La substitution A sera ainsi ramenée à la forme

où les indices sont répartis en systèmes tels, <|iie les indices «le chaque système soient remplacés par des fonctions linéaires des indices du même

système ; le premier système comprenant les indices y,, y'„ yi-y'i'

Za,..., s,,...; relatifs au facteur irréductible F; le .seconfl 4'omprenant les imiiees «’o.... relatifs au facteur F”, etc.

(mosidérons seulement les indices du premier système, et rninplaeons

DES Sl’BSTlTtmONS li:i

Zg,..., Ug,... par (le nouvcaox indices

I Z.] = z,-(- p r. ->■ pV, + - [«.] = ((, ( ffz. . -i- rn T'r', -t-. . . ;

A remplace ces nouveaux indices par des Tunclions de la lorme

ei on pourra profiler des conslanlcs arbitraires p, p',..., o-,..., r, t',..., de

manière h faire disparailrc y,, y' z de ces nouvelles fonclions. Ou

aura pour cela à résoudre des congruences linéaires des formes suivantes :

(h, — K.)ff + /< = o (K, — Kl ) T -t- cp 4- (/ 3= O, ( K,— K, 4- c'f + c/' (« O,

qui détermineront sans diiliculté p, p' puis t, t',... (K„ étant différent de K,); d’ailleurs K,, a, a',..., b c, d, d , d' étant des nombres

complexes formés avec la seule imaginaire Kg, il en sera de même de

p. p' 17 T. t',.... Les nouveaux indices [z, sont donc

des fonctions des indices primitifs ne contenant que l'imaginaire K,. Prenons maintenant pour indices indépendants, à la place de z, u^ les

fonctions [z,j respectivement conjuguées de ZgJ :

A, les remplaçant par les fonctions conjuguées de celles par lesquelles elle

remplace [z,] (HO,, prendra la forme suivante(en supprimant

les crochets désormais inutiles qui entourent les indices (z.

fz, et changeant l’ordre des indices de manière à grouper

ensemble ceux qui correspondent à la même racine K„) :

z„ z',,... K, z,4-!)»r.r., . r K. z'. 4- ip'(r.,

II',.... K,u.4-<{/(2., z'.....)4-x(.f- K, i(',4-+'(z.. s'..—)4-x'0'«r'.

On voit que les indices du système considéré se partagent ici en i séries

conjuguées, z„ «g....; v.- J “ ■ respective-

inent corn-spondantes à chacune des / racini's K„, K,.... (lu facteur irréductible F. .

LIVBE IIEt'XlEME.

<56. On peut encore opérer une <lernière- siinpliücation. Keniarquons dans ce but que les diverses fonctions 4* (.2<i< «o»”')* So'-'-b---

lives aux indires u„, sont essentiellement distinctes. Or si l’on avait

une relation de la forme

rij/fa., i'„. . .)4- r'4.'(i„ ï'„. . . ) -e . . . o,

A remplacerait la fonction U = ni^ par K„ U plus des termejC^cn

v,, y„ Mais, par hypothèse, le.s fonctions qui jouissent de cette propriété sont celles qui résultent de la coinhinaisou de î,, y„

ce (|ui n’a pas lieu pour LI. .4 fortiori, les fonctions Z„, Z', lelinics par

les relations

W.y.. 1„ s',,...) i / ( r-„ y,,...), k. Z , ij/’i r ' ) -r- -/(y..

seront distinctes. D’ailleurs A rcmplacu une quelcuni|iie de ces fcMictions,

telle que Z, par K, Z plus des termes en y„, y\, Si donc on prend pour

indices indépenilanis Z„, Z',,,., à la place d'un nombre égal des indices

; la forme générale de la substitution ,\ ne sera pas changée, et

seront simplement remplacés par K„(«, Z„), K„(«’„ -r- Z’„ j

On pourra ensuite opérer une transformation analogue, remplaçant tout

ou partie des indices par de nouveaux indices Y' choisis

de telle sorte (|iie .\ remplace les indices Z„, Z„ '.••• respectivement

par K„(Z„ - Y„). K„(Z'„ -t- Y'„)

Continuant cette réduction, on linira par amener .Y à la forme suivante (nous n’écrivons que le.s indices de la première •série) :

“ II,..,. h,(«, Z.),...

ou, en groupant les indices d’une autre manière (|ui fasse mieux re.ssortir la loi de la substitution,

Les indices de la série se trouvent ainsi partagés en suites distinctes Y,, Z„, «e,...; Y'„, Z',,,...;..., que A altère séparément suivant une loi simple.

DBS SUBSTITITIONS.