I..I„ ,I., r^L,. = M„ NV..I.. ,I., = .V

et se confond avec H. Donc II est simple.

220. Il reste enfin à considérer le cas où l'on a /) = a. avec « = a. Dans ce cas. H a pour facteurs de composition a et •; D»- .'Isis 'I ®st inutile d’établir ici ce résultat, qui sc présentera de lui-même plus loin (3!FI).,

Seconde définition du groupe abèlien.

230. Le groupe abèlien est susceptible d’une nouvelle définitioii< que nous allons exposer.

ISO LIVRE DEUXIÈME,

r.un.sidérons le groupe j' dérivé des subslitulioiis

( niod. //!■

Les subslitutions A, et A, A^ sont évidemment idenlii]ucs, quels que soient ,a et v; mais, afin de conserver la trace de l'inversion nécessaire pour passer de l’une de ces rurmes à la suivante, on posera, au lieu de l’égalité Aÿ A, = A, A^, la suivante A, = i^*'*'\\,A^.

On aura, d’après cela.

d’où

A cela près, les diverses quantités (.V,,A,) sont arbitraires. Il nous conviendra de les supposer entières. Nous appellerons ej-posant d'échange des substitutions .A, l’entier (.A^A,) (et plus généralement tout entier eongrii à celui-là suivant le module p).

Soient S — .A7''.A“'..., T = A"'A;‘... deux substitutions qucleoni|ue> de ^ : on aura

-ST = A”' A7- . . . A7- A",'. . . = , ,v;. A** . . . \7' A?- . . . ;