Soit maintenant /w = 2''. Si v = 2, la congruence

x't^"^"^ = x'"~' = I (mod. 2^)

aura h racine primitive 3. Si v > 2, elle n'aura pas de racine primilive, car tout nombre a premier à 2 peut s'écrire ainsi

k étant un entier impair, et l'on aura en général

kl étant un entier impair. La moindre valeur de X pour laquelle a*' sera divisible par 2^ sera donc v — 2 — i, nombre inférieur à v — i; donc a ne sera pas racine primitive de la congruence proposée. Mais si l'on pose i = o.

la valeur cherchée de X sera v — 2; c^^^ sera donc la première puissance de a qui satisfasse à la congruence proposée. Parmi les diverses puissances

a, a*, a',..., a^^^ toutes incongrues entre elles, il n'en existe évidemment

qu'une seule a*"^* qui soit différente de i (mod.a"), dont le carré soit congru à i (mod. 2^), et qui par suite soit de la forme zt 1 -\- 2^"' h, k étant impair. Or cette forme contient plusieurs nombres. Soit b l'un d'entre eux

autre que a*"^'; 6* sera congru a 1 (mod. 2"), et les deux suites

ba bà* ba^ . . . 6a^'^^

dont tous les termes sont évidemment impairs et incongrus suivant le module 2"^, reproduiront (aux multiples près de 2") la suite complète des nombres impairs et inférieurs à 2".

Des résidus de puissances.

15. La considération des racines primitives permet de résoudre très-simplement les congruences binômes. Soit en effet ^'*^a(mod.^) une semblable congruence, et soit y une racine primitive de la congruence o?'^*— 1^0. Un nombre entier quelconque, satisfaisant nécessairement a cette dernière congruence, sera congru à quelqu'une des puissances de j : soit donc x^y* et a^j*. La congruence x*^ — a^o deviendra y^* — y^^o\ mais pour que deux puissances de 7 soient congrues entre elles, il faut et il suffît que leurs exposants diffèrent de multiples de /> — i. La question sera donc ramenée à résoudre la congruence du premier degré

rz ^ a ( mod. /; — i ),

problème traité au n^ 2.

Le problème ne comporte, comme on l'a vu, aucune solution si a n'est pas divisible par le plus grand commun diviseur c? de r et de yy — i . Si a est

divisible par d, il en comporte une infinité, de la forme z^-hk ^^^> parmi

lesquelles il en existe évidemment ù qui sont inférieures Vip — \.

16. Soit en particulier r-^i^p étant impair. On dit généralement que a est résidu quadratique de p ou non résidu quadratique y suivant que la congruence o?^ — a^o (mod./>) sera possible ou non. On voit que a sera résidu