‹ Traité des propriétés projectives des figures, ouvrage utile à qui s'occupent des applications de la géométrie descriptive et d'opérations géométriques sur le terrainChapitre 66 sur 72 · ALLEMANDS, BELGES OU FRANÇAIS · texte numérisé non relu

ALLEMANDS, BELGES OU FRANÇAIS

Dans ce qui précède, je n*ai pas mentionné l'honorable accueil qui a été fait au Traité des Pro» priétés projectwes des fibres par l'illustre auteur des Fandamenta nopoy dès les premiers volumes du Journal de Crclle (années 1828 et suiv.), parce qu'il en est parlé fort au long soit par moi, soit par mon très-savant et trop modeste ami M. le professeur Moutard, dans l'Article aussi remarquable que profond qui termine le tome I"* des Applications d Analyse et de Géométrie, Je rappellerai seulement que, malgré ses tendances à placer l'Analyse algébrique au-dessus de la Géométrie intuitive, Jacobi n'a pas hésité en diverses occasions à faire remonter l'origine de quelques-unes de ses idées à mes propres travaux. Le même sentiment de loyauté et de franchise le dirige dans le Mémoire de i85o dont il a été' question à l'Article II ci-dessus; mais 11 s'en écarte dans l'espèce de post-scriptum (Crelle, t. XL, p. aSg à 260), où, après avoir démontré algébriquement la formule w^/(/7i — 1) (/ï — i) déjà citée, il se sert de la théorie des polaires réciprotjues pour vérifier les résultats de son analyse, en oubliant d'en indiquer Fauteur.

Lorsque Monge, dans son admirable Géométrie descriptive, empreinte du génie de l'inspiration , d'un caractère de simplicité et de généralité qu'elle doit à cette Analyse fonctionnelle créée par lui, mais pour ainsi dire ignorée de nos jours, exposait sans calculs, en quelques lignes incomprises, critiquées même par des esprits étroits et jaloux, les vérités fondamentales de la théorie des sécantes et des cordes réelles ou idéales communes, du pôle et de la polaire, etc., Monge, j'en suis sûr, n'a nullement cédé à un vaniteux sentiment de supériorité ; car il ne pouvait ignorer les lourds et pénibles échafaudages de démonstrations synthétiques employés par Lahire pour masquer ses emprunts à Desargues et à Pascal ; mais, pressé par la trop grande rapidité de la diction, il lui répugnait, sans nul doute, de prononcer sans commentaire un nom qu'il trouvait peu digne d'une mention exceptionnelle.

Quels sentiments animaient Descarles^t Newton, ces grands géomètres analystes, quand ils témoignaient, dans leurs œuvres impérissables, %\ peu de déférence pour les découvertes et la mémoire de Copernic, de Tycho^ de Galilée, de Kepler, de Snellius? Prétendaient-ils en faire accroire à la postérité comme à leurs contemporains passionnés ou crédules? Qui croirait de nos jours que la chute inopinée d'une pomme du haut d'un arbre aurait, sans les admirables expériences de Galilée, suffi à Newton pour poser la base de ses principes de la philosophie naturelle; conceptions toutes géométriques que l'on ne comprend plus guère aujourd'hui et où l'on veut apercevoir ce qui n'y est pas, comme si le génie de l'invention résidait tout entier dans l'Analyse algébrique? Qui a jamais cru sérieusement, même en Angleterre, que les travaux des prédécesseurs ou contemporains de Newton, les Huygens et les Leibnitz notamment, lui aient tout à fait été indifférents ou inutiles? Il est bien évident que de telles suppositions ne sauraient plus être admises à l'époque actuelle, et que le doute même sur la bonne foi de cet esprit sublime est une tache indélébile imprimée à sa mémoire par des amis cqurtisans et indiscrets.

Pour ma part, je m'alllige sincèrement de la ligne de conduite adoptée par les Collins, les Oldenburg, les Keil, les Fatio et Newton lui-môme; je regrette non moins (f*// est permis de comparer les petites choses aux grandes) que, dans des spéculations purement géométriques, les modernes imitateurs de ce grand homme, surexcités par des sentiments de vaniteuse jalousie et un ardent désir d'une h&tive célébrité, bien qu'avertis par un aussi illustre exemple, aient si peu redouté les jugements équitables mais sévères de l'avenir ou même la critique contemporaine. Comment, en effet, s'expliquer que les Mœbius, les Steiner et les Plucker en Allemagne, les (jergonneetlesChasles en France, se soient, longtemps après l'apparition du Traité des Propriétés

projectwes, imposé la tâche pénible et tout au moins chanceuse de se faire passer pour les promoteurs, sinon les créateurs de cette branche de la science qu'ils ont, sans ma participation directe, intitulée Géométrie moderne, mais dont il serait plus exact de faire remonter les principes à Euclide, à Pappus, à Desargues et à Pascal? Je crois en avoir dit assez dans le précédent Article pour mettre en lumière la nature et le caractère propre des travaux des géomètres allemands que je viens de citer; je n'ai pas non plus, je pense, à revenir sur les prétentions étranges du Rédacteur des anciennes Annales de Mathématiques et de quelques-uns de ses plus ou moins complaisants collaborateurs. Sollicité par des considérations diverses, je m*étais môme imposé le pénible devoir de ne rien ajouter aux réflexions et aux revendications, fort circonspectes à coup sûr, que j'ai insérées dans mes Mémoires de i83o à i83i (Sect. IV du présent volume); mais la manière maladroite et toute personnelle, quoique détournée, dont s'expriment dans leurs écrits certains disciples de M. Chasles, me contraint à changer de résolution et à dire ma pensée tout entière sur les travaux d'un savant dont, je le dis hautement, j'estime fort le talent géométrique, et qui a plus qu'auôun de ses successeurs et de ses contemporains, peut-être, contribué à propager les nouvelles doctrines géométriques en France et même à l'étranger, un peu tardivement il est vrai et sous une forme que j'ai déjà critiquée dans le tome I" des Applications d'Analyse et de Géométrie publié en 1862. D'ailleurs, je n'admets nullement qu'une succession de théorèmes et de problèmes, démontrés plus ou moins à la manière d'Euclide et de Legendre, puisse autoriser à se croire seul dans le vrai, seul rigoureux, et à repousser tout autre mode de raisonnement, comme le font aujourd'hui encore quelques algébristes arriérés qui dédaignent de lire et de comprendre cette infime Géométrie.

Je ne crains pas d'ajouter qu'en agissant ainsi, en rejetant la forme explicite sinon le bénéfice de la manière de raisonner de nos devanciers, on s'expose à envahir le terrain d'autrui, et, sans le vouloir peut-être, à s'approprier les idées, les points de doctrine fondamentaux, et les plus féconds, de manière à en masquer l'origine philosophique et à faire illusion à bien des personnes prévenues, irréfléchies ou incapables d'établir une exacte et scrupuleuse distinction entre les anciennes et les nouvelles théories.

Mon savant confrère M. Chasles, disciple de Carnet, élève de Poinsot et de Hachette, dont en 1812 et 181 3 il suivait les leçons à l'École Polytechnique, s'est par cela même beaucoup rapproché de leurs idées et de leur doctrine, qui n'étaient ni celles de Lagrange, ni celles de Monge, jadis aussi professeurs dans cette célèbre École. Favorisé à juste titre par le Rédacteur de la Correspondance sur r École Polytechnique, il put exposer dans ce Recueil privilégié (t. RI, 181 4 à 1816, p. II, 307, 326, 328, 341), sur les courbes et les surfaces du second degré, une succession d'articles analytico-géométriques dont quelques-uns ont déjà été cités aux pages 85, 170 et 416 du tomeP' des Propriétés projectives, mais dont les plus dignes d'intérêt, à mon sens, sont relatifs à la transformation du cercle et de la sphère en ellipse et ellipsoïde à trois axes inégaux, par la substitution, dans leurs équations considérées sous la forme la plus simple, je veux dire par rapport au centre, de nouvelles coordonnées proportionnelles aux anciennes. Celte généralisation d'une méthode géométrique fort ancienne lui permit, non-seulement de démontrer avec une remarquable facilité un grand nombre de théorèmes relatifs à l'ellipse et à l'ellipsoïde, mais aussi d'étendre les théorèmes antérieurement connus sur Venveloppe de la surface sp/iérique tangente à trois autres, aux théorèmes analogues concernant les surfaces ellipsoïdales du second degré, semblables et semblablement placées entre elles.

Dans ces divers articles, surtout dans le dernier, M. Chasles montre une aptitude particulière à démontrer, à étendre en quelques points, les théorèmes déjà connus; mais, à l'exemple de son maître et ami feu Hachette, il oublie à tort do rappeler les droits justement revendiqués par M. Dupin à li page 4*0 du tome U de la Correspondance polytechnique.

En citant à plusieurs reprises, dans Tlntrcduction du Traité des Propriétés projectiles (t. I''), avec les noms de Desargues, de Pascal, de Monge, Livet, Dupin, Brianchon, Servois ou autres, le nom IL 53

4i8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

de M. Ghasles comme étant celui de Tun des précurseurs des méthodes de projection^ de transformation des figures; en négligeant maladroitement d'y faire valoir mes propres inventions, je ne m'attendais guère que, après quatorze années d'un silence regrettable, ce savant, réveillé enfin par le bruit de mes discussions avec Gergonne, surtout par les belles applications de la théorie des polaires réciproques publiées par l'impatient, mais intelligent Bobillier, dans le numéro de janvier i8a8 (Annalesy t. XVIII, p. i85), je ne m'attendais pas, dis-je, que M. Chasles, à son tour, viendrait prendre pied sur mon propre terrain, encouragé par cette remarquable et peu amicale conclusion de Bobillier, où la plume de l'irascible Gergonne (p. 202 du volume cité) se laisse deviner, et où on lit entre autres les lignes suivantes :

a Tout ce que nous pouvons affirmer avec certitude, c'est que, en rédigeant l'article qu'on » vient de lire, nous ne nous sommes uniquement aidés que du contenu de la lettre de M. Pon- T» celet, déjà citée [voir la copie de cette lettre et la discussion qui l'ont suivie aux pages 3^4 » à 332, 363 à 376 du présent volume). C'est sans doute un devoir, lorsqu'on s'aide du travail » d'autrui, de citer soigneusement les sources où l'on a puisé; mais on serait évidemment » découragé de toutes recherches si, après être parvenu, par ses propres méditations, à quelque » résultat que l'on croit nouveau, on était tenu, avant de rien mettre au jour, de lire tout ce qui » aurait pu être écrit sur le même sujet. »

C'est d'après ces faits que je m'explique comment M. Chasles a rédigé hâtivement et a publié, toujours sous les auspices de Gergonne, son Mémoire de mai 1828 (p. 26) sur les sections coniques confoncalesj où il expose avec un succès facile des corollaires négligés par d'autres, et qu'on retrouve pour la plupart dans le tome V des Propriétés projectives^ ou dans le tome II (Sect. II). Mais, jusque-là, je ne vois rien encore qui constate que M. Chasles se soit rendu familières les notions relatives aux systèmes de c^oniques sur un plan, aux intersectioivs imaginaires, aux points ou aux droites situés à l'infini, etc. C'est dans le Cahier suivant (p. 277) du tome XVIU des anciennes Jnnales, que le même géomètre prétend faire dériver les propriétés de ces systèmes de la théorie de la similitude que j'ai rappelée ci-dessus; mais on peut se convaincre que le Mémoire relatif à cette théorie, daté de 181 3 et paru deux ou trois ans plus tard, ne contient absolument rien en ce genre. D'ailleurs , dans ce nouveau Mémoire, M. Chasles s'excuse de n'être point en mesure, à Nice où il résidait^ de me citer pour certains points de rencontre entre son récent travail et les miens qui' remontent à 1817 et 181 8.

Ici commence en réalité l'empiétement : mais, quoique M. Chasles mentionne mes derniers écrits et se serve même avec habileté de la théorie des polaires réciproques et des centres d'/tomologie, il n'aperçoit pas encore que les sécantes communes, qu'il nomme axes de symptose (axes de rencontre), peuvent passer tout entières à l'infini. Or, c'est là précisément le cas d'un système de cercles quelconques sur un plan, de sphères quelconques dans l'espace, que l'on croyait à tort, chose remarquable mais non remarquée avant 1822, posséder (sauf leur similitude) la plus grande indépendance possible relative à la situation dans le plan ou dans l'espace : les courbes et les surfaces du second degré homotïiétiques jouissant elles-mêmes de la propriété d'avoir une sécante commune à l'infini et une certaine indépendance mutuelle, non de forme, mais de position relative. Évidemment M. Chasles avait horreur de l'infini ou n'osait pas encore s'y fier, tout en se perdant dans une série de corollaires censés jusque-là inconnus.

Enfin, dans un dernier article du tome XVIII (p. 3o5), et dans le tome suivant (p. i57), où Bobillier se montrait d'une fécondité remarquable, M. Chasles expose sur \e^ perspectives qm projections stéréographiques divers théorèmes qui rappellent ceux de MM. Dandelin et Gergonne, et ont pour principal but de parvenir indirectement à divers corollaires relatifs aux axes de symptose {sécantes communes) des coniques homothétiques sur un plan, etc. Ici encore M. Chasles ne s'aperçoit pas qu'en détournant les yeux du Trtùté des Propriétés projectiles, il reste de beau-

coup au-dessous de sa tâche, et jette la confusion dans i*esprit des personnes qui ne connaissent pas encore ce Traité.

Au point de vue où je me suis exclusivement placé, les Mémoires insérés par M. Chasles dans les Jnnalesde Montpellier (i8a8 à 1829) n'offrent donc qu*un intérêt secondaire. Mais ce savant, désormais averti par moi sinon entièrement éclairé et convaincu, devancé d'ailleurs par Bobillier dans l'application de la théorie des polaires réciproques qui préoccupait beaucoup d'autres géomètres, et redoutant peut-être des discussions scientifiques auxquelles il était insuffisamment préparé, M. Chasles recourut au bon vouloir du Rédacteur de la Correspondance mathématique et physique de Bruxelles^ qui alors, comme il nous l'apprend lui-même à la page 217 du tome IX de son Recueil, consentit, en s'en excusant, à prendre sous son patronage la moderne Géométrie, dihrs fort dédaignée par les partisans exclusifs de l'Analyse algébrique. Là donc ( t. Y, p. 6, 1829), sans peut-être s'en rendre compte ni le déclarer explicitement, M. Chasles se propose de démontrer divers théorèmes appartenant à l'illustre Sturm ou à d'autres qu'il ne juge pas à propos de citer, tout en mentionnant Bobillier pour ses études originales sur les coniques confocales^ recherches insérées dans le tome III (1827) du même Recueil (*).

