DIFFICULTÉS
Nous avons déjà parlé des bàlimens mus par les voiles. Pour rendre nos recherches plus intéressantes , il ne nous reste donc plus que de dire un mot des bateaux à vapeur , mus par l’intermédiaire des roues hydrauliques à aubes ; sujet qui devient de plus en plus important à mesure que la civilisation fait plus de progrès ; à mesure que se font sentir davantage le besoin de faciliter, de régulariser les communications des différens peuples , et la nécessité de Jes rapprocher, en obviant à l’inconstance et aux irrégularités du vent qui rendent les traversées et les voyages beaucoup trop longs et trop incertains. Plusieurs auteurs y ont appliqué mal à propos l’équation de Parent, mais l’exemple le plus récent et le plus remarquable du danger de cette fausse application a été donné par un ingénieur , très-recommandable d’ailleurs par les ouvrages d’art qu’il a entrepris , dans un Mémoire lu à l’Académie des Sciences, où il se propose de déterminer la puissance et la résistance du bateau à vapeur la Sainte-Catherine, qu’il a eu occasion d’observer dans un voyage , qu’il a fait de Glascow à Port-Glascow , distant de i ,g4o milles anglais , dans l’espace de deux heures six minutes. Le mouvement de la marée
étant insensible, on peut attribuer que les 4,1 3 mètres de vitesse par seconde sont dus à la force du moteur. Cet ingénieur donne encore les don-
nées suivantes :
Bayons des roues i ,885
Largeur des aubes 1,800
Hauteur o, 34 o
Distance de leur centre d’action à l’axe . . 1,71 5
Largeur du bateau /,, 5 oo
Tirant d’eau réduit 1,20
Diamètre du piston .' 1,80
Vitesse par seconde 1,00
Deux secondes pour faire un tour.
La vitesse du centre d’action de la roue hydraulique est donc 5 , 3 g mètres par seconde. Il se sert, pour comparer la résistance qu’éprouve la poupe avec la pression qiie les aubes impriment à l’eau, de l’équation
analogue à celles que nous avons déduites précédemment (page 64) pour un bateau poussé par les voiles , où Q désigne la surface plane qui sert de base à la surface courbe de la proue immergée dans l’eau, S la surface plane des aubes , u la vitesse du bateau , enfin ( v — u ) la différence de vitesse de la roue hydraulique et du bateau.
Les données précédentes lui donnent d’abord
IO >7 Q = s,
ce qui lui fait conclure que la résistance de la proue n’était que le dixième de celle des aubes. Pour chercher le véritable rapport , il les coin-
pare à surfaces égales ; et il prend la surface du maitre-couple égale à 4,5o multiplié par i ,ao ouù 5 ,4o , et celle des aubes à o ,6 1 a . Ensui te il suppose qu’il y ait une aube et demie agissant à la fois de chaque côté , ce qui certainement est au-dessus de la réalité, puisqu’elles sont disposées de manière que lorsqu’une d'elles est perpendiculaire au courant , les deux autres touchent par leurs bords la surface de l’eau j le rapport de la surface du maître-couple à la surface des aubes est, suivantlui, de 5,4oo à i,836, et par conséquent l’on a 64oo .
IO >7 ,836 — 3l >4»
d’où il conclut enfin que la résistance de la carène, en vertu de sa bonne construction , n’est que le trente-unième environ d’une surface égale directe et perpendiculaire au courant , comme on peut supposer que sont les aubes. Conclusion qui n’étonne nullement cet ingénieur, mais qui étonnerait bien tous ceux qui ont fait , avant lui , des expériences directes à ce sujet. Ainsi , Borda et Hutton ont trouvé par leurs expériences, tant sur l’eau que sur l’air, pour la résistance de la surface convexe de la sphère , les deux cinquièmes de celle que présente son grand cercle. Dubuat, par les oscillations du pendule , a trouvé que cette
résistance n’était que — - — . Bossut a construit
une carène qui ne lui a offert qu’une résistance de 94 à 342 ou de 1 à 5,658. Enfin une société instituée en Angleterre en 1793, pour le perfec-
tionnement de l’architecture navale, a trouvé que l’on pouvait réduire ce rapport à celui de 60 à 2,5a ou de i à 4 » 3 - Que diraient donc toutes ces personnes , si en lisant le mémoire de cet ingénieur , ils s’entendaient accuser d’avoir commis des erreurs si graves, que les résultats, qu’ils avaient donnés au public, et qu’ils avaient obtenus par des méthodes tout-à-fait différentes et indépendantes les unes des autres , étaient à peine le huitième de ce qui avait lieu réellement. Il me semble les voir garder le silence et se contenter de lever les épaules. Borda pourtant , pourrait encore le renvoyer à l’école et à son Mémoire de 1 763 , sur les roues hydrauliques. Car , dans ces sortes d’expériences , une erreur d’un tiers , d’un quart , ceseraitbeaucoup, etcetle erreur ne donnerait tout au plus que le rapport d’un à cinq environ. C’est ainsi que des personnes très-lionorables d’ailleurs, en partant des principes erronés établis par leurs prédécesseurs ou par eux-mêmes , se trouvent être exposés à commettre de très-graves erreurs, à être en butte aux plaisanteries des ignorans , et à justifier les sarcasmes des Zoïles , qui s’attachent à dénigrer tous ceux qu’ils ne peuvent imiter ou surpasser. Si , lorsque l’on est parveuu à de nouveaux résultats , en partant des théories même les plus accréditées , l’on avait toujours le soin de vérifier commentées résultats s’accordent avec les expériences déjà connues ^ et l’attention de s’arrêter et de rester eu suspens jusqu’à ce qu’un cxa-
gO DES BOUES HYDRAULIQUES
ment très -approfondi les ait accordées ; on parviendrait bientôt à l'époque où les praticiens et les industriels cesseraient de regarder la théorie comme un objet de pure curiosité , et à l’époque où elle serait respectée comme elle le mérite.
