CH. XIX. — AUTRES DÉMONSTRATIONS
trois coorb«s (C), (C), W; et huit sont la perspective de sections ciDgentes aux trois courbes (C), (C, ), W.
515. Les six axes de symptose de trois coniques C, C, C*' inscrites dans W, passent trois à trois par quatre points.
£n effet, trois axes de symptose des coniques G, C% C, prises deux à deux, sont les perspectives des droites d^mtersectîon des plans des courbes (C), (C), (C), et cdnséquemment passent par un même point. Les courbes (C), (C), (C,) donnent lieu à trois axes de symptose passant par un même point; les courbes (C), (C,), (C*) pareillement, ainsi que les courbes (C), (C,), (CJ). Donc, etc.
516. Les six ombilics des trois coniques C, C, C sont trois à trois sur quatre droites.
En effet, ces ombilics sont les perspectives des sommets des six cônes qui passent par les courbes (C), (C), (C), prises deux à deux, et ces sommets sont trois à trois sur quatre droites. Donc, etc.
517. Si dun point I d'an axe éê symptose de deux eoniqttes C, C, inscrites dans W, on mène des tangentes à ces courbes^ les quatre points de comtact sont sur une conique 1 inscrite dans W et dont le pôle de contact est I.
Cette conique est la perspective de la courbe de contact (z) d'un cône circonscrit à la surface du second ordre, et dont le sommet est en un point de la droite d^ntersection des plans des deux courbes (C),(C').
Pour un autre point l' du même axe de symptose de C et Cfy on «Ime autre conique 2'. Les ombilics des deux coniques 2^ if sont âitmés sur l'axe de symptose de Cet C
Car ces ombilics sont les perspectives des sommets des deux c6nes {(£), (2')]; ces sommets sont sur la droite qui joint les sommets des deux cônes circonscrits à la surface suivant les deax courbes (1)^ (2'); et enfin, cette droite est l'intersection des plans des deux courbes (C), (C), et a povr perspective Taxe de symptose de C et C\
518. Si d'un point I d'un axe de symptose L des deux coniques C, C on mène à ces courbes deux tangentes la, la' : 1° par les
368 TRAITÉ DES SECTIONS COMQTJES. — CH. XIX, ETC. lieux points a, a' passe une conique E tangente à (^ et à C en ces points y et inscrite dansW ; 7? les droites menées des points a, a' aux paies d9 contact des deux coniques C, C, respectivementy puuent par le pôle de contact de la conique E.
La conique E est la perspective de la section faite dans la sar£ice par le plan de& tangentes menées aux deux courbes (C), {C ), d'un point de la droite d'intersection des plans des deux coarbes ; ce qui démontre la première partie du théorème.
Lorsque deux sections planes (C), (E) de la surface du second ordre se touchent, elles ont deux points communs infiniment voisins : les plans tangents à la surface en ces points se coupent suivant une droite qui passe par les sommets des cônes circonscrits à la surface suivant les deux courbes. Il s'ensuit qu'en perspective la droite qui joint le point a au pôle de contact de C et de W passe par le pôle de contact de la conique E. De même, la droite qui joint le point a' au pôle de contact de G et de W. Ce qui démontre la seconde partie du théorème.
La droite aa' passe évidemment par un des deux ombilics de CetC.
519. Pour un autre point I| de Taxe de symptoie L de G et C, on a une conique Et tangente à C et à C en deux points âr,, a\ : «Se les deux droites aa^ ai a', passent par le même ombilic de C et C% un axe desymptose des deux coniques E, E| passera par cet om^ bilicy et par le point d'intersection des tangentes de G aux points de contact a, ai, ainsi que par le point d'intersection des tangentes de C aux points a', a'^ .
Cela résulte de ce que les deux Coniques E, E' sont les persp^ tives des sections faites dans la surface par deux plans tangents à à un des deux cônes [(C), (C)].
Cette considération montre que réciproquement : Toute droite D menée par un ombilic de C et Ù est Vaxe de symptosc d'une infi'nité de couples de coniques telles que £ ^r Et ; et l'on conclut de là sans difficulté la construction des trente-deux coniques tangentes aux trois coniques C, C^ Cj à laquelle nous sommes arrivé déjà, par les seuls secours de la Géométrie plane (506).
