I UVRE DEUXIÈME

fies lonelion.s linéaires de Y», Y,, Z„, Z,, sans altérer v, tandis que la seconde altère au contraire l’indice v, sans altérer v,, s,, et, par suite, sans

altérer Y„, Y,, Z,, Z,.

La substitution est de même le produit de deux autres, et A", altérant, l’une les indices Y',, Y',, Z,, Z,, raulre l’indice v.

Pour que H représente une substitution réelle, dont le déterminant ne soit pas congru à zéro et qui soit échangeable à ,\, il est clair qu’il est nécessaire et suffisant que B' et B' soient séparément des substitutions réelles, dont les déterminants ne soient pas congrus à zéro, et qui soient respectivement échangeables à .V' et à

Kii. Cherchons donc comment B' doit être ilétermine pour satisfaire aux conditions ci-dessus.

Soien t yff ^ Y^-f-KaY,, Zo — Za K ^ Z, , ^Vi — Y a -t- K , Z , , s , — Za K , Y , les relations qui existent entre les indices imaginaires >•,, a,, v,. z, et les indices réels Y,, Y',, Z„, Z,. La substitution B', pour être réelle, devra remplacer ces derniers indices par des fonctions réelles ; elle remplacera donc

en particulier les indices Vo = Yo-t-K,Y par des fonctions de Y',, Y’,,

Zn, Z; et de K,. Remplaçant dans ces fonctions Y», Y',, Z„. Z, par leurs valeurs en fonction de v#, z,, y,, z,, on voit que B' remplace chacun des indices y\, Sa, V|, Z, par une fonction de ces mêmes indices, dont les coefficients ne contiennent d'autre imaginaire que K„.

D’ailleurs les fonctions a,^, -h 6, z, , n', v, + />', i, . par lesquelles elle remplace y,, Z,, sont conjuguées des fonctions- a„ Yt -h- h, z,< (t’^y, + par lesquelles elle remplace v„, ( 1 49).

En second lieu, le déterminant île B' est évidemment égal au produit des déterminants j |, j j : donc pour qu’il ne soit pas congru à zéro, il

sera necessaire que | | congru a zéro.

Enfin, la substitution récMe B' est le produit de deux opérations imagi-

B', — j .n. Z-, V r., s„ b, z„ a‘,y,-s- li, z„ v |,

dont l’une altère les indices^,, et z, seulement, et l’autre les indices (H .Y' peut être de même décomposée en deux opérations imaginaires, A'„ et A',, altérant respectivement les indices . v,, z„ et les indices v,, z,.

DKs sirasTmiTiONs.

Pour (|iic l’on ail B'A' = A'B', il faut que rea deux aulislitutinns fassent siihir la inéine altération aux inilices^,, 3„. Mais ces altérations sont respectivement représenlécs par B'„A‘, et par A'„B'„ : il faut donc que M„ et B'„ soient échangeables entre elles.

I(>5. Réciproquement, toute substitution B' satisfaisant aux conditions qui viennent d'être trouvées est réelle: son déterminant nest pas congru à zéro; enfin elle est échangeable à A'.

En effet, soit

fc. î, = [Y,] -I- k,[ Y,], d'où rt.

j V«J et fY,J étant des fonctions réelles.

.V. = Y.-e K„ Y, par f Y.J ■+• K„[ Y, ] et v, = remplacera Y'„ et Y', par [Y„] et [Y,], qu même, elle remplacera Z», Z( par des fond En second lieu, le déterminant de B' ne

est égal a . ■ j ... ; mais le ilelermi

j en y rcmplaçanl K„ par K, = Kj, es

delerminanl de B' sc réduit dnm à I

grue à zéro.

Enfin B' sera échangeable à .V; car B'.A' leralions aux indices Vo, z,, et font en ont conjuguées de celles-là, et par suite idenlic

ICti. Les considérations qui viennent d'élre développées sur un exemple particulier sont évidemment applicables à tous les cas, et permellcul d'énoncer le tbéorème suivant :

TiitORKMC. — l'ne substitution linéaire. A , étant ramenée à sa forme canonique, peut être considérée comme étant te produit d'un certain nombre d'ope-

nitions fsartielles A,, A, consistant chacune à altérer les indices d iinc

seule série, en les remplaçant respectivement par certaines fonctions linéaires de ces mêmes séries.

Toute substitution linéaire B échangeable à .\ sera de même le produit d'o- Itérations partielles, altérant chacune les indices d'une seule série, qu elle remplace par des fonctions linéaires de ces memes indices.