Théorie des bateaucc à vapeur.
Si une roue hydraulique est employée à faire mouvoir un bateau , comme cela arrive dans les bateaux à vapeur , désignons par Q , la surface plane qui occasionerait la même résistance que celle du bateau ; et , par S , la surface des aubes ; et supposons en outre , que la vitesse du centre d’action de la roue hydraulique soitv , et que celle du bateau soit u.
Le nombre des molécules d’eau qui passeront sur l’axe de la roue, sera proportionnel à u, et S u désignera la quantité d’eau dépensée 5 de plus , les aubes ayant une vitesse v, et l’eau fuyant avec une vitesse u , la force avec laquelle les aubes frapperont l’eau , sera proportionnelle à v — u ; et comme la roue jouit de la vitesse v , on aura pour la force qui anime la roue hydraulique , l’équation
Si) (» — u) u
or , cette force est identique avec celle que la résistance de la proue oppose au mouvement du bateau et qui est égale à
Qui
ce qui donne l’équation
qui se réduit d’abord à
Qa l = 2S(c — u) v , et qui en faisant v=ur se réduit encore à Q = 2 S r (r — i), conséquence de cette théorie.
Ainsi toutes les fois que le tirant d’eau d’un bateau ne changera pas et que la surface des aubes sera toujours immergée de la même quantité, lorsque le mouvement deviendra uniforme , la vitesse des aubes et la vitesse du bateau seront toujours dans un rapport constant.
Le rapport de la vitesse des aubes à la vitesse du bateau ne dépendant que du rapport de Q à S; il est très-important de déterminer par l’expérience , quelle est pour chaque bateau la grandeur de la quantité Q , pour y proportionner celle de la quantité S.
Comme le plus grand rapport de la force utilisée à la force dépensée a lieu pour la roue à aubes, quand la vitesse de cette roue est la moitié de celle du courant ; de même, dans les bateaux à vapeur qui vont par l’intermédiaire des roues à aubes , pour utiliser le mieux possible la force motrice , il faut que la vitesse de la roue à aubes soit le double de celle du bateau , ce qui donne r égale 2 et par conséquent
Ainsi, pour profiter le mieux possible de la force motrice, la surface plane qui fait équilibre à la résistance représentée* par la carène, doit être le quadruple de celle que présentent les roues à aubes.
Si sans changer le rapport de la surface des aubes et de la surface plane qui représente la résistance de la proue , on diminuait seulement la force motrice, dans la vue de l’économiser; on diminuerait en même temps la vitesse des aubes et la vitesse du bateau , et de plus , on les diminuerait dans le même rapport, ce qui ferait que la force motrice consommée inutilement resterait dans la même proportion par rapport à celle utilisée pour le mouvement du bateau ; il faut bien faire attention que dans cette force consommée inutilement n’entre pas celle consommée par les frottemens, parce que celle-ci diminue toujours dans un plus grand rapport que la force motrice à mesure que le mouvement devient plus lent ; Etudes sur les machines. Souvent pour poursuivre un ennemi , ou pour le fuir , sans égard à la plus grande force utilisée , il peut être nécessaire de voguer avec la plus grande prestesse ; et utile de pouvoir augmenter la surface des aubes et de la , rendre plus grande que le quart de la surface plane qui fait équilibre à la résistance éprouvée par la carène. Dans ce cas , on pourrait facilement se donner le moyen mécanique d’augmenter la surface des aubes , si l’on ne peut augmenter la
ET DES ROUES A VEUT. g5
force de la machine à vapeur ou forcer le feu sans danger.
De la manière de conriaître la surface plane qui représente la résistance que la proue oppose au mouvement.
