CANAL

Résistance

Profondeur.

Largeur.

en lirres.

pouc. lig.

3,io5

Indéf.

Id.

ld.

a, io5

[ Résist. due à la hauteur.

La quatrième colonne exprime les rapports de chaque résistance particulière avec la résistance dans un canal indéfini. On voit que cette résistance augmente rapidement à mesure que le canal devient plus étroit par rapport aux dimensions du bateau. Pour voir cette influence plus au clair, nous avons divisé la section transversale du canal par cette même surface, diminuée de 3 pieds, qui est la valeur de la surface transversale du bateau immergée dans le canal ; et nous avons inscrit les résultats dans la cinquième colonne. En comparant entre eux les nombres de la quatrième et de la cinquième colonne, on voit que les rapports des surfaces sont moindres que les rapports des résistances , quand les premiers rapports sont au-dessous d’une certaine valeur, qui, pour ci

cas particulier, paraît ne pas s’écarter beaucoup de deux ; mais quand les premiers rapports sont au-dessus de celle valeur, alors ils sont moindres que les rapports des résistances.

Les résistances dans des canaux d’une largeur indéfinie , mais de differentes profondeurs , nous apprennent que, pour avoir une formule qui exprime les résistances dans tous les cas , il n’est pas possible de supposer au fluide une vitesse uniforme dans toutes les parties, et qu’il faut admettre que le fluide , près du bateau , a une plus grande vitesse que dans le reste du canal ; et que cette plus grande vitesse , à l’entour du bateau , forme une espèce d’atmosphère qui augmente la résistance éprouvée par le bateau quand sa circulation se trouve gênée dans quelque partie.

Des roues hydrauliques .

Quand la roue est verticale, i° l’eau peut arriver au-dessus, emplir de petites caisses placées à l’entour de la circonférence et agir par son poids; c’est ce que l’on nomme roue à augets ou à pots ; 2 ° l’eau peut arriver en dessous de la roue et venir pousser des petites surfaces planes ou courbes , disposées régulièrement à l’entour de la .circonférence ; alors l’eau agit par impulsion continue ou plutôt par pression ; c’est ce que l’on nomme roues à ailes ou à aubes; 3° l’eau peut encore venir, par le côté de la roue, dans une position intermédiaire aux deux premières manières.

Diqitized by C

et participer par ce moyen des propriétés de ces deux premières manières , en agissant d’abord par impulsion et ensuite par son poids ; c’est ce que l’on nomme les roues de côté. La roue peut n’être pas verticale , tout en restant soumise à l’impulsion de l’eau : dans ce cas les roues ont reçu le nom de turbines , il y en a de plusieurs espèces , que nous distinguerons plus loin. Il y aussi plusieurs autres espèces de roues , entre autres les roues à force centrifuge.

Roues à aubes.

Les roues à aubes , où l’eau agit en dessous par l’excès de la force qu’elle possède , sur la force acquise par la roue , ont été appelées par les auteurs, roues mues par le choc de l’eau , parce qu’ils croyaient que l’eau agissait contre les aubes continuellement par le choc. Cette dénomination ne nous paraît pas convenable , et nous semble même impropre : si, comme nous le pensons, il n’y a effectivement choc, du moins de la masse totale de l’eau fournie par l’orifice, que dans le premier instant où l’eau atteint les aubes j et si , quand le mouvement de la roue est devenu uniforme , il n’y a plus qu’une simple impulsion , provenant des portions de l’eau qui viennent agir successivement contre la roue , et déterminée par la différence relative de la vitesse de la roue et de la vitesse du fluide ; dans ce dernier cas , la pression éprouvée par la roue est une somme de chocs

infiniment petits. En effet, quand le mouvement est devenu uniforme : si l’on partage , par la pensée , à partir de la roue , et en tranches parallèles aux aubes , l’eau qui est près d’atteindre ses aubes, on s’apercevra que les tranches , qui sont près de la roue , n’ont qu’une vitesse peu différente de celle de cette roue ; mais que cette vitesse s’accroît à mesure qu’elles s’en éloignent , jusqu’à celles qui , situées à une certaine distance , possèdent toute la vitesse du courant. Les différentes tranches , en perdant une partie de leur vitesse , s’élèvent de plus en plus à mesure qu’elles s’approchent de la roue jusqu’à une certaine distance où cette élévation , au-dessus du niveaxfde l’eau , parvient à son maximum -, à ce terme , l’eau commençant à agir sur la roue , la tranche commence à s'abaisser et à perdre une partie de sa force. Peut-être encore que les différentes tranches de l’eau motrice ne perdent que successivement leur excès de force contre la roue , de manière que l’action de l’eau motrice se communique à la roue par des tranches de liquide , qui ont déjà perdu une partie de leur action propre ; mais qui transmettent l’action des autres tranches à peu près comme le font la plupart des corps qui comptent les différentes parties ou les différens organes des machines.

