On peut supposer de plus que ce côté CD devienne
38 TRAITÉ DES SECTIONS COiNIQUES.
infinimeut petit. La directîoD de ce côté est encore la tangente à la conique en son point C (Jtg. 21). Alors les denx côtés AC, AD coïncident \ et le théorème prend cet énoncé : Quand un angle est circonscrit à uneconique, les pro^ duils des distances de chaque point de la courbe aux deux côtés de r angle y et le carré de la distance du même point à la corde qui joint les points de contact de ces deux côtés y sont en raison constante.
40. Reprenons le cas d'un quadrilatère inscrit. Supposons que la conique soit une hyperbole, et que les deux sommets C, D du quadrilatère ABCD (fig. 22) soient fes deux points de la courbe situés à l'infini. Alors on a une corde inscrite AB et deux droites infinies AD, BC parallèles aux asymptotes-, c'est le côté DC qui se trouve à l'infini. Les rayons menés du point A aux différents points m de l'hyperbole forment un faisceau, et les droites menées par ces points parallèlement à BG forment un faisceau homographique, puisqu'elles concourent en un même point de l'hyperbole (le point C, situé à l'infini). L'homographie de ces faisceaux s'exprime par l'équation
sin/^AB ^ (G. 5., 150),
(m, BG) désignant la perpendiculaire abaissée du point m sur la droite BG. Cette équation devient, en remplaçant les sinus par les perpendiculaires menées du point m,
A.{w, BC),
(m, AD) ou
{/w, AB) = X.(/w,AD).(w,BC);
ce qui exprime que ; Le produit des distances de chaque point m d'une hyperbole à deux droites AD, BC parai-'
CHAP. m. — COROLL. DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. Sg lèles aitx asymptotes, et la distance du même point à la corde AB que ces droites interceptent, sont en raison constante.
Remarque, — L'équation ci-dessus est précisément ce que deviendrait l'équation du théorème général (19) si Ton y regardait le facteur (m, CD) devenu infini, comme simplement égal à r uni té.
41. Quand le côté CD du quadrilatère inscrit est tangent à la courbe, et que cette tangente est située à l'infini, la courbe est alors une parabole (fig. aS), Téquation devient, comme dans le cas de Thyperbole,
(m, AB) = >.(/w, AD).(w,BC);
c'est-à-dire que :
Le produit des distances de chaque point d'une parabole, à deux droites parallèles dirigées vers le point de la parabole situé à l'infini, et la distance du même point à la corde interceptée par ces deux parallèles, sont en raison constante.
s ni.
42. Corollaires du théorème de Desargues. — Remarquons d'abord que le théorème donne une construction de la conique déterminée par cinq points.
Soient a, &, c, flf, e ces points. Les quatre premiers sont les sommets d'un quadrilatère qui se trouvera inscrit à la courbe. Que par le cinquième e on mène une droite quelconque, elle rencontrera les deux couples de côtés opposés de ce quadrilatère en deux couples de points et la conique en un point inconnu e'; ces deux couples de points et les deux e, e' forment une involution. Conséquemment le point e' est déterminé. On construit donc ainsi la courbe par points.
4o TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.
43. Si dans le théorème général (20) la transversale est tangente à la conique, le point de contact sera Tun des deux points doubles (G. 5., 205) de Finvolution déterminée par les deux couples de points de rencontre des côtés du quadrilatère par cette tangente.
Cela donne la solution de la question suivante :
Construire la conique qui doit passer par quatre points et être tangente à une droite donnée, '
On regarde les quatre points comme les. sommets d'un quadrilatère dont les couples de côtes opposés rencontrent la droite en deux couples de points; et Ton clierclie les points doubles de Tinvolution déterminée par ces deux couples de points. Chacun de ces points doubles appartient à une conique tangente en ce point à la droite et passant par les quatre points donnés; de sorte que la question admet deux solutions.