Si c’est un bateau à vapeur qui est déjà construit , et que l’on veuille changer les dimensions des aubes de la roue hydraulique , dans la vue de l’améliorer , rien n’est plus simple ; il suffit de faire marcher le bateau , et de mesurer bien exactement l’espace parcouru par le bateau , pendant que la roue hydraulique fait un certain nombre de tours. Mais il faudra bien faire attention que le temps pendant lequel l’on fera l’opération, soit très-calme , et que l’eau n’ait aucun mouvement particulier ou aucun courant, conditions que l’on ne peut obtenir réunies que sur les bords de la mer ou que sur des étangs. Il arrivera bien souvent que quand le bateau à vapeur sera destiné à se mouvoir sur un fleuve , on ne pourra se procurer ces deux conditions ; l’on verra plus bas le moyen d’y suppléer.
Lorsque le bateau ne sera que construit et qu’il s’agira de déterminer la grandeur de la roue à aubes et la force de la machine , si l’on peut armer le bateau d’une voile, pour connaître la résistance que la proue occasione au mouvement, il faudra recourir à la méthode que nous avons exposée.
y4 UES ROUES HYDRAULIQUES
Si les circonstances ne permettent pas d’employer cette méthode, ou que le bateau ne soit pas encore construit , on pourra prendre , pour représenter la surface plane , qui offre la même résistance que la proue , le produit de la surface plane du maître couple , que l’on supposera immergée , par la quantité o,a 38 i ; parce que telle est l’expression, que la société instituée en Angleterre en 1793 , pour le perfectionnement de l'architecture navale , a trouvée pour exprimer la résistance de la surface de la proue , à la surface plane qui lui servait de base ; et en divisant ensuite par quatre , le produit précédent , on aura la surface plane que doivent avoir les aubes.
De V économie de force motrice que peut occasioner un changement dans la grandeur des aubes , et détermination de la grandeur la plus convenable.
En supposant que la vitesse de la roue hydraulique ne change pas , quelle que soit la vitesse du bateau , on peut se proposer de chercher les changemens à' apporter dans les dimensions des aubes, pour que , par l’effet de l’impulsion , la perte de force soit la moindre possible ; et cela , sans avoir cherché à priori à déterminer la résistance de la ■surface courbe de l’avant du bateau : cas qui peut se présenter lorsqu’il s’agit de faire les modifications dans un bateau , sans avoir ce bateau
ET DES ROUES A VENT. y5
sous les yeux, et sans connaître exactement la surface plane de la portion immergée du maîtrecouple ; et cas qui se présente , en effet , pour les bateaux , rapportés comme exemple , par M. Marestier , excellent ingénieur maritime, dans son Mémoire sur les Bateaux à vapeur, dans lequel il a bien mentionné les largeurs des bateaux , et les tirans d’eau; mais dans lequel il a négligé de donner la figure exacte du maître-couple , ce qui empêche d’en déduire exactement la surface de la portion immergée de ce maître-couple.
Représentons par ur la vitesse de la rouehydraulique , et par u celle du bateau , pour que la vitesse du bateau ne soit plus que la moitié de la vitesse de la roue hydraulique, ou un demi ur, il faut satisfaire à la valeur de S ' contenue dans les deux équations (page 91 ).
Q = 4 S', ou à l’équation
qui donnera la nouvelle surface que doivent avoir les aubes.
La force qui anime la roue à aubes dans le premier système , sera
Sur-u ( ur — n) , et dans le second
ur
gf) • DES RODES HYDRAULIQUES
ou en simplifiant , si , dans le premier système , la force est exprimée par
et dans le second elle le sera par
et enfin, si, dans le premier système , la force est exprimée par l’unité , dans le second elle le sera
par — .
Mais il faut bien faire attention que dans ce cas là , l’espace parcouru par le premier système sera proportionnel à u , tandis que celui parcouru par
le second ne le sera qu’à - y et pour que l’espace
parcouru dans les deux systèmes soit le même , on dépensera dans le nouveau système une force re-
présentée par —j~ , tandis que l’on dépensera une
unité de force dans le premier système , et encore dans cet avantage nous n’avons pas compris en faveur du nouveau système la diminution de la force consommée par lesfrottemens.
Si pour fixer les idées précédentes nous prenons pour exemple particulier le bateau à vapeur United States qui , d’après les données de M. Marestier , avait une vitesse de 3,3 mètres par seconde, pendant que la vitesse du centre d’actiou de la roue hydraulique était de 4, 1 37 , ce qui donne
le rapport des vitesses i,a 536 , et pour— — , la
valeur 0,3927 ; ainsi par la correction dans la grandeur des aubes, on réduirait la dépense de force aux deux cinquièmes de celle que l’on consommait lors de la visite de M. Marestier.
De la comparaison de notre théorie avec F expérience .
Dans l’exemple rapporté précédemment , et qui a donné, par un calcul inexact , une pression pour la proue beaucoup trop faible , on avait la vitesse du centre d’action de la roue hydraulique , 5,3g ; la vitesse du bateau, 4 >t 3 ; la surface du maîtrecouple , 5 , 4 o ; enfin , la surface des aubes des deux roues, 1,224 : valeurs qui, substituées daus la formule
Q = î Sr(r - 1 ),
donnent, pour Q : 5 , 54 * > lorsque S est représentée par l’unité j et cette donnée se rapproche assez des données trouvées directement par Bossut et par la commission de Londres , pour que la différence puisse être attribuée à quelques inexactitudes dans les données.
