I. Mouvement rectiligne et uniforme

Les considérations que nous avons exposées au gB. I. de ce chapitre ^'appliquent en grande partie à l'importante question du mouvement de l'eau dans les canaux découverts. Aussi, les calculs d'analyse qui déterminent les lois des vitesses seront, pour les canaux,

(4) D*Aubuisson, Traité d'hydraulique, chap. III, art. S.

analogues à ceux qui ont élé développés pour les conduites; et la cri> tique des diverses théories de Dubuat, De Prony, D*Aubuisson, Bélanger, Dupuit, etc., reposera sur les principes énoncés déjà au même paragraphe.

a. I«ol et e«arke 4e« vitesse*.

Afin de rendre plus simple et plus compréhensible notre méthode analytique, nous supposerons momentanément, comme De Prony, que la section du canal soit un rectangle d'une largeur indéfinie dont les parois latérales n'opposent aucune résistance. Dès lors, tous les filets situés dans une couche parallèle au fond ont une vitesse égale, et il suffit, comme nous Tavons déjà vu, de considérer ce qui se passe dans une section veriicale parallèle à la vitesse. Nous admettrons aussi que le fond du canal constitue un plan incliné, dont Tintersection avec une section normale quelconque soit une horizontale perpendiculaire au fil de Teau; sur ce plan, et suivant la ligne de la plus grande pente, glisse une couche infiniment mince, qui supporte à son tour le glissement parallèle d'une deuxième couche liquide analogue, ce phénomène se produisant jusqu'à la surface.

Les différents points d'une même couche étant animés de la même' vitesse, parallèlement à la ligne de plus grande pente du fond, à cause de l'uniformité du mouvement, cherchons la loi de variation de cette vitesse d'une couche à une autre qui lui serait contiguë.

Représentons par :

Y h force retardatrice, rapportée à l'unité de masse, supportée à

un instant quelconque par une molécule, sous l'influence de

la viscosité; la pente superficielle totale entre deux sections transversales

distantes entre elles d'une longueur L; il la profondeur totale du cours deau ; Z la distance d'une molécule quelconque au niveau supérieur ;

V la vitesse à la surface; W celle du fond ;

U ta vitesse moyenne ;

F (W) une fonction exprimant la résistance du fond par mètre carré. .

l^s raisonnements présentés en a § B donneront encore la relation :

qui prouve que ^ est constaul pour toutes les molécules ; I ou peut donc obtenir aussi sa valeur en divisant L.F (W) par la niasse to*

laie — LH, sur laquelle celle adhérence réagil ; de là :

équation par laquelle W est déterminé.

L'on arrivera encore à une troisième expression de ^ en faisant entrer en ligne la résistance de la cohésion. Nous savons que cette

force, rapportée au mètre carré, se représente par e f — — J , pour

deux couches contiguës dont les vitesses sont veiv+ -.- dz ; ta con-

dz

stante s se rapportant à un même cours d*eau déterminé, et m étant

égal à 2 d'après D'Arcy. Or, comme la couche d'épaisseur dz et de

profondeur z supporte par mètre carré de sa surface supérieure une

f dv \^ f dv \'"

action e (. — -7- j , donc L. g ( — — I 3ur la longueur (-; qu'en

outre, elle reçoit par sa surface inférieure une action en sens contraire

égaie à la somme de la précédente et de sa différentielle en z, la résul-

• A tante de ces deux forces, divisée par la masse — Ldz représentera la

troisième valeur de ^ cherchée ; d'où :

— Ldz

Ou bien

L "~ A • dz Ll (h ) J

— aSOT — -

Celle équation devient^ par une première int^nilion

où h conslante C représente ce que devient f — — 1 , c'est-à-dire

Taclion de la cohésion, lorsque s '=^o,kh surface. Si cette constante n'était pas nulle, dans ce cas, Ton aurait :

c'est-à-dire que ia couche supérieure devrait sou équilibre, d'un côté à une résistance finie LsC provenant de la couche inférieure contiguë, de l'autre à l'action de la pesanteur ou ^Lds qui est infiniment petite. Comme cet équilibre est impossible et que, par suite, le mouvement uniforme n'aurait pas lieu en celte partie, il faut poser : C = o ; de ll| :

d% [sLl Une deuxième intégration donnera :

relation analogue à celle que nous avons trouvée en (9) au % B. Et, pour déterminer V en fonction de la quantité W connue, comme dans l'équation (r), il suffira de faire j? == H dans la relation (6); l'on obtiendra ainsi :

et par conséquent :

v:rw==iH) " ••• ^^^

Cherchons maintenant l'expression de la vitesse moyenne. A cet effet, égalons les deux valeurs de la dépense, en les divisant au préalable par la largeur du canal. Il viendra :

vdz==m

D'où il résulte* :

Si, daos cette relation. Ton remplace v par sa valeur tirée de TéquatioB (d)» l*on obtient définitivement pour la vitesse moyenne ;

2m +1 Ou bien, encore :

o=|(V4-w)+-^^gi^(v w) in

les vitesses W et V sont déterminées par les équations (à) et (c), dans

lesquelles entrent les variables — et H.