Mais ce qu'il y a de particulièrement remarquable, à mon point de vue, dans le Mémoire inséré par M. Chasles à la page 6 du tome V (1829) de la Correspondance de Bruxelles^ c'est qu'on y rencontre (n® 14) cette phrase abréviative et tout à fait insolite : « On sait que, quand deux coniques » sont semblables et semblableroent placées (ou homothétiques), elles ont deux points réeTs ou » imaginaires à Vinfini, » Si je ne me fais illusion, cela valait bien un renvoi à mon Traité de 1822, ou, tout au moins, un léger commentaire.

Dans l'analyse rapide, mais sans démonstrations [ibid., p. 85), d'un autre Mémoire sur les principes des transformations polaires des coniques, des cônes, etc. , qui manque d'originalité en quelques points, M. Chasles s'abstient religieusement de toutes notions de cette espèce; enfin, à la page 235, encouragé par M. Quetelet dans ses études sur les courbes des troisième et quatrième degrés, il observe que VÉnumération faite par Newton de ces courbes n'est point complète; ce qui n'a rien d'étonnant, puisque ce grand géomètre ignorait les doctrines aujourd'hui encore à peine comprises de la moderne école. Or, M. Chasles se sert de ces doctrines dans l'énoncé de quelques théorèmes relatifs aux points d'inflexion des courbes du troisième degré, également inconnus à l'illustre auteur de VÉnumération, par le motif fort simple qu'ils sont la déduction des découvertes postérieures de Mac-Laurin sur ces courbes, découvertes dont* j'ai (Sect. III du présent ouvrage, p. i54, n"" 157 et suiv.) présenté le commentaire et le développement relatif aux quadrilatères et aux hexagones inscrits, qui, longtemps après, ont attiré l'attention de M. Plucker (Crelle, t. XXXIV, p. 339), et de M. Chasles [Aperçu historique, p. 149) sans qu'ils en comprissent l'importance et la fécondité, et sans même remarquer que, tous deux, ils avaient été devancés par moi dans leurs prétendues découvertes.

D'autre part, M. Chasles, familiarisé désormais avec la théorie des polaires réciproques, s'en sert ici (Correspondance de Quetelet, t. V, p. 281) pour établir ce qu'il nomme la transformation

(*) Dans ce journal belge, ué en 1836, mais qui a éprouTë des interruptions diverses, brillent, entre autres, les noms de MM. Dandelin, Gergonne, Hachette, Garnier, Olirier, Quetelet, esprits imitateurs dont le premier néanmoins a découvert un fort beau théorème relatif au foyer des sections planes du cône de révolution, et qui, avec Bobillier, ne se faisaient pas, comme M. Chasles, scrupule d'adopter les notions et les idées empruntées au Traité des Propriétés projectiles, notamment sur les sécantes réelles ou idéales, les intersections imaginaires, Vinfini, etc. C'est là aussi, pour le dire en passant (t. III, p. 195 de la Correspondance), que feu Olivier attaque le principe de la loi de continuité qu'il ne comprenait pas, et dont il avait précédemment fait de fausses applications; c'est là enfin que M. Quetelet, le savant astronome statisticien de Bruxelles, adresse à M. Ch. Dupin (note de la page 373} quelques réclamations de priorité sur divers points relatifs aux coniques confocales, etc.

parabolique des relations métriques des figures ^ et veut bien me citer pour les relations « d'angles et de longueurs qui sont de la nature de celles qu'on rencontre dans la théorie des transversales. » M. Chasles use de celte périphrase, sans doute pour ne pas prononcer le mot de projcctioe, adopté au commencement de la Section II du tome V" de mon Traité de 1822 et comportant un sens beaucoup plus étendu^ plus général, quoi qu'en dise ce savant géomètre, qui, peu au fait alors de la véritable et invariable tendance de mes anciens écrits, confond ici encore, par une préoccupation d'esprit exclusive^ Thomologie avec Vhomothétie. La dernière suppose en effet des relations métriques spéciales et purement élémentaires d'égalité, de proportionnalité des Ggures, au lieu de relations projectives coniquement, telles que le comportent les divisions harmoniques simples ou composées ; ce qui revient à confondre, par exemple, les propriétés du centre de moyenne distance avec celles du centre de moyennes harmoniques^ la convergence des lignes en un point avec leur parallélisme, etc., bien que la considération en soit séparée par Tabime de l'infini : de semblables rapprochements se rattachent, en effet, à la philosophie des sciences dont M. Chasles ne s'était point encore, paraît-il, suffisamment occupé en 1829 ou i83o; ses idées le reportant sans cesse en arrière, vers l'époque où, en 181 2 et 181 3, il cultivait avec prédilection les ouvrages de Carnot et du professeur Hachette.

C'est en vertu de cette manière restreinte de voir que M. Chasles croyait avoir devancé mes écrits de 1817, 1822, 1824, de même, sans doute, qu'en 182g et i83o il se croyait l'auteur des beaux théorèmes de Sturm sur les propriétés d'involution des coniques inscrites ou circonscrites au même quadrilatère. Pensant d'ailleurs avoir suffisamment satisfait mon amour-propre d'auteur en citant quelques points de mon Mémoire sur les centres de moyennes harmoniques (Sect. P de ce volume), où il pouvait lire en toutes lettres (p. 8, Préliminaires) que a les propriétés fondamen- » taies démontrées dans ce Mémoire pour les systèmes de droites et de plans s'étendaient aux » courbes et aux surfaces géométriques en général. » M. Chasles, conséquent avec lui-même dans ses récents écrits, attribue à M. Lamé des théorèmes auxquels ce géomètre n'avait jamais songé dans son original ouvrage analytique de 1818, où, comme tous ses prédécesseurs, Monge même, il était resté dans les idées géométriques anciennes sans être en mesure encore de donner à ses énoncés la généralité qui leur manque essentiellement, ni de combler une lacune devenue, depuis 1822, en apparence du moins, très-facile à remplir.

En se montrant, jusque dans ces dernières années, aussi gratuitement généreux envers notre confrère, dont auparavant il n'avait jamais cité les travaux analytico-géométriques, M. Chasles m'a suffisamment autorisé à poursuivre l'examen critique de ses écrits antérieurs à i852. J'ajouterai que si, à son exemple, j'avais cédé à l'attrait de multiplier les corollaires elles théorèmes, j'aurais pu grossir indéfiniment, mais à mon sens peu utilement, le Traité des Propriétés projectives; car, je le répète, le tome l**" de ce Traité aymi pour but principal d'indiquer la route à suivre aux esprits intelligents, et si j'insiste sur ces réOexions, cela prouve seulement l'importance que j'attache aux derniers écrits du professeur du Cours de Géométrie supérieure.

Dès l'époque de 1829 et i83o, en effet, ce savant, dans le Mémoire précité du tome V de la Correspondance de Bruxelles (p. 281), entrevoyait le moment où il pourrait se passer tout à fait des polaires réciproques, comme il se figurait déjà avoir mis de côté cette vaine spéculation de Yhomologie ou projcctivité centrale. Mais j'en ai dit assez sur ce sujet, dans les Sections m et IV de ce tome II pour ne plus être obligé d'y revenir ici, en entretenant le lecteur des articles du tome YI de la Correspondance de Bruxelles^ où se trouvent soit les revendications de M. Chasles envers M. Plucker (p. 81 ), soit son second Mémoire sur la transformation parabolique des relations métriques des figures (p. i à 25), soit divers autres articles (p. 92, ii3, 289, 3i2), où l'auteur entre de plus en plus dans la voie des généralisations qu'il avait d'abord trop négligée; articles dignes d'intérêt, sans aucun doute, mais qui m'ont contraint d'abandonner momentanément la Mécanique, de rédiger mes Mémoires de i83o-i83i, et d'adresser à M. Quetelet les extraits tardivement parus dans le tome VII, i832, du Recueil précité (p. 78, 118, 141, i43, 14C, 149, i5i, i53

et 157, art. I*' à VIII) sur les courbes du troisième degré et les principes généraux de trans' formation des relations métriques des figures ^ extraits rapportés tout au long dans le présent Tolume (p. i52 et 33^ à 35i].

La prodigieuse activité de M. Chasles lui a fait rédiger un grand nombre d'autres Notes ou écrits géométriques avec ou sans doubles colonnes, imprimés en 1829, i83o et i83i dans les Mémoires de VJcadémie {le Bruxelles dont il a bien voulu, tardivement il est vrai, me communiquer les extraits, où se trouvent de beaux corollaires relatifs aux cônes cycliques et aux surfaces du second degré, aux coniques sphériques avec un ou deux foyers communs, etc., corollaires presque tous tirés de la théorie des polaires réciprotjues^ ici nommée transformation polaire, mais où se trouve aussi évitée avec soin toute notion empruntée au principe de continuité, sauf quand il s'agit de descendre des coniques spfiériques aux coniques planes avec ou sans asymptotes. Comme on le voit, d'ailleurs, M. Chasles n'avait point encore songé à refondre, sinon supprimer, les définitions et les procédés soi-disant de transformation qui constituent la base fondamentale et vraiment philosophique du Traité fies Propriétés projectiles, mais il s'y enhardit de plus en plus dans le pays de contrefaçon et de malfaçon dont j'ai à me plaindre à divers titres ; car je ne saurais en conscience être de l'avis des personnes qui, exemples de tels soucis et appartenant à l'école usurpatrice de Gergonne, se montrent moins soucieuses que la loi protectrice du travail, en prétendant qu'il y a bénéfice pour les consommateurs.

En présentant ses divers Mémoires à l'Académie do Bruxelles et non à celle de Paris, M. Chasles s'évitait l'ennui des discussions scientifiques, répandait promptement à l'étranger, en Angleterre et en Belgique surtout, et cela au délriment de ses concurrents, ses propres travaux, et obtenait d'un seul coup, en ]83o, le titre de lauréat et de membre de la jeune Académie de Bruxelles, alors dirigée par M. Quetelet. C'est ce qui, sept années après, donna lieu à ce volumineux Aperçu histo^ rique sur l'origine et le développement des métJiodcs en Géométrie, imprimé en 1 887 aux frais de l'Académie de Bruxelles, Aperçu dont j'ai assez parlé à la fin du tome II des Applications d'Analyse et de Géométrie (1862) pour n'avoir point à y insister beaucoup ici ; car je n'ai rien à retrancher relativement aux droits de priorité justement acquis par MM. Mœbius, Steiner et Plucker quant au mode d'exposition et de démonstration des principes généraux qui touchent à la théorie de la réciprocité ou dualité, et à celle des faisceaux projectifs; démonstration et exposition qui n'offrent (art. II, ci-dessus) que des déductions particulières et faciles de la formule générale de transformation métrique exposée aux n~ 9 et suiv. du tome I*' du présent Traité, Or c'est précisément pour justifier ce que j'en ai dit en 186a que je me suis livré à l'examen consciencieux, et pour moi fort pénible, des écrits de ces géomètres en les comparant aux miens propres.

Je ferai cependant observer qu'à défaut des explications qui nous avaient été promises lors de l'apparition du tome I"" de mes Applications, etc, sur les circonstances qui ont précédé la publication de V Aperçu historique, j'ai dû recourir au tome IX (année 1837, p. 28) de la Correspondance mathénuitique de M. Quetelet, auteur lui-môme d'un autre Aperçu fort écourté sur Y état des sciences en Belgique, écrit à la demande de V Association Britannique réunie en 1 835 à Dublin, pour obtenir quelques renseignements bien insufiisants sans nul doute et qui m'ont appris : d'une part, que l'Académie de Bruxelles avait, au concours de i83o, proposé Vexamen philosophique des différentes métfwdes employées dans la Géométrie récente et particulièrement des polaires réciproques; d'une autre, que « M. Chasles, à qui la médaille d'or a été décernée, a traité » ce sujet avec beaucoup de talent, et a fait voir, dans un écrit qui ne tardera pas à paraître,

> que la plupart des théories nouvelles peuvent être déduites de quelques principes fondamentaux

> d'une fécondité remarquable, et qui sont pour la Géométrie à peu près les analogues du prin- 9 cipe des vitesses virtuelles pour la Mécanique (*). »

(*) Cette dernière phrase semble prouver que l'honorable Secrétaire perpétuel de l'Académie royale de Bruxelles ignorait beaucoup en fait de Géométrie moderne. En la prononçant à la réunion sdentiâquo

A cet égard, qu*il me soit permis de faire observer que l'auteur du grand ouvrage dont il est ici question, M. Chasles, n*a pas justifié complètement les éloges de M. Quetelet, et qu*en s'appuyant dans la partie historique presque exclusivement sur ses propres rechercl^es, il a trop oublié celles de ses devanciers, dont il ne suffisait point de citer, çà et là, quelques théorèmes ou problèmes pour donner une idée de la partie originale et philosophique de leurs méthodes ; de même aussi avant de terminer, en 1887, cette volumineuse collection historique, rien ne le dispensait d'accorder au moins une courte mention aux écrivains allemands ou français dont^ même avant 1 835, les travaux géométriques étaient justement appréciés dans TEurope savante.

Qu'il me soit plus spécialement permis de rappeler que, dans cet important ouvrage de 1887, qui a obtenu tant de succès en Angleterre, en Belgique et en France, l'auteur confond trop souvent les plagiaires et les butineurs, anciens ou modernes, tels que Lahire, Cousinery, etc., avecles véritables créateurs : Desargues, Pascal, Monge ou ses successeurs (p. 126 à 187, 194 à 204, 255 à 268, etc.); qu'il rabaisse à tort la Géométrie intuitive qui prend sa source dans la généralité même de l'Analyse fonctionnelle, par rapport au mode de démonstration restreint des Anciens (p. 204 à 210]; que notre érudit et savant auteur ne parait guère se ressouvenir non plus ou faire un cas suffisant des Mémoires qui constituent le fond des trois premières Sections du tome n du présent Traité (1824 à i83i] ; qu'enfin, sous le rapport de la démonstration et de l'application des principes de réciprocité polaire ou dualité^ de continuité^ de projectivité^ etc., l'auteur s'était laissé devancer par Bobillier, par cela même que celui-ci ne répugnait point à adopter, appliquer des doctrines aujourd'hui familières à beaucoup de jeunes géomètres qui, par ignorance peut-être de mes anciens écrits, en reportent l'origine et les démonstrations rigoureuses au Traité ou au Cours de Géométrie supérieure, et croient d'après M. Chasles [Aperçu historique, p. 269), que, à l'aide de ces principes, peut qui voudra généraliser et créer en Géométrie, le génie n^ étant plus indispensable pour ajouter une pierre à Védifice; ce qui est de toute vérité, pourvu qu'on ne confonde pas trop le maçon avec l'architecte et l'accumulation sans ordre des matériaux, je veux dire des théorèmes et des corollaires, avec la conception première de l'édifice.

