Méékode par le prtMefpe des forces Tires

Ainsi que nous l'avons fait remarquer, la formule de D'Aubuisson ne mérite qu'une confiance limitée. Nous allons considérer la question à son véritable point de vue, en ayant égard à la perte de

force vive qui se produit quand il existe, dans rinlériéur du réservoir, un rétrécissement ou un élargissement quelconque, qui oblige le fluide à s'y mouvoir avec une vitesse plus grande ou plus petite que celle qu'il possède un peu au delà de la section contractée ou élargie rda* live à cet étranglement ou élargissement, et à Tendroit où il reprend sa vitesse de régime uniforme et où le parallélisme des tranches se rétablit.

Supposons d'abord le cas où il se présente un rétrécissement (fig. 33), c'est-à-dire, où la section AB =^ S circulaire, rectangulaire, ou à peu près telle, se réduise brusquement à la section A'B' = S'.

Représentons par S, S', o-, </ les surfaces des sections AB, CD, ab et a'6'; par V, ll\ ti, U les vitesses en ces endroits ; par m et m' les coefficients de la contraction, ou plutôt de la dépense, en ab et a^b\ Appelant encore H'' la charge sur ab, ainsi que nous l'avons fait au eommenceinent de ce chapitre, an §A. a, et appliquant le principe des forces vives, de la même façon, il est facile de prouver que la quantité de travail élémentaire développée par la pesanteur sur la masse dM^ qui s'écoule en ab pendant rinstanl dt, est représentée par gdfA. H" ; que celle qui est produite par les pressions P et p, en BB" et ab, est

égale à^cIM l — — ^ j où A exprime le poids du liquide sous Tunîté

de volume ; enfin, que l'accroissement de force vive de la masse c(M, en passant de AB en ab, est dM (U* — V); de sorte que, s'il n'y avait pas de force vive perdue, l'on devrait avwr :

Mais la masse écoulée, pendant l'instant dt par l'orifice a'b', est aussi <My et elle a une vitesse U' plus grande que u ; elle vient donc rencontrer une masse finie A'B'D'C; ce qui, avec l'aide de la viscosité, détruit presque instantanément le surcroit de vitesse de dili pour ne lui laisser que sa propre vit^e u, de même direction que U'; donc la force vive perdue, par l'effet du choc et de la viscosité, est cIM (U' — uy pendant l'instant dt. Pour un temps fini t, cette perte

serait idM (U' — ti)* = M (U' — ti)*, où M désigne la masse écoulée

pendant le temps r.

D(f* là réqiialion des forces vives :

(M (ÎJ« - V«) + JM (11' - tt)« = 2^n"(/M + Ig f ^ "^ ^ ] ^/M

Or, d'après la loi de continuité des fluides, les vitesses &09I en raison inverse des sections ; ainsi :

v. = o« !^ "' = u-;^ «=u -f- Remplaçant plos haut, Ton obtient :

L'on a généralement m' =s m, les orifices étant dans des conditions très-peu différentes.

La foTAïule (1) que nous venons d^oblenir est relative au cas par- |}ctt/*«r 4>ù:rétraDglenient serait remplacé par le diaphragme fictif dont nous avons parlé précédemment. Quant à celle qui convient pour un rétrécissement ordinaire simple (fig. 25), il est aisé de la déduire de la précédente ; il suffit d'y introduire les hypothèses :

ff = S' et er' = ^ = S'

La formule générale d'un étranglemeni est donc, en exprim«nnl H" par H :

Si Torifice a'V est en mince paroi, m' = 0,615 à 0,62, et Ton arrive à Téquation :

Nous^ verrons, à propos des ajutages, que Ton peut considérer ce résultat comme l'expression presque rigoureuse de la réalité pratique.

Le même prtnôipe des forces vives conduit aussi faeiteB»ent à l'expression de la vitesse, lorsque le liquide passe brusquement d'un résearvoir à un autre de section plus étendue.

