Soit
T = I Ziy Zi,. , . giZi -h gtZi-^. , ., r, z, -h Ta Zj 4- . . • » • . . | .
Il est aisé de déterminer les relations auxquelles satisfont ses coefTicients. En effet, les substitutions
A', = A^« Aï'. . ., a; = A?« Aï*. . . , . . .
transformées de A|, Aa,... par T devant avoir mêmes exposants d'échange mutuels que A«, A2»...» on aura, pour toutes les valeurs de fx et de v,
(33) (A, Al) j,^gv -i- (A, A/ j^n 4-. . .-h (A, A,)r^gv-f-. . .^(A,,A,).
Elles ont en outre les mêmes caractères, d'où pour chaque valeur de jx la relation
(34) (A, A,)g,,j^-h (A,A,)^^ryi-f-. . .-h 5, j,* 4- 5,r,. -h. . .=^^1.
Les conditions ci-dessus sont d'ailleurs suffisantes. Car, si elles sont rem-
plies, soient A^'^AJ''... une substitution quelconque de ^, A'/^'Aj'"»... sa transformée : ces deux substitutions, étant respectivement le produit de /acteurs qui ont mêmes caractères et mêmes exposants d'échange, auront mêmes caractères.
258. Cherchons à simplifier l'expression des conditions ci-dessus par un ehangement d'indices convenable.
Nous avons vu (232-234) que le groupe ^ peut être considéré comme dérivé de n couples de substitutions
lel.l^s, que tous leurs exposants d'échange mutuels soient congrus à zéro, sau f ceux-ci :
qu ft seront congrus à i. On peut d'ailleurs supposer que les deux substitutioKHS d'un même couple ont le même caractère; car, si •^j et ift)|, par eic^Mnple» avaient respectivement pour caractère o et i, ^f pourrait être consid éré comme dérivé des substitutions de la double suite
lesquelles ont mêmes exposants d'échange et mêmes caractères que les substitutions correspondantes de la suite (35), sauf ifli <A,|, qui a pour caractère
ela posé, soit p le nombre des couples de la suite dont les substitutions ^'ï*. le caractère i : si p > i, on pourra l'abaisser de deux unités. En effet, ^■-^^nt ,1,,, -tfei; A,a, ift)j deux couples dont les substitutions aient le carac- ^^"^^^ i; on pourra considérer ^ comme dérivé de la double suite
an ^]ogue à la double suite (35), sauf que ses deux premiers couples ont le c^^^'^ctère o au lieu du caractère i.
^i donc on suppose p réduit à son minimum par le procédé ci-dessus, on a^ï*ap=:o ou p=i. Ces deux cas sont d'ailleurs essentiellement différents, cOTïime le montre le théorème suivant, qui donne au nombre p sa véritable signification, dégagée de tout arbitraire :
259. Théorème. — La majorité des substitutions de i a pour caractère p.
i^ Soit d'abord p=o. Les substitutions <^^,, '^f,... ayant toutes pour caractère zéro, une quelconque des substitutions de ^^ telle que <^i.^*iA>f*jie;«ip4*--» aura pour caractère 0161+0362 + — Le nombre des substitutions de ^ ayant pour caractère zéro sera donc égal au nombre $„ des solutions de la
congruence
cï| 6i -I- «2 6j + . . . ^ o.
Or on peut satisfaire à cette congruence en posant
Dans le premier cas, on aura pour a^ 6| les trois systèmes de solutions o, o; o, i; j, o; et l'on aura $„.| manières de choisir a,, 62,.... Dans le second cas, on devra poser a^^b^^o; et a,, 6a,..., pourront être choisis de a*^'»-*^ — î„, manières. Sommant toutes ces solutions» il vient la relation
qui permet de calculer successivement *,, ^3,..., *, étant égal a 3. On vérifie aisément que l'on aura en général
nombre supérieur à la moitié de 2^", nombre total des substitutions de ^.
260. 2® Soit au contraire 0 = ix et supposons, pour fixer les idées, que celui des couples de la suite «v.,, ^i,, ; x^, ift»2;*** dont les substitutions ont le caractère i soit le premier, e^,, ub,. La substitution -A.j*ift)fstJ«ia»J'... aura pour caractère a, + 6, + a, 6,+ aa62+.... Le nombre ^„ des substitutions de «^ qui ont pour caractère zéro sera égal au nombre des solutions de la congruence
/?, + 6, + <i, 6, + a, fcj -h . . . ^ o, ou V «I -+- 1 , 6, -+- I • -+- a, fc, -+- . . . ^ I .