Nous avons appliqué encore la même formule à quelques exemples rapportés par M. Marestier, et dont nous donnons les résultats dans le tableau (2 e ). La deuxième colonne y exprime le diamètre extérieur des roues ; la cinquième , le nombre des tours de roues par minute j la sixième, la vitesse
g8 DES ROUES HYDRAULIQUES
«lu centre d’action déterminé non parla moyenne entre le rayon inférieur et le rayon extérieur de la roue , mais bien par la considération que , si l’on supposait l’aube étendue jusqu’au centre , le centre d’action se trouverait aux deux tiers du rayon. La huitième colonne donne les rapports de vitesse du centre d’action de la roue hydraulique avec la vitesse du bateau. La onzième colonne donne les valeurs de l’expression a S (r — i)r. Enfin la douzième colonne donne les rapports de ces dernières valeurs avec le produit de la largeur du bateau, par le tirant d’eau. Nous remarquerons que ces valeurs ne sont pas très -identiques , cela doit venir, en grande partie , de ce que les produits de la largeur par le tirant d’eau , ne donnent pas exactement la surface de la portion immergée du maître-couple, et de ce que ces produits sont toujours plus considérables; cela peut encore provenir de la surface des bateaux : car s’ils sont doublés en cuivre, ils doivent présenter moins de résistance. De plus , il y a des maîtres-couples qui sont presque rectangulaires ; ce sont les plus anciens, comme l’indique le défaut de date de la construction dans la dernière colonne , et ce sont aussi ceux qui ont dû donner les valeurs les plus petites; car ce n’est que depuis i8i 3 que l’on a commencé à donner aux bateaux à vapeur la forme Aies vaisseaux ordinaires, et le Sultan çn a été le .premier exemple.
Comparaison de ta force qui anime la roue hydraulique , avec celle de la machine à vapeur.
Quoique nous ne puissions pas encore faire entrer en considération dans notre théorie la force de la machine à vapeur, les données de M. Mareslier nous permettent pourtant de trouver le rapport de la force qui anime la roue hydraulique, avec la force de la machine à vapeur.
Pour trouver la force d’une machine à vapeur, l’on multiplie la surface du piston par la hauteur de la colonne de mercure; ce qui donne, par le moyen d’un volume de mercure , la pression qui affecte le piston de la machine à vapeur. Pour avoir cette pression en mètres cubes d’eau , il faut multiplier le volume précédent par la quantité qui exprime le rapport de la densité du mercure à la densité de l’eau. Et l’on obtiendra la force de la machine à vapeur en multipliant la pression exprimée en mètres cubes d’eau, par la vitesse du piston. C’est en agissant de cette manière que l’on a calculé la dépense de la machine à vapeur. Les forces de la roue hydraulique ont été calculées pat la formule
' S (r — i ) ru>
Quelques-unes de ces forces sont trop faibles , parce que le bateau naviguait dans la mer au lieu
de naviguer dans une rivière ; mais il eût été assez minutieux de faire attention à cette différence.
Les rapports de force varient assez ; il est probable qu’en apportant une plus grande attention dans le relevé des données , on en éviterait une grande partie; et l’on sait que ce relevé n’est pas très-facile, quand on n’est pas maître de la machine, et que l’on a à lutter contre cet esprit de méfiance dont les industriels sont généralement affectés , et dont la destruction ne pourra s’effectuer qu’avec les progrès des lumières. En ôtant , avant de prendre la moyenne , les deux plus grands résultats et les deux plus petits, on trouve, pour le rapport moyen , 2,5oa5. Ce qui nous indique, que communément la .force qui anime la roue hydraulique n’est que les deux cinquièmes de celles de la machine à vapeur. En rapprochant ce résultat de celui trouvé par Sméatou , pour les roues hydrauliques mues par un courant, on voit que la machine à vapeur, pour transmettre le mouvement à la roue hydraulique du bateau , consomme inutilement à peu près la même force qu’un courant, pour mouvoir une roue hydraulique à aubes ordinaires.
En se servant à l’ordinaire de la formule de Parent, la force de la roue hydraulique serait beaucoup plus faible , et elle ne serait guère que le quinzième de la force de la machine à vapeur.
IOI
Du mouvement du bateau à vapeur dans un courant. -
Dans le cas où le bateau à vapeur se trouve dans un courant ayant une vitesse tv dans le sens du mouvement du bateau , si l’on cherche à connaître ,1a vitesse de ce dernier par le jet de Loth , ou n’aura que le nombre de nœuds qui indiqüe la vitesse u — w et non la vitesse u du bateau par rapport à un point fixe du rivage. Cette dernière ne pourra se reconnaître que par la connaissance à priori de la distance qui sépare le lieu du départ et le lieu de l'arrivée , et par la mesure du temps employé à parcourir cette distance.