Soient V,, J,,...; y,, z V/-i. l'ensemble des séries qui consti-

La substitution B' remplaçant = Y,-f-K,Y, par îY„]-t-K,[Y,j, i sont des fonctions réelles; de ions réelles.

sera pas congrii à zéro; car il iuant I "i y j, qui sc déduit de

t congru f I (mod./>). Le

ieri

(niod p), quantité non coii-

el .\'B' font subir les mêmes aire subir à v,, z, des altérations

13i I.rVRK DEUMtMi:.

tuent un même système, correspondant à un facteur irréductible dont les racines

ion<K». K,...., Soient A», A, A/, H,,.... les altérations que

A et B font respectivement subir aux indices de ces diverses séries . L’opération B„ consistera à remplacer les indices y,, s,,.. . par des fonctions a„ i,-)- ....

de ces mêmes indices, dans lesquelles les coefficients a„,b„...\ a'„, sont des entiers complexes formés avec l’imaginaire K„.

Ces entiers complexes peuvent être quelconques, pourvu qu’ils satisfassent aux deux conditions suivantes :

i" Ix déterminant a, b', ... j (niod. />);

a” Les opérations A„ et B, sont échangeables entre elles.

Ixs opérations B B/, consisteront à remplacer les indices y,,

V/-,. respectivement conjugués de y,, z„,... /Hir les fonctions res/secti-

vement conjuguées de a„y„-^ b„ 3, a’^ }',-{- b'„ 3,+ elles seront

ainsi complètement déterminées.

On pourra construire de même les altérations que ta substitution B fait subir à. chacun des autres systèmes d'indices.

Od voit p:ir là que le problème tie eunstruire les substitutions telles que B, échangeables à revient à ilelerminer les opérations B„ échangeables à A..

167. l’üursuivons cette recherche, et supposons, pour fixer les idées.

H ij/ (r, 3, «, y', z', y", z')

.)■' f'iX’ .y“> *")

k(*'-fu')

y" f"{y, z, U, y', s', lé, y", z"]

z" ^"(y, z, U, y', z’, lé, y", 3")

(Pour plus de simplicité, nous supprimons dans l'écriture les indices des

séries que B„ n'altère pas, et nous écrivons au lieu de K«,/, ;

Kgalons les functions que A, B, et B, A„ font succéder à l'indice y : il vient, en supprimant partout le facteur K,

f(y, Z -h y, U a 3,y‘, z'x-y'^ lé -h z', y", z")^f[y, z, ii, y', z', lé, y", z' ],

relation qui ne peut être identique que si les eoeffieienis qui multiplient dans la fonetiun / chacun des indices z, u, s', s" se réduisent à zéro; / se réduit alors J» /iy> y't y")- On voit de la même manière que les indices «, «' duiveni disparaître de chacune des fonctions /. ç, /', ç', /". Soit donc

i]/ = (iH -r i,y', !'), k|/' = /i'« 4 A'u'-f '](',(.>•, ai.v'. -s'):

le déterminant j | entrera comme facteur dans celui de B., et, par

suite, devra différer de o (mod. p). '

Posons maintenant

i les termes identiquement nuis iJ*, (o, o, o. o. o, oj, o, o, o, o, o) étant écrits dans le hut de faire mieux ressortir la loi suivie dans la construction de C).

Le déterminant de cette opération est au si(;nc prés une puissance de I «■ A' I’ '^**"*'' “ (tuod. p). Kn outre, on verilie immédiate-

ment qu'elle est échangeahle à A,. Posons maintenant B„ = Cl). L’opération n = C“'B, a son déterminant non congru à zéro; elle est échangeable à A,, et de même forme que B»; mais en outre elle n’altère ni u ni Les fonctions 41 et 4' s’y réduisent donc à u et

Egalons maintenant les fonctions que DAj et A,!) font succéder à u : il vient, en supprimant le facteur commun K,

« -4 Z ^ Il -h 0.

Difhc la fonction f se réduit à 3. De même, f' se réduira à s', / et /' à v et y'. Aucun indice des suites y, z, u, y', z', u ne sera donc altéré.

Égalons de même les fonctions que DA» et .V, D font succéder aux indices z' et v" : on voit immédiatement que la fonction p" ne contient pas u, u', et

i:h livre deuxième

(|u'eii I» iiK'llanl sous la forme nv t- y', ^ v, y'. sera >le la

forme /nv"-E V, o, y').

Cela posé, l'opératiuii D est le produit de deux autres, dont l’une, E, remplace les iiiiliees z" cl v" par mz"-^ ny" el my“, landis que l’autre. F, aceroit respectivement ces indices de 'i\(y, ^<y'- • et ç”, (o, y, <». JK'). aucune de

res deux opérations n’altérant y, z, ii, y', z\ ii‘. L’opération F a pour déterminant l’unité, el elle est éclianpeahie à A, : donc K aura son délenninaiU ^mod. f>) et sera échangeable à A,. I.e problème de déterminer E d’après ces conditions est identique à ce i|u’aurait été te problème initial de déterminer H„, si la série des indices que B„ altère n’avait pas eonlenn les .suites y, Il el y', s'.

