CHAPITRE PREMIER

§ I*^ — Premiers principes de la théorie.

PréUminaires.

23. On donne le nom de substitution à l'opération par laquelle on intervertit un certain nombre de choses que l'on peut supposer représentées par des lettres a, 6,....

24. Une substitution donnée S peut être définie de la manière suivante : Soient a une des lettres données prise arbitrairement, b celle qui la

remplace lorsqu'on effectue la substitution S; soit de même c la lettre qui remplace 6,... jusqu'à une lettre k qui sera remplacée par a. Les lettres a, 6, c,..., k, qui se remplacent ainsi en cercle, forment un cycle. Si ce cycle contient toutes les lettres, la substitution sera dite circulaire. Sinon, une lettre étrangère à ce cycle donnera naissance à un nouveau cycle a\ b\...,k. Il pourra de même y en avoir un troisième, un quatrième, etc. Si une lettre n'est pas déplacée, elle forme k elle seule tout son cycle. Mettant les cycles en évidence, on pourra désigner la substitution S par la notation

25. Le nombre des substitutions distinctes est 1.2. 3... n, en y comprenant la substitution dite unité, qui laisse chaque lettre à sa place.

26. Soient A et B deux substitutions : nous désignerons par AB la substitution résultante obtenue en effectuant d'abord la substitution A, puis la

ii LIVRE DEUXIÈME.

substitution B. Le sens des notations A^, A',... se trouve ainsi expliqué. A~' sera la substitution qui, multipliée par A, reproduit l'unité.

27. On dira qu'un système de substitutions forme un groupe (ou un faisceau) si le produit de deux substitutions quelconques du système appartient lui-méme.au svstème.

Les diverses substitutions obtenues en opérant successivement tant qu'on voudra et dans un ordre quelconque certaines substitutions données A, B, C,... forment évidemment un {groupe : nous l'appellerons le groupe dérivé de A, B, C,..., et nous le désignerons par le symbole (A, B, C,...).

28. L'orrfrcd'un groupe est le nombre de ses substitutions : son degré est le nombre des lettres soumises à ses substitutions.

29. Considérons en particulier le groupe A, A^,..., A'",... des substitutions dérivées d'une seule substitution X = [ab.,, k){a' b'.,, k').... Soient respectivement /, /',... les nombres des lettres de chacun des cycles de A. (JL leur plus petit multiple; l'ordre de ce groupe sera égal à |x. En effet, la substitution A'" remplace chaque lettre, telle que a, par celle qui la suit de m rangs dans son cycle. A^ sera donc la première substitution de la suite A, A*,... qui se réduise k l'unité. D'ailleurs les substitutions A, A*,..., k^ seront toutes distinctes; car si l'on avait A^ = A^', on aurait A'^"~^'= f , ce qui est impossible, X et )/ étant <|x. Les puissances suivantes A**"^*, A*^*,... reproduiront périodiquement la suite A... A^.

Nous dirons dans la suite pour abréger que fx est Vordre de la substitution A. Mais, pour parler exactement, on devrait dire que c'est l'ordre du groupe dérivé de A.

30. Si A est une substitution dont l'ordre D soit un nombre composé tel que dd, la substitution A^ sera d'ordre d. En effet, la suite de ses puissances A^, A^^,..., A"*^,... se reproduira périodiquement au delà de di.

On peut toujours prendre pour d wïï diviseur premier de D, et l'on voit ainsi que d'une substitution quelconque donnée A on déduit, en la répétant convenablement, une substitution d'ordre premier.

31 . Soit en général D = p^q^ r^...^ p, q, r,... étant des facteurs premiers

Il JL -5.

différents. Les substitutions A''*=A,, A^^=A2» A''^= A,,... sont respectivement d'ordre/?", q^, r^..., et font toutes partie du groupe dérivé de A. Réciproquement, A dérive de ces substitutions combinées entre elles, car

DES SUBSTITUTIONS. ti

les entiers ~» — ^i --,... n'ayant aucun diviseur commun autre que l'unité, on peut déterminer des entiers /, m, /i,... satisfaisant à la relation

O* qr ^T

d*où Ton déduit

32. Soient A et B deux substitutions. Formons la substitution B^^AB; nous l'appellerons la irans/ormée de A par B.

Throrebie. — Les cycles de la transforrnée B~* AB sont respectivement composés du même nombre de lettres que ceux de A^ et chacun d*eux s* obtiendra en remplaçant chacune des lettres du cycle correspondant de A par la lettre que B lui fait succéder.