Pour traiter la théorie des roues à aubes , avec toute la rigueur et la généralité possible , il faudrait : considérer l’action de l’eau contre toutes les ailes soumises à la fois à l’impulsion du fluide j

ET DES ROUES A VENT. 5g

faire attention à la situation variable que prend chaque aile à cause du mouvement de la roue , pendant qu’elle reste soumise à l’action du fluide ; ne pas se contenter d’examiner l’action d’une seule veine fluide contre chaque aile, mais calculer encore en même temps l’action de toutes les autres veines fluides, actionqui n’est pas identique, et qui varie d’uneveine à l’autre, etc. Et quand même il se trouverait une personne qui ne serait pas effrayée par toutes les conditions auxquelles il faut satisfaire , et qui aurait assez de courage pour entreprendre la solution générale du problème ; elle serait encore arrêtée par le peu de données que nous possédons jusqu’ici sur la nature des fluides. D’ailleurs, à en juger par la tentative de Bossut , que l’on trouve à la fin de son Hydrodynamique , cette solution serait plus curieuse qu’utile ; et l’on serait toujours forcé de négliger certaines données pour avoir une solution plus maniable et d’un usage facile et commode pour la pratique.

Ainsi , c’est dans la vue d’obtenir ce dernier résultat que l’on se permet , de prime-abord , une hypothèse qui revient à regarder les roues à aubes, comme ayant un assez grand nombre d’ailes pour que l’eau rencontre , continuellement sur son passage, une aile située à l’extrémité du rayon vertical.

Gü

-• Historique des roues à aubes.

La quantité d’eau dépensée ou consommée restant la même , Newton qui s’occupa le premier de cette question , trouva que la quantité de force reçue par la roue croissait comme le carré de la » vitesse du fluide.

Parent , Mémoires de l’Académie des Sciences ,

1 704 , observa le premier , que lorsqu’une roue à palettes était mise en mouvement par l’action d’un courant, la vitesse avec laquelle ces palettes étaient choquées , était la différence de la vitesse du couram , et de celle du centre d’impression ou d’impulsion de la roue. Mais il crut que c’était au carré de cette différence que F impulsion était proportionnelle . 11 chercha ensuite l’expression générale de l’effet de la machine, c’est-à-dire, le produit du poids qu'elle élevait par la vitesse de ce poids -, et trouva que cette expression était un maximum , lorsque la vitesse du centre d’impulsion des aubes de la roue était égale au tiers de la vitesse du courant. Nous donnerons plus bas l’équation de Parent , d’après M. Navier , et nous tâcherons de montrer bien clairement en quoi consiste son erreur , qui a été partagée par Pitot , Bélidor , Maclaurin , et Albert Euler, etgénéralement par tous les mécaniciens.

Dans les Mémoires de l’Académie des Sciences , année 1767, Borda remarque: que, lorsque le mouvement est parvenu à l’uniformité , l’action

ET DES ROUES A VENT. 6l

instantanée du fluide sur les palettes , fait équilibre à l’action de la gravité sur le poids P ; ou, ce qui est la même chose , que la force que le fluide perd à chaque instant dans le plan du mouvement de la roue , fait équilibre avec la force que l’action de la gravité donne au poids P dans le même instant.

En ne considérant qu’une seule palette de la roue soumise à l’action de la force du choc, Parent et ses prédécesseurs trouvaient , en appelant V la vitesse de l’eau et celle de la palette , que le choc était porportionnel à (V — v) 1 -, et comme l’effet est nécessairement proportionnel à la vitesse des palettes, multipliées par la force du choc, ils avaient représenté l’effet de la rouepar v (V — v) 1 , d’où ils déduisaient pour le maximum, 'v égale ^ V. Mais , continue Borda , « dans le mouvement dont il s’agit , il fallait observer que l’action de l’eau ne s’exerce pas contre une palette isolée , mais contre plusieurs palettes à la fois, et que ces palettes fermant tout le passage du petit canal, et ôtant au fluide la vitesse qu’il a de plus qu’elles, la force perdue par le fluide ; et par conséquent le choc qu’éprouvent les palettes , n’est plus proportionnel au carré de la différence des vitess'es du fluide et des palettes, mais seulement à la différence de ces vitesses ; d’où il suit que l’effet est représenté par v ( Y — v ) et non par ' v (V — nj ) 1 5 etcherchantle maximum de (Y — v)v, on trouve v égale h un ^ V »

Bossut , à qui l’hydrodynamie doit beaucoup d’expériences intéressantes et des recherches nouvelles et importantes, avait raison de ne pas approuver la manière d’obtenir cette solution ; mais il avait tort de ne pas l’adopter et de continuer à se servir de l’équation de Parent (i).

Il est curieux aussi de voir que Borda démontrait dans le même Mémoire , son équation par le principe des forces vives , et de remarquer que Bossut n’y faisait aucune attention.

