de Mathématiques pures et appliquées; ce qui peut expliquer le favorable accueil fait dès Tannée i8a6 à mes travaux de diverses natures, mentionnés ou insérés dans cet utile et honnête journal, et l'amitié sincère que m'a dès lors et depuis témoignée l'honorable D' Grelle, dont il m*est interdit de rapporter ici les bienveillants articles bibliographiques; amitié qui ne fit que s'accroître lors du séjour de ce savant à Paris, en juillet i83o, où il se trouva seul et étranger au milieu de la terrible crise sociale subie à cette époque par notre turbulente capitale.

D'ailleurs, je n'ai absolument rien à dire des époques antérieures à celle de 1822, à partir de laquelle on put prendre connaissance du Traité des Propriétés projectives partout où l'on cultivait les Sciences mathématiques; mais je dois ici le répéter, ce fut pour moi un véritable bonheur que l'apparition ùu Journal de Crelle en janvier 1826, au milieu des discussions inconcevables que mon ouvrage avait fait naître eu France.

En effet, malgré l'appréhension que devaient lui inspirer les critiques et les dénis de justice d'hommes aussi considérés alors que GergonneetCauchy, malgré l'esprit de rivalité qu'il risquait de provoquer dans son propre pays, le bon et loyal D*" Crelle osa annoncer avec éloge, dès le premier numéro de son recueil (t. 1*', janvier 1826, p. 96], le Traité des Propriétés pmjt^ctives des fiç^ures^ dans un articlf^ bibliographique remarquable sous le rapport du courage scientifique et de l'équité. Mais, pour ne pas trop éveiller la susceptibilité de son jeune collaborateur, M. Steiner, il fut induit à admettre que 1824, époque probable des études analogues de ce géomètre, était très-voisine de celte de mes propres publications, de 1817 a 1822 : cet acte de bon vouloir a dû confirmer dans leur erreur bien des auditeurs des leçons de l'ingénieux disciple des Pestallozzi en Suisse et des Mœbius à Leipzig, lorsque Steiner affirmait (Crelle, 1. 1*', p. 162] n'avoir rien emprunté aux auteurs français avant 1826, où le docte Journal lui fit faire connaissance avec le Traité des Propriétés pmjectives, et n'avoir jusque-là consulté que les écrits antérieurs i cet ouvrage ; ce que je consens à accorder pour tout ce qui concerne les problèmes de Pappus, d'Apollonius, de Yiète, de Malfatti, etc. (Crelle, t. I*', 1826, p. 161), c'est-à-dire pour le contact et l'intersection mutuels des cercles sous des angles donnés : problèmes incomplètement résolus avant M. Steiner et fort amplifiés de nos jours, mais non pour tout ce qui a trait aux propriétés projeclives des courbes, des cônes et des surfaces du deuxième degré qui s'entrecoupent sur un plan ou dans l'espace, autres problèmes dont Steiner parle aussi dans un premier Mémoire [ibid,^ p. 38 à 5o). C'est là, en effet, de la belle et bonne Géométrie de l'École de Monge, alors comme aujourd'hui peu cultivée en Allemagne, en Italie et en Angleterre par les algébristes purs. Mais cela prouve seulement qu'à la date de novembre 1825 où il publiait ce premier Mémoire, date postérieure <le trois années à celle de 1822, l'esprit intelligent et fertile de Steiner s'était rendu familières les doctrines géométriques et analytiques qui appartiennent à cette célèbre École. Or, si cela est évident d'après ses propres citations, cela ne prouve nullement qu'il n'eût aucune connaissance avant 1825 du Traité des Propriétés projectivesy ainsi qu'il le prétend à la page 162 du journal précité. Pourquoi donc, devenu professeur à la savante Université de Berlin, s'est-il écarté, dans ses écrits postérieurs, de celte voie géométrique élégante et facile? Serait-ce pour éviter des aveux pénibles au point de vue de ramour-propre?Ce que je vois seulement à la lecture de ces mêmes écrits, c'est que, sauf dans les dernières années, il a constamment évité de citer aucun des ouvrages français qui ont pu servir historiquement ou philosophiquement de guide à ses propres études sur la matière.

Quant à M. Mœbius, dans sa longue introduction au Calcul harycenirique publié en 1827, cinq années après le Traité des Propriétés projectiles et postérieurement aussi aux premières recherches de Steiner, il ne semblait pas non plus avoir connaissance de ce dernier ouvrage ni de ceux qui l'ont précédé à dater de 1817, bien qu'il cite d'après Gergonne, ou plutôt d'après l'article apocryphe du Bulletin Férussac rapporté à la page 379 ci-dessus, divers théorèmes de la Géométrie de la règle ou des transversales y ici démontrés par une méthode de transformation eolUnéaire [CoUineations Fenvandschaft) tirée de la doctrine des moyennes distances qu'on doit

4o8 PROPRIÉTÉS PH0JECTIVE8 DES FIGURES.

à Garnot et à Lhuilier, de Genève, et que M. Mœbius applique à trois ou quatre points 6xes nommés fondamentaux, auxquels il en rapporte un dernier variable, supposé joint aux précédents par un ensemble de droites qu'il nomme réseau (netz)^ et qui, par des relations purement linéaires à coefficients numériques arbitraires (tenant lieu de masses), permettent à l'auteur de transformer certaines relations à deux termes et certaines figures les unes dans les autres, à peu près comme dans notre théorie des polaires réciproques que Mœbius, d'ailleurs, ne parait pas ou ne veut pas connaitre, bien qu'elle remonte à 1 817 (t. VIII des Annales de Montpellier) et qu'elle contienne en réalité la première démonstration du principe de dualité.