Si la droite donnée est à T infini, la question se réduit à contruire une parabole déterminée par quatre points a, h, c, d*
Par un point pris arbitrairement, on mènera des droites parallèles aux couples de côtés opposés du quadrilatère abcd. Ces droites, conjuguées deux à deux, détermineront une involution, dont on cherchera les rayons doubles (G. 5., 244). Le point à Tinfini sur chacun de ces rayons sera un cinquième point d'une parabole qui passera par les quatre points donnés. Ainsi la question admet deux solutions.
44. Ici, de même que dans le théorème de Pappus, on peut supposer que le quadrilatère inscrit dans une conique ait un ou deux de ses côtés infiniment petits et dirigés suivant des tangentes à la courbe. Dans le premier cas, il en résulte ce théorème :
Quand un triangle est inscrit à une conique, si Von mène une transv^ersale qui rencontre la courbe et deux
CHAP. m. — œROLL. DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 4i côtés du triangle en deux couples de points ^ et le troisième côté et la tangente à la conique menée par le sommet opposé en deux autres points : ces six points sont en iwolution,
Remarque. — Cette proposition peut servir pour construire la tangente en un point donné d'une conique dont on connaît quatre autres points. Car a, h^ c, if, e (fig- ^4) étant les cinq points connus, la tangente à la courbe en son point e et la droite ab d'une part, et d'autre part les deux droites ae, (e, rencontrent la corde cd en deux couples de points ^» ?î *î ^> qwî forment une involution avec les deux points c, d. Le. point £, appartenant à la tangente, est le seul inconnu dans cette involution, par conséquent on le détermine comme sixième point de Tinvolution (G. «S., 213).
45. Lorsque deux côtés opposés du quadrilatère inscrit sont infiniment petits, comme ci-dessus (39), le théorème de Desargues prend cet énoncé :
Quand un angle est circonscrit à une conique ^ une transversale quelconque rencontre ses deux côtés et la courbe en deux couples de points^ et la corde de contact des deux côtes en un cinquième point qui est un des deux points doubles de Vin\*olulion déterTninée par les deux couples de points,
46. Si la conique est une hyperbole, et qu'on prenne pour les côtés de l'angle circonscrit les deux asymptotes, la corde de contact est à l'infini. Par conséquent, si Ton mène iine transversale quelconque qui rencontre l'hyperbole et les deux asymptotes en deux couples de points, un des points doubles de l'involution déterminée par ces deux couples de points est à l'infini : ce qui prouve que le second point dou- Me est le milieu de chacun des deux segments formés par <^es deux couples de points (G. S. , 19B) , Ainsi :
Une hyperbole et ses deux asymptotes interceptent sur une transifersale quelconque deux segments qui ont le même point milieu.
On peut dire encore que si une droite quelconque ren^ contre une hyperbole en deux points a^ h et les asymptotes en deux points a', b', les deux segments aa', bb' sont égaux.
Corollaire. — Il suit de là que le point de contact d^une tangente à une hyperbole est le milieu du segment formé sur cette tangente par les deux asymptotes.
47. On conclut du théorème (45) la solution du problème suivant:
Étant donnés deux droites et trois points, construire une conique tangente aux deux droites et passant par les trois points.
Soient ay al ^ al' (fig* a5) les trois points et SE, SE' les deux droites. La droite aa' rencontre ces droites en deux points e, e'. Si Ton prend les points doubles de Tinvolution déterminée par les deux couples de points a, c/ et e^ e', la corde de contact des deux droites SE, SE' avec la conique cherchée passera parl'un de ces points, d'après le théorème (43). On déterminera de même sur la droite aa"^ deux points par l'un desquels passera la même corde de contact. Et chacune des quatre droites menées de ces deux points aux deux premiers, procure une solution de la question •, c'est-à-dire que chacune de ces quatre droites rencontre les deux droites SE, SE' en deux points tels, que la conique menée par ces deux points et par les trois points donnés a, a', a" est tangente aux deux droites. Ainsi le problème est résolu et admet quatre solutions qui s'obtiennent séparément.
