LIVRE PREMIER

OU non résidu» suivant que a sera congru à une puissance paire ou sr une puissance impaire de y. Soient a^ j* et b^y^ deux nonibres quelconques non divisibles par/? : leur produit ab^y^-^^ sera résidu quadratique s'ils sont tous deux résidus ou non résidus, car a et jS étant tous deux pairs ou tous deux impairs, a-i-|3 sera pair. Au contraire, le produit d'un résidu par un non résidu sera un non résidu.

§ 111. — Théorie de Galois.

17. Considérons maintenant une congruence irréductible /(a?) ^o, dont le degré v soit > i. Elle n'admet, comme on l'a vu, aucune solution en nombres entiers; mais rien n'empêcbe d'introduire dans le calcul un symbole imaginaire /, supposé le! que l'on ait/(i ) ^ o, et de prendre en consi • dération, outre les entiers réels, les entiers complexes formés avec cette imaginaire. Grâce k cette convention, on va voir que la congruence f[x)^o admettra précisément v racines imaginaires incongrues entre elles.

En premier lieu, soit Yii) une fonction entière de i; divisons-la par/(i j. il viendra

vj^(/} étant de la forme ai^"^ -\- bi^^^ -+-.... Si celte fonction n'est pas identiquement nulle, ^[i), et par suite F(i), ne pourra être congrue à zéro; car si l'on avait à la fois ^{i)^Eo et f{i) ^o on aurait x(')^^» X(*) **'^'^^ '*^ plus grand commun diviseur de ^[i) et àe/{i). Mais/(i) étant irréductible, y^{i) devra se réduire à un entier constant, essentiellement différent de zéro. On arriverait ainsi à une absurdité.

Donc : i"" ¥{i } ne peut être congrue à zéro que si elle est divisible pCLr/{i) ; 2*^ si elle n'est pas congrue à zéro, elle sera congrue à l'un des p^ — i nombres de la/orme ai''"' -h éi""^,... obtenus en donnant à a, b,... tous les systèmes possibles de valeurs inférieures à p, sauf le système de valeurs a = o, b= o,...; 3** enfin ces p^ — i nombres sont incongrus entre eux, car si deux d'entre eux A et B étaient congrus entre eux. A — B serait congru à zéro sans s'annuler identiquement, ce qui est absurde, comme on vient de le von*.

Si donc on répartit les entiers complexes non congrus à zéro en classes, en groupant ensemble ceux qui sont congrus entre eux, on aura p^— i classes, contenanl cbacune un des nombres ai"*^* -h bi^"^

ËD outre, le produit de deux entiers complexes A et B ne peut être congru

à zéro que si l'un de ses facteurs l'est. Car si le produit est congru à zéro, il

est divisible par/(t); donc/{i) divise l'un des facteurs, lequel sera congru

à zéro.

Cela posé, on établira sans difficulté, en répétant les raisonnemenis des

n^8, 10, 11 et 12:

I® Qu'm/i^ congruence quelconque de degré m admet au plus m racines, tant réelles que comf)leœes, incongrues entre elles;

2^ Que tout entier réel ou complexe satisfait à la congruence xP^~* — i ^e o ;

3** Que (^ étant un d/l^iseur quelconque de p" — i , /a congruence x^— i e^o a d racines incongrues entre elles, parmi lesquelles il en existe qui sont primitives.

\%. La congruence f {x) ^ o admet les v racines i, «'*,..., i''* . Soit en effet

/( /) := mi" -+- ni""* -4- ... se a.

Elevons ce polynôme à la puissance p'^ et, après avoir développé par la formule du binôme, supprimons les termes divisibles par /?; il vient

Mais m, /i,... étant des entiers réels, on a

mP^m^ d'où m'^'^m,...; donc

[/(/)]/= mi"P'-^ ni(— )/*'4- . . . =f{i^").

et corame/(/)^o, on aura/(i'^)^o, quel que soit r.

Les V racines i, i'',..., i''''"', dont nous venons de prouver rexisfence, sont

d'ailleurs incongrues entre elles, car si l'on avait par exemple t'''^EL£i>^, r étant > p et < v, tout entier complexe satisferait à celte congruence; car on aurait

Cette congruence aurait donc/?^— i racines incongrues enlrc elles, quoique son degré yy'' soit inférieur à/?"— i, ce qui est impossible.

19. Soit 9(1) une fonction entière quelconque de 1; les diverses fondions

n> LIVRE PREMIER.

