A. PAR UN ORIFICE PERCÉ DANS LE RÉSERVOIR

La vitesse d'écoulemeot d*un liquide, par un orifice percé dans un réservoir à niveau constant, peut se déterminer au moyen du théorème de D. Bernouilli et du principe des forces vives.

Adoptant les désignations employées au chapitre premier, dans la démonstration du théorème de D. Bernouilli , nous supposerons que le mouvement est assez faihie dans le vase pour permettre de négliger ij^ ou — J (V* — V*); c'est, en d autres termes, admettre que

forifice d'écoulement soit très-petit par rapport à la section horizontale minima du réservoir. La pression F, par unité de surface, devient donc :

Nous ferons aussi abstraction de l'adhérence du liquide contre les parois, et de la cohésion dont Teflet est insensible à cause de la lenteur du mouvement.

Les forces actives qui font descendre la masse ABCD (fig. 9) en A'B'G'D', pendant l'instant dt, sont : la pesanteur et la résultante dz (P — p) des forces extérieures. D'après le principe des forces vives, il faut : chercher le travail élémentaire développé par ces forces ; puis, l'accroissement de force vive résultant de ce travail. Cela fait,

en égalant la seconde quantité au double de la première, Ton obtient une relation qui conduit à la valeur de U, vitesse d'écoulement/Suivons cette marche.

Dans le transport de la masse ABCD, ou M, de la position primitive ABGD jusqu'en A'B'G'D', la pesanteur, d'abord , produit une quantité de travail instantanée (c*est*à^ire en un temps dt) égale au produit du poids de celle masse par Tespace, ou chemin virtuel décrii par son centre de gravité. Or, d'après la théorie des forces parallèles,

celte quantité est exprimée par A (AB, A"B") (H— H') où AB, A"B" est le volume d'une tranche infiniment petile de ABCD. Ceci se ramène à la forme gdîA (H — H') si Ton remarque que A = (îgf et que

le volume dV = —T- •

Mais cherchons directement la quantité de travail instantanée, c'esl-à-dire pendant dt.

Évidemment, le travail instantané d*une tranche mince ABB^'A" de la masse M est gdiA, et son moment virtuel est gdMdz, en appelant z le chemin virtuel' variable entre H et H'. Le moment virtuel de la masse M est donc :

gm I d% = gdyi (H - H')

De même, la quantité de travail instantanée produite par P — p est gdM ( — T-^j ; en effet c'est :

PS. dz - p<r. dz' =« P. Sd« — p. vdz' Or, Sdz = (Tdz\ car les volumes liquides écoulés en temps égaux sont égaux (par suite, aussi, l'épaisseur des tranches est en raison des vitesses) ; de là :

P. Sd* - p. ddz' = PdM. ^ - pdM -^

P. Sd« - p. (rd«' = -i- (P - p) SfdM A

La quantité d'action instantanée totale est donc :

Soit raainteiiaiit idM. V* ta force vive totale de la masse M, dans sa

position primitive ABCD (elle a une vitesse Y en arrivant en AB d'une façon continue, et Ton admet que cette vitesse reste constante). Soit

idM. V* celle qu'a atteinte la masse M arrivée en A'B'C'D'. L'accroissement total est dM (V* — V*); en effet, voyons d'abord quelle est la somme des forces vives que possédaient toutes les tranches de la masse M, dans sa première position ABCD :

!'• tranche AB dM. V«

2« • , dM.v*

Z* • dM. »'« etc.

la dernière tranche précédant celle où la vitesse est V.

Arrivée en A'B'G'D', censée momentanément à tin dz en dessous (afin d'éviter des A"B"C"D", etc., en notations), la 1" tranche de A'B'C'D' a atteint la vitesse v de la 2« tranche de ABCD, etc., et la dernière est W Retranchant les premières des secondes, l'on obtient : rfM(V'* — V«).

L'on en conclut, en supprimant le facteur commun dM :

Pour appliquer cette relation à la section ab, où la veine a repris le parallélisme, l'on fera V = U et H — H' = H" la hauteur du niveau AB au-dessus de ab, puisque H' est ici égal à K (Og. 7). En

d'où :

outre, comme l'on sait que V : U = a : S, il suit que : V* = -g; . U*;

ou généralement :

qui est la formule donnant la vitesse d'écoulement pour un orifice quelconque.

