Troisième cas. — L indécomposable de seconde catégorie

Soient 2v' le nombre des séries de L, 11! le nombre d'indices de chacune d'elles. On obtiendra comme au n^ 822 la relation

laquelle n'est possible, p^ étant impair et jui', v' des puissances de 2, qu'en posant/?^ = 3*, 3*, 3, 5^, 5 ou 7. Nous allons examiner successivement ces cas d'exception.

844. Soit d'abord ^"^ = 3*. On raisonnera comme au u® 823. Ici Tordre de 6 est divisible par 4i. Donc K, contiendra une substitution S d'ordre 4»-

Ramenons-la à la forme canonique. SoitX, Tun des indices qu'elle altère. Elle le multiplie par un facteur m, racine primitive de la congruence m**^i (mod.3), lequel dépendra d'une congruence irréductible de degré 3o; car 3o est la moindre valeur de^ telle que l'on ait 2^— 1^0 (mod. 40- Cela posé, K résulte de la combinaison de S avec des substitutions d'ordre 2, qui lui sont échangeables, et qui, par suite, n'altéreront ni X, ni ses conjugués. On en conclut, comme au n^ 823, que T^j^re de G ne peut dépasser 4ifJ!.^.2~^*\ ce qui est absurde, car il est égal à

845. Si />^= 5^, on trouverait de même que l'ordre de G ne peut dépasser i3|jL^.2~**, résultai absurde.

846. Soit p^' =• V. Raisonnant encore comme au n® 823, on voit que les doubles suites A,, B<,...; A',, B'^, ...;..., qui servent à former G, sont contenues dans ^. La double suite simple ou complexe <A>,, ift>i,..., dont ce dernier groupe est dérivé, peut donc être considérée comme formée des substitutions A4, Bf,...; A'^, B'^, ...;... jointes à deux autres couples J^i, afl>i et

La substitution g est échangeable à A,, B^,...; A\, B'^,.. .;.... Donc sa corrélative 7 sera échangeable aux substitutions

respectivement correspondantes à ces substitutions; donc cette corrélative laisse invariables x^y Ja,... et remplace les indices a?,, y,, a?2, y^ par des fonctions de ces mêmes indices. D'ailleurs g est d'ordre 10 et ^* = 6 est la première de ses puissances qui appartienne à ff; donc 7 est d'ordre 5. Remplaçons x^, ji, x^, y^ par de nouveaux indices X, Y, Z, U, qui ramènent 7 à sa forme canonique; on aura

ui iiJC ixdiitriiiuut; , yjii dut a

I X, Y, Z, U, Xi,. . , mX, m' Y, m*Z, m*U, j^a,. . . |,

m étant une racine primitive de la congruence m'^i (mod.2), laquelle dépend d'une congruence irréductible de degré 4*

Cela posé, soit $ la substitution qui remplace chaque indice de la r-hi'^'"* série de L par son conjugué de la série suivante, multiplié par la puissance p^ d'un facteur constant e, choisi de telle sorte que 9 soit abélienne propre.

Cette substitution sera échangeable à A|, B|,...; A\, B\, ...;..., aux puissances près de S, et transformera g en g^. Cette substitution appartient évidemment à L (elle a pour corrélative l'unité dans chacun des groupes auxiliaires qui servent à construire L); étant abélienne propre, elle appartiendra à J, et a fortiori à ^; et sa corrélative II transformera y en y\ On aura donc n =R'S, R étant la substitution qui permute circulairement les indices X, Y, Z, U, et S une substitution abélienne qui les multiplie par des facteurs constants.

Cela posé, les si||||^titution8 dont R est la corrélative multiplient les exposants d'échange par des non résidus quadratiques de 3 (678-684) et celles » dont S est la corrélative les multiplient par des résidus (676-677). Donc la substitution 9 les multiplierait par un non résidu, ce qui est absurde, car elle est abélienne propre.

847. Soit />"'= 7. Le premier faisceau de L est formé des puissances d'une substitution g d'ordre 8. Soient A,, B,,...; A'^, B',,. ..;... les doubles suites qui, jointes à g, forment son second faisceau G. Posons C, =^^^'A<,

D, =^^^«Bo...; C,=g-'^''A\, D'j=g-^^''B'j, ...;.... On voit, comme au n*^ 703, que les exposants pt, 9,,...; p\, q\, ...;.,. pourront être choisis de telle sorte, que les substitutions de L soient toutes permutables aux faisceaux (Ci, D|,...), (C, , D'j, ...),.... Soit en outre $ la substitution qui remplace les indices de la r-f- 1'^'"* série par ceux de la suivante, multipliés par la puissance p^ de la racine e de la congruence e*^— i (mod.7). La substitution ^ = $Cf Df*. . . C,''» D'/'. . . , qui transforme g en g\ sera échangeable à C,, D,,...; Cj, D'j,...;...; de plus elle est abélienne propre; donc elle appartient à L, et par suite k J.