(t) Borda conclut, dit-il, que le moment d'impulsion contre la partie immergée de l’aile inclinée , est toujours égal au moment de l’impulsion de la projection de cette partie immergée sur l’aile verticale, soit que la roue soit en repos, soit qu’elle soit en mouvement. La chose n’est vraie, conlinue-t-il, que pour le premier cas. La manière dont Borda mesure la percussion du fluide contre un plan mobile, est fautive, et il ne doit pas se contenter de la supposer proportionnelle à la simple différence des vitesses ; car il est évident qu’en vertu de la vitesse que le plan a perpendiculairement à la direction du fluide , le plan est repoussé par l’eau de la même manière que s’il était en repos , et que l’eau vint le frapper avec cette même vitesse, d’où il résulte une nouvelle impulsion qui se combine avec la première. Bossut dit encore plus loin, que cette théorie n’est pas applicable aux roues plongées daus les rivières où le fluide peut s’échapper et n’est pas nécessité à perdre la moitié de sa vitesse contre les ailes ; qu’elle souffre même des restrictions sensibles pour les roues mues dans des coursiers ; car il se perd une partie du fluide par les vides qu’il faut nécessairement laisser entre l’intérieur du coursier et les extrémités des ailes, pour éviter le frottement.

Quoique Borda , dans sa théorie des roues à aubes , ne distingue pas le cas des roues à aubes dans un courant d’une largueur indéfinie , du cas d’une roue à aubes dans un coursier j pourtant , comme pour sa solution , il semble exiger que les palettes ferment tout le passage et ôtent au fluide la vitesse qu’il a de plus qu'elles , on a conclu dernièrement dans un ouvrage de mérite , que les solutions de Parent et de Borda étaient exactes toutes deux , et convenaient à deux cas différens : l’une pour les roues mues dans un courant d’une largeur indéfinie , et l’autre pour les rues mues dans un coursier j et que c’était probablement faute d’avoir fait cette remarque , que M. Girard avait cru que les résultats de Borda , et les expériences de Sméaton s’accordaient avec une théorie de don Georges J uan , d’après laquelle la résistance dans les fluides indéfinis , serait proportionnelle à la vitesse. Les expériences que Bossut a faites , prouvent que le rapport des vitesses de la roue et de l’eau motrice , qui donne le maximum d’effet , est le même ; soit que la roue soit mue dans un coursier , soit qu’elle soit mue dans un courant indéfini ; et que de plus , ce rapport est deux cinquièmes , le même que celui donné par Sméaton. Ce maximum est encore confirmé par les expériences de M. Christian.

Du vaisseau poussé parle vent.

Avant de parler des roues hydrauliques , c’est-

à-dire , du cas où plusieurs surfaces planes ou courbes sont assujetties à tourner autour d’un axe fixe , il convient de parler du cas plus simple où l’agent moteur est employé à mouvoir une surface parallèlement à elle-même , suivant une ligne droite ; c’est ce qui arrive à un vaisseau poussé par le vent ; et quoique nous n’ayons pas l’intention de traiter les différentes questions qui se rattachent aux vaisseaux, nous ne pouvons pourtant nous dispenser d’en dire un mot en passant, pour rendre moins incomplet cet essai sur les roues hydrauliques.

Supposons un plan vertical qui se meuve parallèlement à lui-même, avec une vitesse u, et que 'U représente la vitesse du fluide : la force d’impulsion avec laquelle toute molécule individuelle viendra agir contre le plan , ne sera pas v , mais bieno » — u : le nombre des molécules de ce fluide qui , pendant un temps déterminé, auront dépassé le plan , ou auront agi contre ce plan , ou ce qui vaut mieux , se seront succédé par rapport à ce plan supposé fixe , ne sera pas proportionnel à la vitesse de ce fluide, mais bien à la différence des vitesses du fluide et du plan ; de sorte que la force d’impulsion totale du plan , sera proportionnelle à (y — u ) 1 , et comme ce plan possède déjà une vitesse u , sa force pourra être représentée par /c (y — u ) 1 u

fc étant une quantité constante à déterminer par la théorie ou par l’expérience.

Pour déterminer cette constante k , nous remarquerons'que l’impulsion du fluide sera proportion^ nelle à la surface plane du plan , de manière que la force du plan deviendra

où S (v — u) 1 exprime la pression d’une colonne de liquide , ayant pour base la surface S ; or , celte colonne liquide , ne presse la surface S qu’en vertu seulement de sa différence de vitesse v — u ; et la vitesse que la pesanteur tend à communiquer au fluide , n’entre pour rien dans l’action de ce fluide contre cette surface j puisque cette vitesse est supposée uniforme et égale à o>. Pour avoir la véritable pression de la colonne du fluide contre la surface , il faut en retrancher la vitesse que la pesanteur tendrait à lui communiquer dans une seconde ; vitesse qui est égale à 2 g (g étant l’espace parcouru par un corps dans le vide , dans la première seconde de sa chute) ; ce que l’on fait en faisant la force du plan égale à

(v — UJ*

Nous aurions pu arriver à cette équation d’une manière plus abrégée , en remarquant que nous avons déjà vu(pag. 27, 29) que lorsqu’une colonne de fluide presse contre une surface avec une vitesse — u , sa pression est la même que celle d’une surface qui supporterait une colonne immobile du fluide, mais d’une hauteur égale à la hauteur

nécessaire au fluide pour acquérir en tombant dans le vide la vitesse v—u.

