Problème. — Trouver les facteurs de composition de ^f
Soit I un groupe contenu dans 5o> et permutable à ses substitutions; nous allons rechercher ses propriétés.
Proposition I : I contient une substitution différente de l'unité, et qui
n'altère pas x,. — Soient en effet S une substitution quelconque de I;
y, EEE a\ ar, -h c\ y^ -h d^ x^ -\- c^y^ -f- . . . la fonction qu'elle fait succéder
à x^. Si/, ne se réduit pas à x^^ Tune au moins des quantités c\, a^, c,,...
sera ^o (mod. 2).
1** Si c,>o(mod.2), 5o contient une substitution T qui laisse x^ invariable, et remplace j, par/, (265) : I contiendra S,, transformée de S par T, laquelle remplace a;, par 7,.
Ola posé» si S, laisse x^ invariable, I contiendra sa transformée par P,^,, laquelle laissera x^ invariable. Si au contraire S, altère x^^ on voit aisément que parmi les substitutions des formes N^^^v» Q|L,vf R|l,v qui laissent â?,,y, invariables, il en existe une au moins, T,, non échangeable à S,. Le groupe I contiendra la substitution Sr\Tr* S, T«, laquelle laisse â;, invariable et diffère de l'unité.
2° Soit c, ^o, mais a^^i, par exemple. On a
dj c, H- . . . ^ a', c', 4- of, c', ~h . . . ^ o.
Cela posé, 5o contient la substitution
laquelle remplace X2 par/,, sans altérer ar,; eti contiendra S,, transformée de S par T, laquelle remplace x^ par X2. Or on voit aisément que parmi celles des substitutions de 5o qui n'altèrent pas x^^ ^2» il ^^ ^^t une au moins, T,, non échangeable a S, : et I contiendra S7MV'S, T,, laquelle laisse x, invariable, et diffère de l'unité.
269. Proposition II : I contient une substitution différente de l'unité, et qui n altère nix^ ni y^. — Car soit S une substitution de I qui n'altère pas a?, :
elle remplacera ji par une fonction/,' ^b\xt-hd\y^-h...-h b'„ a?,, h- d'„y„, dont les coefficients satisfont aux relations (Sq).
1® Si 6', E=o, d'où i',rf2-h...^o, 5,, contient une substitution T qui remplace x^ par b\x^'+- d\y^-^... sans allérer ar,, j, (266); et I contient S,, transformée de S par T, laquelle remplace j, par j, -i-a^2« f^ela posé, si S| se réduit à R«,2» I contiendra sa transformée par Pi,,, laquelle n'altëre pas âTf, jf. Dans le cas contraire, parmi les substitutions de 5o ^^i n'altërent pas a:,, y,, x^ il en existe une, T,, non échangeable à S^ : I contiendra S;"*Tr*S, T|, qui laisse x^^ y^ invariables, et diffère de l'unité.
2® Si i'i^î, les relations (Sg) montrent que l'un au moins des produits ft'jrf'j,... sera ^o(mod.2). Soit, pour fixer les idées, b\d^^i^ d'où h^^d\^i. On aura b\d\-\- ...^o\ et 5© contiendra une substitution T qui laisse 07,, ji, iCa invariables, et remplacera par rf2j2-Hi'3a;8 ^-rfgjj-f-.... Le groupe I contiendra S,, transformée de S par T, laquelle remplace j, par a?! H-j'i -f-iCa-l- j2» et n'altère pas a?,. Cela posé, si S, laisse x^, Xa,... invariables, I contiendra sa transformée par Pi,,, laquelle laisse a7|,j, invariables. Dans le cas contraire, parmi celles des substitutions de ,5o qui laissent invariables x^, j,, x^-^y^^ il en existe une, T,, non échangeable à S,; et I contiendra S7*T7^S, T,, qui laisse o;,, j» invariables, et diffère de l'unité.