Endésignant toujours par v la vitesse de la roue, la force de cette roue sera représentée par la quantité
Sr ( u — w) (v — u -+- a>)
Elle n’aura d’autre résistance à surmonter que celle exprimée par la quantité
d’où l’on tirera l’équation
Si , au lieu d’être favorable , le courant était contraire , on aurait
Ces deux équations ne permettent de connaître
toa
l’existence du courant que par la connaissance de la vitesse totale du bateau, désignée ici par u. De la connaissance de Q et S on déduira facilement alors celle de w par l’équation
uQ +Si) + !) V’ aSQ-f-S*
quand le courant sera favorable ; et par celle
— (« Q -f- S v) zh v V a S Q -j- S*
quand le courant sera défavorable.
De la manière de connaître la résistance que présente la proue lorsqu' il y a un courant.
Quand un bateau est destiné sur un fleuve, on ne peut trouver aucune surface liquide telle qu’un lac ou la mer, pour connaître la résistance que présente la proue au mouvement du bateau. L’on est forcé , pour faire l’opération , de se borner à exiger un temps calme et que l’air n’ait aucune agitation. Alors l’on fait parcourir au bateau, en montant et en descendant, le même espace mesuré d’avance, et l’on compte le temps écoulé et le nombre de tours que la roue hydraulique a faits pendant que ces deux courses ont été effectuées , eh observant de suivre aussi identiquement que possible les mêmes sinuosités. L’on ôte ensuite les deux roues hydrauliques, et l’on abandonne le bateau au courant , en lui faisant suivre le même
chemin et les mêmes sinuosités que dans les deux premières courses , et l’on se contente d’observer le temps écoulé. Comme, en montant et en descendant, le bateau me présente pas la même surface au courant, et par conséquent la même résistance, il serait bon de refaire cette dernière opération eu présentant l’avant du bateau au courant, c’est-àdire en le faisant marcher à reculons j et Ton aurait ainsi la valeur de la vitesse du courant pour la descente et la remonte du bateau , et pour déterminer les valeurs de Q et de S au moyen des deux équations ci-desçus.
Des moulins à vent.
Nos lecteurs s’étonneront peut-être de nous voir passer de l’étude des roues verticales à aubes, à l’étude des moulins à vent. Mais s’ils font attention que dans les deux cas le moteur agit par impulsion sur le récepteur , ils se garderont de prononcer avant que nous ayons expliqué notre manière d’agir. En eflèt, quoique dans les roues à aubes qui vont par le moyen de l’eau, l’eau motrice n’agit que sur une partie de la roue, et que dans les moulins à vent , la roue est environnée de toutes parts par le fluide moteur, ces deux espèces de roues et leurs eiïets mécaniques sont régis pourtant par des équations semblables , pour ne pas dire presque identiques , comme nous le prouverons ci-dessous ; et l’on conçoit ainsi ,
comment l’étude des roues mues par le vent peut jeter du jour sur la théorie du cas général des roues à aubes ou des turbines.
Dans les machines mises en action parles eaux , les effets dépendent de la quantité de ces eaux et des hauteurs d’où elles peuvent tomber ; elles ne peuvent suffire dans les pays de plaines à tous les besoins des habitans , parce que les rivières et les ruisseaux y ont peu de pente ; et l’on est obligé d’avoir recours pour y suppléer , à l’action des vents , qui n’étant pas arrêtés par les montagnes , y soufflent plus régulièrement et plus uniformément qu’ailleurs ; c’est ce que l’on remarque en Flandre , en Hollande , et dans tous les pays de plaines , où les campagnes sont couvertes de moulins à vent , et où les moulins à eau ne peuvent être établis qu’à des intervalles très-consi dérables* sans nuire à la navigation et occasioner des débordemens.
Du vent considéré comme force motrice.
Expliquer comment se produit le vent , ou le mouvement de translation plus ou moins rapide que subissent certaines portions de l’atmosphère j développer comment ce mouvement de translation est altéré dans sa direction et dans sa force par les difl’érens accidens de la surface terrestre ; c’est une question qui n’a pas été résolue complètement jusqu’ici , et qui d’ailleurs nous écarterait
• ET DES ROUES A VENT. Io5
trop long-temps de notre sujet , quand même elle ne serait pas au-dessus de nos forces. Qu’il nous suffise de remarquer que ce moteur, tant par les causes qui l’engendrent , que par les résistances qu’il éprouve , est sujet à varier continuellement d’une manière si irrégulière et si considérable , que, quoiqu’au premier abord, il paraisse le moins dispendieux de tous , il est pourtant le dernier auquel on doive avoir recours. Un exemple nous en est offert par les meuniers près Paris qtii ne s’enrichissent pas , à cause des nombreuses interruptions qu’éprouvent ces sortes de moulins.
