X. a,*' ar. c't'y, a,"' x. •+- r

uni; lies siiI)Stituüons île I, laquelle ne soil pas contenue dans K. l.c groupe 1 contient, par bypotlicsc, les transformées de S par les substitutions L^, L', : il contiendra donc les suivantes : S“‘.L^'SLn, S-'.L~'SI4. D'ailleurs on peut admettre que ces substitutions ne se réduisent pas toutes à l'unité; car on vérilic aisément que pour que cela eût lieu, il faudrait que S multipliât les deux indices de cimeun des couples .r,, v,;...; v„ par un même facteur, égal à I pour certains couples, tels que a-,, v,, et à — i pour d'autres, tels que ar„ y,. Mais alors, la substitution N,,, étant permutable à I. ce groupe contiendrait la substitution laquelle ne multiplie plus les

indices par des facteurs constants, et pourrait être prise pour point de ilépart de notre raisonnement, à la place de S.

Admettons, pour fixer les idées, que S"'. L,''SL, diirerc de l'unité. Cette substitution est évidemment de la forme

T,, y, a, X, -t- -/ly, -t- . . . -t- a, x, 4- -/.y,, y. — A', \ y. X, — a\ Y, y. — A' Y

x„ y. X. — af ,"'' V , y, — A Y

Y étant la fonction par laquelle S~* remplace y,.

Cela posé, I contient une substitution, autre que l'unité, qui laisse invariables a« — 3 indices, lin effet. S, serait cette substitution, si a,, A',... étaient tous congrus à zéro. Supposons, au contraire, que a,, par exemple, ne soit pas congru à zéro. Posons

a’i /„ -+• <1 = O, n* nif — A ' = o,

Le groupe I contiendra Sj, transformée de S, par QÎ’,,R"J...Q!,';,Rr,iI-'r* b'"

quelle laisse invariables y,, x,, y,, Cette substitution, satisfaisant en

outre aux relations (aS), sera rie la forme

Xj, y. a, X, c, y, -r- x, -t- c' y„ y,