Au surplus, ce n'est que beaucoup plus tard (en 1829] que le même Mœbius, dans le tome lY, p. ICI, du Journal mathématique de Cralle^ recourt à d'autres démonstrations analytiques moins nuageuses et plus directes, stimulé en quelque sorte parles exemples de MM.Bobillier et Plucker, mais sans doute aussi après avoir pris connaissance dans le même recueil (t. DI, p. !ii3, et IV, p. i) de mes deux Mémoires de mars et avril 1824 (Sect. I et II du présent volume), dont le dernier, accompagné d'une note par le timide rédacteur du Journal de Berlin, montre l'espèce de fascination et d'intimidation exercée par son prédécesseur M. Gergonne. Cela me semble évident d'après la page 1 1 1 du Mémoire cité de M. Mœbius, où les faits, les preuves sans réplique ne manquent certainement pas : la mention même faite à la page 2o5 du tome ni du Journal de Crelie démontre que, dès i8a8 tout au moins, on avait connaissance en Allemagne de la théorie française des polaires réciproques, que feu Steiner invoquait à son tour pour la démonstration d'un théorème sur les surfaces du second degré.

Quant au calcul bcaycentrique même de M. Mœbius, je dois rappeler ici qu'il contient, sur la loi des signes dans les relations métriques à deux termes de la théorie des tranversales, une doctrine que je suis loin d'approuver au point de vue de la Gréométrie antique ou moderne, et dont les contradictions deviennent surtout manifestes dans les égalités projectives à quatre, six ou huit segments rangés sur une même droite, égalités dont l'auteur s'était, dès 1827, occupé et parmi lesquelles je remarque principalement ce qu'il nomme Doppelschnittsverhœltniss (rapport de double section), à quoi Steiner, dans son ouvrage de i832, ajoute avec raison l'épithète de projectile ^ en observant que ces relations, déjà connues de Pappus ou d'Euclide, ont lieu entre les sinus mêmes des angles correspondant aux divers segments dans le faisceau des droites rayonnantes ou projetantes(^).

Ainsi, dans l'intervalle de i8a6 à 1829^ cette théorie de la réciprocité polaire, ou la dualité qui prétend en tenir lieu, avait fait des progrès en Allemagne comme en France.

Déjà aussi on connaissait à Beriin mes revendications de priorité qu'avait provoquées le Mémoire de 1827, à double colonne, de M. Gergonne (p. 363 à 378), et M. Plucker, dans un premier volume intitulé : Déi^eloppements analjrtico-géométriques (Jnalytische geometrisclie Enttvicke^ lungen','Esi&Biï, 1828), avait traité algébriquement, avec une certaine franchise (préface) et par des méthodes qui lui sont propres, mais dérivées de l'ancienne Analyse des coordonnées de Descartes, la théorie de l'intersection et du contact mutuel des cercles et des coniques, de leurs sécantes communes (chordales), de la réciprocité polaire, etc., théories, questions géométriques qui constituent spécialement l'objet du tome V des Propriétés projectives, et à roccasion desquelles M. Plucker reproche, non sans quelque raison, à son compatriote Steiner d*avoir marché sur mes traces (fusstapfen) : reproche trop général sans doute et contre lequel l'indulgent D^ Grelle

[*) Voyez le tome I*' du présent ouvra^^e, n^' 6 et suiv.; voyez aussi me» Applications d* Analyse et de Géométrie, publiées en 1863, t. P', p. 489 à498, et t. H, 1864, Hl« Cahier, où j'ai non-seulement combattu la loi des si(rnes géométriques de M. Mœbius, adoptée sans discussion par M. Chastes (iBSs), mais aussi ses singulières prétentions et celles de Steiner b certaines doctrines du Traité des Propriétés projectives des filtres (t. 1*% i8aa). Voyez enfin dans ce Traité les notes des pages 4i3b4i4» k^l^ 4>8, ainsi que cdlet da tome II (p. 359 à 36o), où il est également fait mention des savanlB écrits^de ce» géomètres.

défend difficilement son jeune collabora tear dans le Journal de Mathématiques (t. m, 1828, p. 410), en affirmant que M. Steiner ne connaissait ni l'ouvrage de M. Plucker ni celui de M. Pon« celet, pendant qu'il rédigeait les siens propres.

Le tome U de l'ouvrage de M. Plucker, publié, comme le premier, à Essen en i83i, par conséquent un an avant celui de Steiner, sur lequel j'aurai à revenir ci-après , offre une étude plus approfondie des mêmes doctrines, en s'appuyant cette fois sur la méthode du multiplicateur indéterminé des équations algébriques de même degré, dont l'idée et l'emploi remontent au moins à l'année 18 10 (voir le tome I"", 1864, de mes Applications d'Analyse et de Géométrie , p. 249 et suiv. )• Cette méthode, comme l'observe M. Plucker, exempte des procédés algébriques, jusque-là si laborieux, de l'élimination. A l'égard de la théorie des polaires réciproques, je ferai remarquer que le savant professeur de Bonn la désigne abréviativement par l'épilhète de principe de réciprocité en l'opposant à celui de dualité, dont il hésite pourtant à attribuer la découverte à Gergonne, en lui reprochant même son origine purement inducticey et de n'être applicable qu'aux formes linéaires ou Unéales de l'étendue.