Le nombre de points où l’on peut faire agir ce moteur , est très-considérable. Il n’en est pas de même de l’eau j mais l’eau , on la rassemble , on en dirige , on en ménage la force et l’on en obtient des effets assez réguliers. L’action du vent, il faut la prendre telle qu’elle est , lorsqu’elle parait, sans pouvoir influer ni sur sa force absolue , ni sur sa direction , et le moteur fait un travail aussi irrégulier que lui-même.
Toutes les opérations mécaniques qui exigent une action constante, une puissance motrice régulière et uniforme ; toutes celles qui demandent la participation et le concours d’une grande main d’œuvre , ne peuvent par conséquent être confiées à ce moteur. Il ne convient qu’à certaines opérations qui ne demandent que le concours de peu de bras , et dont le travail peut augmenter, diminuer, s’interrompre sans inconvénient, comme
Iof> DES RODES HYDRAULIQUES
les moulins à farine, à huile , et les machines à irrigation.
De la force nécessaire à une roue de moulin à 'vent pour sortir de Pétât du repos.
Supposons ( fig . 5) que AC représente l’arbre du moulin à vent , AB la coupe du plan de rotation des ailes par un plan passant par l’axe de ces ailes , et AD la coupe d’une des ailes par ce même plan ; l’angle DAB représentera l’angle que fait l’aile avec le plan de rotation. Supposons que MN désigne la vitesse du vent et sa force j cette force du point N, à cause de la résistance de l’aile, se décomposera en deux autres , l’une NP perpendiculaire à la face de l’aile , et qui tendra à la faire mouvoir , et l’antre MP parallèle à la même face et qui ne contribuera en rien à son mouvement. Mais la force de l’aile , dans le sens du mouvement de rotation , ne sera pas entièrement représentée par NP ; car elle se décompose encore en deux autres , l’une NQ perpendiculaire à AB , et qui ne contribue en rien au mouvement de rotation, et l’autre QP parallèle à AB et qui est la seule qui influe sur ce mouvement. Si nous représentons par Q l’angle DAB , nous aurons Q P = cos. ce sin. œ MN ; et si l’on suppose que la projection AB de l’aile AD sur le plan de rotation soit constante , c’est-àdire , que le volume d’air qui agit sur la roue, soit
toujours le même , l’expression précédente contiendra tout ce qu’il faudra pour déterminer l’inclinaison de l’aile la plus favorable , et l’on verra facilement que cela a lieu quand cos. œ=sin.œ , c’est-à-dire, quand l’angle d’inclinaison est, de 45 degrés.
Mais si , au lieu de supposer la projection de l’aile AD sur le plan de rotation toujours de la même grandeur , on n’avait regardé comme constante que la surface de l’aile , pour avoir l’angle du maximum d’effet, il aurait fallu considérer l’expression
CosAæ siu. «? MN x AD j et traiter par la méthode des mascima et minima la quantité - .
cos. 1 ce s in. ce ,
qui donne pour l’expression de l’angle du inaxi-? muni d’effèt la valeur
on œ = 55° i6'. > . 1
Quoique cette quantité, trouvée par Parent , ne donne le maximum d’impulsion que pour le seul instant où le mouvement va commencer, Bélidor et Pitot l’adoptèrent pour l’inclinaison des ailes lors de l’état du mouvement. Daniel Bernouilli paraît avoir fait le premier cette remarque en 1 738 , et avoir cherché à déterminer les conditions du maximum d’effet en ayant égard dans le cal-
Io8 DES RODES HYDRAULIQUES
cul à la vitesse de l’aile par rapport à celle du vent. Maclaurin reprit la même question en 1742, et considérant un seul élément transversal , il détermina , par une application de la méthode des fluxions , et une construction géométrique aussi simple qu’élégante , la tangente de l’angle sous lequel cet élément doit être frappé par le vent pour en recevoir la plus grande impulsion.
De t inclinaison des ailes lors du mouvement .
Ainsi , pour résoudre le problème , supposons (fig. 6 ) une roue hydraulique horizontale à aubes inclinées et dont l’arbre vertical AB soit parallèle à la direction pm de Beau motrice ; supposons en outre que pm représente la vitesse de l’eau par seconde , et no la vitesse de la roue dans le même temps ; en désignant par ce , l’angle que fait l’aube plane avec le plan horizontal, no-tang.œ expri- ' mera la quantité du chemin que l’aube a fait dans le sens du fluide , pendant que ce fluide a parcouru l’espace pm; ainsi , 1 a force d’impulsion du fluide contre la roue sera proportionnelle à Y — v tang.œ :
Y désignant la vitesse du fluide et v celle de la roue. De plus , cette force d’impulsion sera encore proportionnelle à la surface de l’aube et à la vitesse du fluide ; ou, en désignant, par n, le nombre des aubes, l’impulsion totale sera proportionnelle à
nSV (V — v tang. œ).