Et en désignant par F la force acquise par la surface , nous aurons l’équation

qui est l’équation fondamentale qui entre dans toutes les questions que l’on peut se proposer sur le mouvement des vaisseaux qui marchent au moyen des voiles.

De la 'vitesse du maximum cT effet.

Quoique dans ces sortes de problèmes , on n’ait pas besoin d’économiser la force motrice , et que l’on doive presque toujours tâcher de marcher avec la plus grande vitesse possible, pourtant il u’est pas inutile de chercher quelle est la vitesse qui procure le maximum d’effet. Ceux à qui le calcul différentiel est familier , trouveront facilement que celte vitesse du maximum d’effet est donnée par la valeur

c’est-à-dire , quand la vitesse de la surface est le tiers de celle du fluide.

Substituant cette valeur dans l’équation ci dessus , nous aurons

pour la force obtenue lors du maximum d’effet ,

Parent avait appliqué ces résultats , par erreur , aux roues hydrauliques.

De la vitesse du maximum d’effet } lors de l’ existence du frottement.

Vous avons démontré dans nos études sur les machines , que la force consommée par les frottemens , croissait comme le carré de la vitesse, et non comme la simple vitesse , comme on l’avait fait jusqu’ici. Eu conséquence , si une partie de la force acquise par la surface , est consommée par les frotlemens , il faudrait poser l’équation

désignant le coefficient constant du frottement , indépendant de la vitesse , on aura donc pour obtenir la vitesse du maximum d’effet à différenlier l’équation

ce qui donne d’abord

S ' ' 2 ér

ou en réduisant :

3 Su 1 — 4 (S ^ H-/#) u

(v — «)*< — 2fu = Q,

U =-j£ (2 S<M-2 fg-+- V S 1 t'M- 8 S f g v+W 1 g 1 ).

Nous avons pris pour u , la plus petite des deux

racines , parce qu’en y faisant f égale zéro , on trouve u égale un tiers , qui est la véritable valeur que l’on doit trouver dans ce cas. Si l’on fait la même supposition dans la plus grande racine , l’on trouve u=v , c’est-à-dire que la vitesse de la surface est égale à la vitesse du fluide. Ainsi, quand, dans la force dépensée, on tient compte du frottement, on trouve , pour la vitesse du maximum d’effet , deux valeurs , l’une qui correspond au maximum d’effet utilisé , et l’autre représente la force dépensée.

Par rapport à la force dépensée pour faire marcher un vaisseau , la force consommée par le frottement de l’eau étant très-petite , on peut ordinairement la supprimer sans erreur sensible , ce qui nous dispense de nous étendre davantage sur ce cas.

Quand on voudra appliquer l’équation

pour trouver la force que les vents impriment réellement à un vaisseau, il faudra regarder S — — — »

comme un espace rempli d’air, et le convertir en poids , d’après l’observation qu’un mètre cube d’air, à la température de la glace fondante , pèse 1,2979 kilogrammes.

De plus , d’après l’observation , comme l’air est un fluide compressible , il faudra prendre

au lieu de

et ordinairement la surface de chaque voile sera assez grande pour que l’on puisse négliger la perte de force qui se fait au pourtour, d’après la règle que nous avons exposée ( pages 47» 4 ^ )•

Si le vaisseau n’a à surmonter d’autre résistance que celle que l’eau oppose à son sillage , en représentant par Q , la surface plane qui présente la même résistance que la proue , et par D la densité de l’eau , par rapport à celle de l’air , on a pour la résistance , ou la pression qu’éprouve

cette proue — - , et pour la force qu’elle consomme ~~~~j force qui doit être égale à celle

F , ce qui donne l’équation

QD“ ! | p

Egalant , entre elles , les deux valeurs de F , on trouve après la réduction , l’équation :

Dans les derniers ouvrages publiés sur les bateaux à vapeur ; ouvrages qui, renferment d’ail-

leurs des données très-intéressantes, on applique .mal à propos cette équation et la précédente aux bateaux à vapeurs, mus par l’intermédiaire des roues hydrauliques à aubes ; nous citerons plus bas, enparlantdecesbateaux à vapeur, un exemple qui montrera jusqu’à quel point cette erreur peut devenir grave et préjudiciable.

