Soient maintenant

des fonctions dislim-les en nombre égal à celui des indices z,, z.j

Les subslitulions A,, .A,,... accroissent respectivement u, des quantités a,,

h K, des quantités a„ etc. Si donc on désigne par C,, C,,... les

substitutions respectivement correspondantes à «j,... dans le système d'indices U,, (c’est-à-dire celles qui accroissent respectivement d’une

unité chacun de ces nouveaux indices, sans altérer les autres), on aura

A, = C»'Ç1'..., A, = Ctr4'- 'l’oii A'-AV.-.^CT'Cp...,

DES SCBSTITIITIONS

■<!,, TJ,,... étant déterminés par If.s relations (38) î.-t- ;.-r . . . , = 5, + 6. 5i + - - . . - • • (mod. />)•

Soient

(19) = ■> = ...... . (mod. /})

ees iiiéincs relations renversées : on aura évidemment

Le produit des deux déterminant.s

étant évidemment congru à l’unité, ce dernier ne sera pas congru ii zéro.

.Au lieu de se donner d'avance u,, u,,..., on peut se donner les substitutions C,, C,....; et de quelque manière que les entiers a,, a~,

(S,,...;... soient choisis, pourvu que leur déterminant ne soit pas congru h zéro, on pourra déterminer sans dilliculté les cnticrsa,, a,,...; b,, b,,.. en renversant les relations (29). I.cur déterminant n’étant pas congru à zéro, les fonctions seront distinctes et pourront être prises pour

indices indépendants.

■2U2. Supposons maintenant que les exposants d’échange (A^.A,) soient donnés arhilraircment, et proposons-nous de choisir T.,, Cj,..., de telle sorte que leurs exposants d’échange soient aussi simples que possible.

Soit une substitution de .f, dont les exposants d'échange avec les autres substitutions de ce groupe ne soient pas tous congrus à zéro. Soient S une substitution de ^ telle que l’on ait (.t, Sjsi:;). Jo (mod. p), e un entier tel que l’on aite).-;i. Posons vb, = 8'’: il viendra (-t, *,) = eXr- 1 1.

Cela posé, ,f résulte de la combinaison de -i-,, *, avec le groupe partiel formé par celles de ses subsiitulions dont les exposants d’échange avec II!,, sont tous congrus à zéro. Soit, en effet, T une substitution de ,1 dont les exposants d’échange avec .1.,, eb, soient respectivement b, et — a, : ou aura évidemment T = .v."’ **; T', T' étant une suhsthution de ,1,.

Si .f, contient une substitution ,v,j dont les exposants d’échange avec les autres substitutions de ce groupe ne soient pas tous congrus à zéro, .i, cou-

LIVliE DELXlkME.

liemlra île même uuc siibslitution d!,, telle^que l'on ail = et

résiillp’ra de la combinaison de .v, et de «lii, avec le groupe parlici i, formé par celles de ses substitutions dont les exposants d’ccbange avec t , et iB., sont congrus h zéro.

On pourra poursuivre ainsi jusqu’à ce qu’on arrive à un groupe .7, qui se réduise à la seule substitution i, ou dont les substitutions aient tous leurs exposants d'écbange mutuels eongrus à zéro. Soit dans ce dernier cas Z, une des substitutions de .i„; si contient des substitutions autres que les puissances de 2,, soit 2, l’une d’elles : .f, contiendra toutes les substitutions de la forme 2‘;'£^,<. S’il en contient d’autres, soit 2, l'une d'elles, il contiendra les substitutions Z’,' S"]' C/ , etc. ^

Donc enfin les substitutions de .f seront toutes de la forme

.t-"' . . .v.;* St.;" 2v , *

,1-,. iii. .i-a, II'..*. 2,,... étant des substitutions dont les exposants d'é-

change mutuels sont to'iis congrus à zéro, sauf ceux-ci (|ui sont congrus à i .

233. I.es diverses substitutions obtenues en donnant à a,, b,,..., a„, b„, c,. e,,... les divers systèmes de valeurs inférieures à p étant évidemment distinctes, l'ordre de S sera égal au nombre de ces systèmes de valeurs. Mais, d'autre part, il est égal au nombre des systèmes de valeurs inférieures à p que l’on peut donner à a,, a„... dans l'expression AJ'.A*',... • Pour qu’il v ait identité entre ces deux nombres, il faut évidemment que

les substitutions .t,, ni. v«>„, 2,, 2,,,.. soient en même nombre que

les substitutions A,

Soient

-t, = AV AV .... = A». AV .

d’nil

Toute substitution de .f, telle que A5‘A',’..., pouvant être mise sous la forme .A'ifoV.,., on devra pouvoir déterminer .t, r,... de telle sorte qu’on ait

(3o) «. ar -e (3./-I-. .. ^5,, a, x r -t- - . s*Çi

quels que soient Ç,, Ç, Il faut pour cela que le déterminant îles quantités a,, jS,,...; «3, ne soit pas congru à zéro. On pourra donc

DES Sl'BSTlTimONS. 183

l'Iiuisir un syslfeme d’iiuliocs itiilé|ienilan(s tel, ()ue les 8ulisliluiiun> a,, «i!,,,... accroissent respcdivenienl d’une unité chacun de ces indices, sans altérer les autres (231).

Soient d'ailleurs

xsrt, 5, -I- «.5. + . . , h, \,-t- ...... .

les relations ('3o) renversées. Il est évident (|ue le déterminant de a,, h,, b,,...:... n’est pas congru à zéro; et l'on aura

A, = iis,V . . . , A, = .A"- i&î*.

23i. Pour éviter des longueurs inutiles, hornons-nous au cas, seul vraiment intéressant, où .f ne contient aucune substitution, autre que l'unité, dont les exposants d’écliange avec les autres substitutions de .f soient tous rongru.s à zéro. Cette condition sera exprimée par la relation

(nioil. />J.