En réalité, notre savant professeur et ceux dont j'ai rappelé ci-dessus les noms justement célèbres se recommandent par d'autres titres à l'estime et à la reconnaissance de la postérité, comme cela est prouvé dans les Articles précédents et comme cela résulte, pour M. Chasles, de ses récentes études relatives au tracé des courbes et des surfaces sous certaines conditions, où, qu'on me permette de le rappeler, il s'est, d'après l'exemple de quelques-uns de ses prédécesseurs (Comptes rendus de l'Académie des Sciences)^ livré avec succès à cette branche épineuse de questions que j'ai nommée ailleurs Géométrie comhinatoire, mais dont, à mes yeux, la culture ne saurait conduire à des résultats qui puissent compenser la découverte des vérités simples, saisissables par tous, et en cela même utiles aux sciences et aux arts.

Du reste, ne l'oublions pas, dans cette succession remarquable de travaux qui datent de l'apparition de la Géométrie supérieure en i852, M. Chasles et ses disciples se sont de plus en plus enhardis dans la voie des idées géométriques qu'ils avaient jusque-là trop négligées, et qui se rattachent, quoi qu'on fasse, à la notion de l'infini et de la continuité dont aujourd'hui on prétendrait en vain s'affranchir à l'aide de certains artifices de raisonnement ou de calcul sur lesquels je reviendrai dans les Articles suivants, au risque de répétition. '

de Dublin, cette phrase a dû produire en Irlande une sensation très-Tive, qui, de là, par les moyens de propagande familiers à la mère patrie de Tindustrialisme baconien, dont à notre tour nous goûtons les fruits, se sera promptement répandue dans les autres villes universitaires de la Grande-Bretagne.

DONNÉES HISTORIQUES SPÉCIALES Il£LJLTIV.fiS À l'àBàISSEHENT DU DEGRÉ ET DE LA. CLASSE DES COURBES ET DES SURFACES GÉOMÉTRIQUES 9 SIMPLES OU POLAIRES.

II ne s*agit point ici de revenir sur le ^Tétendu paradoxe ( art. II, p. 409] que M. Plucker aurait le premier éclairci, résolu dans son ouvrage allemand de i835 [Système de Géométrie analytique) ^ et qui n'est au fond que la Constatation de Terreur obstinée de Gergonne et de quelques-uns de ses disciples algébristeSy voulant à tout prix lui faire honneur d'un principe de dualité ou réciprocité polaire que ce savant n'avait ni saisi ni compris dans sa double étendue, puisqu'il ne l'appliquait qu'aux relations descriptives linéaires ou de situation et nullement aux i-elations métriques des figures; ce qui laissait complètement en dehors les lignes et les surfaces supérieures aux deux premiers degrés. Je ne reviendrais pas sur ces réflexions si la mauvaise foi et l'ignorance n'étaient venues prendre parti dans cette misérable querelle, et si M. Plucker lui-même n'avait pas négligé maladroitement de mentionner dans ses écrits tout ce qu'il avait emprunté à des études antérieures aux siennes propres (Sect. II et III, n"* 67, 97, 244, 247 et suiv.). A moins donc d'avoir affaire à des mathématiciens de la trempe de l'illustre Jacobi, il parait difficile d'obtenir que les algébristes lisent et comprennent des raisonnements et des vérités qui n'ont pas été préalablement traduites dans la langue à laquelle ils sont exclusivement familiers.

Satisfait d'avoir le premier, quoique indirectement, déterminé le nombre 3/i(/i — a) des points

d'inflexion ou de rebroussement des courbes planes algébriques et celui - (/z — 2] (/z' — 9) des

tangentes doubles qui s'en déduit immédiatement d'après la formule /z'^(/z — 2) tirée de mes études de i83o, où m est changée en n (comparez notamment les n*" 298 et 330 du livre publié en i835 par M. Plucker, avec les n"" 247 et suiv. du présent volume); satisfait surtout d'avoir pu interpréter, dans la langue algébrique et symbolique qui lui était propre, les notions intuitives de la nouvelle Géométrie relatives au cas du plan, M. Plucker n'a pas songé à étendre ses investigations à celui de l'espace; cas d'autant plus épineux pour les courbes à double courbure qu'il semble se soustraire à l'emploi direct de la méthode ordinaire des coordonnées [voyez les Annotations du tome I*' de ce Traité , p. 4 15 à 419) ; ce qui n'ôte rien d'ailleurs au mérite des laborieuses études que l'auteur a faites sur les affections singulières des courbes planes des troisième et quatrième ordres, dans ses volumes de i835 et 1889.

Moi-même, dans les endroits précités du tome II des Propriétés projectiles (n°* 240 à 245], je n'ai fait qu'indiquer généralement ce qu'il y aurait à faire pour passer du cas du plan à celui de l'espace, et, par la note du n° 103, j'ai prévenu que le degré de la développable circonscrite à deux surfaces du second ordre, que nos formules de réciprocité polaire élevaient au douzième degré, comme limite supérieure il est vrai, devait être abaissé : dans une lettre, en date du i5 juillet 1828, que M. Chasles m'avait fait l'honneur de m'adresser de la ville de Chartres, et qui contenait d'autres remarques intéressantes dont je ne pouvais faire usage, ce savant, en effet, m'affirmait, sans démonstration, que ce degré de la développable devait être réduit de deux unités, preuve que l'auteur, au courant de ma théorie des polaires réciproques de 181 8, savait la mettre à profit indépendamment du principe de dualité^ qui n'a absolument rien à faire ici.

D'autre part, la correspondance échangée entre MM. Chasles et Quetelet dans le tome V du Journal ùi^ ce dernier, publié à Bruxelles en 1829 [voyez plus particulièrement les pages 196, 232^ 234 et suiv.], me fait penser que c'était principalement par l'Analyse ordinaire des coordonnées que M. Chasles était parvenu au résultat ci-dessus, concernant la réduction du degré de la développable enveloppe de deux surfaces du second ordre ; et, quoique le contenu de cette correspondance relative à la nature et au degré de la projection plane de la courbe gauche commune à de telles

surfaces témoigne, sinon d'erreurs manifestes, du moins d'une grande incertitude dans les idées et les résultats du calcul, cela prouve cependant que MM. Chasles et Queteiet avaient, dès 1829 et sans en faire l'aveu explicite, prêté une attention sérieuse à mes objections et revendications envers M. Gergonne. De plus, ce que ces savants affirmaient et niaient tour à tour relativement aux courbes du troisième degré m'a conduit, comme malgré moi, à rechercher la solution géométrique du problème ébauché à la page iSg de la Section n, en me fondant exclusivement sur la définition la plus générale de ces courbes par Y Analyse des transversales, d'autant plus qu'il m'était bien démontré qu'il existe des lignes planes du troisième ordre qui, ne possédant aucun point double, offrent par là même six tangentes distinctes et réelles issues d'un point arbitrairement donné sur leur plan»

Enfin dans le § 5i, p. 248, du grand ouvrage belge intitulé : Aperçu sur V origine des méthodes en Géométrie^ après une série d'articles historiques, l'auteur, à mon sens, s'est trop complu à rabaisser le but et la portée réelle de mes théories relatives à la projection centrale, à l'homologie, à la réciprocité polaire, nommées ici méthodes de transforma tion^^i qu'en sa manière restreinte de voir et de sentir il compare à des procédés fort anciens déjà, mais étrangers au Traité des Propriétés projectiles des figures et à la Géométrie de Descartes et de Monge. Néanmoins, dans le même ouvrage, M. Chasles veut bien, pour l'invention de quelques théorèmes, me donner rang- entre ses deux amis scientifiques,. MM. Hachette et Queteiet, Rédacteurs de deux célèbres recueils mathématiques français et belge, comme m'étant occupé en 1822 des propriétés des courbes d'intersection de deux surfaces quelconques du second degré (voyez les Annotations du tome F, p. 4i5 à 4 19) ; ce que j'avais fait, je pense, sans erreurs ni hésit. tiens. Je dis sans erreurs, parce que M. Chasles affirme, il est vrai encore contre l'opinion de M. Queteiet, que la projection ou perspective plane d'une -telle intersection n'est pas la courbe la plus générale possible du quatrième degré, et qu'elle a généralement deux points doubles; ce qui réduit de douze à huit le nombre des tangentes issues d'un point quelconque de son plan, et produit un pareil abaissement dans le degré de la développable du système des deux surfaces polaires réciproques des proposées (Sect. Il, n° i03) ; ce qui ne veut pas dire pourtant que j'aie commis là une bévue, comme le donne à entendre M. Chasles à la page 258 de son Aperçu historique.

Du reste, selon sa constante habitude, notre savant confrère énonce cette dernière proposition sans la démontrer; mais, quand bien même il ne l'aurait établie rigoureusement que pour le système des surfaces réglées du second degré, en en étendant les conséquences au cas des surfaces fermées, par une pure induction ou translation du réel à l'imaginaire que n'autorise rigoureusement ici ni le principe de continuité ni l'Analyse algébrique, ce n'en est pas moins une preuve que M. Chasles avait, dès 1837, devancé les géomètres qui se sont occupés depuis de semblables questions; d'autant plus qu'il ne s'est point borné là, et prévient qu'il s'occuperait plus tard des conséquences, en observant (p. 25 1) que la perspective d'une courbe à double courbure du troisième degré ne saurait donner toutes les courbes planes de ce degré; ce qui concorde avec la détermination d'une telle courbe au moyen de points donnés ( p. 4o3 à 407 de V Aperçu historiqtœ)^ déduite de considérations qui ont un rapport très-intime, comme corollaire, avec les théorèmes généraux sur l'intersection des surfaces du second degré, exposés dans le Supplément du tome 1" de ce Traité (2* édition, p. 4 16 à 417).

Évidemment^ en feignant de confondre mes recherches de i83o avec celles de MM. Hachette et Queteiet, qui ont si peu ajouté à la nouvelle branche de Géométrie, en gardant dans ses derniers écrits relatifs aux courbes gauches des troisième et quatrième ordres les mêmes réserves et le même silence sur certaines particularités historiques (voyez Journal de Uotuùlle et Comptes rendus, vol. de 1857 et 1861), mais surtout en négligeant d'entrer dans aucune des explications et des démonstrations qui eussent servi à initier les lecteurs aux doctrines de cette moderne Géométrie, M. Chasles, non-seulement en a retardé et compromis les progrès ultérieurs, mais encore il s'est fait à lui-même un tort considérable, attendu que^ dans ces dernières années (i85o à i865),

SECTION SDPPLÉMENTAIRE. 425

on a, 8ans sa participation directe, beaucoup ajouté à ses précédentes études sur les courbes franches, et qu'il s'est ainsi laissé devancer par les géomètres algébristes des pays voisins qui, ignorant les belles méthodes de l'École de Monge, sont allés rechercher dans l'obscur ouvrage de Mœbius, publié seulement en 18^17, les premières traces de Texistence des lignes à double courbure et de leurs réciproques polaires, soi-disant de même classe pour ne pas démentir le dualisme géométrique rêvé par un journaliste philosophe [voyez la note de la page 241 de Touvrage de M. Salmon intitulé : Analytic Geometry of three dimensions, 1862).

C'est ainsi encore que les nouvelles doctrines, après être allées tardivement de la France à TAngleterre, en passant par la Belgique, reviennent de TAngleterre à la France par la voie officielle la plus sûre et la plus directe. Parmi ces doctrines je range, pour une très-grande part, celles qui servent de base à la classification des courbes à double courbure exposée dans le Journal mathématique de Liomille (t. X, i845, p. 245) par M. Arthur Cayley, qui parait tenir aujourd'hui le sceptre des Mathématiques en Angleterre, puisque M. Sylvester l'appelle notre grand géomètre dans un article, en bon français, des Comptes rendus de notre Académie des Sciences. Cette tentative de classification, on doit bien s*y attendre, est fondée principalement sur les résultats de la théorie algébrique des points singuliers, dont il a é.té précédemment parlé à propos de M. Plucker, résultats ici appuyés de considérations géométriques qui, au fond, offrent beaucoup d'analogie avec celles que fournit le principe de continuité, et conduisent l'auteur à cette proposition particulièrement remarquable, que a la projection perspective d'une courbe à double courbure, sur un plan arbitraire, résultant de l'intersection de deux surfaces de degrés m et /?, supposée de l'ordre mn^ contient en général un nombre de points doubles

iw«(m-i)(/ï-i),

la classe de la courbe étant au plus

mn (/w 4- /ï — 2 ) ; »

résultats sur lesquels M. Cayley n'insiste guère ici et promet de revenir dans une autre occasion, ce qu'il a fait dans le Cambridge and Dublin mathematical Journal de Thomson (t. Y, i85o, p. 18), avec quelques rectifications utiles, mais sans plus mentionner les formules ci-dessus que M. Salmon, dans l'article suivant, s'efforce de justifier au moyen de l'Analyse algébrique, sans élucider, ce me semble, complètement la question au point de vue géométrique. D'ailleurs, cet article de M. Salmon est à son tour suivi d'un troisième où M. Cayley s'occupe, toujours par la voie géométrico-analytiqUe, de la développable circonscrite à deux surfaces du second degré, sans arriver à des conclusions bien explicites et sans prendre garde que cette dernière question avait été traitée géométriquement avant lui (Sect. II de ce volume ) ; ce qui arrive également à l'honorable et docte Salmon dans sa Géométrie analytique à trois dimensions (voyez les articles relatifs à la classification des courbes gauches, aux développables, etc.). Depuis l'époque de i85o, d'autres tentatives ont été faites en France ou ailleurs pour justifier la

formule - /n/i (m — i) (/i — 1) , abstraction faite de toute application à la théorie de la réciprocité

polaire; mais je ne sache pas qu'on y ait jusqu'à présent complètement réussi, du moins par la voie exclusivement algébrique que suivait surtout Jacobi, ou par la voie exclusivement géométrique fondée sur le principe de continuité. Or, c'est là une lacune que je considère comme trèsfftcheuse pour l'honneur de la science, mais je n'ai aucune envie de la combler, quoique de là résulte le complément, à mes yeux fort désirable, des théories géométriques qui se trouvent exposées dans le présent Traité des Propriétés projectiles (t. II, Sect. II et III).

4a6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

eUITB DU PHÊCfiBBNT ARTICLE; CONFESSION ET PROFESSION DE FOI RELATIVES AUX COURBES

GÉOMÉTRIQUES DANS l'eSPACE.