ET DES ItOÜES A VENT. IOg
Gomme lh roue possède déjà , dans le sens du mouvement du fluide , une vitesse v tang. ce ; la force acquise par cette roue sera proportionnelle à «SV (V — v tang. œ) v tang. ce , expression qui ne diffère pas beaucoup de celle des roues ordinaires à aubes. En désignant par P le poids soulevé , et par u la vitesse de ce poids , on aura l’équation
Pu = «KS V (V — vtang.œ)v tang.œ,
K étant une constante à déterminer par l’expérience. On a niultiplié la force d’impulsion par v tang. œ et non par v , parce qu’il faut multiplier la pression de chaque élément de la roue , par la vitesse de cet élément dans le sens du mouvement du fluide , et non par celle de cet élément dans le sens du mouvement de rotation de la roue.
Le maximum d’effet aura lieu quand V v
tang. œ égalera v tang. œ ou quand
V * a tang. a?
C’est l’expression qu’Euler ( Mémoires de l Académie de Berlin , année 1 75a), trouve pour la plus grande vitesse que l’aile puisse acquérir à son extrémité. Ce résultat indique que la vitesse de l’aile doit être d’autant plus considérable que cet angle approche davantage de quatre-vingt-dix degrés , limite à laquelle elle ne peut jamais parvenir, puisqu’alors la vitesse de l’aile serait infinie j ce qui est une condition impossible.
Substituant cette valeur dans l’équation ci-dessas, elle devient . ,
P u =: ukS — — .
Ainsi , lors du maximum d’effet , le produit est constant et indépendant de l’inclinaison de l’aile , et contraire au résultat d’Euler, qui le fait proportionnel au cube du cosinus de l’angle d’inclinaison. L’expression
v tang. œ = — ,
qui contient les conditions du maximum d’effet , indique que l’on peut obtenir ce maximum d’effet avec toutes sortes d’inclinaisons , pourvu que la vitesse de l’aube multipliée par la taugente de l’angle d’inclinaison reste constante.
Quand l’aile a une certaine longueur dans le sens perpendiculaire à l’axe de rotation , si l’on remplit la condition pour une certaine partie de sa longueur ou pour un certain élément transversal , les autres élémens transversaux ne seront pas aussi bien disposés et ne donneront pas le maximum d’effet , s’ils n’ont une inclinaison différente de celui pris pour module. Ainsi les tangentes des différentes inclinaisons de chaque élément transversal devront varier et diminuer en raison de leurs distances à l’axe de rotation. Et une inclinaison ayant été fixée pour un élément , toutes les autres en dépendent. Cette conclusion est formellement contraire à celle de Daniel Ber-
nouilli. Et quoique Maclaurin ait rectifié à cet égard l’erreur de ce dernier , et qu’il ait reconnu que l’inclinaison des élémens transversaux de la voile, doit croître depuis l’origine des ailes jusqu’à son extrémité supérieure , pourtant l’expression qui donne la loi de la variation de cette inclinaison n’est pas la même, ni aussi simple que celle ci-dessus.
Accord de la théorie avec les expériences de Srnéaton.
Avant d’aller plus loin , il ne sera pas inutile de voir comment l’équation ci-dessus s’accorde avec les lois que Srnéaton a déduites de ces expériences. Pour les exécuter , cet observateur se servit d’un modèle de moulin à vent dont l’axe était fixé à l’extrémité d’un bras de levier qui était luimême implanté dans un cylindre vertical mobile autour de son axe ; de sorte qu’en imprimant un mouvement de rotation à ce cylindre, le levier horizontal qui le traversait , emportait les ailes du moulin à vent et les poussait contre l’air ambiant avec plus ou moins de vitesse -, cette impulsion les faisait tourner, et leur faisait élever un certain poids ^au moyen d’un cordon qui s’enroulait sur l’arbre de la machine.
Quelques personnes pourraient craindre que cet, appareil qui offre l’avantage de pouvoir être employé avec facilité, ait le défaut, lorsque les
I 1 a DES ROUES HYDRAULIQUES
ailes se meuvent avec une certaine vitesse, d’entraîner une portion de l’air ambiant <jpns le même sens , de diminuer nécessairement l’impulsion qu’elles reçoivent , et d’apporter quelques différences entre les résultats obtenus et ceux que l’on obtiendrait si l’arbre de la machine était fixe , et que les ailes fussent exposées à un courant d’air, comme cela a lieu dans les moulins exécutés en grand. Nous croyons que cette crainte est peu fondée , à cause qu’il n’y a qu’un seul moulin , et que le bras de levier est assez long , pour laisser à l’air le temps de se reposer. D’ailleurs , quand même l’air recevrait un mouvement quelconque , cet air tendrait à s’échapper par la force centrifuge et par la tangente, et serait remplacé par l’air qui se trouverait au-dessus et au-dessous de l’appareil et sur les côtés ; de manière que le mouvement de l’air se ferait dans le sens des rayons, et dans un sens perpendiculaire à l’appareil.