En efTet, soient a, 6, c,... les lettres de l'un des cycles de A; a', b\ c\.,Aes lettres que B leur fait succéder; B"* remplace af par a, que A remplace par b, que B remplace par b' : donc B'**AB remplace a' par b\ Elle remplace de même b' par c',...; L'un de ses cycles est donc formé des lettres a\ b\ &,,...

33. Deux substitutions sont dites semblables lorsqu'elles ont le même nombre de cycles, contenant respectivement le même nombre de lettres.

D'après le numéro précédent, toute substitution A est semblable à l'une quelconque de ses transformées, telle que B~~*AB. Réciproquement, si deux substitutions A et A^ sont semblables, on pourra déterminer une substitution qui transforme A en Ai. Car soient par exemple

A={abc]{de)(fg), A, = {bdc)(af)[eg)

deux substitutions semblables; la substitution B qui remplace respectivement a, 6, c, d, e,/, g par 6, d, c, a,/, e, g transformera A en A,.

La substitution B'ne sera pas la seule qui produise cette transformation, car en écrivant chaque cycle de A,, on peut mettre une lettre quelconque à la première place; on peut en outre permuter entre eux les cycles qui ont le même nombre de lettres, et écrire par exemple A, = {dcb) [eg) {af), forme sous laquelle ses cycles correspondront encore avec ceux de A, de telle sorte que l'on ait C~*AC = A,, C étant la substitution qui remplace a, t, c, d, e, /, g par d, c, 6, e, g, a, /.

Supposons en général que chacune des substitutions A, A| contienne

ai LIVRE DEUXIÈME.

[X cycles de n letlres, jm, cycles de w, lettres,.... Il est clair qu'on pourra faire correspondre les cycles de A, à ceux de A de i.2...jul/i^. i.3...jul,/i/.... maniëres difTérentes« ce qui fournira autant de substitutions 6, C,... transformant A en A,.

Si Ton suppose que A| soit identique à A, on aura les substitutions qui transforment A en elle-même. Le produit de deux quelconques d'entre elles jouit évidemment de la même propriété : elles forment donc un groupe dont l'ordre est celui que nous venons de déterminer.

34. Si deux substitutions D et A sonttelles» que Ton ait D~*AD = A» d'où AD = DA, les deux substitutions A et D seront dites échangeables.

35 . La, transformée du produit de deux substitutions est le produit de leurs transformées^ car

M-ABM = M-AM.M-BM.

Donc, si A, B,. .. sont des substitutions formant un groupe^ leurs transformées par une substitution quelconque M formeront un groupe, qu'on pourra appeler le groupe transformé de (A, B...) par M, Si ce groupe transformé se confond avee le groupe (A, B...), on dira que M est permutable k [A , B...).

Il est clair que les substitutions permutables à un groupe donné forment elles-mêmes un groupe.

36. Si deux substitutions AetB sont échangeables entre elles ^ leurs transformées le sont encore, car on aura

M-AM.M-BM = M-ABM = M-BAM = M~BM.M-AM.

On voit de même que si une substitution est permutable à un groupe, sa transformée sera permutable au groupe transformé, quelle que soit la substitution transformante M.

37 . Lorsqu'une substitution M est permutable à un gfoupe G , les substitutions dérivées de G et de M pourront toutes se mettre à volonté sous chacune des deux formes g^i/P ou M''g^,„s g,^, g^n' étant convenablement choisies parmi les substitutions g-,, ^2-- du groupe G. Car, par hypothèse, quel que soit /i, }\'^gnM sera égale a une substitution de G, telle que gn'\ d'où^„M =M^«'. Si donc on considère une substitution quelconque dérivée des substitutions de G et de M, telle que g^Vi^ g^y[^ gx, . . . , on pourra, par une série d'interversions successives, faire passer les M en arrière et la ramener ainsi à la

forme gm^^'*'^'*'"' ou les faire passer en avant pour obtenir la forme

38. Si toutes les substitutions d'un groupe H sont comprises parmi celles (l'un autre groupe G, nous dirons que le groupe H estconienu dans le groupe G.

Un groupe sera dit aussi général que possible» ou simplement général, parmi ceux qui satisfont à certaines conditions données» s'il n'est contenu dans aucun autre groupe satisfaisant aux mêmes conditions.

Théorèmes de La grange et de Cauchy.