Sans nul doule, M. Plucker eût été beaucoup plus affirmatif s'il avait mieux compris ou retenu le but de mon Mémoire de 1817 (t. Vill des anciennes Annales)^ cité dans son premier volume, ainsi que le contenu du Traité des Propriétés projectiles (t. l*^ Sect. I et II), et surtout s'il eût prêté un peu d'attention au Mémoire de Sturm (t. XVU des Annales) ^ qui précède celui de Gergonne {7}oir la page 890 ci-dessus du présent volume). En reprochant au Rédacteur des Annales de Montpellier de n'avoir pas eu égard, en i8a8, à une communication tendant à prouver que lui aussi (Plucker) était arrivé, par une voie purement analytique, au principe de réciprocité, objet de la dispute, il prétend l'avoir présenté sous un point de vue beaucoup plus général (préface, p. 6, texte, p. 269). Mais je crains fort qu'il y ait là quelque méprise ou illusion; car, malgré l'honneur qu'il me fait de citer ici mes travaux antérieurs à ceux de MM. Steiner, Gergonne et Bobillier, imprimés dans les Annales de 1827 à 1829, je n'aperçois, même dans le Mémoire de M. Plucker sur un nomeau système de coordonnées et un nouveau principe de Géométrie (Crellr, ^. y^ i83o, p. I et 268), que des essais algébriques plus ou moins fructueux, et qui rappellent ceux de ces savants, pour établir une tardive et incomplète prééminence des méthodes soi-disant purement analytiques sur les miennes (* ).

Du reste, dans ce tome II, publié en i83i, M. Plucker annonce en terminant (note, p. si58) qu'il s'occupe, d'après mes écrits anciens ou récents, d'éclaircir le paradoxe relatif à l'abaissement

(*] Ce système de coordonnées, comme je l'ai montre ailleurs {applications, t. I, p. 49^ ^^ suiv.)» est fondé sur la méthode des coefficients ou multiplicateurs arbitraires appliquée & des conventions, à dos notations symboliqries qui, pouvant varier au gré de chaque géomètre algébriste, constituent autant de modes distincts de transformations analogues à ceux que l'on a vus surgir dans ces dernières années* M. Plucker parvient ainsi à une sorte de théorie de réciprocité dont, ici encore, il feint d'attribuer la priorité à Gergonne, sans se ressouvenir de mon Mémoire, pourtant plutôt analytique que géométrique, de 1817 (t. VIll des Annales), qu'il avait, je le répète à dessein mais à regret, précédemment cité dans ses Entwickelungen in -4* d^ i8q8.

C'est, je pense, dans le premier des deux Mémoires ci -dessus de M. Plucker que se trouve la première indication, un peu diffuse, il est vrai, du système des coordonnées trilinéaires, système mis à profit par ses successeurs en rendant les équations homogènes; ce qui n'est point nettement indiqué par ce savant. Le but du second Mémoire de M. Plucker, où ce que j'ai appelé principe de continuité est mentionné avantageusement , parait être d'ailleurs d'exposer un procédé algébrico-géométrique pour démontrer et découvrir, s'il se peut, les théorèmes* qui se rapportent à la Géométrie combinatoire, dont Steiner s'était occupé avec une sorte de prédilection dans le numéro de mai i8a8 des Annales de Montpellier; théorèmes relatifs aux hexagones multiples inscrits à une conique appartenant aux six mêmes points de la courbe, et dont Pascal a découvert la propriété fondamentale, la seule véritablement importante, sons le nom de kexagrammum

IL 5a

4io PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

du degré des polaires réciproques, qui lui laisse encore des doutes, et sur lequel je me propose moi-même de revenir dans Tun des articles du paragraphe suivant.

Si j'ai autant insisté sur ces premiers ouvrages d'un professeur désireux de se tenir au niveau de la science et de l'approfondir au point de vue de ^Analyse algébrique alors si fort en retard par rapport aux récents progr^ de la Géométrie, c'est qu'ils émanent d'un esprit droit et consciencieux, quoique un peu diffus et indécis, qui cherche sa voie et prélude à des travaux plus sérieux publiés en i835 et 1889; travaux dans lesquels M. Plucker cherche à approfondir la théorie des points singuliers et des autres éléments importants de la Géométrie des courbes, dont nous aurons également à nous occuper dans ce qui suit.

