CHAPITRE IL

§ I. — Représentation analytique des substitutions.

114. Soil S une substitution quelconque entre k quantités, que nous supposerons désignées par une même lettre /, affectée des indices o, i,..., k — \\ si S remplace, en général, la lettre /j. par une lettre l^^^) [9[^) étant une certaine fonction de x], on pourra convenir de désigner S par le symbole suivant :

Supposons que S remplace respectivement /q, /|,..., /a-i par 4, /p,..., /g (a, /3,..., à étant, a Tordre près, identiques à o, i,..., ^ — i) : la fonction 9(0?) sera assujettie à prendre les valeurs a, ]3,..», â lorsque x prendra les valeurs o, i,..., A — i, et ne sera pas autrement déterminée.

Parmi les fonctions, en nombre infini, qui satisfont à ces conditions, la plus simple est la fonction entière du degré ^ — i que donne la formule d'interpolation de Lagrange, à savoir :

Y[x) désignant le produit 07(0: — \). ..[x — k -\- \), e\ F'(ir)sa dérivée.

Mais ce mode de représentation des substitutions présente cet inconvénient grave que, si Ton fait le produit de deux substitutions

S^ I ^ ?(^) I el T= I .r ^(x) |,

ce produit se présente sous la forme

ST= I X ^[<^{x)] I,

où le polynôme ^\^{oc)] ne se réduit plus au degré k~ \,

115. Lorsque k est un nombre premier p^ on pourra remédier a ce défaut. Supposons en eflet, ce qui est évidemment licite, que la quantité 4 puisse également être représentée par /^, y étant un entier quelconque congru à x suivant le module /? : on pourra, dans la fonction 4'[9(^)]* abaisser les exposants au-dessous de p au moyen de la relation x^^x (mod. p). Toute substitution pourra donc être représentée par le symbole I X ^{x) |, oii ^[x) est un polynôme entier du degré/? — i au plus; mais, pour qu'un symbole de ce genre représente effectivement une substitution,il faut évidemment que <p(o), 9(1),.,., 9 (/? — i) soient tous différents, et soient congrus, à Tordre près, aux nombres o, i,..., /? — 1.

M. Hermite a démontré, à cet égard, le théorème suivant :

Théorème. — Pour que le symbole \ x (f[x) \ représente une substitution^ il faut et il suffit que la fonction cp [x) et ses p — 2 premières puissances se réduisent au degré /> — 2, lorsque, après avoir rabaissé les exposants au-dessous de p, on y supprime les multiples de p.

En effet, soit | x (p{x) \ une substitution; et soit

[^{x)Y=A^r^-h Ai'"^-f-. . .-+- aJ,1U'^' (mod. p).

Donnons à x les valeurs o, i,..., p — i et ajoutons les équations obtenues; il viendra

2 [^(x)]^ = pAl'"^^\['"^lx-h. ..-hPip.lxP'^ (mod. p). Mais on a

Donc 2^7,..., ia?'^* sont divisibles par/?; il en est de même de 2 [9(^7)]'", dont les termes doivent être, a l'ordre près, ceux de Ix'"; enfin 20?'*"* ^p — i; car xf^* est nul si o; = o, et congru à i dans tous les autres cas : donc, en supprimant les multiples de />, la relation ci-dessus se réduira à Aj;!L^i^o. Réciproquement, si tous les coefficients A^^*!,,.. ., A|,{!:;*^ sont congrus à zéro, 29(0:),..., 2 [9(^)J^~^ le seront également. La congruence qui a pour racines 9(0),,.., 9(/> — j) aura donc tous ses termes nuls, sauf le premier et le dernier, et se réduira ainsi à la forme

Zp— aZ^o (mod./?).

D'ailleurs ses racines, étant des entiers réels, satisfont à la congriieDce Z''— Z=3o, et, par suite, à celle-ci (a— i)Z:e^o. Donc, si a différait de Tunité, ces racines seraient toutes nulles, ce qui est impossible; car ç(a?), étant un polynôme du degré /? — 2, ne peut s'annuler à la fois pour les p valeurs x = o,..., x =^ p — i. Donc a = i, donc <f (o),..., 9 (/> — t) sont respectivement congrus aux p racines, o, i,..., /> — i de la congruence