B- ~ 1FF

achève de déterminer m, et m, par une équation du second degré.

De g ris supérieurs.

513. TiiKoatMe. — Im résolution des équations generales d'un degré supérieur au cinquième ne peut être, ramenée à celle des équations desquelles dépend la division des fonctions circulaires ou elliptiques.

Kn effet, l’équation générale du degré q, après l'adjonction de la racine carrée de son discriminant, est simple, et a pour ordre ' Supposons

inaintenanl qu’après lui avoir adjoint les racines d’un certain nombre d'équations auxiliaires A, B,... insuffisantes pour la résoudre, un lui adjoigne en dernier lieu celles de l'équation D de laquelle dépend la division par un nombre premier p d’une certaine fonction F circulaire ou elliptique. Otte nouvelle adjonction ne la résoudra pas davantage.

En effet, l'équation proposée étant simple, et n’étant pas résolue après

l’adjonction des racines des équations A, B son groupe ne sera pas

abaissé par ces adjonctions. Supposons maintenant que la fonction F soit circulaire : la résolution de l'équation D revient à la résolution succe.ssive de trois équations abéliennes (§1). La résolution de toute équation abélienne dépendant elle-même de celle d'équations abéliennes de degré premier (403-407), l'équation proposée devrait être résoluble par l'adjonction

DES mnATIONNELLES. T,^

«les racines il'unc suite d'équations nbélicnnes de degré premier. Ola est absurde : car si la résolution d'une équation abélienne de degré premier rr pouvait abaisser le groupe de la proposée, elle entrainerait sa résolution complète ; et réciproquement la résolution de la proposée entraînerait celle de l'équation abélienne (celle-ci étant évidemment simple). Os deux équations seraient donc équivalentes, et leurs groupes contiendraient le même nombre de sub.stitutions (381); d’où

résultat ab.surde, ;r étant premier.

Si F est une fonction elliptique, l'équation D = o, de degré dépend (§11) d'une suite d'équations simples, toutes abélicnnes, sauf l'une d’elles C,

dont le groupe a pour ordre ^ ^ La résolution des équations abé-

liennes ne pouvant abaisser le groupe de la proposée, il faudra que celle de l'équation C le fasse. Donc cette équation sera équivalente à la proposée : donc les groupes de ces deux équations contiennent le inéme nombre de substitutions d’où

résultat absurde si j > 5 : car j'-i? étant divisible par p, on aura p^q, d’où />(/»’ — l)< I.2.. .17.

.514. On voit de même que Viquaûon gétiérale du degré q ne peut être résolue à l'aide des équations qui donnent la division des fonctions hyperellipliques par un nombre impair. En effet l'cqualion E de la division par p des fonctions liypcrclliptiqucs a a/i périodes, ayant pour groupe le groupe abélien, dépend d’une suite d'équations simples, toutes abéliennes, sauf l’une

d’elles, dont l’ordre est Lé* ~ ' ^ ~ ^ (224). Pour que cette équation procurât la résolution de l'équation générale du degré q, il faudrait qu'on eût

fj»'"— !)/>»*-'.. .(/>'— t)p 1 .2. . .g 2 2

résultat absurde; car.si i.a...^ est divisible par7>*"~'.../2, le second membre de celte relation surpassera toujours le premier.

RL'inarquons tuulcrois (|uc cette démonstration pourrait être en défaut, s'il existait entre les modules de la fonction liypcrelliptique considérée des relations particulières abaissant le groupe de récjnation E.