J'aurais- volontiers supprimé le n*" 163 du tome I" dans la deuxième édition de ce Traité, à cause des erreurs qu'il renferme et qui offrent un exemple des inconcevables illusions qui peuvent nous surprendre dans la recherche des vérités et des problèmes jusque-là inexplorés ; car rien ne démontre que la courbe à double courbure que Ton se propose d'y construire soit véritablement du troisième ordre, ni qu'elle passe réellement par les points indiqués. Lorsque mon ami Steiner me fit remarquer cette inconcevable bévue, il était trop tard pour y porter le seul remède efficace : la suppression entière de l'article malheureusement reproduit en deux endroits déjà dans le Journal de CreUe et dans la Correspondance de Bruxellesj imprimés loin de mes yeux et à une époque où j'étais occupé de choses bien plus sérieuses pour ma réputation d'ingénieur et de savant. En laissant subsister dans cette nouvelle édition ce même art. 163^ j'ai voulu ne rien dissimuler aux yeux du lecteur, et conserver à l'ensemble le caractère de franchise et de véracité auquel je tiens avant tout, sans recourir à de vains palliatifs ou subterfuges qui ne peuvent tromper que les ignorants ; notamment en montrant les corollaires, les conséquences plus ou moins remarquables qui peuvent découler de pareilles constructions. Mais j'eusse négligé ainsi de donner un exemple ulile aux jeunes gens dont l'esprit, trop souvent aventureux, est en général pressé de jouir du fruit d'un premier travail géométrique ou algébrique, et dont les écrits hâtifs viennent ainsi inutilement accroître le bagage déjà si lourd des problèioes, des théorèmes, des lemmes ou scolies dont les Mathématiques sont aujourd'hui encombrées, mais auxquels les futurs progrès de la science sont rarement intéressés.

Au fait, à l'époque de i83o-i83i où notre malencontreux article fut si précipitamment conçu, rédigé et publié, il régnait, comme je l'ai montré (IV, p. 4^*3 et suiv.), une grande incertitude relativement à la nature des courbes gauches défmies géométriquement^ d'après les principes posés dans le Supplément du tome I"" {Annotations, p. 416), et il était naturel, utile même de chercher à les construire sans l'intervention du calcul ou de l'intersection directe des surfaces. Or, c'est véritablement à M. Chasles que revient, pour les courbes gauches du troisième ordre, l'honneur d'une pareille -détermination basée au fond sur les notions qui dérivent du principe de continuité [Aperçu historique, 1887, Note XXXIII, p. 4o3 et 4^4 ), bien que les conséquences qu'il en lire relativement au lieu des sommets des cônes du second degré assujettis à contenir sept points arbitraires de l'espace renferment quelques inadvertances nées aussi de trop de précipitation : ces erreurs, que des savants anglais lui ont dernièrement reprochées [Cambridge and Dublin Journal, t. V, i85o, noie de la page 69), ces erreurs, notre confrère les a largement réparées depuis [Comptes rendus ^ t. XLV, p. 189, août 1867, ou Journal mathématique de Liouoille, t. II, a* série, 1867, p. 397); d'autant que la Note ancienne de M. Chasles a tout au moins été un trait de lumière mis à pro6t par ses habiles successeurs.

Dans son Mémoire d'août 1867, notre savant géomètre affirme de nouveau, comme chose bien connue, que, par un point quelconque de Pespace on peut toujours mener une droite, et l'on n'en peut mener qiCune qui ^appuie en deux points sur une courbe gauche du troisième ordre. Ceci est évident d'après les indications des pages 417 à 419 du précédent volume, puisqu'une telle courbe peut avoir une infinité ^annexes rectilignes^ et que tout plan mené d*un point arbitraire de l'espace à une droite, rencontre et ne peut rencontrer la courbe gauche qu'en un troisième point nécessairement réel^ propre à déterminer la droite unique dont entend parler M. Chasles ; or, de là on infère, en toute raison, que la perspective sur un plan arbitraire de cette môme courbe essentiellement continue a toujours un point double ou conjugué, qui abaisse à quatre, au lieu de six, le

nombre des tangentes issues d*un point quelconque de son plan, et par conséquent à pareil nombre les plans tangents à la courbe de Fespace, issus d'une droite également arbitraire; ce qui abaisse aussi de deux unités (Sect. II et III, n" 68, 84 et suiv. ) le degré de la réciproque polaire de ces courbes, réciproque qui, par conséquent, ne saurait être simplement de la troisième classe, comme l'entendent les géomètres dualistes, MM. Schrœter et autres, ce qui offre une véritable confusion d'idées et de langage.

Enfin, dans un dernier Mémoire de i86a, également paru dans les Recueils précités de M. Liouville et de l'Académie des Sciences, sur les courbes à double courbure ilu quatrième ordre intersections de deux surfaces quelconques du second degré, M. Chastes développe de plus en plus ses idées; et c'est seulement là qu'il indique, pour la première fois je pense, cette démonstration incomplète et peu satisfaisante même au point de vue des idées algébriques ou d'intuition géométrique, mentionnée dans le précédent Article et qui concerne l'existence des deux points doubles ou conjugués de la projection-perspective de cette même intersection sur un plan arbitraire; proposition qu'on pourrait aussi conclure de la considération des cônes du deuxième degré qui la renferme, d'après nos propres théorèmes (t. I, p. 382, et t. II, p. 89). M. Chasles, en renvoyant dans le Mémoire précité aux recherches de MM. Cayiey et Salmon ( t. V du Journal de Cambridge et Dublin)^ fait acte de probité scientifique, ce dont on doit lui savoir gré; mais cela ne nous éclaire pas suffisamment, et, quelles que soient l'importance et la prodigieuse fécondité des corollaires ou conséquences, nous voudrions plus de lumière et de franchise dans les démonstrations. Toutefois, en prévenant qu'il existe des courbes de quatrième ordre d'une nature plus générale et provenant de l'intersection possible de deux surfaces du deuxième et du troisième degrés, il noua prémunit contre une confusion rendue facile par l'absence de toute explication authentiquement connue ou dûment notifiée: aux ignorants de mon espèce.

Malheureusement encore, pendant que M. Chasles complétait avec son talent de rédaction habituel la classification monographique des courbes du quatrième ordre de MM. Salmon et Cayiey, ce dernier géomètre insérait dans le même volume de nos Comptes rendus (t. IXS^ p. 55, janvier 1862) un Mémoire intitulé : Considérations générales sur les courbes en espace, principalement fondé sur des données algébriques pour moi difficiles à saisir sans commentaires a cause des réserves, sous-entendus, pétitions de principes et néologismes même qu'il renferme à notre point de vue tout français, et qui proviennent, je le crains, d'un trop faible désir de convaincre ses lecteurs, tout en prenant date, d'une manière hâtive, vis-à-vis d'un public qui n'a pas suffisamment médité les excellents ouvrages de M. Salmon; mais surtout parce que M. Cayiey, partisan des nomenclatures et des classifications, prétend embrasser à la fois les cas généraux et les cas particuliers dans une même démonstration analytico-géométrique. Or, c'est là une autre source de confusion et d'obscurité regrettable, dont la large adoption du principe de continuité et les procédés si clairs de l'École de Monge l'auraient facilement débarrassé, et n'eussent pas permis à une aussi forte tète mathématique d'écrire ce que nous lisons à la page i52 du tome XXXIY (1847) du Journal de C relie ^ à propos des hyperdéterminants algébriques et de la classification des courbes à double courbure; car une telle courbe, si elle est continue [Annotations du tome P% p. 416), peut être placée tout au moins sur une infinité de cônes de même degré, ou d'un degré moindre d'une unité en prenant leur sommet sur le périmètre même de la courbe.

Une pareille manière de raisonner, de démontrer, même en Géométrie, est bien propre, en effet, à jeter les .esprits dans le doute sur la certitude des Mathématiques, et elle explique comment divers autres Mémoires remarquables de ce savant ont amené des revendications, des commentaires de la part de certains géomètres algébristes : cela est arrivé par exemple pour le Mémoire qui a paru à la page 21 3 du tome XXXI du Journal de Crelle (sur quelques t/iéorèmes de la Géométrie de position)^ et qui a provoqué, tout comme celui de Steiner sur les courbes planes du troisième ordre (t. XXXII, p. 182), les tardives observations de M. Plucker (t. XXXIV, p. 329 et 337), principalement dirigées contre la prétentieuse et complexe généralisation du célèbre

théorème de Pascal, au moyen de laquelle M. Plucker, oublieux à son tour, ne se fait pas scrupule d'englober comme simples corollaires quelques beaux théorèmes sur les hexagones inscrits aux courbes planes du troisième ordre ^ compris parmi ceux qu'on trouve exposés au commencement de mon Mémoire sur l'Analyse des transversales (Sect. 111). C'est, comme j'en ai déjà fait la remarque dans l'article précédent, ce dont M. Chasles lui-même avait le premier donné un fâcheux exemple à la page 149 déjà citée de \ Aperçu historique ; aperçu de 85o pages grand in-4**, qui n'est pas, redisons-le, une histoire impartiale de la Géométrie moderne, mais bien un traité où se trouve jeté, comme à plaisir, un voile sur les noms et les écrits de certains auteurs; ce qu'on peut voir p. 643, 667, 680, 687, 695, où les mots figures corrélatives, bien définis par Carnot, signifient au fond polaires réciproques, mais où l'on n'a pas craint, si ce n'est pris à tâche, de dépouiller le Traité des Propriétés projectives de ses meilleures inspirations. Tout est dans tout, selon le célèbre apophthegme de Jacotot, qui, avec Pestalozzi, n'a pas peu contribué à répandre le désordre dans les jeunes esprits.

Mais je ne me propose nullement ici de multiplier ces citations,' tendant seulement à justifier non à démontrer la vérité des réflexions qui terminent les Annotations du volume précédent (p. 419) sur la confusion introduite depuis un certain temps dans le domaine de la Géométrie; confusion à laquelle MM. Steiner et Plucker, fort capables comme on l'a vu, contribuaient entre tous par des suppressions de dates et de noms propres, qu'on ne saurait mettre complètement sur le compte de l'ignorance ou de l'oubli.

Je tiens, comme on voit, à me disculper de plus en plus des sévères et injustes reproches qui m'ont été adressés par quelques écrivains journalistes sur les signes de mécontentement et de mauvaise humeur qu'ils auraient entrevus dans mes publications de 186a, 1864 et i865. Mais ces reproches peu fondés ne doivent pas m'empècher de poursuivre la tâche pénible que je me suis imposée dans cette Section supplémentaire ^ et que je me propose de poursuivre dans le § IV ci-après, avec la même franchise. Seulement, qu'on me permette auparavant de joindre à ce qui précède de courtes observations relatives au contenu des n^ 84 et 85 de la Théorie des polaires réciproques (Sect. II, p. 78-79); écrites en i865 à titre 6^ Annotations, elles pourraient faire partie du § lY dont je viens de parler, mais elles trouveront mieux ici leur place, parce qu'elles se rattachent intimement aux matières que nous venons de traiter.

Addition relative aux numéros 85 et 86 de la Section II de ce volume.

Supposez en particulier, dans le n^ 84, p* 78, que la ligne à double courbure (m)» d'une nature essentiellement continue par hypothèse, soit tout entière située sur la surface même du second degré qui sert do directrice aux pôles et polaires, les relations descriptives dont il est parlé ne cesseront pas d'avoir lieu, si ce n'est que les points de (m) auront pour polaires les plans tangents en ces points respectifs; de sorte que sa développable réciproque se confondra avec l'enveloppe de la surface du second ordre directrice des pôles le long de (m). Or de là résulte cette conséquence remarquable que, d^ un point quelconque A de r espace, il pourra être mené à cette développable, ou réciproque, un nombre de plans tangents égal à celui des intersections de la courbe (m) par le plan polaire du point doiuté A, c'est- à-dire précisément (m^.

Pour s'en convaincre à priori, il suffit de remarquer que le plan polaire de A se confond ici avec le plan de contact du cône circonscrit à la surface directrice du second degré ayant son sommet en ce point; ce plan, d'après les définitions admises, coupe en effet la courbe gauche considérée en un nombre m de points réels, imaginaires, etc. En adoptant le langage des géomètres dualistes, on peut donc énoncer ce théorème : la déyeloppable circonscrite à une surface du second degré quelconque, le long dune courbe gauche continue du degré m, située tout entière sur cette surface, appartient à la classe m; ce qui ne veut pas dire pourtant que cette courbe soit à la fois de l'ordre m et de la classe m ; car la classe d'une courbe gauche continue, de degré m, est généralement m(m — 1), et non simplement m, contrairement au prétendu principe de dualité; car tel est aussi le nombre des plans tangents qui peuvent (84) lui être menés, en général, par une droite située d'une manière arbitraire dans l'espace; oc

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 42g

nombre étant susceptible (67 et suiv.) de s'abaisser de plusieurs unités quand la projection conique de la courbe sur un plan arbitraire contient des points multiples, de rebrousseraent, etc., le cône de projection ayant lui-même des génératricea analogues.

C'est là une question qui n'a point jusqu'ici été suffisamment approfondie. Sans Touloir insister sur ces considérations bien érldentea, on me permettra cependant- de remarquer qu'il y a une grande distinction à faire entre le cas où le nombre m eux pair et celui où il est impair; par exemple, entre les courbes continues du quatrième et du troisième degré, comme l'ont récemment fait observer divers géomètres. En effet, celle-ci (note des pages 417 À 4i9 du précédent volume) ne saurait appartenir à une surface quelconque du second degré non réglée, et comporte une droite conjuguée, annexe ou complémentaire^ qui, avec la courbe gauche principale, forme une ligne discontinue du quatrième degré, susceptible d'appartenir à une infinité de surfaces réglées ainsi que la première, et offre d'ailleurs cela de particulier que sa développable réciproque ou polaire comporte elle-même une droite isolée et conjuguée à sa surface essentiellement continue.