Cherchons les transformations de cette formule (m) pour quelques cas particuliers.

Si Ton fait <j = S, alors U = -j ou Tabsurde, c'est-à-dire que la formule n'est plus applicable. En effet, le liquide tombant alors librement par la gravité, le mouvement permanent et par tranches parallèles n'est pas applicable non plus.

Dans le cas ordinaire, où l'orifice est très-petit par rapport à la

section du réservoir, le terme ^ est négligeable; de là :

qui est la formule de la vitesse pour un orifice très-petit.

Enfin, si le liquide s'écoule dans un même milieu que celui du réservoir, par exemple à l'air libre, alors P = p el les formules (m) et (n) deviennent :

D'après Navier, il est prouvé par expérience que l'on peut suppri-

mer le terme ^ lorsque le rapport ^ ne dépasse pas—. Ce rapport

peut s'élever à yk suivant Poncelet {i).

. iU

Toricelli irovi\B la formule U = V/2gfH en 1643, par l'observation de la hauteur des jets d'eau et par les lois de la chute des graves récemment découvertes par son maître Galilée. L'expression de cette formule est connue sous le nom de théorhme de Toricelli; faisant abstraction de toute erreur d'approximation , on peut la traduire comme suit :

Théorème de Toricelli. La vitesse d'un fluide, à la sortie d'un orifice percé dans un réservoir, est celle qu'aurait acquise un corps grave en tombant librement de la hauteur comprise entre le niveau de la surface fluide et le centre de cet orifice.

Nous avons déjà vu combien cette conclusion est peu générale,

(4) Poncelet, Archives hydrauliques, page 250.

puisqu'elle exige cerlaioes conditions essentielles tant pQur la grandeur que pour la forme de Torifice d'écoulement.

Si Ton considère deux fluides, de nature différente, sortant chacun d'un réservoir particulier par des orifices identiques, Ton aura, en supposant des charges différentes sur ces orifices :

c'est-à-dire : les vitesses sont entre elles comme les racines carrées des charges.

Il faudrait en conclure, avec D'Aubuisson, que la vitesse d'un fluide à sa sortie d'un orifice est indépendante de sa nature et de sa densité, et qu'elle ne dépend que de la charge (1). C'est là une conclusion que Ton ne peut admettre en général ; l'influence de la viscosité se fera évidemment sentir d'une manière notable dans l'huile tandis qu*elle sera presque nulle pour l'eau.

En 1695, Varignon démontra la formule U = V/SgÏH d'une manière rationnelle et générale, en se basant sur l'hypothèse que la tranche liquide située à l'orifice d'écoulement éprouve une pression égale au poids de la colonne liquide qui la charge. Mais celte hypothèse est loin d'être applicable à tous les cas ; nous avons déjà vu, en effet, qu'elle présuppose un mouvement très-lent dans le réservoir, c'est-àdire un orifice fort petit, qui permette de considérer comme négligea-

ble le terme ^ ; en outre, ici encore, cet orifice est soumis à certaines

conditions particulières.

Lorsque l'écoulement, au lieu de se faire à l'air libre, se fait d'un réservoir dans un autre (fig. 10) dont le niveau soit à une hauteur h au-dessus du centre de la section ab de la veine contractée, la pression sur l'orifice ne sera plus p, mais p augmenté du poids de la colonne liquide de hauteur h; si donc p représente, ainsi que P, la pression atmosphérique, et que le liquide soit de l'eau, comme dès lors la

(4) D'Aubuisson, Traité d'hydraulique, chap. I, ^ 48.

pression suppléioeataire sur l'unité de surface est A'A >= h pour ce

genre de liquide, l'on aura :

- A'fc = ■

D'où

El, dans le deuxième cas considéré plus haut :

U = l/2i?(H-fc) (n")

Telles sont les formules applicables à l'écoulement de l'eau, d'un réservoir dans un autre ; la première se rapporte à un orifice quelconque ; la seconde convient au cas d'un orifice très-petit.