C --r— , ainsi que nous I avons établi

M. Sonnet a repris le travail de Navier. Dans un mémoire présenté par lui^ en 1845, à TAcadémie des sciences de Paris, il a fait voir le parti pratique que Ton pouvait retirer des tentatives stériles de Navier. Abandonnant le cas général traité ^.ar ce dernier, il a appliqué la considération de la différence des vitesses à quelques cas pratiques et en a déduit des formules très-importantes.

D'après Navier, les résistances dues à la viscosité, c'est-à-dire la cohésion et Tadhérence, sont toutes deux proportionnelles à la vitesse relative, soit des molécules fluides entre elles, soit des molécules fluides en contact avec celles de la paroi. M. Sonnet a modifié cette hypothèse en élargissant le principe. Se bornant au cas du mouvement permanent rectiligne, il représente aussi la résistance totale due à la viscosité par une fonction de la vitesse relative a, développable suivant les puissances entières de la variable, mais dont il conserve tantôt un terme, tantôt deux termes, suivant l'application. Il a obtenu ainsi plusieurs résultats analytiques très-simples, faciles à vérifier par expérience.

M. Sonnet déduit de son hypothèse les mêmes équations que Navier pour les filets intérieurs (la cohésion) ; mais celles qu'il pose pour les filets à la surface ou près des parois, ne sont plus du premier ordre. Il établit ces équations à Taide de deux méthodes distinctes, dues à Navier et à Poncelet, et conduisant toutes deux aux mêmes résultats (1).

D'après M. Sonnet, la résistance des parois , c'est-à-dire l'adhérence, ne peut être représentée que par une formule d'interpolation

(4) Sonnet, Mémoire sur le mouvement rectiligne et uniforme des ecMX, en ayant égard aux différences de vitesse des fUets,

de la forme A + Ba + Ca« + Da' , jusqu a ce que des obser-

vatioDs spéciales aient fait découvrir la loi naturelle. Considérant comme telle la formule ordinaire (o) :

tf (v) = B» -h C«»

il pose en principe que la résistance des parois doit être représentée par une fonction impaire de la vitesse.

Ce principe ne nous semble pas plus rigoureux que celui de Navier ; c'est là une question que Texpérience seule peut décider, et nous verrons, au chapitre IV, qu'elle pourrait bien en avoir décidé autrement.

Ajoutons que M, Sonnet, loin de faire ressortir la distinction* capitale qui existe entre la cohésion et Tadhérence, nous semble aussi avoir confondu la nature tout à fait différente de ces deux forces.

Nous avons basé quelques-unes des considérations précédentes sur les remarquables idées de M. J. Dupuit, Tun des plus logiques et des plus profonds hydrauliciens modernes. En traitant la question des eaux courantes, nous développerons la théorie de cet éminent ingénieur; nous ferons connaître aussi les méthodes de MM, Sonnet et D'Arcy, ainsi que les modifications importantes, résultant des recherches expérimentales de ce dernier, et qui tendent à modifier sérieusement les hypothèses et les formules généralement admises.

h\ Des plésomètres.

Avant de terminer ce chapitre, disons quelques mots sur une certaine catégorie d'instruments appelés piézomhtres, destinés, ainsi que leur nom l'indique, à mesurer les pressions aux différents points de la trajectoire d'une molécule ou d'une masse liquide en mouvement.

Si l'on appelle p la pression, par unité de surface, exercée soit à la partie supérieure soit à l'intérieur même d'une masse fluide, l'on peut se représenter cette action comme exercée par une certaine colonne d'un liquide pesant quelconque, mais d'une hauteur h telle que son poids, sur l'unité de surface pressée, soit égal à p.

Soit A le poids, par unité de volume, du liquide pesant en question, est-à-dire le poids qui correspond à la ma par unité de volume. Nous devrons poser :

c'est-à-dire le poids qui correspond à la masse S = — = h masse

p=Afcd'oùfc= JL

A sera constant si le liquide est homogène.

Cela posé, rappelons aussi Féquation (p) s'appliquant aux liquides pesants et homogènes, et trouvée en g' § III.

ff'

-4- + i- If COI. «. d« - -J^ = C a ^ g y Ig

Supposons maintenant une masse liquide XY (fig. 7), pesante et homogène, en mouvement permanent, et a'a" une portion de la trajectoire décrite par une même molécule. Appliquant aux points a' et a" Téquation (p) et désignant par s' et s" les portions Xa' et Xa'' de la trajectoire. Ton obtient :

a'--i--f-— Ifcos. «.ds s— ==C

Ainsi que nous Tavons vu, la pression en a' peut être censée produile par une colonne liquide dont la hauteur verticale soit -^ ; de

p" même pour a", où l'on aurait-^ . Soient a'n' et a"n" ces deux colonnes; z' et z'^ les distances verticales des points a' et a" à un plan horizontal de comparaison AB. La différence du niveau n"m ou H, entre les deux points considérés sera :

n"m ou

Substituant, dans Téquation plus haut, cette expression de H, il en résulte

H -I- -1. [y COS. «. d»

TJr-

2ff

Lorsqu'on néglige l'action de la viscosité, il reste :

ce qui. est Téquation des variations de la vitesse d*un point matériel qui glisserait, sans frottement, le long de la trajectoire XY.