Observation. — Il faut, pour que les solutions du problème soient réelles, que les trois points a, a', a" soient
CHAP. m. — COROLL. DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 43 situés ou danfl^-Qo même angle des deux droites SE, SE' ou dans deux angles opposés au sommet ; auquel cas les deux segments tels que clcI et ee! n'empiètent pas Tun sur l'autre, elles deux points qui les divisent harmoniquement seront réels (G. 5., 210).
Maià si deux des trois points étaient situés dans deux angles contigus, les quatre solutions seraient imaginaires, parce que les deux segments cloI et ee! empiéteraient l'un sur Tautre, et les deux points qui les divisent harmoniquement seraient imaginaires.
Cas d'imaginante des deux droites SE, SE'. — La construction précédente s'applique même lorsque les deux droites SE, SE' sont imaginaires, mais déterminées par des éléments réels (G. 5., 98). Alors les deux points e, e^ deviennent imaginaires, mais les éléments dont ils dépendent, résultant de ceux des deux droites, sont toujours réels. De sorte que les quatre solutions le sont aussi, parce que les deux points qui divisent harmoniquement les deux segments aa\ eef sont réels (G. *S., 212).
Nous verrons plus tard comment on modifie la construction quand deux des trois points a, a', a" sont imaginaires,
s IV.
48. Corollaires du théorème de Pascal. — On peut supposer qu'un côté, ou deux, ou même trois de Fhexagone inscrit à une conique deviennent infiniment petits, et coïncident avec des tangentes à la courbe. On a alors des propriétés relatives à un pentagone, ou à un quadrilatère, ou a un triangle inscrit à une conique.
Le premier cas donne lieu à cet énoncé :
Quand^un pentagone abcde (^g. 26) est inscrit dans w/2e conique, les points de section des côtés ab, ae par les deux côtés de, cb respectis^èment, et du cinquième côté cd
par la tangente en a, sont trois points sIÊtiès en ligne
droite.
Remarque. — Il est clair que ce théorème fournit une construction immédiate de la tangente en a, c'est-à-dire en un quelconque des cinq points donnés d'une conique. Problème déjà résolu différemment (11 ).
Dans le second cas, deux côtés opposés de Thexagone deviennent infiniment petits; il en résulte que :
Dans tout quadrilatère abce inscrit à une conique (fig» 27), les tangentes en deux sommets opposés a, c ^e coupent sur la droite qui joint les points de concours des côtés opposés.
Enfin, dans le cas où Thexagone a trois côtés infiniment petits, il s'ensuit que :
Quand un tn'angle est inscrit dans une conique, les tangentes menées par ses sommets rencontrent respectii^e^ ment les côtés opposés en trois points situés en ligne droite.
A9. Conséquences du théorème de Carnot. — Théorème de Newton. — On peut supposer qu'uu sommet du triangle soit à l'infini : alors les segments qui deviennent infinis disparaissent de Téquation, parce que leuM rapports se réduisent à Tunité. Si, par exemple, le point B (/*§'. ^8) est à l'infini, Téquation se ramène à
^'^ Ac.Ac'~Ca.C«'*
En effet, Téquation générale est
A6.A// Bc.Bg^ Ca.Ca' Â77Â? * B a.Brt * CTTCP "" ' '
Le rapport des segments Bc, ha se peut remplacer par
CHAP. III. — COROLL. DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 45 le rapport des sinus des angles que la corde ac fait avec les deux côtés AB, CB du triangle ABC; et quand le point B s'éloigne indéBniment, ce rapport des sinus approche indéfiniment d'être égal à Tunité. Il en est de même du rapport des segments Ba', Bc'. De sorte que, à la limite quand le point B est à l'infini, Téquation générale devient la formule (i) ci-dessus.
Pareillement, si par un point D de la droite Caa* on mène à la droite AC une parallèle qui rencontre la conique en e et e\ on aura la relation
De.Be' Ck,Cb'
Comparant cette équation k la précédente, on en conclut
, Ab.Ab' Da,jya\
'^' Ac.Ac' ""D^.DV
c'est-à-dire que : Si, dans le plan d'une conique on mène par un point quelconque deux droites parallèles à deux (ixesfixeSy le rapport des produits des segments [réels ou imaginaires) que la courbe fait sur ces deux droites à partir de leur point commun, est constant.