En général, il est permis d'avancer qu'il ne saurait exister, sur une surface non réglée du second degré qae je représente par le symbole (3), aucune courbe gauche (/n) distincte et continue, c'est-à-dire assujettie à un mode unique de génération dans toutes ses parties, et qui soit véritablement d'ordre impair m. Car, d'après les principes généraux de l'Analyse algébrique ou géométrique, une telle courbe devrait pouvoir résulter directement de l'intersection de sa surface d'appui ou de base (3) par une autre surface

d'un degré n = - m, incompatible géométriquement avec l'hypothèse de m impair, ce qui revient à supposer que l'imparité de m disparaisse par l'adjonction d'une ou de plusieurs droites, elles-mêmes en nombre impair, servant à* annexes à la courbe (m) par là élevée au degré pair : la surface d'appui se changeant alors en l'une des surfaces du deuxième degré, dite gauche ou réglée (t. I, p. 4'7)*

En particulier, il est visible que l'on peut, d'une infinité de manières différentes, placer la courbe (m) en question sur un cdne ayant pour sommet un point quelconque de l'espace, et dont le degré sera, au plus, m, puisque sa base, sur un plan donné, est susceptible d'être rencontrée en ce même nombre m de pointa par une transversale arbitraire contenue dans un autre plan qui, renfermant le sommet du cône, coupe, d'après notre hypothèse fondamentale, la courbe (m) en m points réels, imaginaires, etc. Or cette proposition, vraie même quand le sommet du cône est pris en un point quelconque de la surface d'appui du deuxième degré, établit des modifications essentielles dans la constitution de la courbe d'intersection des deux surfaces, généralement composée de deux branches de degré s m, séparées et distinctes quand la courbe {m) est assujettie à une loi continue donnée à priori ^ mais formant une seule ligne inséparable, aussi continue dans toutes ses parties, quand le cône, de degré m, est entièrement arbitraire. Dans l'un et l'autre cas, en effet, le sommet de ce cône, en se rapprochant indéfiniment de la surface d'appui jusqu'à s'y confondre, donne naissance à un point singulier elliptique, hyperbolique, etc., tout à fait indépendant, ou simplement conjugué à la courbe (m) par voie de continuité, selon que la branche (m) est ou n'est pas donnée à priori,

La modification dont il s'agit devient plus remarquable encore quand le sommet du cône, au lieu d'être supposé en un point quelconque de la surface du m'*"^ degré, est pris n'importe où, sur le péri • mètre même de la courbe {m); car tout plan transversal mené par le sommet du cône ne rencontrant alors cette courbe qu'en un nombre m — 1 de points distincts de ce sommet, le cône lui-même, d'après les raisonnements d'où nous sommes partis, se trouvera réduit au degré m — i, et il en existera évidemment une infinité de cette espèce. D'ailleurs cette proposition et les précédentes, qui ont leurs réciproques polaires, sont applicables à des courbes gauches continues quelconques appartenant ou non à une surface ou à des systèmes de surfaces du second degré.

Mais je ne pousserai pas plus loin ces considérations que l'on doit envisager comme une suite naturelle des remarques contenues dans la Note déjà citée des pages ^ib à 419 <lu précédent volume, sinon comme une émanation directe des larges méthodes, des doctrines fécondes de l'École de Monge, dont, selon moi, on s'est beaucoup trop écarté depuis quelques années, pour se rapprocher de plus en plus de ces procédés mixtes ou anafytico-géométriques, qui ont été souvent reprochés aux anciens géomètres, notamment à l'École de notre illustre Carnet.

43o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

§ IV ET DERNIER. — j4 Tinotations spéciales et développemerUs

relatifs à différents passages du texte.

En corrigeant les épreuves des Sections I à IV de ce second volume, je me proposais de les accompagner ou faire suivre immédiatement de diverses notes et développements qui eussent servi de commentaires, sinon indispensables, du moins utiles» aux matières, déjà bien anciennes, traitées dans ces mêmes Sections. Ainsi, par exemple, en corrigeant Tépreuve de la feuille 7, j'avais le dessein (voyez au bas de la page 56] de donner un assez grand développement à la partie de la Note II (Section I") qui concerne la transformation et la généralisation des propriétés métriques relatives à la théorie du centre des moyennes distances ou des moyennes harmoniques de figures considérées dans le plan ou sur la surface sphérique; les n"^ %k et suivants, plus particulièrement encore le n^ 163, dont je me suis déjà occupé dans le paragraphe précédent (art. IV, p. 4^3), et tant d'autres passages du texte de ce second volume eussent exigé diverses explications non moins utiles, même à l'époque de vulgarisation et de progrès où nous sommes; mais l'étendue exorbitante qu'a prise à l'impression le contenu des §§ I, II et III de la présente Section supplémentaire me force à renoncer à de telles notes ou développements, qui devraient comprendre une variété de questions ou de sujets tout aussi intéressants pour certaines catégories de lecteurs, que ceux sur lesquels j'ai déjà appelé et voudrais mieux encore appeler leur attention.

EBHARQUBS PEÉÀLABLES.

Qu'on me permette de faire remarquer ici que le but de ce paragraphe se trouve partiellement rempli par la Note des pages 332 à 345, ainsi que par la discussion de divers points de doctrine contenus dans la Section U (p. ni, n^ 131) et les Sections lU et lY {Transformations diverses et déifeioppements des théorèmes de Netvton, de Cotes, de Mac-Laurin^ de Carnot, etc)

Toutefois, je rappellerai que la Section V* de ce volume, qui remonte à Thiver de 1823 et 1824, et a précédé de longue date tout ce qui a été écrit par d^autres sur ces matières , contient en germe les Sections III et IV que je viens de citer,' et qui, dans mes intentions premières, n'ont jamais dû comprendre les relations métriques étrangères à celles que l'on peut proprement nommer linéaires et projectives. Celles-ci en effet sont hes seules qui, par leur élégante symétrie et homo« généité, soient dignes, à mes yeux, de l'École des Lagrange, des Monge, des Euler et des Clairaut, parce que, susceptibles d'être immédiatement traduites, par la théorie des polaires réciproques^ en d'autres relations de segments ou de lignes trigonométriques analogues, elles laissent aux très-habiles disciples des Lahire, des Robert Simson, des Carnot, des Goudin ou à ceux de leurs modernes successeurs qui ne craignent ni l'arbitraire des transformations ni la complication des relations métriques et descriptives, une entière latitude pour appliquer des méthodes plus ou moins faciles à la recherche toujours épineuse de certaines catégories de théorèmes, de propriétés non immédiatement projectiles. Parmi ces méthodes mixtes, en soi d'ailleurs très-recommandables, je distinguerai, à cause de leur simplicité et de la fertilité des applications, celles qui se rattachent

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 43i

à la transformation polaire^ relatives au cercle et à la sphère, transformation dont j'ai moi-même, le premier, offert dans mon Mémoire de 1824 (Sect. Il), quelques exemples qui ont depuis attiré l'attention toute spéciale de MM. BobilUer et Mannheim.

Le premier de ces géomètres, M. Bobillier {Annales de Montpellier ^ janvier 1828, t. XVni, p. i83), a eu Tidée mère d'un genre de transformations métriques à coordonnées polaires, nommées depuis par rayons vecteurs réciproques, et dont il a été fait de belles, de nombreuses appli* cations soit en France, soit en Angleterre [voyez nQ% Applications d* Analyse et de Géométrie^ 1. 1, note de la page 490).

Le second, M. Mannheim, a publié, en i85i et 1857, sur la transformation des propriétés mé* triques des figures à Taide de la théorie des [jolaires réciproques^ deux intéressants écrits où il s'est principalement proposé pour but d'opérer cette transformation sans faire subir à la relation métrique donnée aucune préparation spéciale; c'est-à-dire en exprimant directement la distance, le segment rectiligne compris entre deux points sur une droite donnée, en fonction des grandeurs linéaires ou trigonomé triques qui se rapportent au centre, au pôle et à la polaire relatifs à une circonférence choisie à volonté sur le plan de la figure. Par là, en effet, l'auteur est arrivé à divers résultats remarquables, les uns déjà connus, les autres tout à fait inconnus.

RÉFLBXIOIfS SUR LA FRÉQUENCE 'ET L'INOPPORTUNITÉ DES CBANGEIIENTS DE NOMS ET DE DÉFINITIONS EN MATHÉMATIQUES, PRINCIPALEMENT EN GÉOMÉTRIE.

Je n'ai pas le dessein de m'étendre sur cette délicate et importante question philosophique, déjà traitée fort au long, mais incomplètement, par Biaise Pascal ; je me serais même contenté des rares et timides observalions critiques répandues dans le § II de cette Section supplémentaire, et dans les n"* 327 et suivants de la Section IV du texte, si les lettres confidentielles des auteurs dont j'ai quelque droit de me plaindre, à cause des changements de définitions, des suppressions de dates et de citations qui se laissent apercevoir dans les articles publiés par eux aux Anciens Recueils de Mathématiques, sur des sujets dont je m'étais occupé longtemps auparavant, si ces lettres, dis-je, ne m'avaient en vain fait espérer pour ces mêmes articles, tous antérieurs à i83o, une rectification ou erratum très-imporUmt pour mon amour-propre d'initiateur dans la nouvelle branche de Géométrie. Car c'était là un déni de justice d'autant plus capable d'égarer l'opinion publique, que le talent des géomètres dont j'entends parler, le mérite, au moins apparent, des modifications ou altérations apportées par eux à mes propres doctrines, enfin les réticences dont je ne puis me rendre compte, étaient éminemment propres à séduire, illusionner les esprits non encore initiés et familiarisés avec les doctrines, le but et les intentions du Traité des Propriétés projectiles des figures publié par moi en 1822.

Une longue et décevante attente m'ayant appris qu*il ne faut pas compter sur des rectifications volontaires de la part d'écrivains dont, par un motif quelconque, on ne s'est pas mis en devoir de combattre immédiatement les erreurs et empiétements, cette attente m'a obligé, après bien des années d'impatients soucis, à m'imposer^ sûr le déclin de ma vie, la lourde tâche d'une réédition entière de ce que je n'oserais appeler mes œuvres édites om médites, et encore moins mes œuvres posthumes; tâche rendue indispensable cependant par l'oubli de plus en plus marqué de mes droits de priorité dans des livres de Géométrie justement appréciés de nos jours.

Du reste, je suis d'avis avec l'auteur des Pensées, qu'en Mathématiques on est le mattre d'imposer des définitions, des noms nouveaux aux idées et aux choses inconnues, pourvu qu'en se soumettant aux règles du bon sens et de la logique naturelle, on n'en change ou n'en altère jamais l'acception première. J'ajoute, comme conséquence, ce que Pascal ne dit pas et ce que notre illustre géomètre et philosophe Ampère soutenait en pleine Académie avec une persistante

43a PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

ardeur : c'est qu'il n'est, en aucun cas et sous aucun prétexte, permis, même en fait de Chimie et de Mécanique, de substituer à des définitions ou appellations déjà établies et reçues, d'autres définitions, d'autres noms, à moins de démontrer les erreurs, les non-sens ou l'insuffisance radicale des premières; autrement ce serait introduire dans la langue qui devrait être la plus claire de toutes, une confusion inextricable. Or, c'est lÀ un abus dont on ne se fait pas faute de nos jours, même en France, où, à l'exemple des nations étrangères, on commence à faire usage, sans scrupule, d'un néologisme que repousse notre langue, naguère encore si lucide^ parce qu'elle fuyait ces amphibologies de mots, ce vague et ces non-sens qui ne peuvent êlre la pâture que des hommes faciles à satisfaire.

C'est pourquoi aussi, ancien élève de ce bon et spirituel Ândrieux, notre professeur vénéré de grammaire et de littérature à l'École Polytechnique, en 1808, je repousse de toutes mes forces l'introduction, dans la langue géométrique, d'expressions hybrides, telles que axes de symptose, substituée aux mots français de sécantes ou cordes communes, si anciennement connus, si facilement compris et saisis par tous ceux qui ont une légère teinture des Mathématiques; substitution qu'on est en droit d'attribuer au désir, sinon d'effacer entièrement, du moins de jeter un blâme indirect sur les doctrines du Traité des Propriétés projectiles des figures, que toutefois on se gardait bien d'attaquer directement, ouvertement.

En effet, feu Gaultier, de Tours, en 1812 ou 181 3, et Steiner, de 1826 à i83o, avaient adopté pour la corde commune à deux cercles, la seule dont ces savants s'occupassent alors, les dénominations ^'axe radical, &axe d'égales tangentes, qui paraissent admissibles dans ce cas particulier parce qu'elles ont l'avantage de ne dépendre en aucune manière de la réalité ou nonréalité de l'intersection de ces cercles. Mais ces dénominations ne pouvaient s'étendre au système de deux coniques s'entrecoupant ou non sur un plan, dont Gaultier, de Tours, n'avait nullement à s'inquiéter, et pour lequel Steiner, dans son Mémoire de 1825 ou 1826 (Journal de Crelle, t. I, p. 38), ne propose aucune dénomination spéciale et évite même de s'occuper des sécantes communes que, d'après ce qu'on a vu (p. 406), M. Plucker appelait simplement chordales, sans distinction des cas de réalité et d'imaginarité : dans ces cas, en effet [7}ajrez nos Applications, t. Il, IV Cahier) les quantités et formules algébriques conservent le même signe ou symbole explicite dans les transformations diverses qu'on leur fait subir.

Quant à M. Chasles, excité par le bruit et les succès des Bobillier, des Gergonne, etc., rompant enfin le silence qu'il gardait depuis quatorze ans (181 4 à i8a8), repoussant d'ailleurs le principe de continuité à l'imitation de Cauchy, et interprétant mal l'adjectif idéal dont je me servais pour caractériser la circonstance où une sécante porte des intersections imaginaires tout en conservant dans sa direction indéfinie une existence réelle et distincte, qui peut devenir impossible, imaginaire, même lorsque cette direction contient un point réel à distance donnée ou infinie; quant à M. Chasles, désireux, je le crains fort, de montrer sa supériorité sur l'auteur des Propriétés projectives, et comprenant bien que l'expression abréviative d^axe radical est ici inadmissible, il est venu en 1828, avec une précipitation et des intentions que j'ai déjà qualifiées, proposer, six ans après la publication de mon Traité, l'expression ci-dessus diaxe de sjrmptose, en conservant, faute de mieux sans doute, l'épithète de centres d'fiomologie aux points de concours des tangentes communes du système de deux coniques qui s'entrecoupent ou non sur un plan. Or^ cette dernière épithète, M. Chasles veut bien l'accepter à cause de sa correspondance avec celle de centre de si* militude des coniques semblables et sémblablement placées sur un plan, dont il s'était particulièrement occupé à l'École Polytechnique.

.De là, dans son Mémoire inséré à la page 277 du tome XVIII des Anciennes Annales de Mat/té*' matiques, sont sortis une série de corollaires sur lesquels je n'ai point à revenir et où les exprès > sions à' axe de symptose, de centre d'homologie et de coniques homothétiques jouent un rôle facile à deviner quand on a lu ou seulement parcouru mon Traité de 1822, dont ce géomètre s'excuse d'être, à Nice, hors d'état de consulter le texte pour en confronter les résultats avec les siens propres ;

excuM que je veux bien admettre pour quelques éDoncés de problèmes, de corollaires ou théorèmes isolés, mais non quant au fond des doctrines, pas plus que je ne Fai fait pour BIM. Gergonne» Plucker et Steiner, qui, il est vrai, ont agi avec moins de circonspection que M. Gbaales et se sont écartés, dans leurs écrits, de la loyauté, de la franchise intelligentes dont mes amis Sturm et Bobillier avaient donné auparavant Thonorable exemple.

