Réunissant les résultats qui [irécèdenl, il vieni

N = I.PQ ^I-(— \)[pr‘— pf).. .[p*'~

' U'aillcurs P est ce que ileviendrail N si le nombre des indices de la série était seulement au lieu de mn + m’ n' -h m” n' -t- . . . : <vi

aura donc de même

P . pi"'-'»] P„

P, étant ce que deviendrait N si la série ne contenait que in-

dices, etc.

172. Probi.kme IV. -- Déterminer les substitutions linéaires qui se ramé- . nent à une forme canonique donnée, et trouver leur nombre. ♦

Soient A',... les substitutions cherchées : elles ne sont autres que les transformées de A par les diverses substitutions linéaires.

En effet, supposons pour plus de généralité (|ue la réduction de .\ à la forme canonique exige l’introduction d’imaginaires. Soient X -li Y -t-... l’un

des indices imaginaires introduits, X -v i'"' \ -v- ses conjugués. Un

peut prendre pour indices indépendants, au lieu de ces indices, les quantités réelles X, Y,.... Soit B la forme que prend la substitution A rapportée à ces indices : on pourra, par une transformation d'indires réelle, donner à A la forme B. On pourra de même, par une transformation d’indices réelle, donner à A' la forme B, et réciproquement. Donc, par une transformation d’indices réelle, on pourra donner à .-V la forme A'.

Mais soient

A — I a-, jé , . . . nx - hx’ -V a'x - b' x' ~ | ,

\ X, x',. . . *x ^x’ . ., x' X -4- jî'x'-i- ....... |,

et .soient

J — mx -t- ».r' -...., 5' m X • n'x' .

les nouveaux indices auxquels il faut rapporter pour lui donner la forme

DES SCBSmilTIOXS. DIT

identique à celle de A'. 11 est clair que A' sera la transformée de A par la substitution

I X, x',. . . mx -f nx' 4- . . ■ . m' x -i- n' x' . |.

Réciproquement, si A' est la transformée de A parla substitution ci-dessus, il est clair qu'en prenant pour indices indépendants Ç — rruc-^ nx'-h..., = ni'x-h n'ic'-h.. on donnera à A une forme identique à A'. Par une transformation d'indices inverse de celle-là , on pourra donner à A' la forme A. Cela fait, par une nouvelle transformation d'indices, analogue à celle qui ramène A 'a sa forme canonique, on ramènera A' à la meme forme canonique.

Cela posé, soient M le nombre total des substitutions linéaires; N le nombre de celles qui sont échangeables à .\, et que nous désignerons par C, C Si une substitution linéaire D transforme A en A', les N substitu-

tions CD, C'D,... produisent cette même transformation. Le nombre des

transformées distinctes A, .A',... sera donc ~

Remarque. — On vient de voir que si deux substitutions .A, .A' sont transformées l'une de l’autre par une substitution linéaire, on peut donner à l'une d'elles la forme de l'autre par une transformation d’indices convenable. Mais cette transformation n’altère pas son caractéristique ( lâB). Donc deux substitutions dont l'une est la transformée de l'autre par une substitution linéaire ont même caractéristique.

Faisceaux dont les substitutions sont échangeables entre elles.

173. Problème V. — Trouver la forme générale des faisceaux contenus dans le groupe linéaire et dont les substitutions sont échangeables entre elles.

Soient G l’un des faisceaux cherchés, S, S,,... ses substitutions, rÿé*. d^p*',... leurs ordres respectifs {d, d,,... étant premiers à p). Le faisceau G contient évidemment les deux groupes partiels F = (S'’'', Sf'’,...) et E = (S'', Sf',...). Réciproquement, les substitutions de ces deux faisceaux, combinées ensemble, reproduisent G: car la substitution S. par exemple, dérive de S'’’’ et S'* (31).

