V, VA,V

V et Y étant des substitutions du groupe (G, A,,..., A^^,). Car soit, par exemple, Ap, Ap,2 A^., A^ une de ses substitutions dans laquelle entre deux fois le facteur Ap, : le carré de Af^se réduisant à i, on pourra Técrire ainsi :

A ja A |iL— S A |fc . A |i A |K — I An»

Mais, d*après les conditions ci-dessus, on a

A n A n— j A ^ = ( A in A fi— 1 ) A ,fc— I ^= 2i|ii,|i t A j^—i , A ja A ]4 — I A |â ^^ ( A |a A |a^i p A i^^i A |k A |a~i ^^^ ^ja A fu^t A |k A ^ — i ,

d*où

A n A n j A |t • A |t A |t — I A f, ^^ ^1^,11^.11.3 A ^s Ztf, A ji i A p, A i^ — 1 ^^^ > A ^ \

en posant

2».:,-, A ,a-î 2,. A ^, = V ei A ,^, = \\

Cela posé, toute substitution de la forme TAj^V' déplace évidemment ^r^.: donc les substitutions du groupe qui ne déplacent pas x^ sont de la forme V et appartiennent au groupe (G, A,,..., A^..,). On verra de même que celles de ces dernières substitutions qui ne déplacent pas x^^ appartiennent au groupe (G, A,,..., Ap,.2)» ^tc. Enfin, celles des substitutions de (G,A,,..., A,t) qwi ne déplacent aucune des lettres x^,.,.,Xi appartiendront au groupe G.

46. Les résultats ci-dessus sont susceptibles de nombreuses applications : on en déduit entre autres le théorème suivant :

Un groupe de substitutions entre k -{- [jl lettres {k étant > 3) /le peut être fx + 1 fois transitif s* il ne contient aucune substitution déplaçant moins de k lettres ^/ 51 jui > 2 7r -h 7, n étant l'exposant de la plus haute puissance de 2 qui divise le quotient de k par 8.

On trouvera aisément la démonstration, qui repose sur Timpossibilité de déterminer 7r-h4 substitutions A,, A,,..., Ajir+T qui satisfassent aux relations (Ax Av)* = I, et qui soient telles que l'on ne puisse obtenir par leur combinaison aucune substitution déplaçant moins de k lettres.

En faisant intervenir les substitutions A,, A4,..., on pourra obtenir pour jui une limite plus rapprochée que la précédente. On obtient, en effet, les théorèmes suivants :

i^ Un groupe de substitutions entre 6/1 -h i lettres ne peut être trois fois transitif s'il ne contient aucune substitution qui déplace moins de 6n — i lettres;

2^ Soit n un nombre impair quelconque. Un groupe de substitutions entre k -h II lettres, et ne contenant aucune substitution qui déplace moins de k lettres, ne pourra être jul h- i fois transitif si [i^n — j , toutes les fois que k — i sera un nombre pair et tel que le reste de sa division par un soit > /i;

3° Le groupe ci-dessus ne pourra exister, quel que soit k — i {pourvu que Von ait * > 3) , « /x > /i (v -h 3) — i , v étant l'exposant de la plus haute puissance de n qui divise le quotient de k — i par n^.

47. On peut vérifier par les mêmes principes Texistence d'un groupe cinq fois transitif entre douze lettres, qui s'obtient en adjoignant au groupe G dérivé des substitutions suivantes

(aa, a, as )( ^4 a& Ot ai ) et {aa^ at ai){a^ a^axai)

les quatre subslitutions

Aj— (j:,j:,)(a,a3)(flf;rt,)(a,fl4),

Ce groupe remarquable a été découvert par M. Mathieu.

§ III. — Groupes non primitifs. — Facteurs de non-primitivité.