270. Proposition III : I contient une substitution qui n'altère que les quatre indices x^^ j,, ^2> Ja« — Car, en poursuivant le raisonnement qui précède, on voit que I contient une substitution qui laisse invariables les indices a?,, 7i, X2J puis les indices iC|, j,, a?^, jj, etc. On pourra continuer ainsi jusqu'à ce qu'on arrive à une substitution qui n'altère plus que les quatre derniers indices, x^^^ yn-\^ ^n* Jn* Sa transformée par P,.„i Pa,/!» laquelle appartient à I, n'altérera que o;,, j,, x^^ y^. D'ailleurs elle satisfait aux relations (27) et (36), et, par suite, sera de la forme
jr, , Yx d, X, -f- c , y\ 4- d^ x^ -f- c , j„ *', Xk 4- d\ y^ -f- 6', x-, -f- d\ y-x x^y y^ a\x,-\- c\y,-i-(f^Xi'\'c\y'ij b\x,-^ d^y.^ b^^x^-^- d^y^
271. Proposition IV : S/ n > 2, I contient une des substitutions Nji.,v,
Premier cas. — Si c,^i, I contient S|, transformée de S par Qf',Rf;» qui
est de la même forme que S, mais remplace x^ par^i. Si S| est échangeable
à Ms, elle se réduit à M| ou à M, M2. Miais si I contient M,, il contient par là même M, .P;;1M| P^a = M,M2. Enfin il contiendra sa transformée par N|,2Q(,2« laquelle laisse Xt invariable. Si, au contraire. S, n'est pas échangeable h Mj, I contiendra Si"MWr^S, Ma, qui diffère de Tunité, et laisse encore o^i invariable. On retombe ainsi sur le troisième cas qui sera discuté plus loin (273).
272. Second cas. — Si Cj^o, on aura d^c\^o. Mais supposons qu*on n'ait pas à la fois d^^o, c\^o : So contient une substitution T qui remplace X2 par a, a?, -hd^Xi-^^c^yzf sans altérer a?, : et I contient S,, transformée de S par T, laquelle remplace a?, par x^.
i"" Si S, est échangeable à R,^, elle a Fiine des quatre formes suivantes :
*i,ï, »i,îRi,a "uaQij, "i,iQ2,i Ki,i-
Or, si S, est égale à F,, 2 ou à P|,2Ri.2» sa transformée par Q,,2 appartient à I et laisse Xt invariable. On retombe ainsi sur le troisième cas. Si S|=P|,2Q2,M I contient les transformées Sa et S, de S, par P2,iPi,â 6t (P2,8Pi,2)^- Il contiendra donc S7*SaSaS,,,et sa transformée par Q,,j, laquelle se réduit à Qj^,. Si S, = P<,2Q2,iRi,2» I contiendra SJ, qui se réduit a R, 2.
2® Si S, n'est pas échangeable à R,,2> I contiendra Sr*.R7;iS, R,,2, qui laisse a?, invariable, sans se réduire à Tunité; et Ton retombe sur le troisième cas.
273. Troisième cas. — Si l'on a a la fois c\^d^^c\^o, d'où a\^iy S laissera or, invariable. Quant à j,, elle le remplacera par une des quatre
fonctions 7, , Ji -+- ^2» y* -1-72. ^1 -H-Ji -H ^2 -^72-
Si S laisse ji invariable, elle se réduit à M2 : I contiendra
puis la substitution
* 1.8 Ri.iQj.t * i.»«Ri,îQj,i «01,8 Ri,2 Qj,i Qi.3,
laquelle se réduit à R,,,. Si S remplace j, par j, -1- a?2» elle se réduit à R,^a ou à R|,2M2. Dans ce dernier cas I contiendra S^ = R(,2Q2,m ^t, par suite, il contiendra R,3. Si S remplace j, par j, -1-J2» I contient sa transformée par M2, qui remplace j, par j, -ha?2; on retombe ainsi sur le cas qu'on vient d'examiner. Enfin, si S remplace y^ par a?, -h yi'\-X2-hy2f elle sera
DES SUBSTITUTIONS. àO:>
égale à R|,sQs,i» auquel cas on vient de voir que I conliendra R,^,, ou à Kf.zQi^^Ms. Mais dans ce dernier cas, I contient M2« transformée de S par R«,3 : on retombe ainsi sur un cas déjà examiné.