39. TuÉoK£M£. — Si le groupe H est contenu dans le groupe G, son ordre n est un diviseur de N, ordre de G.

En eflet» soient i, S|, S,,...» S;,« les substitutions de H; Z une substitution de G qui ne fasse pas partie de H; G contiendra» outre les substitutions I, So..., S;,.4, les suivantes : 2, 2S4,...»ZS;,.4» évidemment différentes, entre elles, et qui sont en outre différentes des précédentes; car si l'on avait une égalité telle que IS, = 83» 2 = S^Sr^ ferait partie de G, contre l'hypothèse. Donc G contient au moins les an substitutions ci-dessus écrites. S'il en contient d'autres, soit 2| l'une d'elles : G contiendra 2|, ^iS,,..., 2, S„.|, substitutions différentes entre elles et en outre différentes des précédentes; car si l'on avait une relation telle que I, S4 = 28,, on aurait 2|=:2Sp,Sp = 8387^ étant une des substitutions deH; 2| serait donc une des :2/i substitutions déjà écrites» ce qui est contraire à notre hypothèse. Donc l'ordre de G est au moins égal à 3n. On voit de même que s'il est > 3n, il sera au moins égal ^ [\n, etc.

Il résulte de cette démonstration que les substitutions de G peuvent être disposées en un tableau tel que le suivant :

I » 9i 9 • • • » 9ji— I )

2nj ^1 C7| » . . . » 2i\ 9||| y

On verrait absolument de même qu'elles peuvent être disposées en tableau de la manière suivante :

I » bi f . . • « î>«— 1 9

2iy ^\ 2ây « . » ^n—l 2é y

2éiy 0| 2i| » . . . » 5ii-i ^1 y

26 LIVRE DEUXIÈBfE.

Corollaire I. — Vordre d'un groupe quelconque de substitutions entre k lettres est un dhiséur de 1.2. 3. ..A.

Car le groupe donné est évidemment contenu dans celui formé par toutes les substitutions possibles, lequel a pour ordre 1.2. 3. ..A.

Corollaire II. — Tout groupe qui contient une substitution d* ordre p a son ordre divisible par p.

Car il contient le groupe d'ordre p formé par les puissances de la substitution considérée.

40. Théorème. — Réciproquement^ si p est un nombre premier^ tout groupe dont Vordre est divisible par p contiendra une substitution d'ordre p.

Ce beau théorème est dû à Cauchy, qui le démontre à peu près comme il suit :

Lemme 1. — Soient G = [g^^ ^s,..., g^y") c^ H = (A,, A2,..., Ay»...) deux ^groupes quelconques de substitutions contenus dans un troisième groupe I; M, N, V les ordres respectifs de ces trois groupes. Le nombre des substitutions U du groupe I qui ne satisfont à aucune relation telle que ^{t U = U Ay» est nul ou multiple de MN.

Car soit U Tune des substitutions cherchées : chacune des MN substitutions de la forme gm^K jouira de la même propriété; car si Ton avait

gv^gm\ihn=^gm\ihnh^,

on en déduirait

relation impossible par hypothèse, gm^ g^gm et h^Kh';^^ appartenant respectivement aux groupes G et H. D'ailleurs ces MN substitutions sont toutes distinctes; car si Ton avait

gr«UA„=rgr^UAv, on en déduirait

relation impossible.

Le nombre des substitutions cherchées (s'il en existe) est donc au moins MN. S'il est >MN, soit Y l'une de ces substitutions qui ne soit pas de la forme gm^K* Les MN substitutions de la forme gm^hn jouissent toutes de la propriété voulue ; elles diffèrent évidemment les unes des au-

très; enfin elles diffèrent des précédentes; car si l'on avait, par exemple, on en déduirait

y serait donc, contrairement a l'hypothèse, une des substitutions de la forme ^«,UA«.

Le nombre des substitutions cherchées sera donc au moins égal à 2MN. S'il est plus considérable, on voit de la même manière qu'il est au moins égal à 3MN, etc.

Corollaire, -n Si parmi les substitutions de H il rien existe aucune qui soit semblable à quelqu'une des substitutions de G, MN divisera P.

En effet, quel que soit U, il sera impossible d'avoir une relation de la forme ^piU = UAv'» car si une telle relation avait lieu, h^ = U"*^,iU serait semblable à g^, contrairement k l'hypothèse. Le nombre des substitutions U qui ne satisfont a aucune relation semblable sera donc égal à P, nombre total des substitutions de I; d'autre part, on a vu qu'il est divisible par MN.