M. Chasles, provoqué d^ailleurs par les réclamations, à coup sûr fort réservées, que je lui adressai, dès le printemps de i8a8, au sujet de ses empiétements, ne parut comprendre ni le véritable sens de ces réclamations ni le désir que j'éprouvais de ne point entrer dans de nouvelles et pénibles discussions avec un savant moins philosophe, moins rhéteur, il est vrai, que Gergonne, mais en revanche plus érudit, plus disert et plus géomètre, qualités qui l'ont fait surnommer, par M. Cremona YArchimède, par M. de Jonquières le La Fontaine de la Géométrie moderne. M. Chasles donc, bien averti, mais aussi difficile à combattre qu'à convaincre, adressa au rédacteur des Anciennes An" nales ( t. XIX, p. a6 ) une sorte ^erratum qu'il m'avait annoncé dans sa réponse officieuse du i5 juillet i8a8, et où il maintint, sous le patronage du journal, ce qu'il considérait comme un droit dûment acquis de substituer ses théories et dénominations aux miennes propres, que cette fois il blâme sans ménagement, assuré désormais que, discret par nécessité et exclusivement occupé de Mécanique, je ne me risquerais pas à rétorquer des arguments tout aussi peu valables d'ailleurs que ceux dont Gergonne s'était servi envers moi.

Ainsi, dans ce soi-disant erratum y non-seulement M. Chasles conserve l'épithète ^axes de symptose pour désigner ce que je nommais cordes ou sécantes communes au système de deux coniques sur un plan, mais encore il critique vivement l'emploi des mots centres d*homoiogie, pour les circonstances diverses où la direction correspondante des rayons vecteurs ne rencontre pas simultanément les deux courbes. De là, d'ailleurs, il tire divers corollaires et conséquences qui prouvent qu'en i8a8 il n'avait pas compris ou lu avec une attention suffisante le contenu de la Section III du Traité fies Propriétés projectiles, et qu'imbu alors des idées étroites des géomètres de rËcole d'Alexandrie, il n'entendait rien ou ne voulait rien entendre au principe de continuité, aux imaginaires, à l'infini de l'espace, dont la notion peut s'étendre même aux centres d'homologie et aux soi-disant axes de symptose supposés même indéfinis. Évidemment ses anciennes études sur la similitude (homothétie) de certaines figures, et celles de MM. Gergonne, Quetelet et Dandelin sur les projections stéréographiquesy entreprises en 1826 et 1827 à propos de la discussion relative à la dualité et à la théorie des polaires réciproques, ces études qui servent de base unique aux démonstrations de M. Chasles, excellentes à certains égards quoique insuffisantes et arriérées sous d'autres, ne pouvaient, comme j'en ai déjà fait la remarque expresse, conduire directement aux notions exposées dans mon ouvrage de 1822. En cela donc, notre savant confrère commettait une inadvertance que Ton peut comparer à celle de certains auteurs pressés de produire, et qui veulent se faire chefs de doctrine avant d'avoir lu avec une attention suffisante les ouvrages de leurs prédécesseurs. Mais, par cela même que l'on s'affranchit de la sévère logique des Anciens, que l'on démontre peu et qu'on suppose beaucoup, on se trouve à la portée d'un plus grand nombre de lecteurs et l'on obtient des succès brillants et faciles.

Pour apercevoir en particulier combien M. Chasles se trompe dans ses critiques relatives aux centres dhomologie ( points de concours des tangentes communes au système de deux coniques sur un plan), il suffit d'observer que, dans le cas même où les rayons vecteurs émanant de certains d'entre eux ne rencontreraient que Tune des deux courbe», ce n'est nullement un motif pour affirmer qu'il n'existe plus de rapports homologiques à l'égard de tels centres et de tels rayons; car, à chacun de ceux-ci correspondent, dans les deux courbes, deux pôles et deux points milieux des cordes réelles ou imaginaires correspondantes, outre une infinité d'autres couples de points déterminés par certaines relations métriques et descriptives, sur lesquelles il serait fort inutile d'insister puisqu'elles sont admises aujourd'hui.

Récemment, dans son Traité des Sections coniques (i865), qui mériterait bien le nom de IL 55

434 propri:été8 projecïives des figures.

Compendium ou Collection de synthèses géométriques, M. Chasies, persistant à refuser aux intersections des tangentes communes l'épi thète de centre d'homologie, les a nommées (p. 228), par abréviation, les ombilics des coniques, expression vieillie du moi foyer (Desargues, etc.), qui n'a sa raison d'être, oomme celle adoptée par Monge pour les surfaces du second degré, qu'en ce que de tels points conservent certaines des propriétés du centre commun à un système de cercles concentriques (t. I", n*" 4S3 et suiv.) ; or, cela s'accorde peu avec Fapplication qu'on tente aujourd'hui d'en faire aux points cycliques de TinBui.

Pour compléter ce que je voulais dire des axes de symptose proposés par M. Chasles en vue de tenir lieu des cordes ou sécantes communes, je rappellerai : 1° que symptose, mot dérivé du grec, signifie rencontre, comme asymptote signifie sans rencontre, expression abréviative qui, si je ne me trompe, a empêché nos prédécesseurs, avant 182a, de deviner l'existence des divers ordres d'asymptotismes ou de contacts de l'infini, réels ou imaginaires, entre les courbes ; 2** que les points de rencontre d'un axe de symptose avec une courbe plane continue peuvent cesser d^être réels et passer même à l'infini, bien que la direction et la position de cet axe conservent une existence géométrique distincte; ce qui ne permet pas de dire, dans l'esprit de la nouvelle Géométrie, que cet axe est complètement impossible ou imaginaire. D'après cela donc il nous faudra employer quelque épithète caractéristique, telle que axe de symptose idéal ou idéale, etc., ambiguïté à laquelle je préférerais, comme plus française, plus claire et tout aussi abréviative, celle ^ axe de concours idéal, ou, ce qui est plus simple encore et rentre tout à fait dans la dénomination que j'ai proposée en 1820 et 1822, et dont je n'ai jamais changé, celle de sécantes idéales, pouvant, selon Ift remarque ci*des8us, devenir à son tour tout entière imaginaire ou passer à l'infini : l'adoption d'un pareil langage n'ayant d'inconvénient que celui de rappeler les préliminaires du Traité des Propriétés projectiles, que M. Chasles ne veut point admettre.

Après cet exemple, est-il bien nécessaire d'examiner un à un les autres changements, les autres altérations que ce savant a prétendu faire subir à un langage que je croyais très-logique, très-intelligible même pour des esprits ordinaires, dans ses écrits postérieurs à 1828, publiés en Belgique sous le patronage du journaliste et Secrétaire perpétuel de rAcadémie des Sciences de Bruxelles? A cet égard, je ne puis que renvoyer au tome P' des applications d* Analyse et de Géométrie, ainsi qu'à tout ce que j'en ai dit dans le cours de cette Section supplémentaire, où j'ai peut-être trop laissé percer l'amer déplaisir que m'avaient causé les tentatives d'empiétements et les critiques, si peu motivées, d'un géomètre dont j'estime fort le talent et les travaux d'érudition, mais auquel je n'ai pu m'empêcher de reprocher d'être en partie le promoteur, du moins en France, de ce néologisme, de cette confusion d'idées et de méthodes qui, en nous envahissant de toutes parts, ont autorisé quelques jeunes célébrités scientifiques, nationales ou étrangères, à remplir nos Comptes rendus académiques et nos autres journaux, hebdomadaires ou mensuels, d'une multitude d'articles où les excentricités et les altérations du langage mathématique ont pris une trop grande extension, sans que je prétende néanmoins méconnaître la valeur de certains théorèmes ou aperçus de Géométrie supérieure, qui sont comme la généralisation transcendante d'autres théorèmes, d'autres points de doctrine antérieurement connus.

Dans les ouvrages remarquables de 1862 et i865 que j'ai souvent cités, plutôt synthétiques qu'analytiques, à la manière d'Ëuclide, de Legendre, de Carnet, dont je ne pourrais approuver entièrement l'esprit de philosophie et de critique mathématique, où l'intuition géométrique entre pour une bien faible part, où l'on maintient, comme dans V Aperçu historique, les mots vagues, à double senS) tels que: corrélatif, employé dans un but très-différent par Carnot, et qui remplacerait désormais le mot réciproque, dont je fais usage depuis 1817 ; dualité pour réciprocité; contingence (principe) pour permanence ou continuité, et autres dénominations, changements de mots déjà cri'tiques ci -dessus ou qui mériteraient de l'être ; M. Chasles parait s'être efforcé ainsi de restreindre, de changer la signification des anciens mots, sinon de les supprimer tout à fait, de manière à rendre en quelque sorte méconnaissables les ouvrages qui ont précédé les siens, du moins pour les lec-

ib^H

leurs, nationaux ou étrangers, peu au courant de la matière. Quel sens logique et grammatical, je me le demande, comportent les mots anharmonique, ïiomograplûquey dont M. Chastes a tiré un si habile parti dans ses ouvrages classiques, et qu'on a prétendu récemment dériver d'\xn principe (fe trcuis^ formation plus générai que ceux du tome I*' du Traité des Propriétés projectiles?

Je ferai observer d'abord que> d'après l'analogie et le sens attribué aux mots français anarchie [an-liarchie selon Proudhon), anhydre, selon les chimistes, etc., il serait, comme j'en ai déjà fait la proposition, préférable de substituer à l'abréviatif anharmonique, auquel je suis loin de contester le mérite d'à-propos, l'épithète toute française de surharmonique, dans le sens même que M. Chaslas a en vue, ou ce qui vaudrait mieux encore pour se rapprocher de l'école allemande des Mœbius et des Steiner (vojrez l'Article II du § ni, p. 4i i), on pourrait pour l'exactitude se servir du mot doubie-Ziormonique auquel il ne manquerait ainsi que le complément de perspectif ou projectif Car, non-seulement ces composés sont aussi acceptables que l'hybride homofocal^ moitié grec et moitié latin, employé par de très-savants géomètres, mais encore il y a lieu de ne pas s'en tenir au rapport de double section, comme le veulent les auteurs précités qui prétendent interpréter, continuer synthétiquement Pappus et Desargues dans leurs admirables Lemmes porismatiques et inuolutifs, tous projectifs à notre manière et que, dans le présent Traité, nous avons cherché à étendre à des relations beaucoup plus complexes et non moins remarquables. Quant au mot homo» graphie, signifiant même description, comme homologie signifie même discours ou langage, cette expression abréviative, d'une valeur incontestable puisqu'elle sert de base à une très^utile série d'énoncés et de démonstrations élémentaires, n'a d'autre inconvénient que d'être en soi fort vague et de remplacer la locution allemande de projectimcher gebilde, employée par Steiner dans son livre de i83a, sans croire emprunter à mes propres écrite.

En second lieu, pour quiconque a médité convenablement sur le contenu des n"* 8 à SI , 45, 46 et 47 du tome V des Propriétés projectiles, dont l'application s'étend aux figure^ sphériques et aux aires, il est évident que les relations anliarmoniques et IiomograplUques sont dans leurs conséquences d'une nature essentiellement projective ou peuvent le devenir par transformation. Car, d'après les propres remarques et les démonstrations de M. Chasles [Géométrie stqjérieure, n° 363» p. 4o5 et suiv.], deux figures homographiques quelconques peuvent être placées de manière à être liomologiques ou perspectives l'une de l'autre; ce qui suppose un simple déplacement relatif comme pour les figures semblables mais non semblablement situées dans l'espace ou dans un plan, en offrant certains avantages, que j'ïii déjà signalés ailleurs [Applications d'Analyse et de Géomé'^ trie, t. I*^, note de la page 493). On le voit, l'homographie n'est qu'une transformation géométrique limitée aux plus simples relations métriques /^AT/i^c/iV^^, tandis que la nôtre comprend toutes celles de la Géométrie de la règle, des transversales, etc.

SUR CERTAINES PROPRIÉTÉS DES RÉSEAUX FORMÉS PAR LE CROISEMENT MUTUEL DE DEUX LIGNES OU SYSTÈMES DISTINCTS DE LIGNES CONTINUES SUR UN PLAN.

Lorsque, dans Thiver de i83o à i83i, je m'occupais de rédiger, pour les présenter à l'Institut^ les Mémoires qui contiennent V Analyse des transversales (Sect. lU et lY), je me vis obligé de laisser de côté plusieurs points de doctrine ou d'application relatifs aux systèmes de lignes et de surfaces géométriques à intersections communes, notamment ce qui concerne les osculations mutuelles de ces surfaces, par lesquelles je comptais terminer la IV' Section, et dont s'était occupé M. Plucker dans un intéressant Mémoire de 1829 (Crelle, t. lY, p. 34a], où, cependant, il a eu le grand tort [ibidem, p. 5o) de nier l'influence exercée par le principe de continuité sur la direction de ses idées analytico-géométriques. Mais, ce qui m'a plus particulièrement donné des regrets, c'est de n'avoir pu développer davantage les applications (Sect. lY), qui concernent le cas de

deut systèmeB indépendants de lignes, droites ou courbes, tracées sur un même plan et dont le croisement réciproque sous des formes ou figures polygonales plus ou moins élémentaires, constitue un groiipe, un ensemble qu'il ne faut pas confondre avec les figures propres à chaque ligne ou système de rencontres mutuelles en particulier. D'après un usage généralement adopté parmi les géomètres astronomes, les ingénieurs et les artistes fabricants de tissus et d'ornements divers, nn tel ensemble peut être nommé réseau^ sauf à conserver, d'après l'usage, le nom de faiS' ceau à une série indéfinie de lignes ou de systèmes de lignes à points de rencontre communs. Les canevas géodésiques formés de méridiens et de parallèles terrestres, le double système des lignes de courbure d'une même surface, des génératrices croisées de l'hyperboloïde à une nappe, etc., offrent tous, comme le canevas à jour des brodeuses, les tulles et les dentelles, le tissu plein, à chaîne et trame, des étoffes les plus simples et les plus riches, l'échiquier même du jeu de dames ou d'échecs, autant d'exemples de réseaux quadrillés dont les points de croisement anguleux sont les nœuds ou sommets.