48. Un groupe transitif est dit non primitif , lorsque les lettres peuvent y être réparties en systèmes contenant le même nombre de lettres, et tels que dans toutes les substitutions du groupe les lettres de chaque système soient remplacées par les lettres d'un même système : de la sorte, toutes les substitutions du groupe résulteront de déplacements d'ensemble entre les systèmes, considérés chacun comme tout d'une pièce, combinés avec des déplacements convenables opérés en même temps dans l'intérieur de chaque système entre les lettres qui le composent.

Les groupes dans lesquels les lettres ne sont pas susceptibles d'être réparties en semblables systèmes seront appelés par opposition groupes primitifs.

49. Théorème. — Soit G un groupe non primitif dans lequel les lettres puissent être réparties de deux manières différentes en systèmes tels^ que chaque substitution de G remplace les lettres d'un système par celtes d'un même système; soient S, S<,... et T, T,,... les deux séries de systèmes ainsi obtenues.

Partageons les lettres de chacun des systèmes S, S,,... en systèmes moindres, en laissant ensemble celles qui appartiennent à un même système dans la série T, T, ♦ . . . . Groupons au contraire les systèmes T en systèmes plus généraux, en réunissant ensemble ceux qui ont quelque lettre commune avec un même système de la série S, S, , . . . .

Chacune des deux nouvelles répartitions en systèmes ainsi obtenues jouira encore de cette propriété que chaque substitution de G remplace les lettres d'un même système par celles d'un même système.

En effet, soient S et T deux systèmes choisis dans les séries S, S,,... et T, T,,..., de manière à présenter des lettres communes a, ai,.... Soient /> une

autre lettre quelconque; S, et T, les deux systèmes auxquels elle appartient respectivement dans les deux répartitions S, S,,... etT, T,,... : G étant transitif renferme une substitution 1 qui remplace a par b; elle remplacera les autres lettres du système S par des lettres du système S, ; celles de T par des lettres de T, ; donc les lettres a, ai,.,., communes à S et à T, seront remplacées par des lettres i, é,,..., communes à S, et à T,-.

D'autre part, soient a une lettre de S; 6 une autre lettre quelconque appartenant à S| : la substitution Z» qui remplace a par b, remplacera les diverses lettres de S, telles que a, a',..., par les diverses lettres de S,, telles queè, b\...; elle fait donc succéder aux systèmes!, T',..., auxquels a, a',... appartiennent respectivement, les systèmes T,, T, ,... auxquels h, b\... appartiennent.

Remarques. — Si toutes les lettres de T appartenaient à S, les deux nouvelles répartitions en systèmes coïncideraient évidemment avec les deux qui sont déjà données; et Ton voit par là que chacun des systèmes T, T,,... serait contenu en entier dans quelqu'un des systèmes S, S,,....

Si S et T n'avaient qu'une lettre commune, chacun des systèmes, dans la première des nouvelles répartitions ci-dessus, serait formé d'une seule lettre.

Enfin, si les systèmes T, T',..., auxquels appartiennent respectivement les lettres de S, épuisaient la suite T, T,,..., le nouveau système résultant de la réunion de leurs lettres contiendrait toutes les lettres et serait unique.

50. Soient maintenant G un groupe non primitif; E l'ensemble de ses lettres : parmi les diverses répartitions en systèmes dont ses lettres sont susceptibles (telles, que chaque substitution de G remplace les lettres d'un même système par celles d'un même système) on pourra évidemment en déterminer un certain nombre

ce/ • T T' • îî II' • • X X'

choisies de telle sorte :

I® Qu'il n'existe aucune reparution nouvelle en systèmes tels, que l'un de ces nouveaux systèmes contienne toutes les lettres de S ;

2^ Que S contienne toutes les lettres de T ; mais quil n existe aucune nouvelle répartition en systèmes telle, que l'un de ces nouveaux systèmes ait toutes ses lettres contenues dans S et contienne toutes celles de T ;

3** Que T contienne U : mais qu'il n'existe aucune nouvelle répartition en