Les substitutions de F sont toutes d’ordre premier à p. Soit, en elTct, .A=S'’'SC'’' l'une d'entre elles; on aura A''‘''= S'*''''''S'(''''’'' = i. Donc l’ordre de .A divise dd, ; donc il est premier à p.

l;w MVRE DEUXIEME.

I)t‘ même, les suhsiilulions de E ont toutes pour ordre une puissance de p. Dêlerminons sueeessivement les iloiix faisceaux partiels F et E.

ITf. Commençons par F. Soit A une de ses substitutions : ramenée b la forme ranonii^ue, elle deviendra

A I T, x„. . J».,, y,. . Z,. ■ . ax, a.r by cz,., . |,

a, h, c, ... étant les racines distinctes de sa congruence caractéristii|ue, ■r. X r,...; J,...;... les indices des séries respectivement cor-

respondantes b ces racines.

Suit ,\' une autre substitution de F : étant échangeable b .A', elle doit

remplacer x x„, par des fonctions linéaires «le ces seuls indices; de

même pour les autres séries. Soit donc

\ ar,..., ax -e ... -f- . . , a, x . -4- .r, .,

Gn pourra canoniser cette substitution sans altérer la forme de A, «|ui

est déjb canonique. En effet, consiilérons spécialement les m indices a;

.*■«,-«• Pour canoniser A' en ce «jui les concerne, on aura b résoudre la congruence de degré m :

i(K)— , (oiod.p).

Les intlices x x„, étant liés aux indices primitifs par des relations

linéaires dont les coefl'icicnts sont fonctions de la quantité a (157), qui peut être imaginaire, les cucilicients a,..., peuvent contenir cette

même imaginaire. .Mais, dans tous les cas, a sera racine d’une congruence irréductible b coefficients réels. Soient / le degré de cette congruence, a,,

flr i ses autres racines. Désignons par f,(K) Çj,(K) ce «pie

devient ç(K) lorsqu’on y remplace a successivement par a La

congruence

9(K)çi,(K)...ç/,(K) = o (inod. p)

aura pour cqell’icients des fonctions symétriques de a. a a,..,. Ces coef-

ficients seront donc des entiers réels. D’ailleurs cette congruence, étant de

ÜES Sl'BSTITLTlONS laO

degré ml, a w/ racines réelles ou imaginaires. Le lactcur f(K), égalé à o (iiKxl. p) donnera done rn racines égales ou inégales, et dont le degré d’iniaginarilé sera au plus Im.

Soient à, a'^ , ces racines, m' , m\ m'^ , leurs degrés de mul-

li|)lieilé res|)celils. On pourra remplacer les indices x x„, par d’au-

tres indices x',..., x'„, choisis de manière à ramener la substitution

j X, . . . , .r,, SIX -f ... -r- )ix. X -H . . . + y,- , x,.., ]

3 la forme canonique

Des transformations analogues peuvent être effectuées sur chacune des autres séries d’indices j,...; z, En effectuant simultanément toutes CCS transformations, on ramènera A' à la forme canonique. D'ailleurs, la forme de A n'aura pas été altérée; car A. multipliant par a chacun des indices x,..., x„.,, multipliera par la même quantité chacun des indices x',..., x'„,, qui en sont des fonctions linéaires; de mémo pour les autres .séries. On aura donc

Ohacun des nouveaux indices, tel que x', est une fonction linéaire des indices primitifs, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des quantités a et a', par lesquelles le multiplient respectivement les substitutions A et .A'. En cITct, x' est une fonction linéaire de x x„,, dont

les coellicients sont rationnels en a', a,..., Mais a sont des

fonctions rationnelles de a, et x,,.., x„,, sont des fonctions des indices primitifs, dont les coellicients sont rationnels en a.