Ce théorème a été donné par Newton dans son Énumé^ ration des courbes du troisième ordre (*). C'est une expression générale de divers cas particuliers du rapport des produits de segments faits sur des ordonnées parallèles, qui ont été connus des Anciens.
Corollaires, — Dans Téquation (i), qui se rapporte au cas où le point B est à Tinfini, on peut supposer qu'un des deux points i, b^de la droite AC, ou tous les deux soient à l'infini : ce qui donne lieu aux énoncés suivants :
(*) Sons le titre: De fationr contentai uni suh Parallelarum segmentis.
I. Si par chaque point A (Jig» ag) d'une droite AC, parallèle à une asymptote d^une hyperbole , on mène une transi^ersale dans une direction donnée [c est-à-dire parallèlement à une; droite Jixe) ] c, c' étant les points oii cette transi^ersale rencontre la courbe, et h le point de la courbe situé sur la droite AC \ on a la relation
Ac.Ac'
— — — = const.
Au
IL Si par chaque point Ai (même figure) d^une asymptote d'une hyperbole on mène dans une direction donnée une transs^ersale qui rencontre la courbe en deux points c, c', le rectangle A^c. Aic' reste constant.
III. Le premier de ces théorèmes s'applique à la parabole, c'est-à-dire que :
Quand une droite AC (fig* 3o) ne rencontre une parabole quen un point b [Vautre point étant à V infini)^ si par chaque point A de cette droite on mène, dans une direction donnée, une transs^ersale qui rencontre la courbe enc et c^ : on aura la relation
Ac.Ar'
; — t= const.
SO. Revenons au théorème de Carnot. Quand un côté du triangle est tangent à la conique, on en conclut une solution de ce problème : Faire passer par quatre points une conique tangente à une droite donnée.
Soient a, a' et è, b' (Jig. 3i) les quatre points et AB la droite. Cette droite et les deux aa\ bb' forment le triangle ABC, dans lequel on a, en appelant c le point de contact Je la conique cherchée avec la droite AB, Téquation
ÏT' ' Ca.Ca' ' Kb.kb'"' '' dc
CBAP. m. - COROLL. DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 47 D'où
Ab.Ab' Ca.C a' Cb.C'b ' Ba.Ba''
kc Celte expression du rapport — fait connaître le point de
contact c de la conique demandée. A raison du double signe, on voit que deux coniques satisfont à la question, et que leurs points de contact divisent harmoniquement le siéent AB.
Observation. — Cette solution permet de supposer que les deux couples de points a, a et &, V soient imaginaires ; parce qu'il n'entre dans l'équation que les rectangles Ca.Ca',. . ., qui sont toujours réels (G. 5., 89).
51. Si les trois côtés du triangle sont tangents à la conique en trois points a, J, c, l'équation du théorème devient
Xc B<î C/j»
Bc Câ kb ou
kc.Ba.Cb
Bc.Cfl.A6 —±1.
Le signe + ne peut convenir, parce que l'équation exprimerait que les trois points de contact a, &, c sont en ligne droite (G. *S., 355), ce qui n'est pas possible. C'est donc le signe — qu'il faut prendre -, et il exprime que les trois droites Aa, B&, Ce passent par un même point [Ibid.^ 358). Ainsi :
Dans un triangle circonscrit à une conique, les droites fnenées des sommets aux points de contact des côtés opposes passent par un même point,
52. Quand un sommet d'un triangle est situé sur une eonique, deux des segments qui entrent dans l'équation gé-
uérale (23) sont nuls; mais leur rapport reste connu, et réquatîon alors peut servir h mener la tangente en un point d*une conique dont on connaît quatre autres points. Quelle que soit en effet la position du point C du triangle, on peut remplacer dans Téquation le rapport des segments Co', OU par le rapport des sinus des angles que la corde dV fait avec les deux côtés CA, CB*, et si le point C (fig' 32) s'approchant indéfiniment de la courbe^ coïncide enfin avec un de ces points, cette corde devient la tangente à la courbe. On a dès lors, en appelant a et 6 les angles que cette tangente fait avec ks deux côtés CA', CB du triangle, l'équation
Ac.kc' Ba Cb BC sina
Bc.Bc' Cfl A^ AC sine
sina ' sin 6 '
qui fait connaître le rapport -r-z^ et conséquemment la di-
rection de la tangente.