Mais cette congruence est satisfaite par 2^" — *,, systèmes de valeurs de af + i, 6, + 1, a,, 62,..., auxquels correspondent autant de systèmes de valeurs de ai, 64, a,, 63, On aura donc
nombre inférieur à - 2*".
261. Cela posé» on peut déterminer un système d'indices indépendants x^, j'i;...; Xn, yn qui correspondent respectivement aux substitutions cA^,, t^f ;•••; «^/i* '^n' Soit maintenant
X, a\ j:, 4- c', j, -f. . . . -f. a'^ Xn 4- c'„ y^ j, 6', a;, + rf', j, -f- . . . 4- b\ x^ + rf'„ j„
Sr=
^„ «^,"^0;, 4- c^,''^ j, 4- ... 4- d;^^Xn 4- c^">7«
une substitution du groupe cherché. Les conditions auxquelles ses coeificients doivent satisfaire s'obtiennent, en substituant dans les relations (33) et ( 34) les valeurs particulières qu'ont les exposants d'échange et les caractères des substitutions correspondantes aux nouveaux indices. Elles seront dono différentes suivant que l'on aura /9 = o ou /9 = i. On obtiendra ainsi deu >^ groupes différents, So 6t 5i » que nous appellerons groupes hypoahèUens ,
rem jour
Premier groupe hypoahélien.
. Supposons /9=o. Les relations (33) se réduiront à la forme (27) (en rquant d'ailleurs que, dans le cas actuel, /> étant égal à 2, on aura tourna 1); et les relations (34) deviendront
<*;-H. ..-+-«[:)*(,"> =0, c;d;4- . . .4- cj:')rf^'»)=o,
forfvr^iites où jx prendra successivement toutes les valeurs i, 2,..., n.
SI Sais si S appartient à 5o» S~* lui appartiendra, et réciproquement. On
^^x^ donc un nouveau système de relations équivalent au précédent, en
0%ç^«*îinant que S~' est hypoabélienne. Pour cela, on remplacera dans les
^eV^tions (27) et (36) les divers coefficients a^,..., d^^^ par les coefficients
co^^^spondants de la substitution S~', que donnent les formules (26). On
Q\>ûendra ainsi les relations (25) et les suivantes :
b^r^ rf(f )
fto*) rfo*) = o, af^lt^ djf-^ 4- . . . 4- aj,»*) c^) = o.
263. Théorème. — Le groupe 5o ^st déri{^é des seules substitutions M^, N^^^v (définies comme au n^ 220) ; et son ordre est égal à
En effet, les substitutions des deux formes ci-dessus, satisfaisant aux re-
200 UVRË DEUXIÈME.
lalions (riS) et (37), appartiendront à ^o- Réciproquement» toute substitution hypoabélienne, 2, dérive de celles-là.
En effet, supposons que 2 remplace Xt par la fonction
/, s à^Xi 4- 6-', ri 4- . . . -f- a„x^ 4- c„x^ :
les coetricients a^,..., c^ ne seront pas tous congrus à zéro, et Ton aura, d'après les relations (37),
;; 38) « , c , 4- . . . -h a'^ cl ^ o.
264. Cela posé, on pourra déterminer une subsUtution S, dérivée des substitutions Mpt et NpL^vf q^i remplace a?, parf^ .
En effet; soit d'abord a^^i : la substitution
remplace a?, par/i .
Sia^^o, maiscj^i,il existe, d'après ce qui précède, une substitution ^, dérivée des substitutions M|a et Npt,v> qui remplace a;, par
c, JT, -+- a, JT, 4- c\yi -h . . . ;
et la substitution
remplace a?, par/,.
Soit enfin a^^c^^o, mais aj, ouc^^i. D'après ce qui précède, ii existe une substitution, s, dérivée des substitutions M^^ et N^^.v qui remplace x^ psir/, ; et la substitution
remplacera or, par/,.
265. Ce point établi, posons 2 = S2' : 2 et S étant hypoabéliennes, 2' ie sera également; mais de plus, elle laissera x^ invariable. Soit
la fonction par laquelle elle remplace y« : les relations (aS) et (37) donneront
(3i)) d\~\. fc', 4-fc;rf', 4-...4-6„rf'„ = o,
