VOIR LE LIVRE II, CHAPITRE I«^, § IV

Soit G un groupe quelconque : on pourra déterminer une suite de groupes G, H, I, K, i

tels, que chacun d'eux soit contenu dans le précèdent, et permutable aux substitutions de G,

mais ne soit contenu dans aucun autre groupe plus général jouissant de cette double propriété.

N N N Soient N, -7 — ? — 7 • • • 1 1 les ordres respectifs de ces groupes.

P P^l Pl^ or

La suite G, H, 1, K, . . . , 1 pourra parfois se déterminer de plusieurs manières : mais de qHelque manière que l*on opère, les facteurs /^, q, r, . . . resteront les mêmes, à tordre près.

Soient en effet G, H, 1 , K, . . . , i et G, H', T, K', . • • > 1 deux manières différentes de déterminer cette suite; /?, 7, r, . . . et p\ q\ r\. . . les facteurs correspondants : nous allons montrer qu'il existe une troisième décomposition G, H', di ^,* • •> if où le groupe G soit suivi du groupe H',

et où les facteurs soient à Tordre près égaux à /^, ^, /*,

Le groupe H' est contenu dans G, par hypothèse, sans l'être dans H. D'autre part, en descendant la série des groupes G, H, I^ K,. . ., 1, on arrivera nécessairement à un groupe K qui soit contenu dans H'. Désignons comme au n" 55 les diverses substitutions de K par le symbole /«; celles de I par le symbole /^X*.; celles de H par h^i^k^\ celles de G par ^^h^i,^k^, les indices a,

N à, 7, (î ayant respectivement — , r, <y, p valeurs distinctes.

Dans les substitutions de H', les indices ^, 7 prendront tous les systèmes de valeurs possibles; sans quoi le groupe (H', 1) serait plus général que H', moins général que G et permutable à ses substitutions, résultat contraire à l'hypothèse. D'autre part, à chaque système de valeurs de ^, 7 correspondra un seul système de valeurs de ^ : car si H' contenait deux substitutions telles que S = gih^i^k^ et T — g^à^ipfk^t, il contiendrait ST~', qui appartient à I sans appartenir à K. Le groupe formé par les substitutions communes à H' et à I, lequel est évidemment permutable aux substitutions de G, serait donc plus général que R et moins général que I, résultat inadmissible.

EnGn, H' contenant K , l'indice a y prendra toutes les valeurs possibles pour chaque système

N de valeurs des autres indices. L'ordre de H' sera donc égal au produit — des nombres de valeurs

des indices $, 7, a; et l'ordre du groupe d formé par les substitutions communes à H' et à H,

N lesquelles correspondent à la valeur <? = 0, sera égal à —

Cela posé, il est clair que chacun des groupes G, H', e'j, K,. . ., i est contenu dans le précédent,

et permutable aux substitutions de G. Chacun d eux est en outre aussi général que possible parmi cpux qui jouissent de cette propriété; car s'il existait, par exemple, un groupe 9C, plus général que K, qui fût contenu dans d et permutable aux substitutions de G, le groupe (DC, I) serait plus

général que I, contenu dans H, et permutable aux substitutions de G, contrairement à Fhypothèse. EnOn les facteurs /',/', 9, • *. qui correspondent à cette suite sont égaux à Tordre près kp, q, r,., ., ce qu'il fallait démontrer.

On pourra de même, sans altérer autre chose que Tordre des facteurs /^, y, r,. . ., passer de la suite G, H\ 5, K,. . ., i à une nouvelle suite G, H', I', DC,. . ., i,. . ., et enfin à la suite G, H',

Jl , KV I . . . , la

Chacun des facteurs yt?, q, r,, ., est une puissance exacte de l'un des facteurs de composition

de G (59).