Les considérations précédentes s‘appli(|uenl immédiatement à un cas qiiclcon()ue, el montrent que tu di'tirminatinn de H„ se ramène en générât au firotiténie analogue que l'on aurait en effaçant de ta série que U„ altère tous tes indices qui appartiennent aiuc suites les plus longues.

IliK. Clierclions maintenant à déterminer le nombre des subslilutions échangeables à une sulistituliun quelconque A.

Supposons que A étant ramenée à la forme eannnique, les indices y formen.t plusieurs systèmes. Soient respectivement N, N'.... les nombres de

inaniiTes ihinlon peut déterminer les altérations ll„. B', que la subsiitu-'

lion eberebée B fait subir respectivement aux premières .séries de cbacun de ces systèmes : le nombre des substitutions distinctes obtenues en eombinani ensemble ces alterations est évidemment égal a N.V

Pour déterminer cbacun de ces nombres, N par exemple, supposons (|ue K, soit imaginaire de l’ordre /, el que la série que B„ altère contienne q indices, formant m suites de n indices, m' de indices, etc., des nombres /I, n ,. ... allant en décroissant. ^

Soient respectivement L. .M les nombres île manières «le délermitn'r lesopérations partielles C et I) il y aura l.!M manières de déterminer B. Fin

cflét, soient C,, C, C, , et 1) D» -, les diverses subslilutions qu’on

peut prendre pour Cet 1) : tous les produits de la forme C, Orjsont distincts. Soit en effet C, Df, — Ca-Dj,- : ces deux operations doivent altérer de même les indices des suites les plus longues; mais Hj, et Dy ne les altèrent pas*: donc C, el C,"les altèrent de même ; donc elles sont identiques : donc Wj,'.

On voit de même que le nombre .M est lui-méme égal an produit des nombres P el Q de manières dont on peut déterminer les operatiofls partielles E et F dont le produit constitue 1). On aura donc enlin N “ LI’O

itKs svBüTiru’noNÿ;.

Jfi9. Pour (lélerminer L, remarquons (jue les coeiririents de C, sont en nombre qm, parmi lesquels ceux ties fonctions ij.,, tj»’, .... en nombre m[mn -e m' n + ni n“-k-... — m) sont enlicrenient arbitraires et peuvent être choisis ch.acun de pf manières dirierentes, tandis c|ue les autres», a', b',...;... en nombre m*. doivent être tels, que leur déterminant soit 5 O (mod. p). Soit L' le nombre de manières de les choisir : on aura

Pour déterminer I.', imaginons un système dc/j'™ eboses. représentées par

le symbole général , chacun des indices indépendants x,, x

prenant suecessivemcnl //valeurs coinplexesdc la forme a-t-K«jS + ... + Ki 'Ç

(mod. p)i et considérons les opérations (|ui remplacent |iar

,^r.*vx,+. .. • ‘t* « • b', ........ étant des entiers complexes.

Pour que ces opérations, que nous pouvons désigner par le symbole

I x„ . . . ax, t bx, n- . . . , «' x, -e è'.r, + | ,

représentent des substitutions, il est nécessaire et suilisant qu'elles fassent succéder chacune des cbo.ses “ '"'c autre, et à une seule: donc,

étant donnés les indices ox„-i- bx, + ..., a'x,+ b'x,-\-..., on devra pouvoir en déduire sans ambiguïté x„, x ce qui exige <|ue le déterminant

des quantités a.b,...: a', b',...:... ne soit pas congru à ïéro. Le nombre L' des systèmes de valeurs de ces (piantités (|ui n'annulent pas le déterminant est donc précisément égal au nombre des substitutions linéaires

qu'un raisonnement entièrement analogue à celui des n‘“ 123 et I2i montre égal il

170. Passons à la détermination de Q : elle u'oITre aucune dilliculte. En effet, la substitution F accroît les derniers indices de chacune des ni suites de li indices d'une fonction linéaire des ri derniers indices de chacune des rn premières suites; elle aecroit les derniers indices de chacune desm" suites de n" indices d’une fonction linéaire des n" derniers indices de chacune des m jiremières suites, etc. Ces fonctions étant déterminées, F le sera. D’ailleurs les coelTicicnts qu'elles contiennent, en nombre /n'n rn 4- /«' /i"rn-i-..,, sont tous entièrement arbitraires, et peuvent être choisis chacun de p' manières :

i;«i LIVRE imXIËMK.

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