CHAPITRE lïï

COROLLAIRES DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. - CONSTRUCTION' D'UNE CONIQUE DÉTERMINÉE PAR CINQ CONDITIONS (POINTS OU TANGENTES).

33. Chacun des théorèmes généraux contenus dans les deux Chapitres précédents donne lieu à divers corollaires et conséquences dont plusieurs doivent trouver place dès ce moment.

§ I. — Propriétés relatives aux points d'une conique.

Corollaire du théorème fondamental. — Deux rayons qui tournent autour de deux points d'une conique en se coupant sur la courbe, forment sur une transversale deux divisions homographiques dont les points doubles sont les deux points d'intersection de la conique par cette droite (12). Si ces points sont imaginaires^ il existq de part et d'autre de la droite un certain point duquel on voit chaque segment compris entre deux points homologues des deux divisions, sous un angle de grandeur constante (G. 5., 171). Donc

Si autour de deux points fixes pris sur une conique on fait tourner deux droites qui se coupent sur la courbe, et quune droite donnée ne rencontre pas la courbe : il existe toujours de partes d* autre de cette droite un certain point d^oii l'on voit sous un angle de grandeur constante le segment variable que les deux droites tournantes interceptent sur cette droite donnée.

CHAP. III. — COROLL. DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 35 Et ce point est toujours le métncy quels que soient les deux points Jixes pris sur la conique.

34. Si la transversale est tangente à la conique, les deux divisions homogra^phiques formées sur cette tangente par les deux droites tournantes auront un point double unique, qui est le point de contact de la tangente. Et si ce point est à Tinfini, auquel cas la conique est une hyperbole, le segment compris entre les deux droites tournantes est de longueur constante (G. «$., 169). On en conclut donc que:

Si autour de deux points d'une lijperbole on fait tour-ner deux droites qui se coupent sur la courbe : le segment que ces droites interceptent sur une asymptote est de grandeur constante,

35. Les droites qui tournent autour de deux points d'une conique, sans cesser de se rencontrer sur la courbe, font respectivement sur deux transversales fixes quelconques, deux divisions homographiques qu'on peut exprimer par l'équation

Im.Vm' =. const. [G. S. y 120).

Si la conique est une hyperbole ; que les deux points fixes soient les deux points de la courbe situés à Tinfini, et que les deux transversales soient les deux asymptotes ; les points I et J' sur ces droites coïncideront avec leur point de rencontre, et les segments I/n, Vm* seront proportionnels aux distances de chaque point de T hyperbole aux deux droites, c'est-à-dire aux asymptotes. Par conséquent alors l'équation exprime que :

Dans une hyperbole, le produit des distances de chaque point de la courbe aux deux asymptotes est constant.

Et réciproquement : Le lieu d'un point dont les distances à deux droites fixes ont un produit constant, est une hyperbole^ dont ces droites sont les asymptotes,

36. Si autour de deux points d*une parabole on fait tourner deux droites qui se coupent sur la courbe^ et que par un point fixe on mène des parallèles à ces droites : ces parallèles intercepteront, sur une droite fixe passant par le point de la parabole situé à F infini, un segment de grandeur constante.

En effet, les deux droites qui tournent autour des deux points fixes de la parabole forment sur la tangente à Tinfini deux divisions bomographiques dont les deux points doubles coïncident avec Je point de contact de cette tangente. Les parallèles à ces deux droites, menées par un même point, forment dès lors deux faisceaux bomographiques dont les deux rayons doubles coïncident avec la droite menée au point à Tinfini. Les deux faisceaux rencontrent donc une droite fixe parallèle à cette droite, en des points qui forment deux divisions bomographiques dont les deux points doubles coïncident à Fitifini. Conséquemment les segments compris entre les points homologues des deux divisions sont égaux entre eux (G. *S., 169). Ce qu*il fallait démontrer.

37. Trisection de r angle, — On demande de diviser Tangle AOB(^g'. 19), ouTarn AB décrit du point O comme centre, en trois parties égales.

Qu'on prenne sur l'arc AB le point m arbitrairement, et le point n/ de manière que l'arc Bm! soit double de A m. L'angle AOm est égal à l'angle TBfn' que fait la corde Brn avec la tangente BT. Les deux droites Om, Bm' forment donc, dans leurs positions successives, deux faisceaux bomographiques, et leur point d'intersection n décrit une conique qui passe par les extrémités A et B de l'arc à diviser. Il est évident qiie le point M où cette conique rencontre encore une fois cet arc résout la question, et que l'arc AM sera le tiers de l'arc AB. Car les deux angles AOM, TBM

CHAP. m. — œROLL. DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 3; sont égaux ^ conséqueniment Tare BiVl est double de l'arc AM, el celui-ci est le tiers de AB.

On reconnaît sans difficulté que la conique, lieu du point n, est une hyperbole équilatère dont les asymptotes sont parallèles auk bissectrices de Tangle des deux droites OÂ, 6T et de son supplément.

On sait que ce problème de la trisection de Taiigle résolu d'abord par les Grecs, l'a été souvent ensuite, de bien des manières différentes. On peut douter qu'aucune solution soit plus simple et surtout plus élémentaire que la précédente, puisqu'elle dérive immédiatement de la propriété fondamentale relative aux points d'une conique, sans exiger la connaissance d'aucune autre propriété.

38. Corollaires du théorème de Pappits. — Quand un quadrilatère ABCD est inscrit dans une conique, on peut supposer qu'un côté AB devienne infiniment petit. Ce côté conserve néanmoins une direction déterminée, qui, à la limite, où il s'annule, est celle de la tangente à la courbe. Le quadrilatère est représenté alors par un triangle ACD (fig. 20) inscrit à la conique, et dont le sommet A compte pour deux sommets consécutifs coïncidents. Deux côtés opposés du quadrilatère deviennent les deux côtés du triangle, AC, AD, adjacents à ce sommet, et les deux autres côtés sont la tangente en ce point et le troisième côté CD.

Il en résulte ce théorème :

Quand un triangle ACD est inscrit à une conique^ le produit des distances de chaque point de la courbe à deux côtés AC, AD et le produit des distances du même point au troisième côté CD et à la tangente au sommet opposé, sont en raison constante.