Mais si Ton tient compte de la viscosité et que Ton représente par 9 le travail négatif fait par cette force, de a' en a'\ Ton obtient :

^Ir

co«. w, d« = -

et la variation réelle de hauteur due à la vitesse ne sera plus que H — 0, comme si Ton avait retranché la quantité 6 de la différence de niveau H = n"m, qui existerait en réalité si la viscosité ne produisait aucune résistance.

Supposons, comme application de Thypothèse précédente, un cylindre liquide XY s'écoulant par un tuyau de conduite, horizontal ou incliné (fig. 8), adapté à un réservoir qui est constamment rempli.

Lorsqu*on fermera l'extrémité Y, le liquide viendra exercer en chaque point du tuyau une pression due à la charge AO; de sorte que si Ton adapte en o\ o", o"', des tubes verticaux o'E, ô"D, o"'C, le liquide s'y élèvera jusqu'à ce que le poids des colonnes liquides fasse équilibre à la pression en ces points, c'est-à-dire jusqu'au niveau A6 ; c'est, du reste, la loi des tubes communiquants et le principe du niveau d'eau.

L'extrémité Y étant débouchée, le liquide prendra un mouvement dû à la pression exercée en X par la charge ; et, si l'on suppose une contraction nulle et une viscosité négligeable, il sortira en Y avec une vitesse due à la charge AO. Le fluide des tubes o'E, o^'D, o'"C, bais-

sera jusqu'au niveau Oo"\ puisque toute la force de la charge agit parallèlement à Taxe XY, sans produire de pression à la suface supérieure.

Supposons enfin que Y ne soit débouché qu'en partie» ou hien que Ton y ménage un orifice de sortie plus petit que la section du tuyau de conduite, censé encore très-court et disposé en X de façon à détruire la contraction. Le liquide sortira toujours en Y avec la vitesse V due à AO (ou plutôt à j/G), mais la vitesse v dans le tuyau sera plus petite dans le rapport inverse des sections. Représentant AO (ou j/C) par H, et par h la hauteur de charge capable de produire ^, il existera,

dans la conduite, une vitesse l/2gfA parallèle à Taxe et ne produisant aucune pression supérieure; il s'y trouvera, en outre, une deuxième

action capable d'engendrer la vitesse l/2gf (H — h) et agissant sur toutes les molécules, dans tous les sens, et qui, par suite, pressera le liquide de bas en haut, aux points o\ o", &" ; celui-ci montera dans les tubes et s'arrêtera à un certain niveau mn, tel que

Am=/i = |l=0,OSl vK 2flf '

De là, le grand principe établi par D. Bernouilli, au moyen du calcul d'abord, et ensuite par l'expérience, principe dont il a fait la base de son hydraulicchstatique : la pression que l'eau en mouvement dans un tuyau exerce contre un point quelconque de ses parois est égale à la charge (effective) sur ce point, moins la hauteur due à la vitesse dans ce tuyau.

Nous avons vu que ce principe n'est rigoureux qu'à la condition de négliger certaines résistances.

L'on désigne sous le nom de colonnes piézométri(fues, les colonnes fictives a'n', a"n" (fig. 7) et l'on appelle piézomèlres, des tubes réels o'E, o"D, o'"C, (fig. 8) implantés dans un liquide, et suffisamment déliés pour ne pas gêner le mouvement. Ces tubes seraient d'un immense secours en hydraulique, si la dernière condition pouvait être réalisée à l'intérieur même des liquides; quant à leur emploi, à la surface des tuyaux, il est permis d'admettre qu'il ne peut produire aucune modification apparente ou probable, surtout si l'on a égard aux perfectionnements apportés à ce genre d'instruments. Nous citerons, entre autres, le piézomhtre différentiel de M. Bélanger, composé de

deax tubes, analogues à o'E et o''D, et destiné à donner directement la différence des niveaux piézométriques ou la différence de pression entre deux sections ou deux points peu éloignés. Nous y reviendrons dans le chapitre suivant.

L*on appelle niveau piézométrique, le niveau du liquide dans le piézomètre; quelquefois il représentée celui du liquide diminué de lO'^SS qui est la hauteur d'eau représentant la pression atmosphérique; c'est, du reste, indifférent en pratique, puisqu'il s'agit toujours de prendre des différences, par suite desquelles le t«rme constant ajouté lO^'SS doit disparaître dans la soustraction.

La charge entihre est celle qui correspond à la hauteur totale Cy == H entre le niveau du réservoir et l'orifice de sortie y. Par suite de la viscosité et de la contraction, le liquide sort, en i/, avec une vitesse moindre que celle qui serait due à H, et égale, d'après les notations admises, à H — 6, que Ton désigne sous le nom de charge effective.

Par analogie, pour tout autre point a\ a'\ etc., de la conduite, sa charge entière sera la hauteur AX = H du réservoir, au-des^s de ce point; et sa charge effective sera H diminuée de la résistance éprouvée par le liquide depuis l'origine X de la conduite.

Si l'on désigne par charge l'abaissement du niveau piézométrique entre deux points a' et a" (fig. 7) ou le relèvement de ce niveau en l'affectant du signe — , et par perte de charge la quantité 6, qui, en réalité est une perte puisqu'elle se retranche de H dans la formule V" — V = 2 (H - 6)

qui donne l'accroissement ou la perte de force vive, le théorème de D. Bernouilli, dans le cas des liquides pesants et homogènes, pçut s'énoncer comme suit : l'accroissement de la hauteur due à la vitesse est égal à la différence entre la charge et la perte de charge.