Quant au livre de M. Steiner, daté de septembre i83a et dédié à S. Exe. le Baron A. de Humboldt qui, peu après, me l'adressa à l'École d'Application de .Metz, où je m'occupais alors exclusivement de Mécanique et de Machines, en l'accompagnant amicalement de cette traduction littérale du titre : Développement systématique de la dépendance des formes géométriques ; quant au livre de Jacob Steiner, dis-je, il est aisé d'apercevoir par l'introduction et dès les premières pages du texte que, laissant entièrement de côté le Traité des Propriétés projeclives, mes Mémoires de 1824 et même de i83i, dès lors imprimés dans le Journal de Crelle, l'auteur n'entendait nullement tenir compte du bienveillant avis du D' Crelle et des graves reproches de son antajgoniste M. Plucker, mieux éclairé, plus écjuitable alors envers ces mêmes écrits. Le mutisme, le mauvais vouloir de Steiner sont ici, en effet, poussés jusqu'au point de placer le principe {le dualité avant celui de la réciprocité polaire , et de se servir avec affectation des doubles colonnes de Gergonne, dont pourtant il déclare connaître la discussion avec moi dans le Btdletin Férussac de 1827, discussion qu'il désigne (préface, p. vu) par l'épi Ihète fort dédaigneuse de dispute entre les mathématiciens français. A plus forte raison continue-t-il à jeter un voile épais sur mes propres théories et conceptions, dans son projet d'établir par la synthèse géométrique, c'est-à-dire sans analyse algébrique, la plupart des résultats auxquels j'étais parvenu dans les ouvrages si souvent rappelés, et où se trouvent exposées les relations métriques projectives les plus générales du faisceau de droites rayonnantes autour d'un point, sous le nom commun d'homologie, de projec" tion centrale^ de perspective-reliefs plane ou dans un seul plan, comprenant toutes les relations de la Géométrie de la règle ou des transversales ancienne et moderne.

Tel a été en effet le but de Steiner dans ce livre in-8° de 822 pages imprimé à Berlin en 1 83^2. Or, il est aisé de se convaincre que, dans cette première partie vraiment élémentaire, les procédés de démonstration sont à peu de chose près les mêmes que les miens \yoir p. 5 et suiv.), si ce

tn^sticum : ce système d'hexagones inscrits offrant par centaines des groupes de trois points en ligne droite, ou de trois droites convergeant en mêmes points, des combinaisons de droites et de nombres sur lesquels le savant professeur de Bonn reproche à Steiner de s'être plus d'une fois trompé dans ses énoncés, sans démonstration, insérés aux AnnaUs précitées. On voit d'ailleurs que ce genre de propositions, dont ce dernier géomètre a souvent fait abus et qu'il a mis à la mode parmi une certaine classe de savants, appartient plutôt à la théorie dea nombres et à la Géométrie de situation qu'à la Géométrie proprement dite ou d'intuition ; ce qui semble indiquer, à mon sens, une faiblesse, un manque d'initiative des esprits qui, confondant la complication avec la profondeur, s'éloignent de l'élégante simplicité des anciens géomètres. Or ceci doit s'entendre également de ces théories des multiplicateurs indéterminés ou arbitraires, seulement applicables directement et à posteriori aux systèmes d'équations homogènes de même degré, par la méthode des déterminants, des discriminants, etc., dont les combinaisons, variables aussi à l'infini, selon le besoin du moment, sont nées de l'infériorité même de l'ancienne Analyse algébrique par rapport à la Géométrie moderne : celle-ci en effet, marchant par une voie toujours sûre et progressive à de nouvelles découvertes, a ouvert k aette Analyse une route qu'elle aurait beaucoup de peine à parcourir sans la théorie de réciprocité polaire qu'on prétend néanmoins démontrer, si non découvrir à priori, de tant de façons différentes; par exemple, en la réduisant, comme l'a fait le premier Mœbius, à une transformation de coordonnées purement linéaires {Uneal Verwandschaft),

n'est que, dans mon Traité de 1822, je considère spécialement les figures qui se correspondent perspectivement, homologiquement , sur un même faisceau de droites rayonnantes, tandis que Steiner les considère sur deux faisceaux distincts ayant ou non un centre commun de projection, à la condition cependant qu'il y ait entre les sinus des angles projetants respectif Sy ou entre les segments et les figures correspondantes, les mômes relations projectives, limitées ici à ce qui concerne les rapports /tarmoniques, de double section (Mœbius) ou d^involuiion (Desargues), constituant au fond ce que certains auteurs nomment aujourd'hui vaguement Y/iomographie des ^figures. Ce genre particulier de transformation fait en effet parvenir, avec une facilité relative et tout élémentaire (classique) , mais non plus rigoureusement, aux différents théorèmes des transversales que Steiner nomme porismes, et qui, au point de vue historique où je me suis placé dans mon ouvrage de 1822 (Sect. II, t. F'), donnent au livre de ce géomètre l'apparence d'une contrefaçon enrichie de développements divers, notamment sur Vinvolution ele six points rangés en ligne droite et sur la dualité à^doubles colonnes^ dualité qu'il confond, pour cause, avec le principe général de la réciprocité polaire; et en cela incontestablement Steiner se montre inférieur à M. Plucker, ainsi qu'on le verra plus loin.