274. Proposition V : I contient la moitié au moins des substitutions de ^o-
En effet, I contenant une des substitutions N,jL,vf Q{i.v» R^i.v» l^s conliendra toutes; car on a les relations évidentes
NV.>= (P^!^P.,v)- N«,p P^.p P.,v, Q^.v = Mv"* N,..v Mv, R^.v = (M^ Mv)- N,..v M.^ Mv.
qoi montrent que toutes ces substitutions sont transformées les unes dans
les autres par des substitutions de 5o.
Donc I contient le groupe 5 dérivé des substitutions Njt,^» 0{i,v» R|jl.v et de leurs transformées. Mais toutes les substitutions de ^^ sont (266) de la forme SS'...S„2S'„,2;,,, S, S',..., S^2, S'„j étant des substitutions de -3, et 2^-1 Tune des deux substitutions i, M„.
Donc, si M„ était contenue dans d, ce groupe, et, par suite, I se confondrait avec 5o» qui serait simple (nous verrons plus loin que cette hypothèse ne se vérifie pas). Si au contraire d ne contient pas M„, son ordre sera
moitié de celui de So'» et si I est moindre que So» il se confondra avec d.
275. Proposition VI : 5^ a pour facteurs de composition 2 et - «„.
Il suffit évidemment pour le prouver de faire voir que 5 est simple. Or, si Ton pouvait déterminer des groupes contenus dans d et permutables à ses substitutions, soit K Tun de ces groupes, choisi de manière que son
ordre 0 soit minimum. L'ordre - &>;, de 5 serait une puissance exacte de 0 [59). Mais - (un n'est pas une puissance exacte, du moins pour /i = 3, 4» 5,
Nous achèverons la démonstration en prouvant que la proposition étant vraie pour /i— i, le sera pour n.
Supposons en elTet que le groupe K existe : on voit comme (268-269) que l'une au moins de ses substitutions. S, laisse invariable l'un des couples d'indices, tel que x^^ Vi. Le groupe &' formé par celles des substitutions de d qui n'altèrent pas o^i, j, est précisément ce que serait d, si au lieu de n couples d'indices on n'en avait que n— i\ donc il est simple, par hypothèse. Donc les transformées de S par les substitutions de ^', combinées
i06 LIVRE DEUXIÈME.
ensemble, reproduisent tout ce groupe, dont l'ordre est - «„-,. Donc 0 est au moins égal à - o);,..,, nombre supérieur à la racine carrée de - a)|,« Donc - (i)„ ne peut être une puissance de 0, comme il le faudrait.
276. Nous avons laissé de côté le cas oix n = 2. Pour mettre en évidcDCe dans ce cas particulier les facteurs de composition de So» remplaçons les indices a?,, j,, X2, J2 par d'autres indices indépendants Ç,, yj,, £2» *îa ""^spectivement correspondants aux substitutions a.|ifl>i, «t^, «v^ij^, A^^ift»,, A>, ifbi 1^2. On voit immédiatement que les 72 substitutions de ^o résulteront de la combinaison de la substitution
S — I Çi, rit, Sa, rii ^j, Yîa, $„ 73i |
avec celles de la forme
T = I Ç,, 73,, $„ 73, a, g, -h 6,73,, c, Çi 4- rf, 73,, Oi^i-h éiTîî, c,Ç, -h rfjYî, |.
Ces substitutions sont permutables au groupe formé par les substitutions T, lequel est d'ordre 36, et a évidemment pour facteurs de composition ceux du groupe linéaire de degré 2^, répétés chacun deux fois, c'est-k-dire 2, 3,
Second groupe hypoabéUen.
277. Supposons maintenant que les substitutions correspondantes aux indices a:,, ji aient pour caractère 1, les autres ayant 'pour caractère o. Les relations générales (33) et (34), appliquées à la substitution S (261) donneront entre ses coefficients les relations (27) et les suivantes :
( «I *'i ^- «*, *", H- . . . 4- û , -^ b\ = c\ ûf', -f- r^, ûf *; 4- . . . -f- c\ -f- ûf', = I ,
En exprimant que S"' est hypoabélienne, on aura un nouveau système de relations, équivalent au précédent, et formé des relations (25) jointes aux suivantes :
^^ ja, c\ -f-a, c, -f ...4-rt', -r-c', =6', d\ -\-b\ d\ -h. ..-4-6', -4-d', =1,
•■* ' I a^f^c'<f^a^)c^^-^...'V'dlt^-\-é^^=Uf-^d^^^ (si fJi>i),
u = I x„7„ x„7„.. . xi-^-jï, r»-*-^'» ««^i H- -îp» + r^» •îPi-+-ri+'5^»-+-j2»- • •!>
ainsi que celles des substitutions M^t» N^t.v pour lesquelles |x et v sont > i, satisfont évidemment aux relations (27) et (4o). Elles appartiennent donc au groupe hypoabélien^i.