(àir soit une substitution quelconque de -f : ses exposants il'é-

cbange avec A,,... sont respectivement

^ct j)our qu'ils puissent devenir à la fois congrus à zéro, sans qu'on ait

I, . 1,-^ = 0, il faut et il sulVit évidemment que le déterminant

ci-dessus soit congru à zéro.

Le nombre des substitutions .A,, A,,... est un nombre pair. En effet, il est

égal à celui des substitutions de la suite X,, v!>, laquelle se réduit ici

aux termes A,, Mb,,..., A„, iM.,„ : car si cette suite contenait une substitution telle que C,, dont les exposants d'ccbange avec A,, Mb fusseul

tous congrus à zéro, scs exposants d'ccbange avec toutes les substitutions de .f, lesquelles dérivent de celles-là. seraient congrus à zéro, contre l’bypotbèse.

233. Soit maintenant (C, C,), (C,C,),... (C,„Cj„) un système quelconque de nombres satisfaisant aux relations

: (cc.)

(inod. /().

IKi LIVRE riF.lXIÉME.

On pourra choisir un système d'indices indcpendunts tel, tfue les suhstilulions (!, , qui rnrresftondent respecticemenl à ces divers huUces, aient leurs erposanls d'échange mutuels congrus à ((], C,), (C,

En eflVl, si les subsliiiitions A,, A,,... nvaient puur exposants il'éclianjje

niu'liiels, au lieu de (A, A,) {A„A,„), ceux-ci ; (C,f.,)

on pourrait déterminer un systêino de substitutions lO, = A}' A*'. . . ,

t' , - AJ' AJ’ fO,, dont les exposants d’écbangc mutuels fussent tous

congrus à zéro, sauf ceux-ci f^) = — (i,. it>^) , (|ui seraient congrus à I '232-23i). On aurait d’ailleurs réciproquement

r/i, «fj,...; e,, c.j,. étant des entiers dont le déterminant n'est pas congru à zéro.

C.cla posé, les substitutions .i.,, iB. ayant les mêmes exposants d’é-

ebange mutuels quetP,, C les substitutions

C, = .V'J'tlS.V. . . = A7'A7'.. ., C,= . . = Aî' Ap. ... ...

auront évidemment les mêmes exposants d’écbange mutuels que

à savoir : (C,C,) (C,„C,„). D'ailleurs le déterminant des

nombres m,, n ; m„ /i,....;... étant évidemment égal au produit des

deux déterminants formés avec a,, jS,,...; a,. ^ et avec rf,, e :

di, e,,.. ne sera pas congru à zéro. Donc on pourra déterminer un système d’indices indépendants qui correspondent respectivement aux substitutions C,, C,,... (231).

236. Convenons de désigner par .\p .Ap... l’opération qui consiste à accroître les indices s,, Sj,... respectivement de certains entiers complexes a,. *j,... formés avec les racines d’une congruence irréductible. Etendons à ces opérations la notion des exposants d’écbangc, en admettant que l’égalité

(Aj'Ar’jcsa, at.(A,A,),

lai|uelle est évidente lorsque a^, «, sont réels, sub.siste lorsqu’ils sont imaginaires. Il est évident que les démonstrations ci-dessus resteront applicables, avec retie smile dill'érencc que les entiers qui figurent dans le calcul seront complexes.

DES SUBSTITUTIONS. INÜ

237. Soient maintennDt S,, Sj,... les tliversch substitutions «le f,

T = I z„ î„. . . 7, J, + (/jZ.-t- . . . , r, Z. + r.z. + . . . . |

une subslilulion linéaire telle, que les transformées T"' S, T, T"'SjT,... aient leurs exposants «l’échanpe mutuels congrus à ceux des substitutions corres- |)onilantes S,, Sj,... respectivement multipliés par un même entier constant m. L’ensemble des substitutions T,, T„... ijui satisfont à cette condition pour les diverses valeurs m,, m,,... de m forment un groupe. Car T, étant permutable à T^'S,!,, Tf'S,T, appartiennent à ce groupe; leurs transformées par T, ont donc des exposants d’échange fois plus considérables (abstraction faite des multiples de p] queT; 'S,T,, T,'’SiT,,...

ou m,nij fois plus considérables que S,, S, .Mais ce sont les transformées

deS|, S,,... par T, Ta. Donc cette substitution, multipliant les exposants d’échange par l’entier constant m, appartient à la suite T, , Ta. ... : «"t cette suite formera un groupe.

238. Il est aisé d’écrire les relations auxquelles doivent satisfaire les coefficients de T.

En efl'et, celte substitution transforme généralement .V^cn .\',= . . ;

et la condition (.\',..V.)îswi (A^A,) donnera

(3i) (A, A,)5, î.-l-(.\i A.)Çi.r. -e. + + . . . = «i(X, A.)

pour toutes b-s valeurs de p et de v. Héeiproqucmeni, si ces conditions sont satisfaites, la transformation par T multipliera par m les exposants d’échange mutuels de toutes les substitutions de i. Car soient .Aj* .A’' AJ'... deux

de ces substitutions, Vs^ii),(.A^ A,) leur exposant d’échange : celui de leurs transformées .A'" A','’..., .A,"' A,'*. . . scra^|jay,a(.V, A'.) = //j^|^iiî, (A^Av).

239. Remplaçons z,, Zj,... par de nouveaux indices indépendants æ,,

J-,, tels, que les substitutions correspomlantes -X.,. si.,, x„

aieht leurs exposants d’échange mutuels congrus à zéro, sauf ceux-ci

sri — qui soient congrus à 1 . Soit