Si , pour trouver la résistance que la proue oppose au mouvement du vaisseau , on était obligé d’employer l’appareil de Bossut , l’expérience deviendrait non-seulement très-dispendieuse, mais encore presque impraticable; et la perfection des constructious navales ne pourrait jamais être obtenue , ou du moins on n’y parviendrait que par un pur hasard.

Mais heureusement , l’équation précédente donne le moyen de résoudre la question , pour ainsi dire , sans aucun autre appareilque les voiles; toutes les fois que l’on connaîtra la vitesse du vent ou la différence des vitesses du vent et du bateau. D’abord , la ligne de flottaison , lorsque le vaisseau sera tranquille, facilitera le moyen de connaître la partie du maître couple plongée dans l’eau, et par conséquent la surface plane qui sert de base à la surface courbe que la proue oppose à la résistance de l’eau; et comparant cette surface plane , avec celle Q , déduite de l’équation précédente , on aura un rapport qui exprimera la limite de perfection que l’on a obtenue par la construction dans le bateau soumis à l’expérience. Pour

chaque ligne de flottaison, la proue présentant une surface difléreute à la résistance de l’eau , chacune de ces surfaces différentes ne seront pas semblables entre elles , et ne pourront par conséquent donner lieu au même rapport entre la surface de la partie du maître couple immergée dans l’eau , et la surface Q déduite de l’équation ci-dessus : ce qui nécessitera de chercher les rapports pour les différentes lignes de flottaison, et de dresser une table qui sera des plus intéressantes pour la perfection des constructions navales.

Mais il faut faire attention de tenir compte , dans la surface S des voiles , de la partie de l’arrière du vaisseau, qui, par sa résistance au vent , contribue à augmenter la marche du vaisseau; mais comme cette partie est plus ou moins courbe , cette surface courbe ne doit pas être regardée comme identique avec la surface plane , hors delà flottaison qui lui sert de base , et elle doit êtreréduite suivant un rapport que l’expérience indiquera. De plus, comme l’action du vent sur les voiles , tend à faire incliner le vaisseau de l’arrière à l’avant , la surface de la proue , immergée dans l’eau, ne sera pas tout-à-fait celle que la ligne * de flottaison indiquait lorsque le vaisseau était eu repos.

En calculant la force F au moyeu de l’une des équations ci-dessus , en la supposant appliquée au centre d’impulsion du vent , et en la comparant avec la masse du vaisseau supposée réunie au

centre de gravité , on aura le moyen de juger de l’inclinaison du vaisseau , de la véritable ligne de flottaison , et de calculer le véritable rapport entre la résistance de la surface courbe de la proue et de celle de la surface qui lui sert de base. On voit ainsi que cette méthode exigera d’employer peut-être une méthode de rectifications successives, et tout le mérite consistera a trouver la méthode la plus courte , la plus simple et la plus commode pour la pratique.

Supposons que l’on n’ait aucun instrument pour mesurer la vitesse du vent ou la différence de vitesse du vent et du bateau.

L’équation

v — “ ( i *+* tJ~) ’

donnera pour une autre surface S' des voiles , une nouvelle vitesse u' du bateau , liée par l’équation

( l + lS-^V)’

et égalant entre elles les deux valeurs de v on arrivera à l’équation '

(h — u' ) a S S' u'y^T~u[/~s r qui donnera le moyen de connaître la résistance que présente la proue , en connaissant seulement la surface des voiles et la vitesse du bateau;

Des roues hydrauliques à aubes.

Long-temps, les auteurs s’étaient divisés sur la

manière de représenter les effets des roues hydrauliques à aubes : les uns continuaient d’employer l’équation de Parent, et les autres avaient adopté l’équation de Borda. Nous venons de voir comment l’équation de Parent ne convient pas aux roues hydrauliques à aubes ; comment elle ne représente que les effets d’une surface se mouvant parallèlement à elle-même et en ligne droite , et comment elle convient à un vaisseau poussé par les voiles. Il ne nous reste plus, pour montrer d’une manière manifeste, la bonté de l’équation de Borda, pour représenter les effets des roues à aubes , qu’à éclaircir ce qu’il dit , et à remarquer que si l’eau n’agissait que contre une palette isolée, cette palette, assujettie à se mouvoir circulairement autour d’un axe immobile, commencerait à recevoir delà part de l’eau un mouvement qui s’accélérerait de plus en plus jusqu’à un certain terme qui serait un maximum ; arrivé à ce terme , la vitesse de la palette diminuerait de plus en plus , jusqu’à ce qu’elle fût stationnaire, et alors la résistance qu’elle éprouverait de la part du courant serait égale à l’action de la gravité sur cette palette multipliée par sa distance moyenne à l’axe. Ce qui occasione un mouvement continu dans les roues à aubes; c’est que, quand une palette cesse d’être soumise à l’action de l’eau , ou que cette action s’affaiblit, elle est remplacée par une nouvelle palette ; et la situation de la roue peut être regardée comme invariable, par rapport à un.