On pourrait supposer pareillement que chacun des autres sommets du triangle fût situé sur la courbe.
S3. Cercle osculateur, — Le théorème de Garnot fournil encore une solution de celle question :
Construire le cercle osculateur en un poinvd^une conique dont on connaît la tangente en ce point et trois autres points.
Considérons sur la conique trois points consécutifs lufi-^ niment voisins, &, d^ V [fie* ^^) ^^ ^^oh autres points quelconques a, a', c. Le triangle ABC, dont les côtés spnt les cordes, bb'^ c'c et aa\ donne lieu à Téquation
Concevons le cercle qui passe par les trois points 6, c/, i', et soit p le point où il rencontrera la droite AB : on aura la
CHAJP. m. — COROLL. DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 49
relation
• A^^.A^'rr Ar'.Ap, ou
Ac
et; d'après Téquation précédente,
Ba,Ba' Cb.Cb'
Ap = Ac
Ca.Ca' Bc.Bc'
Cette équation a lieu quelle que soit la position des trois points i, c', bi. Si ces points sont infiniment voisins, le cercle que nous considérons est le cercle osculateur à la courbe. Or à la limile où les trois points.se confondent, le point A {fig* 34) coïncide avec d sur la courbe, et la corde hV devient la tangente en ce point; Téquation se réduit donc à
Ap = Ac •
Ca.Ca' BA.Bc
Le point p donnée par cette équation dont le second membre est une quantité connue, suffit pour déterminer le cercle osculateur, car il est langent à la courbe en A. Ainsi le problème est résolu ( * ) .
Si l'on suppose le point C à l'infini, les rapports —y —j
(fig. 35) sont égaux à l'unité, de sorte que
Ba.Ba'
• • . ^p = ^^-bâ:b7-
Si le point B, intersection des deux cordes Ac, aa\ est le
f (*) Cette construction du cercle osculateur s'applique aux courbes géomé- ^''iques de tous les ordres. Nous Tavons donnée dans le t. XIIF du Bulletin ^i Sciences mathématiques du baron de Férussac, p. Sgi; année i83o.
So TRAÏTÉ DES SECTIONS CONIQUES,
milieu (le chacuix; d'elles,
Soit R le «rayon du cerclei AD son diamètre perpeûdiculaire à la tangente à la conique en A : on a
• . Ap=2RcospAD;
donc
R ces p AD = -—— 9 ou R = -=-- ; •^ BA Bp
6/7 étant la perpendiculaire abaissée du poih^B sur la tangente en A. Expression connue (*). .
54. Le théorème de Camot se transforme en un autre qui, au fond, est le même sous un énoncé diff^jrent, mais se prête à quelques corollaires particuliers. Voici ce nouvel énoncé :
Si par deux points fixes A, B (fig* 36) on mène deux droites quelconques qui concourent en un point C, et ren^ contrent une conique^ en deux couples de points a, a' et b, y [réels ou imaginaires) : on a la relation constante
Ka.ka' Bb.Bb'
EiTcctivement, d'après-le théorème (23), le second membre
de cette équation est égal à la quantité constante * j
■ Bc . Bc
cet d étant les points où la droite AB rencontre la conique.*
55. Chacun des points fixeife A, B peut être à Tinfini. Alors V équation (i) subsiste comme si les segments infinis
(*) Cette expression^ donnée par M. Ch. Dupin dans les Développements de Géométrie, in-4®, i8i3, p. ag, a été très-utile dans la Théorie de la eour^ bure des surfaces, principal objet de ce grand ouvrage.
