Troisième cas : Faisceaux de troisième catégorie

Considérons spécialement les indices de la première série d'un système quelconque. On verra comme (232-234) : i^ que ces indices sont en nombre pair; 2^ qu'ils peuvent être choisis de telle sorte que les substitutions correspondantes, <A>|, 1^,, <A»2, 0^2* ••• siient tous leurs exposants d'échange congrus à zéro, sauf les (•l.pt'^^ii)^ — ("^ii**»!!)» qui seront congrus a i.

d'où

\ \ (Aji Av) [m,4iv 4- /lîv/i^] ^ \ \ (AjaAv) /w^/iv^'SS,^.

Le théorème est donc établi. On le démontrerait de même s'il y avait plus de deux facteurs.

256. Proposons-nous maintenant de déterminer les substitutions linéaires qui transforment chaque substitution de § en une autre ayant même caractère. Ces substitutions forment évidemment un groupe 5.

Ce groupe est contenu dans le groupe abélien. Car soient T une de ses substitutions; S, S, deux substitutions de ^; S', S\ leurs transformées par T : on aura, par hypothèse,

car. S' ^ car. S, car. S', ^ car. Si, car. S' S', ^ car. SS, ;

(S' S', ) = car. S' S', — car. S' - car. S', = car. SS, — car. S — car. S, = (SS,).

Donc la transformation par T n'altère pas les exposants d'échange mutuels des substitutions de ^ : donc T est une substitution abélienne.