point fixe quelconque , quoiqu’elle se meuve continuellement. Pour établir sa théorie, Borda n’avait pas besoin de paraître exiger que les palettes fussent construites de telle façon qu’elles pussent fermer tout le passage du petit canal et ôter au fluide la vitesse qu’il a de plus qu’elles. Seulement , sans égard à la grandeur des aubes , par rapport à la section transversale du courant, il devait remarquer que , toute molécule individuelle et isolée , qui venait agir contre l’aube , le faisait avec une force d’impulsion proportionnelle à la différence des vitesses du fluide et de la roue : et que, comme par rapport à un point fixe quelconque , la roue pouvait être supposée garder une position invariable , tout en se mouvant continuellement; le nombre des molécules du fluide, qui s’étaient succédées et remplacées dans les mêmes positions, pendant un temps déterminé , était proportionnel à la vitesse du fluide et indépendant delà vitesse de la roue ; et par conséquent la force d’impulsion totale était proportionnelle à la quantité V (V — v ) , et non à celle (V — u)\

Il devait encore ajouter que , pour avoir celte dernière force d’impulsion , il fallait remplacer la i

roue à aubes, non par une palette isolée, mais par un plan vertical se mouvant parallèlement à lui-même avec un mouvement continu ; alors la force d’impulsion de toute molécule' individuelle, qui viendrait agir contre leplan, serait bien V — -v comme dans le cas précédent; mais le nombre de

molécules qui , pendant un temps déterminé , auraient agi contre ce plan , ou se seraient succédées dans les mêmes positions par rapport à ce plan supposé fixe , ne serait plus proportionnel à la vitesse du fluide, mais bieu à la différence des vitesses du fluide et du plan ; ce qui ferait la force d’impulsion totale, proportionnelle à ( V — v ) 1 comme l’avait trouvé Parent.

L’impulsion que reçoit une roue hydraulique peut être représentée par

et comme la roue hydraulique possède une vitesse 'V , sa force pourra être représentée par K V ( V—v) v

R étant toujours une quantité constante à déterminer à priori.

Si la roue est employée à soulever un poids au moyen d’une corde qui s’enroule autour d’un treuil, l’expérience et le raisonnement prouvent que le mouvement devient bientôt uniforme, et que par conséquent la force qui anime le poids est égale à la force de la roue j en représentant, par P le poids soulevé, et par u la vitesse dont ce poids est animé par seconde , on trouvera l’équation P t* = KV(V— v)v

pour représenter les effets des roues à aubes.

Pour déterminer le coefficient K, nous supposerons la vitesse du fluide constante : cette supposition fait que , dans le second membre , il n’y a que le produit (V — v ) n qui soit variable.

Représentons par la droite AD ( fig . 4), la vitesse v , et par celle AB la vitesse constante V, sur laquelle , comme diamètre , nous décrirons la demi-circonférence AMB; on sait, par la propriété du cercle , qu’en élevant , sur la droite AB et au point D, la perpendiculaire ou l’ordonnée

DM, on a DM = ADxDM=(V — v) v. Ainsi, pour avoir le maximum de la quantité ( V — v') v, il suffit de regarder dans quel cas DM est un maximum ; or, DM est un maximum quand il est égal au rayon, et par conséquent quand il est égal à un demi-AB ou à un demi-V .

Quand la roue à aubes se meut dans un coursier, elle ne peut pas être assimilée à un plan se mouvant dans un coursier parallèlement à luimême , et l’eau pour s’échapper n’a pas besoin de trouver une issue entre le plan et le coursier, ou de passer au-dessus du plan ; ce qui n’occasione pas les accroissemens de résistance trouvés par Bossut pour des bateaux se mouvant dans des canaux étroits , parce que l’eau qui se trouve retenue par une aube en avant, se retrouve derrière l’aubfe suivante qui va agir,- et peut s’écouler à mesure que l’aube, qui la précède, laisse agrandir l’ouverture entre son extrémité et le fond du coursier y de plus, comme l’eau qui se trouve entre deux aubes ne doit conserver que l’excès de la vitesse de l’eau du courant sur la vitesse de la roue , elle ne peut gêuer que très-peu le mouvement, et

même cette gêne devient nulle lors du cas du maximum d’effet. Ainsi , une roue à aubes, qui se trouve dans un coursier, n’éprouve pas plus de résistance qu’une roue à aubes qui se trouve dans un courant indéfini. Seulement, dans un cas, pour avoir la mesure de la force dépensée , on peut se contenter de la déduire de l’ouverture de la vanne et du coefficient de la contraction ; et dans l’autre, il faut la conclure de la partie de l’aube immergée dans l’eau, lorsque la roue et l’eau sont supposées en repos.