Supposons, en ^et/ qu'une colonne liquide aCDb animée d'une vite^e y (fig. 2i), reneontre la masse A'ABB', qui possède une vitesse ti, plus laible que la précédente^ et s'y mêle après Tavoir heurlée.

Après quelques tourbilionnements, prodytits par le ehoc, les divers filets prendront la vitesse u, uniforme, du nouveau conduit. De là encore une certaine perte de force vive, facile à évaluer.

Désignant par S et S' les sections ab et AH, si Ton remarque qu'il n'y a pas de contraction çn ab, Ton obtient, pour valeur de la perte précitée :

dU (V - «)» == dM.V« U ^\

et réquation (1) s'établirait par les mêmes raisonnements, sauf à y remplacer le terme cM (U' — «)«, dû au cas de la fig. 23, par dM (V — uy correspondant à celui de la fig. 36. S'il y avait contraction en nb, ce terme deviendrait :

dM(V-tt)«=:dM.V»(l- ^]

S'il y avait, en outre, une cloison m A'W avec orifice, ainsi qu'à la fig. 33, il faudrait agir daprèa les mêmes priacipes, comme à l'équation (1).

La méthode que nous venons ^e poser a été aéiuise et enseignée, pendant bien des années, par M. Sfeichen, professeur de mécanique à I école militaire de Belgique. Depuis peu, cependant, il a cru devoir corriger le terme rfM (L' — uf de l'équation des forces vives. Comme cet honorable savant choisit pour vérification expérimentale de ses formules un fait qui est relatif aux ajutages, nous remettrons au paragraphe suivant l'examen de sa nouvelle théorie.

e. Méthode de M. Belanser.

Malgré l'exactitude des formules précédentes, il nous parait utile de donner un aperçu rapide de la méthode, à la fois théorique et expérimentale, due à M. Bélanger, et ba^ée sur l'emploi de sou piézomitre différentiel.

I. Repreaaut l'hypothèse d'une veine ab, débouchant tout à cmip dans un espace à seeUon plus grande et à peu près circulaire, rempli aussi de liquide (fig. 27), nous admettrons d'abord, avec M. Bélanger, qse, d'après la i« règle donnée en d' §C du chapitre I, les molécules traversent les sections ab et 6H avec des vitesses sensiblement rectilignes et nonnales ; qu'es second lieu, comme il y a dans Tespaee

aftimlaire sotinits à raclion de l'éiargissème ni une poKion de fhitde animé de monvements lents, on peut supposer que la pression sur la partie de la section AB, non occupée par la veine varie suivant la loi hydrostatique, conformément à la 3' règle du même pan^^raphe d\

Par conséquent si Ton élève un tube piézométrique fictif, en un point quelconque de ah ou de AafrB, le niveau du liquide dans ce tube sera indépendant de son point de départ inférieur ; le même fait se produira pour une section GH. De plus, ajoute M. Bélanger, les pressions moyennes sur les surfaces AB, GH, s'exerceront en leurs centres de gravité respectifs ; nous avons déjà prouvé, en /c § B du chapitre I, Tinexactitude de cette dernière hypothèse. Soient maintenant :

h la différence des niveaux piézoméiriques en AB et en GH;

6 la charge perdue, à déterminer;

U et ti les vitesses moyennes du liquide en oh et GH ;

A le poids du liquide par mètre cube;

S' la section droite du cylindre ABB'A'.

Si, comme le représente la fig. 26, le niveau piésiométrique en GH

dépasse de la quantité h celui qui répond à l'entrée de rélargissen^nt,

rabaissement qui a eu lieu dans le passage de U à u sera — A. L'on

aura donc, d'après le théorème de Bernouilli (% C. g\ IH. Chap. P') :

d'où Ton pourra tirer 6, si Ton sait évaluer h. Employons, à cet effet, le théorème général de l'égalité entre les quantités de mouvement développées par les forces moléculaires, la pesanteur et les pressions; le cx|indre ABB'A' est rensé ici suffisamment court pour qu on puisse négliger l'action de rndhérence.