A ce point de vue comme à plusieurs autres, les démonstrations de Steiner, limitées aux plus simples relations métriques des figures, paraissent moins générales, moins complètes que celles que j'avais précédemment mises en usage. Elles ne peuvent, dans tous les cas, lui assurer aucun droit positif à la découverte des théorèmes et des théories géométriques connus avant janvier i832, époque où parut dans le Journal de Crelle mon dernier Mémoire, qu'il semble ou prétend ignorer. Ceci soit dit néanmoins sans rien préjuger sur le mode de démonstrations à d^oxM^ faisceau pro' jetant* q\x'ï\ substitue au mien propre ni aux divers théorèmes de Géométrie cornbi notoire, dont j'ai déjà parlé comme ne se rattachant que trop indirectement au caractère de la Géométrie intuitive. N'oublions pas d'ailleurs que c'est en s'appuyant sur cette théorie des doubles faisceaux projectifs s'entrecoupant dans un plan ou dans l'espace qu'il nous a donné, dans son livre de 1882 et depuis, sur les courbes et les surfaces, gauches ou non, ces énoncés en plusieurs pages, privés de toute démonstration, sortes d'aphorismes qui rappellent certaines généralisations placées en tète du livre VII des Collections de Pappus, et dont Euclidc peut-être avait lui-même offert des exemples dans son Traité des Porismes, aujourd'hui encore si peu compris. Il est évident que ces aphorismes sont aussi inintelligibles que certaines formules algébriques d'Arbogast ou autres, et que feu Wœpcke, savant traducteur des derniers Mémoires de Steiner, en a exagéré le mérite dans de longs énoncés insérés, à partir de 1867, dans le Journal de Crelle et fort admirés par quelques->uns comme les tours de force d'un esprit profond et improvisateur; or, ce genre de spéculations géométriques est devenu presque à la mode depuis l'encombrement progressif de la moderne branche d'Analyse géométrique qui a son pendant pour l'Analyse algébrique. Toutefois, on ne doit pas l'oublier, cette manière expéditive et un peu cavalière, qu'on me passe le mot, de traiter sans commentaires ni démonstrations aucunes les questions do Géométrie, prête beaucoup à l'erreur, à la confusion des idées, et elle n^ satisfait nullement les lecteurs sérieux> comme je l'ai fait plus d'une fois remarquer dans cet ouvrage.

Steiner, esprit brillant mais frondeur, en se livrant avec un succès remarquable à de telles spéculations, en a peut-être dépassé le but au détriment de son repos, de sa santé, de ses intérêts matériels et de ceux de l'amitié que lui avaient vouée les Crelle, les Jacobi et d'autres, avec lesquels il s'est refroidi, sinon brouillé, à partir de 1847 ^^ 1848; ce qu'on doit attribuer à l'exaltation de ses idées politiques ou scientifiques, exaltation que je lui ai d'autant plus volontiers pardonnée pour ce qui me touchait personnellement, qu'il n'a pas cessé un seul instant, dans ses lettres amicales et lors de nos entrevues à Paris, de me témoigner un réel attachement et une estime, j'oserai même dire un culte pour mes anciens travaux, rarement cités cependant dans ses écrits, du moins avec cette franchise qui devrait caractériser les amis sincères et désintéressés des vérités mathématiques. Il y a plus : quelques-uns de ses disciples d'Allemagne^ les Gôpel, les Jdams, etc., ne se

4i2 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

sont pas fait faute, en i844î de critiquer le Traité des Propriétés projectives des figures sans trop prendre garde qu'il avait précédé de dix ans celui de leur maître, auquel je suis loin de contester, au point de vue des méthodes d'exposition, tout mérite de priorité.

Sauf, en effet, dans ses derniers Mémoires, à partir de i845 et pour quelques théorèmes isolés, Steiner n'a prononcé mon nom qu'en cas d'urgente nécessité, comme, par exemple, il l'a fait dans son Mémoire concernant le nombre des tangentes doubles des courbes du quatrième degré (Crellb, t. XLIX, i855, p. 265), question où il se sentait devancé par MM. Plucker, Cayley,.Jacobiet Otto liesse. C'est ce dont j'ai acquis la conviction par les lettres de juin et d'octobre i844 que m'a adressées de Naples l'estimable géomètre Fortunato Padula, qui s'était précédemment occupé du problème des tangentes doubles dans les Mémoires de l'Académie napolitaine (*) ; car ces lettres prouvent que, durant le séjour à Naples de Jacobi et de Steiner, alors amis inséparables, M. Padula avait appris que ce dernier géomètre s'était, depuis un certain temps, aussi occupé de cette épineuse question pour les courbes planes algébriques de degré m en général, et qu'il était parvenu à une formule d'après laquelle le nombre des tangentes doubles serait de 28 pour les courbes du quatrième degré, de 120 pour celles du cinquième, etc.; ce qui conduisit M. Padula à retrouver et démontrer analytiquement cette formule générale

dont la première découverte est réellement due à M. Plucker, comme le prouverait au besoin la lettre qu'il a bien voulu m'écrire de Halle, en Saxe^ en m'adressant son savant ouvrage de 1 835, où cette formule et d'autres analogues (p. 241 à 270) se trouvent amplement exposées, mais qui, depuis, ont été redémontrées à l'aide de procédés analytiques plus directs par Jacobi, dans un Mémoire de i85o (Crelle, t. XXXIX, p. 237) où il cite mes propres travaux et ceux de M. Plucker sans mentionner ceux de. Steiner (inde irœ!). Du reste, le souvenir scientifique qu'a bien voulu accorder à mes Mémoires de 1824 et i83i l'illustre émule d'Abcl de Christiania est un reproche indirect adressé, non pas seulement au Steiner de i832 à i845, mais aussi aux savants algébristes M. Plucker de i835 et M. Cayley.de 1847 (Cbelle, t. XXXIV, p. 3o à 45).