Dans le cas des roues à aubes se mouvant dans un coursier, désignons par a l’ouverture de la vanne et par b sa largeur j s’il n’y avait pas de contraction , le volume de l’eau, fourni par le bassin dans une seconde , serait égal à la surface de l’ouverture de la vanne , multipliée par la vitesse V que possède l’eau au sortir de l’orifice et avant d’agir sur la roue, ou à abV ; mais , à cause de la contraction , la quantité d’eau dépensée ri’est pas si considérable et se réduit à abcV, c désignant le coefficient de la contraction. Pour déduire le cas des roues à aubes dans un courant indéfini de celui dans un coursier , il suffira de faire a égal à la hauteur de l’aube ou à la partie de l’aube immergée dans l’eau, de désigner paré, sa largeur, et de supposer c égal à un.

Pour connaître la force dépensée, faisons attention que lorsqu’un fluide agit contre une surface immobile, la résistance ou la pression soufferte

par la surface est proportionnelle à — — (p. 40).

Comme le fluide a , en outre , une vitesse égale à V, la force dépensée est réellement égale à

abc\l

Pour connaître la force utilisée par le récepteur, nous ferons attention que la colonne d’eau , qui agit sur la roue, et la presse, est exprimée paF l’équation

abc kV (V — n) ,

quantité dépendante de la vitesse de la roue ; elle est nulle quand la vitesse de la roue est égale à celle du fluide; et elle est égale à abc AV 1 quand la vitesse de la roue est nulle. Pour la déterminer complètement , il suffit de trouver la valeur de k dans un cas particulier. Dans le cas du maximum d’effet , où la vitesse de la roue est la moitié de celle du courant , la pression ci-dessus devient abc A Y jj ans ce m £ me cas } j a p ress Jon de l’eau ,

avant d’agir , ne diffère de celle après avoir agi , qu’en ce que , dans le premier cas , elle est double de celle du second ; ce qui donne

ahciy 1 , . aicV*

= un demi

et pour l’équation des roues à aubes :

abc ’

pu => — - — V (V — V) V.

Dans la pratique , les roues hydrauliques n’atteignent jamais cette valeur; et pour l’employer sûrement , au moyeu du frein de M. Prony ou de tout autre appareil , il est nécessaire de s’assurer dans quel rapport la roue que l’on a à sa disposition se trouve au-dessous de la vérité.

Cette même opération servira aux roues à aubes dans un courant indéfini , en faisant c égale i , et en désignant par a la largeur de l’aube, et par b la quantité dont elle est immergée.

D’après les expériences de Bossut , le maximum d’effet se trouve lorsque la vitesse de la roue est les deux cinquièmes de celle du courant. A la vérité, nous n’avons pas fait entrer dans notre théorie la perte de force occasionée par les frottemens; ce qui rendrait le rapport un demi plus petit et plus approchant de celui de l’expérience. Les expériences deSméaton (page io) donnent des résultats qui varient entre o,55 et o,5o.

Cette vitesse n’est donc que les quatre cinquièmes environ de celle déduite de la théorie.

Dans les expériences de Sméaton, la force utilisée ou transmise à la roue n’est guère que le tiers de la force dépensée. Ainsi cette force n’est que les deux tiers de celle de la théorie.

Conséquences et règles déduites de la formule des roues hydrauliques à aubes.

Pour déduire les conséquences et les règles de la formule des roues hydrauliques à aubes, nous

8ü DES RODES HT DR AÜLIQDES

supposerons une roue hydraulique à aubes , mue dans un coursier, et employée à soulever un poids -P avec une vitesse a > nous aurons :

abc\ . .

Quand F on regarde V et v comme cons tans , et que Von ne laisse varier que la quantité abc , la force transmise à la roue est proportionnelle à la quantité d'eau dépensée; conséquence qui revient à la première règle de Sméaton. Dans le cas du maximum d’effet, la charge virtuelle ou effective étant la même , F effet est à peu près comme la quantité d’eau dépensée (i).

Si l’on fait

abc\

égale une quantité constante ,

on a D , et que de plus l’on suppose V égale rv , r étant aussi une quantité constante , on aura Vu = D (r — i ) v l

C’est-à-dire que quand la dépense de l’eau faite par la vanne sera constante, et que le rapport de la vitesse de la roue à la vitesse du iluide sera aussi constant , on aura toujours la force, utilisée par la roue, proportionnelle au carré de la vitesse de cette roue, comme dans le cas du maximum d’effet.

Ce qui est la troisième règle de Sméaton, con-

(i) Comme les règles de Sméaton n’ont été déduites que des résultats de ses expériences , nous avons cru les devoir comparer avec la formule théorique.

