TRÉonèMF. — Im résolution de l'équation générale
X = Tf -t- axs- ' O
se ramène, après l'adjonction d'irrationnelles numériques qui ne dépendent que de q, à celle de l'équation E qui donne la bissection des périodes des fonctions byperelliptiqucs formées aceo la racine carrée de X.
En effet, les racines de E, étant des fonctions monodromes de celles de X, ne pourront contenir dans leur expression que des irrationnelles numériques. Adjoignons-nous ces irrationnelles : les racines de E deviendront des fonctions rationnelles de celles de X. .\djoignons-lcs à l’équation X : le groupe de cette dernière équation sera réduit à celles de scs substitutions qui laissent invariable.s toutes les racines de E, c'est-à-dire à la seule substitution I.
510. Nous terminerons en signalant une réduite de l’équation générale lin huitième degré, qui parait devoir jouer dans l’élude de cette équation le même rôle que la réduite du n" 509 pour l’équation du cinquième degré.
Soit X l’équation proposée tlu huitième degré; adjoignons-lui la racine carrée de son discriminant : .son groupe se réduira au groupe alterne, con- I .a. . .8
tenant ‘ ‘ = O substitutions. Cela posé, représentons les racines de X
par le symbole xyz, où x, y, s sont variables de o h i; et considérons le groupe G formé par les substitutions
1 34 ) I X, r, 2 ax y ï -e 5, a'x -1- ^'y i', x’x -t- XX ■+• 7** + ô* b
qui sont en nombre u = 2’ (a’ — 1) (a* — a)(a’ — a’), et contenues ilans le groupe alterné. Une fonction ç des racines, invariable par les substitutions
de G, dépendra d'une équation Y, de degré ^ = i5, dont les coefficients
s'exprimeront rationnellement en fonction de ceux de X et de la racine carrée de son discriminant.
Désignons, pour abréger, par a, b, c, d, e,f g, h celles des racines dq X t|ui étaient d’abord désignées par 110, 001, ou, iii, 010, 100, 000 : et représentons par le symbole ce que devient la fonction ç lorsqu’on y
DES 1RB.\T1ÛNXEU.F S. rixl
l'oiiiplace a, h, c, d, e par X, fi. v, p, r: sans changer les aulrcs racines /, g, h. Il csl aisé de voir que les quinze racines de l’équation Y seront
i libelle, abilec, abecil, hiieed, bitilce,
(3:>) < bnede, ebiieil, vbdae, ebeda, dbreii,
^ dbnee, dbeac, ebend, ebdrn, ebndc.
et de se rendre compte de la manière dont ces racines sont permutées entre elles par les iliverses substitutions du groupe de X. En effet, considérons, par exemple, la substitution {hcd). Elle transforme ahede en aedhe; mais cette dernière expression ne diffère pas de aheed; car la fonction ahede = ç étant invariable par la substitution
\.r,}r,2 X -i 2, y, i | = (é</)(cf),
on aura ahede = adehe, identité qui ne sera pas troublée lorsqu'on y opérera l’une des substitutions du groupe île X, telle que [hcd)\ ilnnc ardhe = aheed. On verra de même que [hcd] transforme rtiecif en ahdce, etc. Désignons maintenant les quinze quantités (35) par les symboles sui-
vants :
1 IIHIO, 1 OOI I ,
OKH>.
1 lOO,
OOlO,
OOO 1 ,
tOlO»
fini.
1 1 lO,
' OlOI,
loi
Ot lO»
1 oo t ,
i‘t considérons la somme ij» des trente-cinq produits ternaires, tels que
xyztt.x.y, Z, a, ,x,y, z, ii,.
que l'on peut former avec ces quantités, en observant les conditions suivantes :
a: 4- a:, -I- J-, ^ a.-f t- «, -i- «, =* o {mod.
On vérifiera sans aucune peine que l'expression ij/ ne sera altérée par aucune des substitutions du groupe de X. (II sullira de faire cette vérilication pour les substitutions (ahc), (hcd), (rde), (edefg) dont les autres sont dérivées.) Donc le groupe de Y sera exclusivement formé de substitutions qui n’altèrent pas i|>.
Cela posé, l'équation Y étant équivalente îi X, a dans son groupe le même
:inî UVBE THOlàlESIE. - DE.S IRRATinN.VEl.LEs.
minilii'c ü (le s>ulisli(ulion.«. D’un autre r(>té, les sulisiitut'uxo
. i J, >■ Ix -i ni) ■■ HZ (- »«. I, X -i- m, r «, i — h h I
I I, H l,x m,} -h n,z -h p,M, l,x + ni, y ■) n,z ■ p h !
efi nuinbre i5.i/|.ia.8 = ü, u'altèretit évidrinnient pas <j(. iüiilin le nunibre total des substitutions qui u’altëreDl pas •]/ ne peut dépasser Q. Car le iionibre des systèmes de places distincts (|ue ces substitutions pernieltent d’assigner aux racines looo, oioo ne dépasse pas i5.i4: celles d’entre elles ipii laissent ces deux racines immobiles laissent évidemment immobile la racine i loo, qui leur est associée dans un des termes de ç; elles ne permettent donc de faire passer ooio à plus de i 2 places distinctes; de méine, celles des substitutions chercliccs qui laissent loou, oiou, 0010 immobiles laissent immobiles les sept racines de la forme xy'zo; elles ne permettent donc de faire passer 0001 à plus de 8 places distinctes; enfin celles des substitutions cbcrchées qui laissent 1000, 0100, 0010 et 0001 immobiles, laissant toutes les racines immobiles, se réduiront à la seule substitution 1.
I.e groupe de Y sera donc exclusivement formé des substitutions linéaires (37), et les contiendra toutes.
LIVItE OliATRIÈME.
DE l,A RÉSOUiTION PAR RADICAUX.