41. Lemme II. — Soient p un nombre premier ; p^ la plus haute puissance de p qui divise le produit i . 2 . 3 . . • A : on pourra construire un groupe de substitutions d' ordre p^ entre k lettres.

Si i<ipf on a/= o,/?-^= i, et le groupe formé de la seule substitution i satisfera à la question.

Nous allons montrer d'autre part que si la proposition est vraie pour tout nombre inférieur k /?^, elle le sera pour tout nombre inférieur à/?"^*.

En effet, tout entier A non inférieur kp^ et inférieur kp^'^* peut être mis sous la forme k = qp -^r^ q étant </?^ et r<;c>. Cela posé, parmi les k lettres données, considérons-en spécialement qp et répartissons-les en q systèmes a, 6, c,..., ai, 6|, C|,..., contenant chacun /? lettres.

Soient S la substitution qui permute circulairement a, 6, c,... sans déplacer les autres lettres; S4 celle qui permute circulairement a«, 6|, Ci>.... Soit d'autre part T = (/«, /,,..., t^^...) un groupe quelconque de substitutions qui permutent entre eux les q systèmes a, b, c,..., a,, 6,, c,,... en remplaçant les unes par les autres les lettres correspondantes. Les substitutions du groupe G dérivé de S, S«,... et de T seront toutes de la forme générale /,iS"S5.... Car soit, par exemple, S^/^lS* l'une de ces substitutions : elle

i8 UVRE DEUXIÈME.

est identiquement égale à l^i^*S?ty,S*. Or si Ton suppose, pour fixer les idées, que t^, remplace le système a, 6, c,... par le système ai, f»,, C|,..., ç^S?t^ sera égal à St (32) : la substitution donnée sera donc égale à /|tSJS*, ou, comme S| est échangeable à S, à /^S*S^

L'ordre de G sera égal à Mp^f M étant Tordre de T : en efTet, dans l'expression générale de ses substitutions l^S^S^..., on pourra prendre pour t^ une quelconque des M substitutions de T, puis assigner à chacun des exposants a, /3,... toutes les valeurs possibles inférieures à/?, et toutes les substitutions obtenues seront distinctes; car si Ton avait, par exemple,

on en déduirait

relation impossible si [if différait de /x, car la substitution du premier membre déplacerait les systèmes, ce que celle du second membre ne fait pas. Doifc, on aura

:a Cl S«SÎ... = S*'SÎ'...,

'jl'

d'où

Or la substitution du premier membre de cette dernière relation ne déplace que les lettres du premier système, que celle du second membre laisse immobiles; donc elles ne pourront être identiques que si elles se réduisent toutes deux à l'unité; donc a = a'; on aurait de même ]3 = |3\ etc. Donc l'égalité /,ilS*Sî... = /,il'S*'Sî'... ne peut subsister, à moins qu'on n'ait à la fois [Jl' = iif ai = 0L, |3' = j3,....

Cela posé, soit />? la plus haute puissance de p contenue dans le produit 1.2.3.. .9; on peut par hypothèse choisir T de telle sorte que son ordre soit égal à/??. L'ordre de G sera alors égal ^p^^ =/^^-

42. Soit maintenant H un groupe qui ne contienne aucune substitution d'ordre p^ p étant premier. Aucune de ces substitutions n'aura son ordre divisible par/>; car si l'une d'elles était d'ordre ^X, sa puissance X serait d'ordre/? et ferait partie de H, contre l'hypothèse. Au contraire, le groupe G, dont nous venons de montrer l'existence, ayant pour ordre z?-^, l'ordre de chacune de ses substitutions divisera/?-^ (39) et sera une puissance de/?. Donc aucune des substitutions de H n'est semblable à aucune de celles de G; en outre G et H sont contenus dans le groupe I formé par toutes les substitu-

lions possibles, et dont Tordre est i .2.3... A [k étant le nombre des lettres). Donc le produit des ordres de G et de H divise 1.2. 3...^ (lemme I, corollaire). Donc Tordre de H divise ' j" ^ donc il est premier à p.

§ II. — De la Transitivité.

Généralités.

