est intéressant de savoir si la congruence analogue

j;?(«)^ I (mod./w),

relative aux modules composés, a également des racines primitives. Ce sujet n été complètement, traité par M. Serret dans son Algèbre supérieure. Section III, Chapitre II). Nous emprunterons à cet important ouvrage les résultats relatifs au cas le plus simple, où m est une puissance d'un nombre premier.

Soit

m^p^; d*oii ^[m)—.p' — ji'-\

p étant un nombre premier impair.

I " Les racines primitives des deux congruences

jpP'-p"-* ^ i (mod.p) et xP-^^i (mod./?i

sont congrues entre elles suivant le module p.

Car si g n'est pas congrue a une racine primitive de la dernière des cour gruences ci-dessus, et qu'on ait par exemple

g" ^ \ [moé. p) =z \ -\- rp,

n étant <Cp — i, on aura

np"^* étant <ip^ — p^'** et g ne sera pas racine primitive de la première congruence.

2*^ Soient maintenant a une racine primitive de la seconde congruence, g un nombre congru h a (mod./?); g sera ou ne sera pas racine primitive de la première congruence^ suivant que gP"^ — i ne sera pas ou sera divisible parp^.

Car soit g' la première puissance de ^ qui soit congrue à i (mod./;"), elle le sera à i (mod.^j; donc / est un multiple de /? — i. On .«ait d'ailleurs qu'il divise/?" — //-*; il sera donc égal à/?^ (/? — i), X étant un certain entier.