CHAP. m. — œaoLL. des théorèmes généraux. 5i
devenaient égaux à Vunité ; c'est-à-dire que si le point B, par exemple, est à l'infini, Téquation sera
, , Aa.Aa' i
En effet, Téquation (i) exprime que si par les deux points A, B on mène deux droites 5e coupant en un point quelconque Cl et rencontrant la conique en deux couples de points a, û/ et 6, &j on aura la relation
Ca .Ce' ' C^ .CA' "" C.a.C.a' ' C.SX.S''*
Quand le point B s'éloigne à Tinfini, les rapports ■—;> — y,
Bo B o
deviennent égaux à Tunité, comme on Ta prouvé au sujet du théorème de Newton (49). Il en résulte dès lors la démonstration de l'équation (a).
§VI. — Propriétés relatii^es aux tangentes d'une conique..
56. Corollaires du théorème fondamental. — Puisque toutes les tangentes à une conique rencontrent deux tangentes fixes L, L', en des couples de points a, a' qui forment deux divisions homographiques, il existe sur ces deux tangentes deux points fixes I, J' tels, que Ton a la.yd= constante (G. 5., 120).
Si les deux tangentes L, \J sont les asymptotes d'une hy-^ perbole, les deux points I et J' coïncident avec le point d'intersection de ces deux droites. Donc :
Le rectangle des segments faits paj: chaque tangente à une hyperbole sur les deux asymptotes, à partir du point de rencontre de ces droites, est constant,
57. Si la conique est une parabole, elle a une tangente, située à l'infini; les deux divisions homographiques for-
52 TÏ^AITÉ DES SECTIONS CONIQUES,
mées sur deux tangentes fixes ont donc deux points homologues à Innfini ; et par conséquent sont deux divjsions semblables (G.S.AIS). Donc:
Toutes les tangentes à une parabole divisent deux tangentes fixes en parties proportionnelles.
Et réciproquement : Quand deux droites sont dii^isées en parties proportionnelles, les droites qui joignent deux à deux les points homologues em^eloppent une parabole tangente aux deux droites.
Corollaire. — On conclut de là que : Si de chaque point d'une droite on abaisse sur deux autres droites des perpendiculaires, la droite qui joint les pieds de ces perpendiculaires eni^eloppe une parabole tangente à ces deux droites.
58. Quand les tangentes à une conique rencontrent deux tangentes fixes L, U en des points a, i, . . . et a\ i', . . . les droites menées d'un point fixe O aux points a', ft',... correspondent anharmoniquement aux points a, i, . , . , c'est- 'à-dire que quatre rayons Oa', Ob',. . . ont leur rapport anharmônique égal à celui des quatre points a^ b^,.,. Si la conique est une parabole et que V soit la tangente située à l'infini, les rayons Oa!^ Oi', . . . sont parallèles aux tangentes aa\ bb'^ ... ; le rapport anharmônique de quatre rayons est doncégal à la fonction semblable des sinus des angles que les quatre tangentes font entre elles. Nous n'appellerons pas cette fonction rapport^, anharmônique des quatre tangentes, puisque ces droites ne passent pas par un même point : nous l'appellerons yb/2c*zo/2 anharmônique des sinjis des angles de ces droites. Alors on a cette propriété importante de la parabole :
Les points dans lesquels quatre tangentes à une parabole rencontrent une cinquième tangente^ ont leur rapport anharmônique égala la fonction anhaimonique des sinus des angles de ces quatre tangentes.
CHAP. ni. — COROLL. DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 53 Et réciproquement s Si par quatre points en ligne droite on mène quatre droites (dont trois arbitrairement)^ telles , (jue la fonction anharmoniqiie des sinus des angles (jumelles Jbnt entre elles, soit égale au rapport ajiharmonique des quatre points : ces quatre droites et celle sur la quelle sont pns les quatre pàints, sont cinq tangentes à une parabole.
