b^;^^ Xn -\- d^^^Xn

OÙ les coefficients sont liés par les mêmes relations que dans les substitutions hypoabéliennes entre n—i couples d'indices.

On voit comme tout à l'heure qu'on aura 2, =S|S',22, S| et S', étant dérivées de celles des substitutions M|i, Njx,v dans lesquelles jx et v sont > i, et 22 une nouvelle substitution hypoabélienne qui laisse a?,, y,, a?2, ja invariables, etc. Donc enfin on aura

In-i étant une substitution hypoabélienne qui n'altëre plus que les deux indices x,t^ Xn- Mais une semblable substitution ne peut être que l'unité, ou M;,. Dans l'un et l'autre cas, 2 sera dérivé des substitutions M|x, Nj^^.

267. L'ordre w^ du groupe 5o résulte immédiatement de ce qui précède. En effet, le nombre des fonctions différentes, telles que /, que ses substitutions permettent de faire succéder à Xt est égal au nombre 9„— i des systèmes de solutions de la congruence (38), la solution a\^...^c„^o étant exclue. On aura &>;, = ($^— i) ck)'„, w'^ étant l'ordre du groupe partiel §\^ formé par celles des substitutions de So qui laissent ar^ invariable (123).

Le nombre des fonctions différentes// que les substitutions de 5'o font succéder à ji est égal au nombre des solutions des congruences (39), lequel est égal à 2^""^; car ces congruences déterminent d\ et b\, les 2/1—2 coef-

iicients fe'a,..., d\ restant arbitraires. On aura a)'^ = 2*""* w^,, co,^, étant Tordre du groupe partiel formé par celles des substitutions de 5^ qui n'altèrent pas a?,, j,.

Poursuivant ainsi, on obtient la formule énoncée au théorème.