Un autre reproche plus important , serait d’avoir mis son cylindre en mouvement avec la main , ce qui l’empêche d’avoir un mouvement aussi régulier et aussi uniforme que s’il s’était servi d’un contre-poids. Ce serait encore , d’avoir comparé tous ces résultats sans faire attention que ces ailes étant différemment inclinées sur 1% plan de rotation, n’interceptaientpas toujours le même volume d’air , mais vu le peu de différence entre les différentes inclinaisons , ces conséquences n’en ont été que peu altérées.
- Règle première. La vitesse des ailes d’un moulin non chargé ou chargé au maximum d’effet , est proportionnelle à la vitesse du vent , la figure des ailes et leur inclinaison étant les mêmes. Celte règle est évidente , et découle de l’équation précédente , et on peut l’exprimer en disant que , lorsque la roue est chargée au maximum d’effet , la vitesse de la roue reste dans le même rapport avec celle du fluide , quelle que soit cette dernière vitesse.
Règle deuxième. Les effets des mêmes ailes, lorsqu’elles produisent le maximum d’effet, sont un peu moindres que proportionnels au cube de la vitesse du vent.
Cette règle est conforme à notre théorie, puisque d’après ce que nous avons vu précédemment v tang. ce restant dans un rapport constant avec V, on a :
Pu V >
La petite différence ou anomalie que Sméaton a remarquée dans sa règle , ne provient sans doute que de ce que ses ailes n’avaient pas tout-à-fait la forme voulue par la théorie.
Règle [troisième. Le poids correspondant aumaximum d’effet est un peu moindre que proportionnel au carré de la vitesse du vent, la forme et la position des ailes restant les mêmes.
Pour démontrer cette règle , il suffit de supposer la vitesse du poids proportionnelle à la vitesse de
la roue , et par conséquent proportionnelle à la vitesse du fluide, ce qui réduit l’égalité précédente à
qui démontre et généralise la règle de Sméaton , en l’étendant à tons les cas où la vitesse de la roue et la vitesse du fluide restent proportionnelles.
Règle quatrième. La chargé des mêmes ailes correspondant au maximum d’effet est à peu près comme le carré , et leur effet comme le cube du nombre de leurs révolutions dans un temps donné.
Celte règle n’est que la conséquence des trois précédentes.
Règle cinquième. Quand les ailes sont chargées de manière à donner le maximum d’effet sous une vitesse donuée , et que celle du vent vient à augmenter, la charge restant la même, i° l’accroissement d’effet, celui de la vitesse étant supposé faible, sera à peu près comme le carré de cette vitesse; 2 ° quand la vitesse du vent sera double, les effets seront à peu près comme io à 27 , 5 ; 5° quand les vitesses comparées seront plus que doubles de celle sous laquelle le poids donné produit le maximum , les effets croîtront à peu près dans le rapport simple de la vitesse du vent.
Pour expliquer cette règle , prenons la . formule :
Ptz=DV (V — étang, te) v tang. te.
ET DES HOUES A VENT.- Il5
Lors du maximum d’effet nous aurons :
Pii = D •
En supposant u proportionnel à V, de manière que l’on ait uk égale Vj et en faisaut attention que lors du maximum d’effet onar tang. œ égale
—£■ , l’expression ci-dessus du maximum d’effet
prendra la forme :
P=DÀ'e l tang. 2 æ.
Lorsque la vitesse V s’accroît de manière à devenir nV, la première équation prend la forme : P«=nDV (nV-r- rtang. æ) v tang. œ.
Substituant dans cette formule , à la place de P, sa dernière valeur, et, à la place de u, sa va-
leur —proportionnelle au cube de la vitesse du
vent , ou obtiendra :
V*=2 nV («V — v tang. ,
D’où enfin
a n tang. œ
Comme tangente œ multiplie également toutes les valeurs de v, pour voir la manière dont ces valeurs s’accroissent par rapport à celle de V, il est inutile de considérer tangente et l’on peut la supposer égale à l’unité.
Tableau faisant connaître les accroisssemens de la vitesse de la roue par rapport à celle du fluide , le poids à soulever restant constant, et les frotte mens étant supposés nuis.
Rapports.
o,5ooo
i,75oo
Ce tableau n’a pas besoin d’explications ; il nous apprend que, quand l’accroissement de la vitesse du vent n’est pas trop considérable et est au-dessous de 1,5717, la vitesse de la roue croît dans un plus grand rapport que le carré de la vitesse j et que quand l’accroissement de la vitesse du vent est un peu considérable et au-dessus de 1 ,57 1 7, la vitesse de la roue croît dans un moindre rapport que le carré de la vitesse , et s’approche de plus en plus de rester simplement proportionnelle ù la vitesse du vent , à mesure que cette vitesse est plus considérable.
Tableau faisant connaître les accroissetnens de la vitesse du fluide par rapport à la vitesse de la roue , le poids a soulever restant constant , et le frottement étant supposé nul.
