P— Z^o (mod. p

116. Le nombre/? étant donné, il sera facile, au moyen de ce théorème, (le déterminer les diverses fonctions (f[x) aptes a entrer dans l'expression d'une substitution.

On facilitera ce calcul par cette remarque évidente que \x ax -\- ^\ est une substitution, pourvu que a ne soit pas nul. Donc, si | â? f [x) \ est une substitution, on pourra la multiplier en avant et en arrière par des substitutions de la forme linéaire précédente, de manière à obtenir la suivante :

contenant quatre coeincients indéterminés, dont on pourra profiter pour simplifier son expression. Supposant, par exemple, a'= i, on pourra déterminer a de manière à réduire à l'unité le coeiricient de la plus haute puissance de Xy puis /3' et /3 de manière à faire disparaître le second et le dernier terme de la fonction.

Soit, par exemple, p z=z 5 : les fonctions réduites (pi{x) auront Tune des trois formes

jrfX^x^-^-ax (mod. 5).

La seconde ne peut représenter une substitution, car {x^y = x* contient un terme en x\ Pour que {x'^ -{- axy^2ax^'h- (i -+- a^)x^ (mod. 5) ne contienne pas de terme en x\ il faut qu'on ait a = o. Si cette condition est satisfaite, {x^ -\- ax), son carré et son cube ne contiennent aucun terme en a:* : donc | a? a?' | est une substitution.

Les substitutions relatives à/? = 5 appartiennent donc toutes à l'une des formes suivantes :

\x aj:-+-(3|, \x a(^ -f- (3')^-i- (3 |.

M. Hermite a montré, par un calcul analogue qui n'offre plus aucune liffîculté, que les substitutions relatives à /> = 7 sont de la forme

I X a(p.(jr + l3')-t-l3 |,

5, ayant l'une des formes suivantes :

x*-f- ax^-h 3a^x (a quelconque),

x^-h- Sx^ztx^-h 36'x (ê non résidu de 7).

117. Si k était une puissance d'un nombre premier, telle que p", on pourrait faire intervenir des considérations analogues aux précédentes en assignant pour indices a la lettre /, au lieu de nombres entiers réels, des entiers complexes formés avec une racine d'une congruence irréductible de degré n. Mais nous préférerons une autre méthode, qui consiste à assigner à /, n indices simultanés, a?, y,..., pouvant chacun prendre les p valeurs o, I,..., /? — I (mod. p). Une substitution quelconque, remplaçant /,,>... par une nouvelle lettre /ç(a,y,.. \4.(:r,^. ), .. pourra se mettre sous la forme

9 et ^j; étant des polynômes du degré /> — i au plus relativement à chacun des indices a?, j,....

Cette méthode pourrait s'étendre, mais non sans complication, au cas où k contiendrait plusieurs facteurs premiers différents.

§ II. — Généralités sur les substitutions linéaires.

Origine du groupe linéaire.

118. Soient m et /i deux entiers quelconques; /q.o, . » Cj.-,. »••• ^^s lettres en nombre #7i", caractérisées par n indices, variables chacun de o a m — 1 (mod. m). Désignons par la notation

•»»a,«',... — I •^f X f • m » X —f- CCy X "T" Ot , . . • I ,

la substitution qui remplace la lettre dont les indices sont x, x\... par Celle dont les indices sont x -h a, x'-hu\... (mod. m). Les substitutions de cette forme constituent évidemment un groupe F transitif et ayant pour ordre m".

119. Cherchons la forme générale des substitutions qui sont permutables à ce groupe. Soient S l'une d'elles; 9 {x, x\...), 9' (a:, x\. ..),... les indices de la lettre qu'elle fait succéder à /, ,. . La substitution S"* A, 0 S fera suc-

\)i LIVRE DEUXIÈME.

céder h la lettre dont les indices sont y (a:, a?',...), ^'(ir, a/,...),... (mod. m) celle dont les indices sont (f{x-h i^ ^',...)» ?'(^ -^ ^» a?',...),... (niod. m). Pour que celte substitution soit Tune de celles de F, telle que A„ ,,. , il faudra évidemment qu'on ail les relations

cp(.r-hi,x',...)^9(^, ^',...)-J-^> 9'(-^-*- I, X y,.,)^(^'{XyX' y.,,)-\- a\... (mod. m).

On aura de même, si A^,^.^ est la transformée de Ao,,, . par S,

o{x, x'-hi,....)^9(jr, j:',...)-h b, 9'(^, a:'-|-i,...)^9'(^> x'y.,.)-\- 6',... (mod. m).

D'ailleurs ces conditions sont suffisantes pour que S soit permutable à F; car les transformées parS de chacune des substitutions A, o,..»Ao,,, ,... appartenant à F, il en sera de même de la transformée de A*o. . • AJ^,^ . ... = A^.^ . .

On déduit des relations ci-dessus, en posant 9 (o, o, . . . ) = d^, ^'(o, o, . . .) = â\

On a évidemment

S=^TAs,i',...9

T étant une substitution qui remplace a?, x\ . . . par cuv -^ bx'

cix -\- b'x'-h....... (mod. m). Les substitutions permutables à F s'obtiennent

donc en combinant aux substitutions de F les substitutions de la forme T. Ces dernières substitutions, que nous représenterons indifféremment par Tune ou l'autre des deux notations suivantes :

X ax -\- bx' 4- . .

XfX\... ax -h bx' -\- . . . , a' X -\- b' X

forment évidemment un groupe, que nous appellerons le groupe linéaire du degré m", et dont nous allons étudier les propriétés.

Ordre du groupe linéaire.