175. Le faisceau F contient toutes les substitutions A' A"', dérivées de .A et A'. S'il en contient encore d'autres, soit l'une d'elles; elle est écban-

geablc à elle remplacera donc les indices x' x[,.,, que .V multiplie

tous par a et .V par a', par des fonctions linéaires des seuls indices x'

xL,, que A multiplie par a. D'ailleurs est écbangrablc à A'; donc tous

les indices x'„ x'„, que X ne multiplie pas par à disparaitront de ces

fonctions, qui ne contiendront plus que les indices x',..., x'„.,. Si donc on répartit les indices en séries, en groupant ensemble ceux qui sont tons

m> LIVRE DEUXIÈME.

inulllpliés par un même nombre dans \ et par un même nombre dans .A', ,\" fera succéder aux indices de chaque série des fondions linéaires de ces seuls indices.

Soit donc

On pourra trouver unp transformation qui ramène à la forme canonique en ce qui concerne les indices de la série x',..., x'„,, si l’on peut ré.soudrc la congruence

•|(K)= . *o (moU. /j|.

Xm'-t ym'-l — ÏV

Les indices a;',..., étant liés aux intlices primitifs par des relations linéaires dont les coelficienls sont fonctions de deux (juantités a, a', qui peuvent être imaginaires, les coeflicients a',..., 7'...., ..... y'm-i pour-

ront contenir ces mêmes imaginaires; mais, dans tous les cas. a satisfera à une congruence irréductible du degré l, dont les racines seront a, a,,..., et a' satisfera à une congruence irréductible ilu degré /'. dont les racines seront a’,

Si l'on désigne par tjij, n<(K)ce que devient 'KK) lorsqu'on y remplace

respeclièement a par une autre racine de la suite a et a’ par

une racinca/ de la suite a',..., la congruence

• = 0 (mod. /i)

aura pour coelRcients des fonctions symétriques en a, a a/, d'une

pari, en a\ a',,..., d’autre part. Ils seront donc réels. D’ailleurs cette congruence étant du degré //'m'aura ll'm' racines réelles ou imaginaire.s. I.e facteur ij» ( K) de degré m', égalé à o ( mod. p,, donnera donc m' racines de lu meme forme.

Opérant maintenant comme au numéro précédent, on pourra ramener \" à la forme canonique sans altérer la forme de ni de

176. En continuant ce système d'opérations jusqu’à ce qu’on ait épuisé les substitutions de 11, on arrive à ce théorème :

THÉORf.Mi;.— /a-s substitutions \, .V, A" li'où Jenient toutes celles de F.

peucent être ramenées simultanément à leurs formes canoniiptes respectives par

DES SUBSTITUTIONS. I 11

une transformation d’indices réelle ou imaf^inaire. Chacun des nomeaux indices, tel que x, est une fonction linéaire des indices primitifs, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des quantités réelles ou imaffinatres a, a' t a",..., par lesquelles A. A', A",.., le multiplient respeclicement.

177. On peut supposer que l'ordre de cliacuiie îles sulistilutions ,\, A', A",... dont F est dérivé est une puissance d’un iiomhre premier; car Inule substitution résulte de la combinaison de. celles de ses puissances qui ont pour ordre une puis.sance de nombre premier (31). Soient donc n'* l’ordre de .\, celui de .V,..., 7t, n',... étant premiers : a’'', rt'"’’ .... seront congrus à i (mod. p).

Formons donc la suite a, a', a*,... des puissances de a; soit a^ la première de ces puissances qui soit congrue à runilé, et. h partir de laquelle elles se reproduisent périodiquement : p devra être un divi.seur de n**. On aura donc p = Ji\ X étant au plus égal à pt. Si p‘—i est la première des quantités de la suite p — i, p* — i..... pi — i.... qui soit divisible par n', a sera racine d’une congruence irréductible de degré /. Kn eflet, parmi les quantités de la suite

ae-', ne'-', .... ne'-', ....

aucune ne sera congrue à l’unité avant af-' .