59. Ce théorème aura d'assez nombreuses applications; pour le moment nous citerons, comme conséquences immédiates, les deux prépositions suivantes, dont la seconde est connue.
Si Ton fait tourner toutes les tangentes à une parabole, autour de leurs points de rencontre avec une tangente fixe, ddns un même sens de rotation et d'un même angle: toutes ces droites dans leurs nouvelles positions envelopperont encore une parabole tangente à la droite Jîxe,
60. Quand un angle de grandeur constante se meut de manière quun de ses côtés tourne autour d'un point fixe et que son sommet glisse sur une droite, son second côté enve^ loppe une parabole tangente à la droite.
Car la fonction anharmonique de quatre positions du second côté est égale au rapport anharmonique des quatre positions du premier côté, parce que les angles sont les mêmes de part et d'îiulre; et ce rapport anharmonique. est égal à celui des quatre sommets de Kangle mobile. Donc, etc.
61 . Quand deux triangles sont inscrits dans une coni' que, les six côtés sont tangents à une conique
Soient abc^ def [Jig* 37) les deux triangles. Les deux faisceaux de quatre droites a (i, c, e, f) et d[b^ c, e, f) ont le même rapport anharmonique (4). Conséquemment les deux séries de quatre points dans lesquels ces deux fais-
ceaux rencontrent, respectivement, les deux côtés ef^ bc^
ont le même rapport anharmonique. Ainsi
Donc les quatre droites J6, cy, ee, /(p et les deux Je, e/* sont tangentes à une même conique (9). c. q. f. d.
On démontrera d'une manière analogue que réciproquement, quand deux triangles sont circonscrits à une conique, leurs six sommets sont' sur une autre conique (*). •
62. On conclut de Tun ou de l'autre de ces deux théorèmes que :
Quand un triangle abc est inscrit à une conique C' et circonscrit à une conique. C\ on peut construire uneinfinite d^ autres triangles inscrits à Cet circonscrits è C.
En effet, que par un point a' de C on mène à C deux tangentes : elles intercepteront dans C une corde i'c, formant avec ces droites le triangle olV d inscrit à C. Les deux triangles ahc et dV doux, leurs six côtés tangents à une même conique (61 ) . Mais cette conique ne peut être que C, tangente aux trois côtés du premier triangle et à deux côtés du second. Donc le troisième côté U d du second est tangent à C. Donc, etc.
63. Quand un triangle ABC {fig- 38) est inscrit dans une conique, si autour d^un point O de la courbe on fait tourner une droite qui rencontre les côtés du triangle en trois points a ^ b, c et la courbe en un quatrième point e, le rapport anharmonique de'ces quatre points reste constant.
C'est-à-dire que pour une autre droite Oe' on aura
{*) Ces deux théorèmes, qui se présentent ici comme conséquences directes des deux propriétés fondamentales des coniques, se peuvent conclure aussi des propriétés de l'hexagone inscrit ou circonscrit. Voir MObius, Der hatyrcfintrische calcul, tf<c., art. 283.
CHAP. ni. — œROLL. DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 55 En effet, cp'on mène la corde ed : les deux triangles ABC, Oee^ sont inscrits dans la conique; leurs six côtés sont donc tangents à une autre conique (61 ). Et, par conséquent, lés deux systèmes de quatre points a, i, c, e et a', i', c', e! dans lescpiels les quatre côtés CB, AC, BA et et! rencontrent les deux côtés Oe, Oe?', ont le même rapport anharmonique. Ce qu'il fallait démontrer.
Corollaire. — Le rapport 'anharmonique des quatre droites CA, CB, Ct/, Ce' est constant quelle que soit la droite Oe', le point O restant fixe; car ce rapport est égal à celui des quatre points a', V^ d ^ d. Si Ton suppose que la droite Od passe par le point C, auquel cas la corde Ce' deviendra tangente à la conique, on aura une solution de ce problème :
Mener la tangente en un point C d'une conique, dont on connaît quatre autres points A, B, O, e [Jig- 38).