9(1), ç(i''),..., ç (/'''"') seront dites conjuguées les unes des autres. Leur somme, étant symétrique par rapport aux racines de la congruence à coefficients réels/(i) 5=0, sera un entier réel exprimable au moyen de ces coefficients.

Si un entier complexe ç(i ) satisfait à une congruence quelconque ¥{x)^o, ses conjugués y satisfont, car la relation F [9 (1)] ^ o ne peut avoir lieu que si le polynôme F[ç(^)] est divisible par/(a?), auquel cas toutes les racines de /(ic)^o l'annuleront, d'où F [9(1'')] ^o, etc.

20. Soit maintenant F(a?)=^o une congruence quelconque. Décomposons son premier membre en facteurs irréductibles/(a?), /, (a:),... ayant respectivement pour degrés [i, jx,,.. . Soit v = iid le plus petit multiple de jul, juL|,.... S'il existe une congruence irréductible de degré v, soit i une de ses racines choisie arbitrairement. La congruence F(a?)^o, dont le degré est fjL-h fx,,..., aura précisément |X4-jx,... racines égales ou inégales, et qui toutes seront des fonctions entières de i.

En effet» pour que l'on ait F(a?)^o, il faut et il suffit que œ satisfasse à

l'une des congruences/(j^)^o, /, (a?)^o, Considérons spécialement

l'une d'elles, la première par exemple : soit y une de ses racines, on aura,

comme on l'a \[x,jp^^j\ et par suite

donc j satisfait à la congruence x^^ ^^x, ou, ce qui revient au même, à celle-ci x^^"^ — 1^0, dont toutes les racines sont des fonctions entières de /.

21. Il reste à s'assurer que, quelque soit le nombre v, il existe au moins une congruence irréductible de degré v. Cette vérification est facile. Considé rons en effet la congruence

V z=z XP^ — X^EO,

et décomposons son premier membre en fadeurs irréductibles zix),

9,(ir ),.... Ces facteurs seront tous inégaux, car si a?''' — a? avait un facteur double, il diviserait sa dérivée, laquelle se réduit à — i (mod./?), ce qui est absurde. Soient (f[x) \\\w de ces facteurs, ). son degré, / une des racines

de la congruence tf[x)^o\ ses autres racines seront l^, /''',..., /''*"', et l'on aura

//>'=/. Ip'-^'^ip

DES œNGRUENCES. 17

Ceux des termes de la suite indéfinie /, /'',...• /''^... qui sont congrus a /

seront donc les suivants : /, Z'!^, Z'''^,.... Mais l'^'^l; donc X divise v.

1^ Cela posé, admettons d'abord que v soit égal à q^, q étant premier.

Si ).<v, il divisera ^r*-'; on aura par suite U''* ^/. Donc le polynôme

x^ — a: = X sera divisible par 9 (a?); il le sera de même par tous ceux des facteurs de x^^ — x dont le degré est moindre que v. Ces facteurs étant

inégaux, il sera divisible par leur produit. Le polynôme ^9 dont le degré d

est égal a/?^' — z?^*""', ne contiendra donc plus que ceux des facteurs irréductibles de Y dont le degré est précisément égal à v. Donc il existe toujours de semblables facteurs, et leur nombre est égal à -•

a® Soit plus généralement y = q^r^...^ q^ r,... étant premiers. Soient respectivementy, y,,.., des racines appartenant à de^ congruences irréductibles de degrés ^r*, rP,...:yy,,... sera racine d'une congruence irréductible de degré v. En effet, v étant divisible par (f-, r^,... on aura

/'=/» j^^=ji^'"y d'où (jj\..y=ijj\ ...

Le degré X de la congruence irréductible dontyyi... est la racine est donc un diviseur de v. Mais s'il était moindre que v, il diviserait un des nombres -9

-9'* •• Supposons qu'il divise -» on aurait

/** \V *• If» *•'/ •

(JJ^'-'Y =JJ^" ^ dou 7^ =y,

ce qui est impossible, - n'étant pas un multiple de q"^.

22. Remarque. — Les résultats pbtenus ci-dessus pour les congruences à coefficients réels s'étendent aisément à celles dont les coefficients sont des entiers complexes (le module p restant réel et premier). Ainsi, soit v le degré de la congruence irréductible à laquelle satisfait Timaginaire { que l'on a introduite. La congruence x^^i {mod. p), où â = q^r^... est un diviseur

de p^ — i, aura q^r^.., (1 — -j(i-— -)••• racines primitives, de la forme

m''""' -h W"^ -+-... . De même encore, la résolution d'une congruence binôme à coefficients complexes se ramène à celle d'une congruence du pre-