La distance d'un point à une droite s'exprime, en
( *) Livre VIII, proposition XX III. C'est de ce théorème de De La Hire, que M. Poncelet, par une marche différente de celle que nous venons de suivre, a conclu que le foyer commun de deux coniques est un centre d'homologie des deux courbes; et dès lors, qu'un cercle décrit autour d'un foyer, comme centre, a ce point pour centre d'homologie avec la conique. Résultat qui. à cette époque, offrait un prand intérêt, par ses nombreuses conséquences. {Traite des Propiiclvs projrcliveSy p. afio cl suiv.}
CHAP. X. — FOYERS DES SECTIONS CONIQUES. i83 Géométrie analytique^ par une fonction rationnelle du premier degré des coordonnées de ce point. De sorte qu'on peut (lireqae : La distance de chaque point d'une conique à l'un des foyers s'exprime par une fonction rationnelle du premier degré des coordonnées de ce point.
Les foyers sont les seuls points qui jouissent de cette propriété. En effet, si la distance Sfn de chaque point m d'une conique à un point fixe S s'exprime par une fonction ralionDelIc ax-f-Sy-f-y des coordonnées de m, cette distance se trouve proportionnelle à la distance mp du même point m à une droite fixe, qui a pour équation ax -f- 6j^ -h y = o . On a donc
— = const .
mp
Prenons sur le rayon S m le point m' tel, que
mp 'c poiut m' sera sur une conique (270). Mais on a
— = const. : donc S/7i'=: const.:
mp
donc cette conique est un cercle. Par conséquen t deux droi tes conjuguées de la conique proposée, menées par le point S, sont rectangulaires. Donc ce point est un foyer (276).
279. Pour les extrémités d'un diamètre mm' [Jig» 1 13), ou voit immédiatement que
mp 4- m'p' = 2 OD .
Par suite,
F//t -I- Y m' = const.
Dans rhypcrbnlc, on a
m' p' — mp = 2OD.
Donc
V m' — ïm :rr. const.
Ces formules se traduisent pai- ces énonces :
i84 TRAITÉ DES SKCTIONS CONIQUES.
Dans l^ ellipse y la somme des rajons ^vecteurs menés d'un foyer aux extrémiiés d^un diamètre est constante.
Et dans r hyperbole, la différence des rayons "vecteurs menés d 'un foyer aux extrémités d *un diamètre est constante.
Il est clair que la somme ou la différence des deux rayoDs vecteurs est égale au grand axe de la courbe.
280. Si Ton considère les deux foyers F, F', le rayon vecteur mené du foyer F' au point m est égal et parallèle au rayon vecteur mené du premier foyer F au point m\ On peut donc dire que Fm di F/w' = const. Donc :
La somme des rayons ^vecteurs menés des deux foyers d'une ellipse à un même point de la courbe, et la différence, dans l 'hyperbole, sont des quantités constantes,
281 . On conclut de là que : Les rayons vecteurs menés des deux foyers à un point de l'ellipse ou de l'hyperbole
font des angles égaux ai^ec la tangente en ce point, et par conséquent aussi av^ec la normale.
En effet, considérons un point n infiniment voisin du point m (fig' "14)9 et abaissons les perpendiculaires nq^ nq' sur les rayons F'w, F/n. Dans le triangle rectaingle mnq.^
mq = mn . ces nmq.
Pareillement,
mq' =. mn . ces nmq' .
Or mq est la différence des deux rayons F^m^F'n^ et mq' la différence des deux rayons F/i, Fm; de plus, ces deux différences sont égales, puisqu'on a
Fm±F'm = F/?=t:F'/î; d'où
F'm — F'/î =:±(F/7 — Y m). Donc cos^m^ ^rcos/i/w^'.
CHAP. X: — FOYERS DES SECTIONS CONIQUES. i85 Donc les angles nniq^ nmq'j ou t! mV et iniY sont égaux. Oonc, etc.
282. Dans laparabole (/îg. ii5), Fw = /np, Fnz=n/}' (277) ; donc
Tm — F/? = mp — /i//, ou.
/wy' = mp .
I^ar conséquent
co^ nmq =? cos nmq\
Oouc : Dans la parabole, la tangente fait des angles ^S^^^x ai^ec le rayon vecteur mené au point de contact et ^t^Gc une parallèle à l'axe.
283. Dans Vellipse, et dans Vkyperbole, la tangente ^* i€M. normale en un point forment un faisceau harmo- ^^^^ue at^ec les deux rajons vecteurs menés à ce point,
Gela est évident, puisque la tangente et la normale sont '^s bissectrices des angles formés par les deux rayons vec- ^^virs (281).
H suit de là que : Les points ou la tangente et la nor- ^^^^i-Ie rencontrent le grand axe, sont conjugués harmo- ^^^^ides par rapport aux deux fojers.
Et jpar conséquent : Sien trois points d'une conique on
^^^^r^e les tangentes et les normales à la courbe, ces six
^^y^ites rencontreront le grand axe en six points qui seront
^^* ini^olution. Les points doubles de Vini^olution sont les
^^u^ foyers .
^84. Dans la parabole, la tangente et la normale en ^n point sont conjuguées harmoniques par rapport au ^^yon vecteur et à la parallèle menée à l'axe par ce \oint (282).
Il s'ensuit que : La tangente et la normale rencontrent l'axe de la courbe en deux points situés de part et d'autre, et à égale, distance du foyer.
i86 TRAITÉ DES SECTIONS CONIQUES.
285. Soit une conique, ellipse ou hyperbole, dont les foyers sont F, F' (^fig> ii6). Prolongeons le rayon Pi» d^une qiuntitë mG = mF, on aura
F'G = AA' = const. (279).
Le point G est donc sur une circonférence de cercle décrite du point P comme centre.
La droite FG est perpendiculaire à la tangente en m, puisque cette Ungente est la bissectrice de Fangle FmG (â8l ). Le point u de la tangente est le milieu de FG. Par conséquent la droite Ou est parallèle à F'G et ^ale à
-F'G = OA. Donc:
Les pieds des perpendiculaires ahiussêes d^un foyer sur les tan genres d^une conique, sont sur le cercle dont le grand axe de la courbe est le diamètre.
CoaoLLiiKE 1. — On conclut de là immédiatement que : Les pieds des obliques abaissées d^un foyer sur les tangentes, sous un même angle et dans un même sens de ix^tauon . sont aussi sur un cencfc.
Car soit T%' une oblique; si Tangle uFv est constant, le rapport de ¥%* k F» est aussi constant. Par coitséqoent, si Ton pn^nd sur la perpendiculaire Tu une ligne F^'i ^ale à 1 oblique Fr. le jvoint i\ sera sur un cercle. Mais on peut concevoir que co cercle tourne autour du point F, d'un anfi^lo égal k uVv : le point %\ viendra en r. Les points i', pieds dos obliques, sont donc sur iin cercle,
CoROiXàiKit II. — Lc$ perpendicttlaires abaissées d'un foyer sur deu\ tangentes parallèles^ coïncident en direction cl ont leui^ pieds m. «' snr le mémo cercle; conséquemmont on a
F « . F « r^ consi .
Ainsi :
IjT prOi4n:f ,À .N iî#N*w /.. > éi (,n foyer à deux langent es
