S M M, LV07;. XY;, . . .N

où a et jS sont déterminés par les congruences

— o',-4 f/, c, 4 . . . -I- cY • -*- «I ? = é', (uioiI./>).

remplace x, par D’ailleurs les diverses subsliliilinns Q^, étant dérivées des L^, .M^, il en sera île même de S.

Soit maintenant n, o, mais <i',, par exemple, (mod./>). On vient de voir qu’il existe une substitution s, dérivée des substitutions Lu. M^, N,,.,, qui remplacex, par — a’,*, -t- 6',.v, -+- o',.rj4- (//,-t- //,) v, + a'jir, -f-...; et la substitution S = Qj., s le remplacera par /",.

Soit entin <i', n’, = ... = a], = o, mais Cj, par exemple, ^ o(mod./>). Il

existe une substilutiou », dérivée des substitutions L^, M,,, N,,.,, qui rem-

DES SUBSTIH TIONS. )7^

place X, par a',x, + c,j',-Hc,Xj — a', et la substitution S = .M,s le

remplacera par /,.

La siibstilulioii S étant ainsi iléterntinéc dans tous les cas. ou aura évidemment 2 = S2', 2 étant une nmivelle substitution de H, qui n’altère plus l’indice x,.

Soit /', = la fonction par laquelle

2' renq)lace y,. Si l'on pose ditns les relations (a5) «lu: i, a', rr i, e',=3fl’j==c'j=“. elles donneront Cette condition nécessaire

étant supposée remplie, la substitution

S' = i;,*' K , ‘i Qïf,'. . . . U;;;;’- Q^.

remplacera y, par/| ; et l'on pourra poser 2' = S' 2,, 2, étant une nouvelle substitutg)n de II, (|ui n’altère plus x,, y,.

Soit

o',"> JT, -e

X, ■+■ cl"’ y.

Cette substitution doit satisfaire aux relations (a5), ce qui donnera

Quant aux autres coefficients, les relations qui les lient sont absolument les mêmes que dans les substitutions abéliennes à a {n — i ) indices.

222. Donc, en combinant ensemble celles des substitutions L^, 81^, ,

pour lesquelles 'a et v sont > i, on obtiendra une substitution S, qui remplace X, |>ar a\xj-'r c\y, a\x„ + c\y„, (|uels que .soient a\, c\

(ees coefficients n'étant pas à la fois congrus à zéro) (221); et l’on aura 2, =S, 2', , 2', étant une nouvelle substitution de H, qui n'altère plus

Soit /' s6',x, -I- la fonction par laquelle 2, remplace j, : les relations (a5) donneront c/’,z=i. t'.ela posé, quels que soient d'ailleurs fr', d',, on trouvera une substitution S',, dérivée des substitutions

I7(i ' IJVRK DEUXIÈME.

1-n, M,», N,i,, {[X tl V étant > i) qui remplace Vj par /,' .(221); et l’on aura 2', = S', 2,, S, étant une substitution de H, qni laisse invariables x,, v,, J'i-

On continuera ainsi jusqu’à ce qu’un arrive à une substitution qui laissera tous les indices invariables, et se réduira à l’unité.

223. I, 'ordre du groupe abélien résulte immédiatement de ce qni précède. En efTet, les fonctions différentes, telles que que les substitutions de H permettent de faire succéder à x,, sont en nombre tous les

systèmes de valeurs de«', , c a'., c, étant admis-sibles, pourvu que ces

coellieienls ne .soient pas tous congrus à zéro. L’ordre tî„ de 11 est égal à ce nombre, multiplié par l'ordre du groupe partiel 11' formé par celles de ses substitutions (|iii n’altèrent pas X, (123 ou 201).

Le nombre des fonctions dilTérentes, telles que f\ , que les sulTstitutions de ir permettent de faire succéder à v est les coefficients de f\ pou-

vant être choisis arbitrairement, sauf l'un d’enx, qui e.st congru à i . L’ordre de 11' sera donc égal à étant l’ordre tlu groupe H, formé par

celles des substitutions de H' qui n’altèrent pas x,, y,.

Continuant ainsi, on aura

nemartfuc. — Les substitutions de 11 ont toutes leur déterminant égal à I , Car les substitutions L^, .M^, N,,,,, dont elles dérivent, jouissent île cette propriétiV.

224i THéonKME. — Si /) est impair, les /ai leurs de composition de H sont -iî„ e/ 2.

La substitution qui multiplie tous les indices par — i fait partie de 11, et ses puissances furinent un groupe K, d’ordre a, et évidemment permutable aux substitutions de 11. Donc a est l’un des facteurs de composition

eberebés; et pour prouver i|uc les autres se réduisent à un seul. ^ li„, il

suffira d’établir que K est le seul groupe contenu dans 11 et permutable à ses substitutions. .\ cet effet, nous allons montrer que tout groupe I, autre que K, contenu dans 11 et permutable à ses substitutions, contient nécessairement toutes les substitutions de 11.

'lin Soit

DES SL'BSTITETIONS.

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»•, b\ JT, ■+■ </', ù'^ X, -1- (/'„ >•.