43. Un groupe est transitif lorsque» en opérant successivement toutes ses substitutions, on parvient k faire passer une des lettres à la place de Tune quelconque des autres; plus généralement, il sera n/ois transitif si ses substitutions permettent d'amener simultanément n lettres données a, 6, c,... aux places primitivement occupées par n autres lettres quelconques a', y c' '

Soient, dans ce cas, S une substitution du groupe qui fasse succéder a, 6, c,,.. à a\ b\ c',...; T une autre substitution du groupe qui fasse succéder fl, b, c,... h des lettres quelconques a"^ h" y c",..., différentes ou non des précédentes : ce groupe contiendra la substitution TS~* qui amène les n lettres quelconques a\ h\ c',... aux places également quelconques qu'occupaient primitivement a'\ h'\ c",....

44. Théorème. — Soient a, b^c^... des lettres quelconques choisies à volonté parmi^eÙes qui entrent dans les substitutions d'un groupe G. Soient M le mombret .de$ rj/^témes de places différents où les substitutions de G permettent

^ d'amener tes kttres a, é, c, . . . ; N V ordre du groupe partiel lA, formé par ceUes des ^àit&JlâEilià>m di\(s qui laissent ces lettres immobiles. V ordre de G sera égal

Gar» wAeéX i, /?, ç,... les N substitutions de H; R une substitution de G qui amène les lettres a, 6, c,... dans Tun quelconque de leurs M systèmes de positions : il y aura N substitutions distinctes R,/iR, çR,... qui les amèneront à cette situation, et pas davantage; car soit R| une substitution de G qui jouisse de cette propriété : R~*R|, laissante, b^ c,... immobiles, se réduira a Tune des substitutions i, p^ 9,.... Donc R« appartient à la suite R, />R, çR,....

Corollaire I. — V ordre d'un groupe nfois transitif entre k lettres est divisible par k{k — i)... {k— n-h i) (nombre des systèmes de positions que Ton peut donner à n lettres arbitrairement choisies).

Corollaire 11. — Soient G un groupe inlransilif entre Al étires; a, a les

lettres auxquelles ses substitutions permettent de faire succéder une lettre donnée a. Toutes les substitutions de G feront succéder ces lettres les unes aux autres; car sï l'une d'elles S fait succéder a,, |iar exemple, ^ une autre lettre /, cette substitution, combinée à la substitution T contenue dans G qui fait succéder a à a,, donnera la substitution ST qui fait succéder a à /; donc /fera partie de la suite a, a,,....

Les k lettres se partagent donc en systèmes a, a,,..., b, b,,..., c,c,,..., contenant respectivement a lettres, /3 lettres, 7 lettres, etc., et tels que toute substitution de G permute entre elles les diverses lettres d'un même système. Les substitutions de G seront donc toutes de la forme ABC,..., A'B'C',.,., A, A',... étant des déplacements effectués entre les lettres a, a,.....B. B',... des déplacements effectués entre les lettres b, b,,..., etc. Le déplacement

opéré entre les lettres a, a par le produit des deux substitutions ABC...,

A'B'C... sera AA'; donc les substitutions partielles A. A' considérées

isolément, forment un groupe, transitif par rapport aux « lettres a, a

Le nombre M des positions distinctes que prennent ces lettres par les substitutions G est égal à l'ordre de ce groupe, lequel est un diviseur de 1.1... a. L'ordre de G sera égal à MN, N étant l'ordre du groupe H formé par celles des substitutions de G qui ne déplacent pas a, a,,....

Ce groupe H ne permutant que {k — a) lettres, son ordre sera un diviseur du produit 1 .a... (X' — a). S'il n'est pas transitif, soient a', a\,... les lettres en nombre a' qu'il permute avec une lettre quelconque a' : on verra de même que son ordre est égal à M'N', M' étant l'ordre d'un groupe transitif

entre lésa' lettres a', o' (lequel divise 1.3... a') et N' l'ordre du groupe H'

formé par celles des substitutions de H qui ne déplacent aucune des lettres a', a

Continuant ainsi, on voit que V ordre de G sera égal àMU'W.-., M, M', M",.-. étant respectivement les ordres de certains groupes transitifs entre a, a', a",... lettres, et la somme a-î- a' + «" + ... étant égale à k. Il divisera donc le produit 1.2... a. ( ■2...a'. 1 .2... a"

Méthode pour la recherche des groupes plusieurs fois transitifs.

45. Soit G un groupe de substitutions entre k lettres a, a,, a, lequel

soit au moins une fois transitif. On peut se proposer de cberclier à construire un groupe L au moins ,u.+ i fois transitif entre X;+^ lettres a,a,, ai,...,x,.