En m'occupent, au printemps dernier (i865), de l'impression de mes notes manuscrites de i83o«i83i, je remarquai que les propriétés projectiles^ les relations d'involution simple ou mul* tiple dont jouit l'ensemble ou réseau géométrique dont j'entends exclusivement parler, permettent de construire, sous certaines conditions, les lignes qui en contiennent les nœuds ou points de croisement mutuels que, pour ce motif, on peut nommer lignes nodales. Or, pendant la révision de la partie de ces anciennes notes et des souvenirs qui s'y rattachent, j'ai éprouvé le vif regret, pressé par le temps, l'encombrement des matières et un excès de fatigue, de ne pouvoir donner aucun développement à mes premières idées. A cette occasion j'avais, hors de propos je l'avoue, songé à substituer dans l'impression de la IV* Section dont il s'agit, le mot de réseau au mot banal de système^ afin de mieux caractériser le genre particulier de figures que j'avais prétendu considérer dans le manuscrit de i83o, figures auxquelles le nom de faisceau ne pouvait convenir. Mais j'ai renoncé à ces changements ou perfectionnements tardifs, grâce aux observations de mes amis scientifiques, MM. Moutard et Mannheim, qui ont bien voulu soumettre à un contrôle sévère le texte de cette Section restée manuscrite et à laquelle, moi-même, je répugnais d'apporter une modification aussi essentielle. Or« j'ai d'autant plus lieu de me féliciter aujourd'hui d'avoir déféré à leur avis ifue l'emploi du mot réseau^ inusité en Géométrie, rappelant celui, de netz dont se servaient justement Steiner et Mœbius dans leurs ouvrages allemands, aurait pu me donner fort gratuitement les apparences d'un néologisme et de réminiscences que j*ai souvent reprochés à d'autres, avec d'autant plus de motifs ou d'apparence que certains écrits publiés pendant l'impression même de la IV* Section de ce volume en ont donné un nouvel et fâcheux exemple.

Les premiers numéros de cette Section, et plus particulièrement les n"" 261 et suivants {fig. 42 et 43), nous ont offert des procédés généraux aussi simples que remarquables pour construire une infinité de courbes nodales d'un réseau formé par les rencontres mutuelles de deux systèmes distincts de transversales rectilignes ou curvilignes de même degré : le but qu'on se propose d'atteindre dans de pareilles questions offre, si je ne me trompe et sauf la forme, la continuité des lignes, des routes à déterminer ou à parcourir, beaucoup d'analogie avec le problème de situation et d'anafyse combinatoire relatif au jeu d'échecs, que s'était proposé le grand Euler dans les Mémoires de P Académie des Sciences de Berlin pour 1769, problème au fond identique à celui qui consiste à faire franchir à un cavalier différents ponts jetés sur les replis, les méandres d'un fleuve, sans jamais repasser deux fois sur le môme pont, et dont Euler avait déjà tenté la solution dans les Mémoires fie l' Académie de Saint-Pétersbourg pour 1736 (*), mais que Vandennonde a résolu à son tour (1771) par des procédés plus simples, comme M. Polnsot en a

(*) yq^es la traduction françaiie de cet écrit par M. E. Coupy, inâérée k la pag^ 106 du tome X» t85i, det Nouvelles Annales de Mathématiques,

fait la remarque dans son Mémoire de 1809 sur les pofygunes et les polyèdres étoiles [Journal de VÈcole Polytechnique y X* Cahier, p. 16).

Ce genre de questions, les remarques de Yandermonde sur les problèmes de situation, imprimées dans les Mémoires de notre ancienne Académie {les Sciences pour 1774^ remarques que j*ai eu Toccasion de citer dans mon Rapport historique sur les machihes'outils à l'Exposition uniperselle de Londres (t. II, 1867, p. 410, 466 et 467), et qui concernent la route suivie par le fil d'un tissu au travers d'un réseau quadrillé plan et rectangulaire ou parallélipipédique ; enfin les études de notre célèbre Laplace sur le métier à dentelle du sieur Leturc, professeur à l'ancienne École militaire de Paris (ibid., p. 466 et suiv.); ces problèmes, dis-je, n'ont d'affinité avec celui dont il s'agit qu'en ce qu'ici le point mobile doit parcourir indistinctement tous les nœuds ou sommets du réseau sans prescription particulière relative à la forme de la courbe à conduire par ces sommets, tandis que dans notre cas, la courbe nodale est continue et Ton ne pourrait lui imposer aucune des autres conditions que comporte le jeu d'échecs ou la fabrication des tissus, si ce n'est de passer en outre par un point arbitrairement donné sur le plan da réseau.

Le problème ainsi entendu géométriquement n'offre en réalité aucune difficulté sérieuse, parce que nous supposons donnés à priori^ sur un plan, les deux systèmes de lignes distinctes qui fixent, par leurs rencontres mutuelles, les points obligés du passage de la courbe à décrire graphiquement ou à déterminer par points au moyen du calcul.

Mais la difficulté est tout autre quand les nœuds ou points donnés de passage sont indépendants entre eux, et qu'on se propose de tracer par ces points une courbe g^métrique d'un degré approprié, c'estrà-dire le moins élevé possible : comme, par exemple, quand il s'agit de faire passer une courbe continue du troisième ordre par neuf points donnés arbitrairement sur un plan ; problème diversement résolu par les géomètres, et dont, selon ce qui précède, la véritable difficulté réside dans le choix de deux systèmes de lignes élémentaires dont les rencontres mutuelles comprennent les points assignés, à priori, en nombre nécessairement inférieur à celui de ces rencontres, nœuds ou sommets du r^eau.

Ainsi, notamment, le réseau quadrillé de \9ifg. 56 [PL FI), formé par la rencontre de deax systèmes distincts de trois transversales rectilignes à neuf sommets, permettra, d'après le n^ 262, de construire linéairement une infinité de lignes du troisième ordre contenant à la fois ces sommets, mais dont une seule sera susceptible de passer par un dernier point /?, absolument indépendant des neuf autres assujettis à la condition toute spéciale d'être trois par trois en ligne droite; condition qui, en réalité, n'équivaut qu'à six données entièrement distinctes, telles, par exemple, que d'appartenir à l'hexagone aa'b'b'c'c'a, dont les côtés joignent deux à deux, dans un certain ordre, six des neuf sommets du réseau qui peuvent ainsi représenter sept points choisis à volonté avec le point p sur le plan du réseau.

Notre système de construction des lignes planes géométriques serait donc seulement apte à tracer une courbe du troisième ordre passant par sept points entièrement arbitraires, y compris le point p^ mais non davantage, à moins que les neuf points donnés soient eux-mêmes assujettis à certaines conditions, comme d'en offrir trois en ligne droite ou six sur une ligne du deuxième degré, etc., etc.: circonstances pour lesquelles le contenu des Sections III et IV offre différents moyens de solution. Si l'on voulait aller au delà, il conviendrait de recourir à d'autres réseaux formés par la combinaison de lignes mieux appropriées encore à la nature intime des courbes géométriques de chaque espèce.

Dans le cas, par exemple, des courbes du troisième degré dont il s'agit ici, on pourrait remplacer les systèmes distincts de transversales rectilignes par deux autres formés respectivement d'une conique et d'une droite, déterminés, tracés convenablement au moyen des points donnés; ce qui permettrait tout au plus d'utiliser huit sur neuf de ces points en laissant l'un quelconque d'entre eux complètement en dehors, etc.

Toutefois, ce n'en est pas moins un fait mathématique digne d'attention que celui qui nous est

offert par la propriété des réseaux formés de lignes géométriques droites ou courbes, tracées sur un plan et dont les noeuds, sommets ou points de rencontre en nombre déterminé, sont tels qu'on puisse toujours y faire passer une infinité d'autres lignes géométriques distinctes, bien que ce nombre soit, à partir du troisième degré, généralement supérieur au nombre strict des conditions nécessaires pour déterminer algébriquement l'équation de la courbe.

Ainsi, par exemple, on arrive à ce corollaire remarquable énoncé dans le Journal de Crellc (t. XXXIV, année 1847, p. 339) :

Trois ou plusieurs courbes du troisième ordre passant par les mêmes huit points donnés vont se couper toutes dans un même newième point.

Mais, malgré la facilité apparente avec laquelle M. Plucker arrive à cette conséquence et à plu* sieurs autres non moins intéressantes, relatives aux figures rectilignes inscrites dans les courbes du troisième ordre, ce savant professeur n'aurait pas dû oublier que j'avais moi-même, vingt-trois ans auparavant, établi plusieurs de ces théorèmes au commencement de mon Mémoire sur VAno" fyse des transversales (Sect. RI, p. i5a, n^ i54 et suiv.).

Je n'insisterai pas davantage sur un genre de questions qui se rattachent de la manière la plus intime au porisme réciprcjque de la page 404 (fig, 52 ), ainsi qu'au paradoxe d'Euler et de Cramer élucidé par MM. Plucker et Jacobi au point de vue de la Géométrie analytique ; je me contenterai de faire observer en général, que les mn points d'intersection de deux courbes de degrés quelconques m ei n n'équivalent pas toujours kmn points arbitraires, pas même à m (/? — i).

SUR LES INVOLUTIGNS ET LES RfiSBAUX PARTIELS OU IMPARFAITS

(Note rectificative et complétive des n'^SSS et suivants du texte).

Les paragraphes et articles divers de la Section III nous ont offert des exemples plus ou moins remarquables de relations métriques et descriptives qui se rapportent aux réseaux et aux involu tiens que j'appellerais volontiers simples ou élémentaires^ parce qu'il n'y entre qu'un seul système ou ensemble de lignes indépendantes entre elles, et par conséquent un seul système de figures polygonales inscrites à ces lignes, contrairement à ce qui a lieu pour les figures des §§ I et n de la Section IV, où les systèmes entre-croisés de lignes ou de surfaces, ainsi que les involutiens y afférentes, composées ou nndtiples^ peuvent offrir un caractère particulier de symétrie et de réciprocité parfaites, dû à ce que les systèmes distincts que Ton y considère sont d'un même degré, et les groupes de points déterminés par une transversale rectiligne assujettie ou non à des conditions données invariables, sont de même ordre, c'est-à-dire [composés d'un nombre égal de points. Mais, entre ces hypothèses extrêmes, il en est une infinité d'autres non moins intéressantes, et dans lesquelles les systèmes considérés isolément sont d'un degré différent; c'est ce dont nous avons eu également des exemples au commencement de la Section IV (n^ 2SK et suiv.), où la ligne de moindre degré est complétée par une autre on par un système de droites en nombre convenable pour égaliser les degrés.

Par cette considération géométrique fort simple, en effet, le problème qui consiste à m^ier, par un point arbitrairement choisi sur le plan de la figure, la courbe nodale contenant tous les sommets du réseau ainsi défini, se trouve résolu géométriquement, grâce à nos méthodes relatives aux propriétés de Vinvohuion complète, et qui offrent par là même l'exemple de faisceaux de lignes d'égal degré, dont les intersections communes sont en nombre supérieur à celui des conditions strictement nécessaires (n** 215, p. 200) pour déterminer toute courbe de ce degré à une unité près; genre de questions qui a beaucoup occupé les modernes successeurs d'Euler et de Cramer, comme je l'ai fait remarquer à la fin de V Article 111 ci-dessus, p. 438.

Mais, en recourant aux auxiliaires dont il vient d'être parlé, on complique inutilement la so-

lution du problème, et c'est pourquoi, tout en travaillant à réunir les matériaux de la Section IV, je me préoccupais (note de la page 253, n° 28i) de Tidée d'ajouter au § II de cette Section un article spécial ayant pour but de rechercher s'il n'existerait pas quelque propriété générale des involutions partielles, qui permit de déterminer directement les points qui , sur chacune des transversales à considérer (26i et suiv.)) appartiennent à la nodale correspondante.

Nommons m le degré de l'une des deux lignes ou systèmes de lignes à considérer, n<im celui de l'autre; m— /t sera le degré du système complémentaire ou auxiliaire^ qu'on peut représenter par l'indice (n)y les indices (m) et (m^n) représentant les lignes ou systèmes de degrés m et m — n respectivement, d'après les conventions mêmes du texte dont on a supprimé, lors de Timpreesion, deux Notes qui devaient constituer VJrticle additionnel du § II, mentionné ci-dessus. Ces Notes étant demeurées dans un état de rédaction fort imparfait, je me contenterai simplement d'en donner ici une idée tant à cause de leur étendue que des lacunes mêmes qu'elles renferment, lacunes que je n'ai nullement l'intention de combler.

Dans la première de ces Notes, je me proposais de rechercher non-seulement l'équation en x du degré m, analogue à celle de la page 248 (n" 27i), et qui est propre à déterminer sur une transversale arbitraire les points qui jouissent, par rapport aux deux groupes d'intersection de cette transversale et des systèmes {m) et (/i], de relations d'involutions analogues aussi à celle de cette page, mais encore de construire la courbe nodale des points x, x', jr*, . . . , qui contient les sommets divers du réseau formé par rentre-croisement de {m) et de (/i), et cela même dans le cas où l'on se dispenserait de recourir au système complémentaire de degré m ^ n dont il a été question d*abord : ce système pouvant être remplacé par des conditions diverses, tour à tour essayées dans cette première Note. Mais j'ai dû y renoncer à cause de la longueur des éliminations, me contentant d'observer que la courbe (m) et la courbe inconnue des points x, étant toutes deux du degré m, constituent par elles-mêmes un réseau complet, dont les m' sommets doivent comprendre les mn intersections de (m) et de (/i) plus m — /i autres points fixes, réels ou imaginaires, à distance donnée ou infinie. D'ailleurs, ces différents points doivent jouir dans leur ensemble des propriétés d'involution définies aux djvers endroits du texte (Sect. III, n^ 178 à 210; Sect. IV, n"* 253 et suiv.), et qui concernent non-seulement les sommets dont il s'agit, mais aussi les cordes ou sécantes qui les joignent deux à deux diagonalement et les tangentes simples ou multiples correspondantes ainsi que certains de leurs points singuliers^ etc« ; tout consistant à modifier convenablement les constructions du n° 261 (Jîg, 42).