Il est évident que le dédain de Steiner pour les doctrines du Traité des Propriétés projectii^'s (t. I^ et II) lui ont trop longtemps fait méconnaître la véritable portée des principes de réciprocité polaire, de continuité, etc. Évidemment aussi l'apparition des mes derniers Mémoires dans les tomes VII et VIII du Journal de Crelle, c'est-à-dire avant la publication de son Hvre de i832, l'avait détourné de s'occuper de la rédaction du second volume qu'il préféra morceler dans divers Articles détachés où il espérait conserver ses droits de priorité pour des matières non encore ex* plorées par d'autres. Au reste, lors des dernières visites que Steiner depuis son retour d'Italie voulut bien me faire à Paris, j'étais par devoir exclusivement occupé de questions de Mécanique pure ou appliquée, et il m'était aussi impossible de prêter une attention suivie aux travaux géométriques du savant professeur de Berlin, que de lui venir en aide dans ses revendications, toutes confidentielles ou verbales, contre MM. Plucker et Cbasles, malgré mon désir sincère de lui être agréable et bien que je n'eusse alors aucun ressentiment pour ses singuliers procédés scientifiques à mon égard, dont, à tort sans doute, je ne m'étais pas assez inquiété à l'origine, distrait, je le répète, par des occupations étrangères à la Géométrie, et dominé par un sentiment d'amicale indulgence envers un aussi brillant esprit.

Dans cette situation difficile, je tentai, à sa demande, en 1857, de rédiger, pour la lire à l'Aca* demie des Sciences de llnstitut, une Note sur l'histoire des récents travaux en Géométrie,* mais je ne tardai pas à m'apercevoir que, dans le conflit d'amours-propres où j'étais personnellement

{*) Vojrez la Note additionnelle placée à la fin de cet Article II, p. 4i4*

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 4i3

intéressé, je ne pouvais résumer en assez peu de mots ni assez nettement devant l'illustre Société un examen qui pouvait amener dans son sein de bien longues et délicates discussions. D*un autre côté, je ne tardai pas à rencontrer dans Télat de ma santé, au commencement de i858, un obstacle matériel qui m'obligea d'ajoumerjusqu'à un moment plus favorable Texamen d'une question historique qui, exigeant des recherches nombreuses, ne pouvait être traitée verbalement d'une manière tant soit peu intelligible et intéressante pour nos savants confrères et le nombreux public qui suit les séances académiques. Cela explique aussi comment j'ai été conduit, dès 1860, à entre* prendre la réimpression de mes anciens écrits géométriques, et comment je me suis borné, dans le tome I" des Applications d^ Analyse et de Géométrie, à consigner les quelques lignes relatives aux revendications de Steiner qu'on trouve dans TArticle intitulé : Souvenirs, Notes et Additions (p. 480 à 498 et 509), où d'ailleurs je ne suis entré dans aucun détail concernant les divers griefs reprochés par ce géomètre à M. Chasles; griefs dont ce qui précède n'a pu donner qu'une insuffisante idée pour ce qui concerne la théorie élémentaire des faisceaux projectifs de droites rayonnairt autour d'un ou de plusieurs centres de projection, etc.

Je n'oublie pas à cette occasion que le savant géomètre algébriste, M. Plucker, le premier après Bobillier, a admis et goûté, en les traduisant à sa manière, ces mêmes notions prétendues métaphysiques ou ultra-géométriques que l'analyse a eu tant de peine à s'approprier ; que le premier aussi il a compris et démontré algébriquement l'existence du contact de divers ordres des courbes aux points communs de l'infini, c'est-à-dire de Vasymptotisme de divers genres ou natures, ainsi que de celle des points singuliers qui s'y rapportent, existence dont, après 1822, il devenait facile de s'apercevoir géométriquement (Propriétés projectives, t. I*', Sect. I et U), et dont M. Plucker aussi a tiré un heureux parti dans ses derniers volumes in-4° sur la Géométrie analytique.

De ces deux volumes, le premier, publié à Berlin (System der analytischen Géométrie^ i835), comprend la théorie des courbes du troisième degré, et se ressent encore de la lenteur et de la confusion d'idées de ses précédents écrits, en cela si différents de ceux de Bobillier ; le second, édité à Bonn (Théorie der algehraischen Curven^ 1889), d'une con texture remarquable, a été réellement profitable à Tavancement des idées géométriques pour la classification des courbes algébriques planes jusque-là demeurée fort incomplète. Car Newton, Waring, Euler et leurs successeurs n'avaient aucune idée des notions de l'infini tirées des considérations de la perspective ou projection centrale, dont, à son tour, M. Plucker a prétendu se passer, même dans ses derniers ouvrages, où il s'efiforce de démontrer les résultats et théorèmes, par des artifices de calculs ou de raisonnements fondés sur la méthode des coefficients indéterminés et la décomposition des équations des lignes courbes en deux termes principaux : l'un, d'une forme algébrique fonctionnelle à déterminer par certaines conditions du problème où l'infini joue un rôle obscur sinon arbitraire ; l'autre composé d'un certain nombre de facteurs linéaires destinés à représenter les sécantes ou tangentes aux points de l'infini, etc.; M. Plucker est ainsi conduit à la discussion analytico-géométrique fort laborieuse de l'équation des courbes de divers degrés, non plus simples, mais assujetties à passer par des points donnés, à s'osculer asymptotiquement de différentes manières, tantôt réellement, tantôt imaginairement, selon que le contact est d'ordre pair ou impair; tout cela en se basant sur le système de transformation algébrique linéaire ou collinéation réciproque de Mœbius, afin de ne point recourir à la réciprocité polaire.