De même, la première des puissances successives de a’ qui soit congrue à l’unité suivant le module p sera une puissance ;r'^ de n' égale ou inl'éricurc à n''; et si fé — i est la première des quantités de la suite p—i, p'—i,..., pf — I,... qui soit divisible par , a' sera racine d’une congruence irréductible de degré l'.

('.ela posé, considérons isolément, parmi les substitutions de la suite .\, A', A',.., toutes celles dont l’ordre est une puissance d’un même nombre premier n. Les roellîcients a, a', a",... correspondants à ces substitutions .sont des fonctions entières d’un seul d’entre eux. Kn effet, a®‘, .... sont

congrus à i (mod. p). Soit X le plus grand des nombres X. X',... ; on aura

et aucune puissance de * inférieure à celle-là ne sera congrue à i. Donc a*’"' sera, comme à , une racine d’une congruence irréductible de degré en fonction entière de laquelle on pourra exprimer a' (20). .Ainsi à sera une fonction entière de a: de même pour a“

LIVHK UELXIEMK.

(^unsidéruiiK de inêine les subsliUitions de K doiil l’urdre est une puissance d’un autre noinlire premier ti, : les coelHeients currespundauts a,, seront tous des fonctions entières de l’un d’entre eux, a,. De niêine pour un autre nombre premier a;,, etc.

('.onsidérons maintenant ecs eoeflicients a, a,, Oj satisfaisant respec-

tivement à des coDjtrucncCs

I , o7è = I , ajt' =,1

Ils s’expriment tous par les puissances d’une seule imaginaire aa,a,... = i, satisfaisant à la congruence

Kn elTet, se réduit à a'”''”'’"' (mod./j;; mais n,, r.,,... étant

premiers à n, on pourra (2 i déterminer deux entiers r et r' de telle sorte que l’on ait ...= r'jr' -i- i; on aura alors

«»’••• âi rr*'

iZ «I.

Dimc a s’exprime rationnellement en fonction de t : de même pour a,, or,....: de même pour les autres coefTieicnts a', a\, a\, rpii

sont des fonctions entières de a, de n', etc.

H existe une substitution dans T qui mulli/ilic l'indice x pari. Kn elfet, soient respectivement A, A,. Aj.... celles qui multiplient x par a, a,, a.,..; la substitution A A, A,... le multipliera par aa,a,... — i.

178. Les considérations qui précèdent permettraient, ainsi que nous allons le voir, de ramener aisément à une forme réelle toutes les substitutions lie F.

-Nous pouvons grouper tous les indices en séries distinctes, en convenant de réunir en une seule série tous ceux que chacune des substitutions de F multiplie par un même facteur constant ; il se pourra d’ailleurs que toutes ces séries ou quelques-unes d’entre elles ne contiennent qu’un seul indice. Soient x, x',...; v, v',...; z, i', ces diverses séries.

Les indices x, x' qui appartiennent à la même série S que x, sont

liés aux indices primitifs par des relations linéaires dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de i. On peut supposer ces fonctions entières et du degré v — i, en désignant par v le degré de la congruence irréductible dont I est racine. Si l’on ordonne les termes suivant les puissances

<)«* i, on aura

UES SCBSllTUTIONS.

X \ -r- ( \ -I- , . . + /•-'Z, x'iZÏ X'+ X Y'-t-. . -t- l"'Z',. . ,

X, Y Z: X', V Z';... étani îles runoliuns linéaires réelles des indiex>s

l>riinitifs.

Une sulistitulion quelconque A prise ilans F, multipliant x, x',... par un même facteur constant a^f(i), multipliera leurs conjugués

r, s X (- I x** Y’ -e x, = X'-r- |V Y' iX" *)r'Z', . . .

parap=/(x>') (149).

Si l’on exprime x^, x,,... en fonction des indices x, x',...\

Z, z',.. leurs expressions ne devront contenir (|ue les inilices d'une même série. En clfet, pour que la substitution .Y, par exemple, multiplie x^, X,,... par flp. il faut éviilemmcnt que le facteur par lequel elle multiplie eliaci;n (les indices qui entrent dans ces expressions soit précisément xr^. Tous CCS indices sont donc multipliés jiar uu même facteur dans cliacune des substitutions de F; ils appartiennent donc à une même .série.

