LIVRE OKI XIÉME

Ct'I.i posé, I colUieiit la substilulion

I J-, jr, f II — — fc', r. I

S. Nr.',S;N,.,,.-= 1 ,r„ foi>c(.(a:„ J-,, V, |

cl si I — rt’i ç O (mod./j), posons

I contiemlra lu Iranslbrinée de S, par I,", laquelle laisse v, et y, invarialdes, aceroil X, d'un multiple dey,, et satisfait aux relations (a5) : clic est donc lie la forme

S, - - I X,, I-I, X„y X, H- ay,, .n, x, -e aj\ + p}-„ y„... |.

Si au contraire i — a', = o, I contiendra la substitution M"'S, M,, la- (|uelle est encore de la forme S,.

Les deux coefficients a, jS ne peuvent s’annuler à la fois; car S, se réduisant à runilé, il en serait de même de S,, S„ S,. i|ui s'en déduisent paiune suite de transformations. Mais, par bypolbese. S, difrerc de l’unité.

22G. Il reste à prouver que, quels que soient d'ailleurs les cocnicieiils a, la substitution S, et ses transformées reproduisent par leur roinbiliaison toutes les substitutions L^, M^, N^,», dont H est dérivé.

Soit d’abord x—o, d’où jS^o (mod./i). On a Sjin-L,. Donc I contient L,; donc il contient .M,, qui est la transformée de Lr' par M, I-T'. Il contiendra et .M^, transformées de L, cl M, par P,,,. Enfin il contiendra o;.:4L,Q,..L;’L.- = V.

Soit maintenant «^«(mod./i) : I contient la transformée de S parQ,,’". laquelle, élevée à la puissance j(mod./)), reproduit N,,,. Il contiendra la substitution

Ee point établi, on achève la démonstration comme précédemment.

227. Tiikouf-jie. — Si p = a et n > a, le groupe 11 est simple.

Soit I un groupe contenu dans II et permutable à ses substitutions; on démontre, comme au théorème précédent : i®i|ue I contient une substitution

ili! b formt'

DES Sl’BSTITüTlONS.

S, = I .. X. -t- )•„ x,-hxr,-+-^y,.r„...\:

2" que si Kîso ou /S -o (nu)(1.2), I sc confond avec II.

228. Admelluns donc, comme dernière hypothèse, a - /î i , (l'nù S. = .V|,s F-j: I contient les substitutions suivantes :

S,. ( P,.,. P,.. i-‘ S. P,„ P... = NV.. I., — L, N,.„ L, N„.. L. N,,. = !.. L.,