On mènera par le point C la droite CT, de manière que le rapport anharmonique des quatre droites CA, CB, CO, CTsoît égal à celui des quatre points a, è, c, e : Ce qui se réduit à prendre sur O e le point T tel , que
La droite CT sera la tangente en C.
64, Corollaires du théorème corrélatif de celui' de Pappus. -^ Soit (fig» 39) un quadrilatère ABCD circonscrit à une conique : un côté, CD par exemple, peut s'incliner sur le côté DA, de plus en plus jusqu'à ce que le sommet D qui s'approche continûment du point <ie contact du côté DA, vienne coïncider avec ce point. Alors les deux côtés consécutifs CD, DA du quadrilatère se confondent en direction, et le sommet D est le point de contact ^e ce côté double avec la courbe. Le théorème reçoit cet énoncé : .
Quand un triangle est circonscrit à une conique, le pro-^
dmt des distances de chaque tangente à deux sommets du triangle y et le produit des distances de la même tangente au troisième sommet et au point de contact du côté opposé, sont en raison constante,
65. Les deux côtés DC, BC d'un quadrilatère circonscrit ABCD {Jig' 4o) peuvent s'incliner l'un et l'autre sur les côtés liA, BA, respectivenientj et le sommet C s'approcher du sommet A. A la limite, où il y a coïncidence, le quadrilatère devient un angle DAB circonscrit à la conique. Les points de contact D, B des deux côt^s de cet angle représentent deux sommets opposés du quadrilatère primitif, dont les deux autres sommets* sont confondus en A. Le théorème prend alors cet énoncé :
Quand un angle DAB est circonscrit à une conique', le produit des distances de chaque tangente aux deux points de contact D, B des côtés de V angle, et le cane de la distance de la même tangente au sommet A, sont en raison constante.
Observ^ation . — • La corde de contact BD des côtés de Tangle représente une diagonale du quadrilatère primitif: l'autre diagonale est nulle, se réduisant au point A. Nous pouvons dire aussi qu'elle est infiniment petite. Cette considération nous permettra dans la suite d'appliquer à ce simple point A, sommet de Fangle circonscrit, certaines propriétés appartenant aux diagonales d'un quadrilatère circonscrit.
s VIII.
66. Corollaires du théorème corrélatif de celui de Desar^ gués, — Le théorème (27) donne une nouvelle construction de la conique tangente à cinq droites.
Quatre de ces droites forment un quadrilatère. Que d'un point de la cinquième droite D on mène des rayon»
CHAP. m. — COROLL DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. 5^ aux deux couples de sommets opposés du quadrilatère. Ces rayons, conjugués deux à deux, déterminent une involution ^ elle rayon conjugué à la droite D dans Tinvolution est tangent à la conique cherchée. On construira ainsi toutes les taDc;entes à la courbe.
67. Si 5 dans le théorème général, on suppose que le point par lequel on mène deux tangentes à la conique et des droites aux sommets d'un quadrilatère circonscrit, soit pris sur la courbe même, les deux tangentes coïncident et forment un rayon double de l'involution déterminée par les deux'couples de droites. De là résidle une solution du pro- Mème suivant :
Décrire une conique tangente -à quatre droites et passant par un point donné.
Les quatre droites forment un quadrilatère circonscrit à la conique cherchée. Du point donné on mène deux couples de droites aux sommets opposés de ce quadrilatère, et l'on construit les rayons doubles de Tinvolution déterminée par ces deux couples de droites (G. aS., 210) : chacun de ces deux rayons est la tangente a une conique satisfaisant à la question.
68. Si, comme précédemment (64)-, un triangle circonscrit à une conique représente un quadrilatère dont deux côtés se confondent, l'énoncé général (27) devient :
Quand un Inangle est circonsciit à une conique, si d'un point pris arbitrairement on mène deux tangentes û la courbe et deux autres couples de droites dont les , premières aboutissent à deux sommets du triangle et les deux autres au troisième sommet et au point de contact du côté opposé y ces trois couples de droites sont en im^oliition.