A ce dernier égard, je ferai observer que la difficulté que Ton pourrait éprouver à comprendre et appliquer les méthodes que ces numéros indiquent pour déterminer les m — 1 dernières intersections r\ r",..., d'une transversale arbitraire /^^r avec la courbe qui contient les sommets d'un réseau complet d'ordre m, en assujettissant cette transversale à passer par un point r donné à volonté sur le plan des deux lignes fondamentales de ce réseau, je ferai, dis-je, observer que cette difficulté provient uniquement de l'accumulation, de la diversité des méthodes ou systèmes de tracés que le n^ 261 et la^. 42 indiquent, et dont les démonstrations ont été supprimées dans le texte comme étant à peu près inutiles d'après le contenu des n"" 181 et 204 ou suivants. Malgré le désir bien légitime d'abréger, je n'en crois pas moins à propos, pour la satisfaction des lecleurs^ 'de reproduire ici (/ig. 5y) avec les mêmes lettres, mais sur une autre échelle, la partie de la ^g. 42 relative à la dernière des solutions indiquées au n^ 261 , ainsi que le passage du manuscrit qui lui servant d'explication, est ainsi conçu :

« Supposons, pour fîxer les idées, que ap et aq soient les transversales distinctes dont il s'agit, et soient » P', P*, P*, . . . , Q', Q", (y, . . . leurs intersections respectives avec les autres transversales sp\ sp', sp^^ . . . , • et sq'f sq", sq"f . . . , iffsues de s» Par ce dernier point, considéré comme p^Ie des rayons Tcoteurs de la » courbe cherchée, menons une saite de transversales dans Tangle des droites aP' et aQ'; soit aâ l'one » d'elles rencontrant aP' en h et aQ' en c, c'est-à-dire considérons le triangle aàc comme transversal de » la courbe dont il^s'agit^ ot observons que àc contient m — 3 points de cette courbe confondus avec j,

44o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

» plus «n autre point x^ distinct de s et qu'il s'agit de construire sur chaque transversale, on aura » d'après notre principe fondamental (n) :

(*P')(aQ').«'""''.cr

» équation qui permettra de calculer immédiatement le rapport de bx à &r, et par suite (i3), de déter- » miner la position du point x.

» Parmi les diiTérentes manières de construire linéairement x, nous choisirons la suiTante* qui est une » des plus simples et des plus symétriques.

» Traçons, une fois pour toutes, les droites FQ', P'Q', P^Q",...» rencontrant aux m— i poiots » n', n', n"^ ... la transversale arbitraire bc^ points qui seront ainsi connus, on aura, en considérant à » son tour le système de toutes ces droites comme une ligne géométrique transTersale du triangle abc^

1 éqiutton qui, étant comparée à II précédente, donne immédiatement

es ,cx

» laquelle exprime que le système des m — a points confondus en s, joint à x, et le système de m — i « points n\ n", n"*,..., sont en inyolution par rapport aux deux points b et c. Donc on obtiendra im* 9 médiatement le seul point inconnu x par les constructions linéaires du n^ 183, en inscrivant, par » exemple, dans l'angle bac ou dans tout autre formé par deux droites issues de b et de c, un polygone » quelconque dont les m — i côtés de rang pair passent respectivement par les points n', n", /i'*', ... et dont • les côtés de rang impair passent de même par les m — 3 points s ; car le dernier côté ira naturelle* » ment rencontrer bc au point x demandé.

Il Telle est la construction simplement énoncée aux no< 183, 204, etc., et de laquelle il nous serait facile » de déduire un bon nombre de propriétés intéressantes relatives aux lignes géométriques qui ont un » point multiple d'ailleurs de Tordre le plus élevé ; mais nous ne pouvons nous arrêter ici à ce problème. »

Au surplus, je dois rappeler à cette occasion ( p. 207^ n° 223 ) que les constructions géométriques indiquées dans ces solutions fondamentales, bien que toutes linéaires et faciles en apparence, reposent sur des hypothèses rarement réalisables dans les applications, si ce n'est pour les cas les plus simples de chaque espèce. II ne s'agit là, en effet, que de figures de démonstrations ^ et les raisonnements, les procédés dont on s'y sert sont entièrement comparables à ceux de l'Analyse algébrique, surtout de l'Analyse fonctionnelle où les équations des courbes d'un degré indéterminé m, simplement supérieur au deuxième, telles ççiBf^{xy) = o, par exemple, sont de purs symboles de raisonnement et de démonstration irréalisables par le calcul ou le tracé, bien qu'on en connaisse certaines propriétés très-remarquables; équations dont, au point de vue de la perception intellectuelle, de la divination et de l'argumentation, on pourrait comparer la puissance virtuelle à ce que les Anciens, Euclide notamment, appelaient les données (data) dans leur Analyse parlée ou écrite consistant véritablement en tableaux mnémoniques dans le genre de ceux de la Géométrie de ' position de Carnet, comme j'en ai déjà fait la remarque dans un autre endroit. La Géométrie de Descartes ou toutes autres méthodes symboliques et de transformation moins universelle et moins parfaite qu'on a vues apparaître depuis un certain temps, ne sauraient donc, sauf la brièveté et la concision pour certains cas fort rares, offrir aucune puissance, aucune supériorité absolue réelle et constante sur las modes ordinaires de découvrir ou de démontrer à posteriori les vérités géométriques, et je ne prétends aucunement en excepter VJnaljrse des tmnsversales, \es Principes de perspective ou projection centrale y etc., etc.

Après ce préambule indispensable pour les esprits exclusifs ou qui manqueraient de philosophie

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 44i

mathématique, je passe au contenu d'une autre Note manuscrite non moins ancienne et qui fait suite à la précédente que je terminais en me demandant si le réseau formé par la rencontre des lignes ou systèmes différents de lignes, de degrés m et /?, ne jouirait pas de quelques-uus des caractères de Vinvoiution complète et réciproque par rapport à toute courbo nodale, de degré m, contenant leurs mn points de rencontre ou sommets; notamment si Ton ne pourrait pas se servir des procédés du n*" 261 pour déterminer séparément chacun des groupes d'intersection r, r", r'^j..,, ou x, x\ x^, en nombre m^n^ de cette courbe, avec les diverses transversales issues de Tun quelconque, r ou or, de ces points, censé fixe ou le même pour chacune de ces transversales. Mais, faute de loisir encore, il m'a été impossible en i83o de vérifier ce soupçon fondé, je Tavoue, sur une pure analogie de ce qui doit exister entre les résultats des procédés géométriques d*involution et la très-ancienne et ingénieuse méthode algébrique des coefficients ou multiplicateurs indéterminés, appliquée par exemple aux équaticms fonctionnelles

qui donnent pour Téquation de toute ligne contenant les intersections mutuelles des courbes correspondantes,

nouvelle équation du degré ïfi^n dans laquelle K représente un coefficient numérique arbitraire, tenant lieu ici du point qu'on se donne aussi à volonté dans nos méthodes géométriques pour y foire passer la courbe nodale ou des mn sommets du réseau ; car en représentant par x' et / les coordonnées <Nrdinaires de ce point, on a pour calculer le facteur numérique K,

Lorsque /t = /;i, la courbe nodale, représentée par l'équation ( 3), constitue avec celles des équa« tiens fondamentales (i) et (a) du réseau un système en involution triple, c'est-à-dire complète, réciproque et jouissant, par cela même, de toutes les propriétés métriques ou descriptives que nous avons longuement étudiées dans la Section IV, et dont la plus remarquable concerne les différents groupes de 3/72 intersections relatives aux mêmes transversales rectilignes arbitraires; transversales parmi lesquelles se distingue celle qui répond à l'infini du plan des courbes (i), («) et (3) : les tangentes relatives aux points de rencontre de cette transversale constituant un réseau de 3 m asymptotes déterminables, constructibles par nos méthodes ou celles de l'Analyse des coordonnées (voyez les n"* 178 et suiv. de ce volume et la Théorie des Polaires réciproques avec réflexions et additions, p. 483 à 5o3 du tome U de nos applications, etc.).

Mais, ce qu'il y a de particulièrement remarquable ici, c'est que le triple faisceau de droites rayonnantes ou projetantes allant d'un point quelconque du plan de la figure aux 3 m points de contact des tangentes aux points de l'infini, c'est-à-dire parallèles aux asymptotes respectives dont il s'agit, constitue lui-même une involution complète entre les sinus des angles projetants ou entre les trois groupes de m segments formés sur toute transversale rectiligne, par les faisceaux corres* pondants de parallèles.

Les articles que je viens de citer, faute d'une suffisante compréhension des notions infinitésîmaies de Yinflni relatif (ibid,, t. TI, p. SgS), ces articles, je le redis à regret, n'ont été [TMjrez p. 4i3, 419, etc.) compris, goûtés que longtemps après 1828 par les géomètres algébristes ou non algébrisles, si ce n'est par mon excellent ami Bobillier, lui aussi mort avant Tàge dans les angoisses d'une vie troublée par les dénis cruels de rinjustice el de bien légitimes espérances trompées. Si je ne fais pas la même exception en faveur du savant professeur de l'Université allemande de Bonn, c'est qu'en suivant les traces de Bobillier, il n'est arrivé, comme on l'a vu (III), que lentement et péniblement à la conception des idées philosophiques ou métaphysiques dont il s'agit, dans ses œuvres in-4'' de i8a8, i83i et même de i835 et 1839, où il n'était guère, plus que d'autres, 11. 56

autorisé à blâmer lies tentatives de classification des courbes par Newton, Léonard Euler, etc., privés qu'ils étaient, j'en réitère ici Tobservation expresse, des éléments de cette métaphysique de rinfini qu'on repoussait liaguëre encore, et qui, même aujourd'hui, est à peine comprise par les sucoesêeurs de M. Plueker : c^est ainsi notamment que, dans son ouvrage de 1839 (p. 17 et suiVi ), il n'est arrivé que par une succession de transformations algébriques pénibles, à notre théorème du n° 2i8 (p« 217 et ai 8 de la Section II de ce vdume), concernant le ayslème entier des asymptcrtes d'une courbe plane géométrique, ainsi qu'aux diverses nutres notions et propriétés relatives à Xasymptotisme de divers ordres ou natures d'une telle courbe : je ybûil éire parabolique^ elifptfqàe, hjrperbtdique; notions bien évidentes d'après les principes ^w Traité des Propriétés projectiles desfiguresy et auxquelles on n'a ajouté depuis, j'ose le dire, que de simples développements de calculs algébriques.

Il résuite en particulier des aperçus rapides des articles xvi et suivants, p. 496 du tome II de nos Applications^ etc,^ articles continués p. 5oo, que « toute courbe plane du degré m, représentée par » une équation en x et j, a généralement un nombre m d'asymptotes dont les tangentes d'incli- » naisoh sur l'axe des abscisses sont données par une équation de môme degré, obtenue en p06ant> » par exemple^ y = Ox, substituant, divisant par la plus haute puissance de x, et supposant fina* » lement jr = op , équation qui, par la discussion des racines, permet de découvrir les propriétés » essentielles des points situés à l'infini sur la courbe, soit réeU, soit imaginaires, simples ou » muUtfples; le dernier cas se rapportant à celui des racines égales Où certains de ces points se » confondent en un seul sur l'asymptote correspondante, et non simplement à un système d'asymp- » totés parallèles selon la note première de la page 497 du volume cité, etc., etc. »

Quant au cas des courbes (m) et (n) de degrés différents, mentionné au commencement du présent article et défini par les équations (i) et (2)^ d'où se déduit l'équation (3) de degré m, il est évident que des considérations précédentes découlent un grand nombre de conséquences relatives aux osculations mutuelles des courbes en des points qui leur sont ccnununs (*).

Le système des lignes représentées par les trois équations distinctes

m'a beaucoup préoccupé anciennement, sans que je fusse arrivé à des. conclusions bien ceitaines, à des résultats entièrement satisfaisants, que pourtant je résumerai ainsi brièvement :

i^ Quand n sr m^ et que, dans les équations (1) et (a), les sommes de termes de plus haute puissance y sont, à un facteur constant près, identiques, les courbes correspondantes sont sembUibles et semblablement placées y et acquièrent ainsi à l'infini m points communs auxquels corres* pondent, dans chaque courbe, m asymptotes respectivement panllèles : ces mêmes courbes coïncident entièrement qoahd elles ont en outre un autre point commun quelconque à distance donnée ou finie, a"" Dans le cas de /i < //i, les lignes (1) et (a) peuvent acquérir à l'infini un contact de Tordre /? < m/t — i quand les équations en G» mentionnées plus haut, et qui correspondent à X =: 00 dans chaque courbe, sont, dans leurs dérivées respectives de divers ordres, susceptibles de devenir identiques; ce qui fixe pour chaque ordre les équations de condition entre les données ou coefficients de (2). 3^ La courbe nodale de (i) et (a), représentée par l'équalion (3), ne peut pour /E < m avoir d'autres asymptotes ou points communs à l'infini que ceux qui appartiennent

(*) Ces résultats s'étendent évidemment aux surfaces géométriques en général, et l'on y arrive également, au moyen des notations, symboles et transformations algébriques connus, en rendant les équations homogènes par l'introduction d'une nouvelle coordonnée censée implicitement infinie, et dont lo rapport aux coordonnées naturelles correspondantes n'a de signification, de valeur déterminée qu'autant que ces variables convergent simultanément vers un infini du même ordre. Mais en ne «'appuyant qu'Implicitement sur le principe de continuité, on double ainsi et l'on complique singulièrement, sinoii iButUament, le domaiiie déjà si encombré et si «ride de la Géométrie analytique.

à la courbe (i); ce qui constitue des courbe8(3), une catégorie très-distincte et toute particulière relativement à la ligne nodale appartenant au cas de /i = /n, puisque alors les asymptotes ou points de Tinfini peuvent être tout autres que ceux des courbes individuelles (i) et (a). 4"* Si, pour comparer directement entre elles les lignes (i) et (3) d'égal degré, on multiplie celte dernière équation par un coefficient numérique R' distinct de K, puis qu^on retranche le produit de cette même équation de (3), on obtient

(4) (!-K')F«(x,r) = KK7-(a',/),

équation d'une nouvelle courbe nodale de degré /», qui se confond avec (i) et (3) quand R'= -•

Or, cela arrive aussi lorsqu'on donne à ces dernières courbes un seul point commun distinct des /R/i nœuds ou intersections communes de m et de /?, et provient, sans nul doute, de ce que les courbes (i) et (3) de même degré sont en involution complète et réciproque. 5"* Etc.

J'abrège pour ne pas dépasser sans motifs les limites imposées à ce second volume.

Inutile aussi d'ajouter que, d'après les remarques des pages 493 et suivantes du tome H de nos Applications^ tout ce qui précède est susceptible d'être étendu plus ou moins directement au cas des surfaces d'ordre quelconque; il me suffit de faire observer que ces investigations, bien qu'imparfaites, laissent un beau champ d'étude aux partisans des nouvelles doctrines géométriques.

FIN DB LA SICTKMI SUPVLÉMBZrrAIBB DU TOUS II BT DEBMBa DBS PB0PUBTÉ8 PBOlBCnVES.

DU TOHE SECOND.

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