279. Théorème. — Le groupe 5< est dérivé des seules substitutions ci-dessus; et ^t>n ordre jSn est égal à
EId effet, soient! une substitution de6,:/,^=a'ja?, -^c,ji -^d^x^-hd^^-^... (a f\)Dction par laquelle elle remplace or,. On aura, d'après les relations (/|i),
CHela posé, on pourra déterminer une substitution S, dérivée des substitutif ^as ci-dessus, qui remplace a?, par/,. Id effet, soit d*abord
a', c\ + a, -4- c', ^ o, d'oii a', c, -h . . . == i .
/un au moins des produits binaires d^c^^,.. sera ^o (mod. 2). Soit par ex.^inple d^c\^i, d'où d^^c^^ï, d^c^-\-...=^o. Il existe une substilu*:ion S, dérivée de celles des substitutions M^, N,jt,v pour lesquelles jjl et v sow::^ t > I, qui remplacera ^^^ y2-^d^x^-\'C^yi-\-... sans altérer X2 (265). '-»* substitution S = SU remplacera a?, par/,. ^Soit maintenant
fi^, c', -h tf', + r', ^ I , rf, c'j 4: . . . ^^ o.
Il existe une substitution ^, dérivée de celles des substitutions M^j.» N^j^.v p^ur lesquelles /x et v sont >i, qui remplace X2 par aga^j-^Cj 72-*-... (^^4); et Ton pourra poser S égal à
8M,UM.; M.SM,UM,; ou L,M,SM,UM.
suivant que Ton aura
dy ^ o, c , =11 1 ; a, ^ I , c\ ~= o ; ou a , ;s c', :^ i .
280. Ce point établi, posons 1 = S1' : 2 et S étant contenues dans 5,, 1' le sera; de plus, elle laissera x^ invariable. Soit
/; = b\ X, -f ûT, ^^ 4- . . . ^. V^xn 4- d\ y^
la fonction par laquelle elle remplace y^ : les relations (25) et (4i) donneront
(43) . d\ = \, 6;rf; -f-...-f-é'„d'„ = o.
II existe une substitution ^, dérivée de celles des substitutions Mj^, N|jl,v pour lesquelles /x et v sont >i, qui remplace x^ par ^2^2 + ^'2/2 -♦-•••; ^t la substitution
S'=:SM, Lf.U»
remplacera y^ pai*/i' > sans altérer a?,.
281. Posons 2' = S'Z* : 2| sera hypoabélienne, et laissera invariables x^^ j, ; donc, en vertu des relations (25) et (40» ^''^ remplacera a72tj2f-» ^n* y,t par des fonctions de ces seuls indices; et les relations qui subsistent entre les coefficients de ces fonctions sont précisément les mêmes que dans le groupe hypoabélien de première espèce jentre n— i couples d'indices. Donc It sera dérivée de celles des substitutions M^, N|i.,v pour lesquelles [x et V sont > 1 (263).
282. L'ordre de Ô4 découle immédiatement de ce qui précède. En effet, le nombre des fondions différentes que se>s substitutions permettent de faire
iï^Y succéder à x^ est égal au nombre des solutions de la congruence (4^)9 le-
. " quel est égal à 2^"— ^„ (260). Celui des fonctions différentes que celles de
ses substitutions qui laissent x^ invariable font succéder à j, est égal au double du nombre ^^V, des solutions des congruences (43) (6'j restant arbitraire). Enfin le nombre des substitutions de i), qui laissent or,, j, invariables est «;,,. Le produit de ces trois nombres donne rsn (123).