DES SUBSTITUTIONS. 3i

^s>***f ^|JL et tel, que le groupe partiel formé par celles de ses substitutions qui ne déplacent que les k lettres a.a^^a^^.*** soit précisément G.

Si le groupe cherché existe» il contiendra au moins une substitution A« qui laisse immobiles x^,..., x^, et qui remplace a par x^; une autre substitution As qui remplace j;, parafa sans déplacer rr,,..., x^^ etc.; enfin une substitution Ajt qui remplace x^., par x^. On pourra donc se donner àpriori ces substitutions, et Ton cherchera ensuite si, en les combinant entre elles et avec les substitutions G, on n'obtient aucune substitution autre que celles de G et qui laisse en repos x^,...^ x^.Si Ton réussit dans cet essai, le groupe (G, A,, Aa»...» A|t) satisfera au problème; car ses substitutions permettent d'amener x^ k une place quelconque; puis, en opérant les substitutions (G, A|,..., A,jt i), on pourra amener x^^^ h une autre place quelconque, etc. Donc le groupe est bien /x + i fois transitif. Au contraire, si Ton ne réussit pas «de quelque ifianiëre que Ton choisisse A,, A,,..., A^, on pourra affirmer l'impossibilité du problème.

Ce procédé de tâtonnement, tel que nous venons de l'indiquer, serait évidemment impraticable; mais il peut être avantageusement modifié. En effet, soit H le groupe partiel formé par celles des substitutions de L qui ne déplacent que les k-hi lettres a, a^^ a,,...» â?|. Il est au moins deux fois transitif: donc son ordre est divisible par le nombre k{k-^i); donc il est divisible par 2. Donc le groupe contient une substitution B d'ordre 2 (40). Soient a^, a^ deux lettres que B permute entre elles : H contient une substitution S qui remplace n^ et a, par x^ et a; il contiendra par suite la substitution S~*BS, laquelle est d'ordre 2 et permute ensemble x^ et a. On pourra la prendre pour A|.

Le groupe I, formé par celles des substitutions de L qui ne déplacent que a, ai, ii29...,â?4, â?2> étant au moins trois fois transitif, contient une substitution T qui remplace a, a;,, X2 par x^, a?,, a. Il contient la substitution T~* A|T, laquelle est semblable ^ A, d'ordre 2, et permute ensemble x^ et X2 sans déplacer a. On peut prendre cette substitution pour As*

Continuant ainsi, on voit qu'on peut admettre, sans nuire à la généralité de la recherche: i^que toutes les substitutions A|, A2»..., A^ sont d'ordre 2 et semblables entre elles; 2^ que chacune d'elles permute entre elles deux des lettres a, x^^ Xi,.,.,x^ sans déplacer les autres.

Cela posé, soient F le groupe formé par celles des substitutions de G qui ne déplacent pas a; 1^ une quelconque de ses substitutions; Sn une quelconque de celles de G; X,vdeux indices quelconques moindres que jui h- i et qui différent de plus d'une unité.

Si le groupe (G, Â,,..., A^) satisfait au problème, on pourra, quels que soient S^i.Sm* ^ ^^ v, déterminer dans F des substitutions 2>, 2>,v» I^r\ et dans G dei^iillifititutions Sxn» S^, S'^ satisfaisant aux relations suivantes :

{.) (A,2«)^ = 2i-\ AS.A = S;AS:,

( (AiS.)» = Sx., (sU>i).

En eflet, la substitution AxAx.i permute circulairement trois lettres de la suite a, a?i,..., o^j^ sans déplacer les autres; son cube laisse ces lettres immobiles; donc il appartient à F. De même, Ax Ay permutant deux couples de lettres de cette suite sans déplacer les autres, son carré les laisse toutes immobiles, et par suite appartient à F. Le carré de Ax^^ appartient à F par la même raison. De même le carré de AxS« ne déplaçant aucune de^ lettres Xt,...^x^ appartiendra à G. Enfin, la substitution AS«A ne déplace que les lettres a;«, a, ai,.... Supposons qu'elle fasse succéder x^ à a^. Le groupe G contient au moins une substitution S^ qui remplace Or par a. La substitution S'. A le remplacera par a;«; et la substitution (S'^ A)~* AS^ A = Slj laissant a?i,..., o;^ immobiles, devra appartenir à G.

Réciproquement, si les conditions ci-dessus sont remplies, le groupe (G, A«,..., A|t) satisfera au problème. En effet, chacune de ses substitutions peut être mise sous Tune des deux formes suivantes :