On voit par là combieir les idées géométriques du savant algébriste s'étaient agrandies depuis i83i. Pourtant ce n'est pas dans les problèmes particuliers relatifs aux courbes du troisième et du quatrième degrés, et même dans l'énumération ou classification qui s'y rapporte, que réside le mérite de ses écrits de i835 et 1889, mais en réalité dans la discussion et la distinction des différents points singuliers, des droites annexes ou étrangères (voir les n~ 129 à 250, Sect. m de ce volume) des-courbes algébriques, que personne avant M. Plucker n'avait faites avec autant de soin et d'exactitude géométrique. C'est là, malgré quelques reproches qui lui ont été adressés par M. Otto Hesse et d'autres, malgré l'abus des considérations et des notations algorithmiques restreintes qui sem-

4i4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

bleraient accuser la haute Analyse d'impuissance vis-à-vis de la Géométrie, c'est là, dig-je, ce qui rend Touvrage de i835^ dont je viens de parler^ d'une utilité incontestable en raison des formules générales par lesquelles il 6xe le nombre des points et des droites ci-dessus mentionnées ; formules qui ont été résumées, en partie du moins, en 1848, mais sans démonstrations, par Steiner (Crblle, t. XLVU), et qui ont surtout de l'importance pour Téclaircissement du paradoxe algébrique dont je compte dire un mot dans l'Article suivant , mais que M. Plucker n'a pas suffisamment approfondi dans son Traité de 1889, où d'ailleurs il n'est point question des courbes gauches ni de tout autre cas de l'espace ; ce qui tient, sans aucun doute, à ce que le savant professeur de Bonn s'attachait plus aux monographies et aux détails qu'aux principes fondamentaux qu'ils remplacent bien imparfaitement aux yeux des géomètres philosophes, pour lesquels l'accumulation des théorèmes est une véritable calamité, même dans les écoles préparatoires.

Note additionnelle relative au nombre des tangentes doubles des courbes planes algébriques

{voyez r Avertissement au bas de la page 4 13).

Dans sa lettre du 10 juin i844> dont je dois la traduction à M. Moutard, M. Fortunato Padula s'exprime ainsi :

« Dans le tome VIII du Journal de Crelle^ vous avez fait insérer un Mémoire sur V Analyse des tranS' » versâtes, où, au n^* 349i j^^ trouve que la formule /n'(m — a) indique la somme des indices de multipli- » cité des tangentes osculatrices que peut avoir une courbe de degré m. M'étant occupé de quelques » recherches sur les tangentes doubles et sur les points d'inflexion, il m'a semblé que la formule donnée » par vous doit établir une relation entre le nombre des tangentes doubles et le nombre des points d'in- » fleiion d'une courbe, et il m'aurait été facile de la trouver, si vous aviez déclaré explicitement que, » par indice de multiplicité d'une tangente, il faut entendre le nombre des tangentes qui sont superpo- » sées avec celle que l'on considère, ou bien le nombre des cordes déterminées par la courbe de cette » tangente considérée comme une transversale, qui sont nulles. Dans le premier cas, x désignant le 9 nombre des tangentes doubles, jr celui des points d'inflexion, on aurait la relation

aa: -h 3^ =• m* (m — a).

s Dans le deuxième cas, au contraire, chaque tangente d'inflexion aurait son indice de multiplicité égal » à 3, et la relation serait

(i) ao: -h 3j^ = /«•(/« — a).

» J'incline h croire qu'on doit s'arrêter à cette dernière équation ; mais comme, en définitive, je reste B dans le doute, j'ai pensé que le meilleur parti était de recourir à vous-même.

» Je crois cependant devoir vous indiquer comment je me trouve dans la nécessité de distinguer les » indices de multiplicité des tangentes doubles et des points d'inflexion, afin que vous puissiez prendre

> un plus grand intérêt dans la question, qui, comme vous verrez, vous regarde en quelque façon.

n M. Steiner ayant, été dans cette capitale, et nie parlant de ses travaux, me disait qu'une courbe de n degré m a un nombre de points d'inflexion indiqué par la formule 3m{m — a); il me fit connaître ce » résultat sans m'indiquer la voie suivie pour l'obtenir, parce qu'il fait partie de recherches qui n*ont » pas encore vu le j<ïUr. N'ayant pu réussir à démontrer cette formule par des considérations géomctri-

> ques, car tout le monde ne peut pas, comme MM. Poncelet et Steiner, plier la Géométrie à découvrir » des résultats qui semblent du domaine absolu du calcul, j'ai eu recours à ce demi-moyen. »

Je ne rapporte pas ici la partie analytique de la démonstration relative au nombre y des points d'inflexion, donnée dans la lettre de M. Padula, et qui repose sur la considération des équations dérivées ou difierentielles du calcul le plus simple, sans aucun recours à des notations, à des systèmes de coordonnées étrangers à ceux qui sont employés dans la Géométrie analytique de Monge. M. Padula ajoute ensuite dans sa lettre ces paroles ici transcrites littéralement :

« M. Steiner me disait en outre avoir aussi trouvé une formule qui donne le nombre des tangentes » doubles, mais il évite toujours de la faire connaître, se bornant à me dire qu'une courbe du quatrième