(iette série est essentiellement dilférente de la série S; car la substitution qui multiplie x, x’,... par x multipliera x,.... par qui diffère c.ssentiellement de i.

U-s fonctions x, x’,..., que nous supposerons en nombre p., étant distinctes par liyputbësc, les p fonctions Xp, x,,... léseront évidemment; car, si l’on avait entre elles une relation linéaire

x-,x, -I- xjxj = O ( 1110(1. /Xj,

dans laquelle r^, r,,.. seraient des entiers complexes fonctions de cette relation devrait subsister en changeant x''' en x, racine de la même eoiigruencc irréductible; ce qui donnerait entre x, x',... une relation de la forme

rx r'x'-4-. . . = o (mod./i),

ce qui ne peut être.

Les indices de la racine s’expriment tous linéairement en fonction

de Xp, X, que l’on pourra prendre pour indices indépendants. En effet,

soit

X, -I- x>'V, -I-. . ..4- xi— 'r’Z.

Hi LIVRE DEUXIÈME.

uii inilice quelconf|ue de celle série. F.es suli.stitutiuns A, A',..., le iiiulliplianl respcctivcincnt par a^, a' mulliplieront la fonction conjuguée

Z SS X» -t“ i \ I H- . . .

respeiiivenicnl par <i, «' Donc z esl une Ibnclion linéaire des indices x,

a-' Soit

i = fx -e r'x'-l-. . . .

('.elle relation devra subsister en changeant i en ce qui donne

Cela posé, associons en.scinhie les v, séries conjuguées S Sp,...; on

obtiendra un système de v séries conjuguées, contenant chacune ju. indices, qui dépendent des fonetions linéaires réelles X, Y,..., Z;...; X"*"'*,

en nombre ulv. On pourrait prendre ces fonctions pour

indices indépendants à la place des av indices imaginaires correspondants. I.es subslitulions de F prendraient une forme encore assez simple, mais (|ui ne serait plus canonique. Il vaut donc mieux conserver la forme imaginaire; mais il était es.sentiel de montrer le moyen de la faire disparaître.

17!l. Passons à la détermination du faisceau E.

Soient B, B',... ses substitutions, B l’une d’elles : elle appartient à G, ainsi que .V, elle leur est donc échangeable par détinilion. Elle rem-

place donc les indices de chaque série par des fonctions linéaires de ces mêmes indices (166). Donc elle remplace les indices de chaque système par des fonctions linéaires de ces seuls indices. On aura donc B — B,B|,..., B,, Bj,... étant des substitutions parliellesqui altèrent respectivement les indices du premier système, du second, etc. Soient de même B'= B', B',

;\ = .\,Aj..., Pour que B, B',... soient échangeables

entre elles cl à .\, A' il faut et il sufiil évidemment que B,, B',,... soient

échangeables entre elles et à A,, .V, que B,, B',,... soient échangeables

entre elles et à .\„ .V, etc.

D’ailleurs, chacune des substitutions B,, B',,...; B^, B',,...;... a pour ordre une puissance de />. Car, soit p' l’ordre de B, IV’’ laisse invariables Ions les indices, et notamment ceux du premier système. Mais l’uliération qu’elle leur fait subir est représentée par B',’': donc B'^= i. Doue l’ordre de B, divise ; donc il esl une puissance de p.

DES SI BSTITÜTIONS. US

'La recherche du faisceau E = (B, B',...) revient donc à celle des faisceaux analogues E, = (B,, B", Ej = (B,, B'j,.. dont chacun n'altère que les indices d'un seul système.

180. Cherchons à délerininer l'un de ccs fuisceaux, tel que E,.Soil