çue en ces termes : La dépense d’eau étant la même y V effet est à peu près comme le carré de là vitesse. Si l’on fait attention que la charge

virtuelle ou la hauteur H est égale à ^ • , on

aura encore la seconde règle de Sméaton : La dépense d’eau étant la même 3 V effet est à peu près comme la hauteur de la charge 'virtuelle ou effective. Il faut faire attention que toutes les règles de Sméaton sont déduites du cas du maximum d’effet , ce qui est un cas particulier de nôtre supposition de r constante.

Si en conservant V égale ce, on fait ab c ^ v ,

constant ou égal à D', l’équation de la roue à aubes prendra la forme

et en substituant la valeur de v 3 on trouvera :

C’est-à-dire que quand la vitesse de la roue et du jluide resteront dans un rapport constant , et que F on conservera le produit de t ouverture de la vanne par la vitesse de la roue constante 3 la force utilisée croîtra comme le carré des vitesses de la roue ou, du Jluide.

Dans l’équation générale

abcV

8a DES ROUES HYDRAULIQUES

substituons pour V sa valeur rv , nous aurons

pug

abc (r — 1 )r

V — V abc {r — i)’

Ce qui nous indique que quand le rapport de la vitesse de la roue a la vitesse du jluide sera constante , les vitesses de la roue et du Jluide croîtront comme les racines cubiques des forces utilisées , pourvu que r ouverture de la vanne reste aussi constante ; ce qui est la quatrième et dernière règle de Sméaton pour les roues à aubes mues par l’eau , et sa troisième règle pour les moulins à vent.

Pour une autre vitesse V' , on aura les équations

V * abc {r 1 — i )y ’

V abc (*' — I ) ’

et par conséquent

■t>* pu ( r' — i ) r>

V fï p'u' r 11 {r — i) ’

équation d’où on pourra déduire une foule d’analogies qui ne présentent d’autres difficultés que

E)igiti 2

celles de les développer ; aussi ne nous y arrêterons pas. Nous remarquerons pourtant que

étant égal à l’unité , les deux analogies précédentes peuvent être mises sous la forme :

Théorie des roues à aubes , en ayant égard au frottement.

Dans nos études sur les machines, nous avons établi que le frottement consommait une force proportionnelle au carré de la vitesse , et non une force proportionnelle à sa simple vitesse, comme on le croyait jusqu’alors. Ainsi la vitesse qui donne la plus grande force utilisée par le travail, n’est pas la même que celle qui donne la plus grande force transmise au récepteur dans l’hypothèse où l’on n’a pas égard au frottement $ hypothèse que l’on pourrait se permettre, sans craindre aucune erreur, si le frottement ne consommait qu’une force proportionnelle à sa simple vitesse , et s’il pouvait être assimilé à un corps matériel pouvant modifier la vitesse dont il est animé. Ainsi , en désinant par P la force utilisée par le travail,

et par f le coefficient du frottement , on aura l’équation

RV (V — v) v — /V =a P (*) , d’où l’on tirera, par la différentiation, pour exprimer la vitesse qui donne le maximum d’effet utilisé par le travail, la quantité ' K v*

” » (KV +/) •

substituant cette valeur dans la valeur de P, on a

KVM-»A KV 1 / K 1 V 4 p V * 2 (KV- 4 -/)' a(K V+/) / ' 4 (KV 4 -/j*

ou en réduisant

ri Vi ■+■ /K J V*

4 (KV+/)* ’

ou encore

4 fKV +/) ” ’

expression qui donne la force utilisée pour le travail. Comme la force dépensée par le fluide est

le rapport de la force utilisée par le travail â celle dépensée par le moteur sera donnée par l’expression

a(KV+/)'*

(*) K désigne ici la quantité

abc

On remarquera facilement qu’en faisant dans cette dernière expression , ainsi que dans les expressions ci-dessus , j égale zéro , on retombera sur les expressions que nous avons déjà données lorsque l’on suppose le frottement anéanti.

Pour avoir on fait mouvoir la machine à vide, de manière que l’uniformité du mouvement ne soit occasionée que par les frottemens ; si , dans ce cas , la vitesse du fluide et celle de la roue hydraulique sont désignées par V et r, l’équation

J^Ly ( V — V )v,

donnera la force F utilisée par le récepteur ; et en divisant cette force par le carré de la vitesse u, on aura le coefficient du frottement /. En divisant le poids de la quantité d’eau dépensée par ce même poids , augmenté du coefficient f, on aura un quotient dont la moitié donnera le rapport de la force utilisée par le travail ; parce que la quan-

• » rrtr , ' • 1 abcX

tue K.V nest rien autre chose que — , ou

le poids de la quantité d’eau dépensée dans un temps déterminé. Si la roue , au lieu d’utiliser la moitié de la force dépensée, n’utilisait que la quantité <7, il faudrait calculer la quantité f, en multipliant F par q 1 ; et ensuite, pour avoir la moitié du quotient mentionné ci-dessus , il faudrait simplement le multiplier par q.

Des bateaux à vapeur mus par l’ intermédiaire des roues hydrauliques à aubes.