Le faisceau ($', g^, C,, D<,..., C, , D', ,...) a son ordre égal à 8|x'*, et ses substitutions sont échangeables entre elles aux puissances près de la substitution 9 qui multiplie tous les indices par — i. Et si Ton raisonne comme aux n*"" 824-841 (en changeant g, A\ s en g^, $', g), on verra que ce faisceau se confond avec ç, et que si dc^o (mod. 2), on aboutira à une absurdite en supposant que ^contienne J.

Soit au contraire dc^i. Le groupe J renfermant, par définition, une substitution qui multiplie les exposants d'échange par un non résidu de 7, ne peut être contenu dans 4^, qui n'en renferme point.

848. Si p^ = 3, on appliquera encore les raisonnements des n'^'* 824-841 , en remplaçant sC par <£'.

849. Soit enRnp^ = 5. On établira, comme au n** 823, que ç est formé des doubles suites A|, B^. ..;... jointes à un dernier couple .v, ifi>.

Cela posé, L, et par suite J, contient la substitution 9 qui remplace chaque

indice de la r-f- 1'*'"* série par son conjugué, multiplié par e^^, e étant une racine de la congruence «•^— i (mod.5). Cette substitution *, appartenant à ^et étant échangeable à A|, B, ,...;... transformera «i., itb en substitutions de la forme 6'o^i,*iJî)P, ô'^^ife*, 5, t, oc, j3, y, 5 étant des entiers égaux à o ou à I et satisfaisant à la relation aJ — /3y^i (mod. îi). D'ailleurs $^, se réduisant à 6, est échangeable à .a. et à if^. Il faut pour cela qu'on ail (x = à.

Supposons que Ton n'ait pas à la fois a = c?=i,j3=y = o. Les indices indépendants étant supposés choisis de manière à ramener »A>, y^h; A,, Bf,...;... à leur forme type, il sera facile de déterminer les substitutions échangeables à A<, B, ,...;... qui transforment .A>, afc en 6^i,*'\)l>^ ô^aJui,'^ (elles sont le produit d'une seule d'entre elles, que nous savons construire, par les substitutions qui multiplient tous les indices par un même facteur); et l'on voit qu'elles multiplient toutes les exposants d'échange par des non résidus de 5 : donc aucune d'elles n'est abélienne propre, comme 9 devrait l'être.

Soit enfin oc = &=i, |3 = y=o : 9 sera dérivée de i,, iii>. Or la substitution g, dont les puissances reproduisent le premier faisceau de L, est échangeable à A^ Bf, ...;.... D'autre part, elle est contenue dans 4^; elle est donc permutable au faisceau (.1., ifb; A|, B^,. ..;...). Elle sera donc permutable au faisceau (Ji,, lib). Donc ^* g^*<Sg = g^ appartiendra à ce faisceau; résultat absurde, car cette substitution est d'ordre 3, tandis que celles du faisceau (-i>, ia>) ont pour ordre un diviseur de 4*

Donc ici encore il est absurde de supposer que 4^contienne J.

850. QuATRifeME CAS. — L î/idécomposable de troisième catégorie. Soient comme précédemment ci>,, '\)i>t,...; ai>\, iii>'j,...;... les doubles suites

qui forment le second faisceau de 4^; A<, B^...; A'^, B',, ...;... celles qui forment le second faisceau de L. On verra comme au n® 758 que chacun des faisceaux (ai>,, ift), ,...), {rX>\, Wj, ...),... est formé par les substitutions d'un

ou plusieurs des faisceaux (Ai, B, ,...), (A'j, B',,...),

Supposons, par exemple, que (<vV>i, ift»*,...) soit formé par les substitutions du faisceau (A|, B|,...). Soient ^0 1^ groupe auxiliaire correspondant à (.A>4, Dbi,...) dans la construction de 4^; Lo le groupe auxiliaire correspondant à (Am B(,...) dans la construction de L; A le'groupe formé par celles

m± LIVRE QUATRIÈME.

des substitutions de Lo dont les corrélatives appartiennent à J. Il est clair que si 4;;^ contient J, ^0 contient A. Or soit Jo le groupe qui est à Lo ce que J est à L : A contiendra Jq. En effet, chaque substitution de Jo est la corrélative d*une substitution S de L, qui multiplie les exposants d'échange par un résidu quadratique, tel qu^ r^. Multipliant S par la substitution qui multiplie tous les indices par r'\ on obtiendra une nouvelle substitution appartenant à J et ayant la même corrélative que S.

Le Ihéorfeme C élanl vrai, par hypothèse, pour les groupes 4^0» U» Jo» le groupe 4^0 sera pareil à Lo- Donc 4^ et L sont construits à l'aide de groupes auxiliaires pareils. Donc ils sont eux-mêmes pareils.

Le ihéorème C esl donc établi dans tous les cas.