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 4i5

» degré en a 24» ^^^ du cinquième 120, une du sixième 334» "ne du septième 700, et qu'il avait trouvé » la formule en question après avoir découvert la relation qui existe entre le nombre des tangentes dou- » bles et le nombre des points d'inflexion. Or, on voit maintenant que la formule trouvée par vous » établit précisément cette relation, et si c'est l'équation (i) qui doit être admise, on" trouve précisément, » en y faisant /• = 3 m (//i — a),

ar = m(/« — a) (m — 3) (w + 3),

» qui concorde bien avec les résultats indiqués par Steiner. »

Cette lettre, de juin i844» qui m'a été transmise par M. Dufresnc, ingénieur des Ponts et Chaussées dd France, fut suivie, en date du ag octobre i844f d'une seconde lettre de M. Padula, à qui sans doute ma réponse n'était point encore parvenue, réponse dans laquelle je me prononçais affirmativement pour la formule a:r+3^=: m'(m — a), c'est-à-dire de l'hypothèse des trois cordes ou tangentes réunies en une seule au point d'inflexion, conformément à la manière d'entendre le principe de continuité qui n'a jamais varié chez moi. Pour cela je n'avais pas besoin de prendre connaissance de l'article inséré à la page loj du tome XII (1 834) du Journal de Creîle, article plein de réminiscences de mes idées géométriques sur la continuité, et où M. Pluckcr, heureux d'avoir pu énoncer cette fois la formule ci-dessus, me prend à partie, exalte la dualité de Gcrgonne à mes dépens, et, pour mieux faire valoir le mérite de sa première découverte, me reproche un peu vivement un lapsus que j'avais moi-même rectifié dès i83o-i83i, dans le Mémoire sur Y Analyse des transversales, inséré au même journal (t. IV, i83a, n® 245, ou Section III du présent volume), c*est-à-dire deux années auparavant, mais auquel sans doute M. Plucker ne voulait pas prêter une attention convenable par un motif d'amour-propre facile à deviner, et par suite duquel il me traite, je puis dire injustement, quant au soi-disant et célèbre ^aro^ojr^ qui, en 1836, avait été la pierre d'achoppement du môme Gergonne, si longtemps resté dans une inconcevable erreur mathématique {ifoxez Sect. II, n^ G7, SecU III, n° 33o, etc.).

A cet égard, l'illustre géomètre Jacobi a été plus juste et plus généreux envers moi dans son Mémoire de i83o (Crelle, t. XL, p. 237) sur les tangentes doubles des courbes du degré n, où il donne pour la première fois une démonstration analytique complète des énoncés géométriques de M. Plucker, en la tirant d'une théorie générale des équations difl*érentie]les qui lui est propre, mais que je ne place pas, pour la clarté géométrique, au-dessus de celles de M. Padula, et dont la marche purement algébrique lui fait trop oublier, après M. Plucker, que la formule n* (n — a), qui représente la somme des indices de multiplicité d'une courbe algébrique quelconque, m'appartient incontestablement (Crelle, t. VIII, n^ 249, . ou Sect. III, p. 33i), aussi bien que la formule mn{m — i)(n — i), relative au nombre des tangentes communes à deux lignes courbes sur un plan, formule établie, démontrée également par moi dans un premier Mémoire de 1817, sur la théorie des poltUres réciproques {voyez nos j4pplications <V Analyse et de Géométrie, t. II, p. 476 à 483).

Si nous n'étions pas à une époque où trop souvent les vérités sincères passent pour des mensonges et nyice versa, je dirais que, dès avant 1834, je m'étais vivement préoccupé de découvrir, par la voie de l'Analyse différentielle, le nombre des points d'inflexion, des points de rebroussement et des tangentes doubles des courbes planes algébriques. Ces recherches n'étaient nullement dépourvues en soi d'intérêt; mais n'ayant pu les accomplir par la voie purement géométrique, à mon sens seule rigoureuse, je me gardai de rapporter ces aperçus dans mes écrits ultérieurs.

Il serait inutile d'ailleurs de rappeler la Note qui termine le Mémoire ci-dessus de Jacobi, où M. Otto Hesse, l'un de ses élèves les plus célèbres, taxe d'erronée la recherche de M. Plucker relative au degré de la courbe qui contient les points de contact des vingt- huit tangentes d'une ligne du quatrième degré, dont, par la théorie des déterminants, ce savant algébriste donne l'équation du quatorzième degré d'une remarquable composition, sinon d'une grande simplicité; cette mention, dis-je, serait tout à fait sans objet si elle ne prouvait que M. Plucker était, à son tour, passible de reproches plus graves encore que ceux qu'il adresse à d'autres dans une multitude d'écrits imprimés où se montre un esprit très-peu sûr de lui-même, et qui marche dans sa propre voie sans jamais changer de route ou do méthode, c'est-à-dire sans s'abandonner au caprice ou au besoin du moment : maladie fort répandue de nos jours. Toutefois, je ne prétends nullement exagérer le mérite de M. Otto Hesse au détriment de celui de M. Plucker; car je vois par une Note subséquente du premier de ces savants algébristes, du 37 novembre 1849 (Crelle, t. XL, p. 3i5), que, malgré la théorie des déterminants, il n'était point non plus en mesure dès lors d'expliquer le mystère relatif aux courbes gauches ou à double courbure.

BBMABQCES DIVERSES A l'OCCàSION DU PRÉCfiDENT ARTICLE ET DE QUELQUES AUTRES tCRITS