De là Téquation :

— S'vdt (ti - U) = - AS'/M/e

Ou bien, en divisant par — AS'dt :

Si l'on élimine h entre les équations (a) et (b), l'on obtient :

C'esl-à-dire que : la perte de charge produite par un éfnrgissement brusque de section est égale à là hauteur représentative de la perte de vitesse moyenne.

Celte démonstration, reposant sur l'hypothèse du parai télisime de$ filets dans les sections où sont mesurées les vitesses u et U, pourra élre considérée comme assez rigoureuse, si Ton admet, en sus, que rextrémité D6aC soit évasée de manière à détruire la contraction. Dans le cas contraire, Ton ne pourrait admettre le paraHélisme en ab, mais bien en «'6', c'est-à-dire a Tendrort où la section est minima et où lès filets reprennent à peu près leur direction primitive ; il suflSrait donc, dans ce cas, de mesurer la vitesse U en a^b' et non enab.

Au lieu des vitesses U et u, difficiles à mesurer, l'auteur introduit, dans la formule, la dépense Q, dans l'unité de temps, et les sections S' de ABB'A' et o- de ah (ou de a'6'). Il obtient, pour le cas de la fig.27:

El pour celui où la contraction n'est pas nulle :

Q = S'm == m (<tU)

Ou bien encore :

Si l'on pouvait mesurer directement la riifrérénce h des niveaux piézométriques dans les sections ab et GH, il suiffiraît de s'assurer que la hauteur observée satisfait à l'équation (6), pour avoir le droit de conclure l'exactitude de la théorie précédente; ou bien, après avoir conclu la valeur de 9, en fonction de cette hauteur h mesurée, dans l'équation (a), et avoir exprimé m et U en fonction de Q, S' et a, il suffirait de constater si l'on a réellement :

(U - tt)^ uy

2i? ^9 2flf

L'instrument que M. Bélanger a nommé piézomïtre différentiel a

pour but de RMwurer eelle hauteur h, et jt pe«t être employé pour coDStater, par expérience, la différence de pression entre deux points A et B (fig. 98), pourvu qu'ils soient peu éloignés.

Ce piézomètre est formé de deux tuyaux fleiiUea, en plomb, dont Tune des extrémités s'adapte, pour chacun d'eux, au point sur lequel on opère; à Tautre extrémité ils sont réunis par un tube en verre mCn, recourbé, et percé en C d'un trou capillaire qu'on peut à volonté ouvrir ou fermer hermétiquement.

Les robinets A et B étant fermés et les tubes remplis d'air, si l'on ouvre ces robinets après avoir au préalable fermé C, le liquide s*élè* vera dans les tubes, mais ne les remplira pas, à cause de la résistance de Fair comprimé. Afin de permettre au liquide de monter jusque dans la branche courbe en verre, l'on ouvre peu à pou le robîfiet C jusqu'à ce qu'on aperçoive les niveaux en tii et n ; la pression de l'air étant la même évidemment des deux côtés, la valeur de sa force expansive ne présente aucun intérêt, et la différence des deux niveaux liquides est la valeur de l'inconnue h à déterminer.

IL Établissons la formule de M. Bélanger pour l'écoulement d'un liquide par un tuyau court, présentant une série d'élargissements brusques.

Supposons (fig. 99) que l'on adapte à un réservoir A une suite de tuyaux de faible longueur, séparés par des diaphragmes percés d'iine ouverture en mince paroi b et c, tandis que deux orifices analogues a et d donnent au liquide l'entrée et la sortie. Quelle sera la vitesse à la sortie, et par suite, la dépense par l'ouverture rf?

Soient :

S', S", S'" les sections des tuyaux partiels ;