Les résultats de l'analyse précédente sont basés sur Thypothèse d'une section rectangulaire toute spéciale, dans laquelle raetion des parois latérales est complètement négligée.

M. Sonnet, dans un mémoire déjà cité, a abordé la question d*ttne section rectangulaire/ de largeur finie, dans laquelle les parois latérales exercent sur le liquide une résistance analogue à celle du fond. Nous examinerons ce problème en traitant de la théorie et des résultats présentés par cet ingénieur. Ces derniers sont infiniment plus exacts et plus conformes à Texpérience que ceux que Ton obtiendrait par les formules empiriques de D'Aubuisson, De Prony ou Eytelwein ; mais^ contrairement à la conclusion de T Académie {!), nous ne pouvons admettre que les formules de M. Sonnet méritent d'être considérées comme Fexpression analytique de la loi naturelle du mouvement dans les canaux découverts.

(4) Comptes rendut des eéances de l'Académie dés tciences, 4845, tome XX, pag. 786.

— IW —

b, WtMmwtmm erlII^Ne é^m théories ée •«bmil, Be ^ro«y, VANf^vlMiMi,

i« Dubuat.

Les principes et les formules de Dabuat reposent sur 38 expériences qu'il a exécutées sur deux canaux en bois qui, parleur section, se trouvaient dans les plus mauvaises conditions pour révéler la loi des vitesses. L'un d'eux, de forme rectangulaire, avait O'^iS? de largeur; la section de Tautre était un trapèze dont la petite base avait 0°'156, et dont les côtés avaient une inclinaison de SB^'^O' sur Thorizon. La profondeur d'eau y a varié de 0™034 à 0"'273 seulement, et la vitesse, de 0"*16 à 1»30.

C'est d'après ces expériences que Dubuat a conclu les lois du mouvement de l'eau dans les canaux en général ; il eu a déduit les principes suivants qui ont servi de guides à De Prony, D'Aubuisson, etc., et qui ne sont remarquables que par leur inexactitude radicale.

1** Le rapport -rrr- , dans des canaux différents, est d'autant plus

grand que la vitesse U est plus petite.

^ Le rapport -^ est indépendant de la profondeur H de l'eau.

3" La vitesse moyenne est une moyenne proportionnelle entre V et W, c'est-à-dire :

indépendante du périmètre x mouillé, de la section Q et de la pente /

du canal.

' 4° La relation entre V et W est donnée par la formule suivante :

W = (l/v"- 0,I65)« Ou bien : ^

5"" La vitesse moyenne est aussi une fonction de W indépendante de X, û et î, et peut se représenter par :

V + W W-Kl/W-f 0,165)»

C est en s'appuyaiU sur cet axbnie compléleinent faux que M. De Prony a cru pouvoir substituer, dans sa formule, la vitesse moyenne U à celte du fond W.

6'' La vitesse moyenne peut s'exprimer comme suit en fonction

de V :

Les équations qui précèdent, et'Ies conclusions de Dnbuat, en général, ne possèdent aticune valeur scientifique.. Nous les avons exposées afin de prouver que Texpérience seule peut égarer les plus habiles praticiens, et produire des erreurs d*autant plus désastreuses qu^elles sont patronées par des savants plus recommandables.

2^ De Prony,

Ainsi que nous Tavons exposé en 6 § B, les calculs analytiques qui servent de point de départ à M. De Prony se rapportent au mouvement de Teau dans un canal rectangulaire de largeur indéfinie. Il en a conclu Téquation générale :

nf = /r(U)

qui s'applique à la fois aux canaux découverts et aux tuyaux de conduite, sauf une différence dans les valeurs des constantes de F (U). D'après De Prony, si Ton représente F (U) par Texpression :

00 A exprime encore le poids du mètre cube d'eau, il faut donner aux coefficients a et fc les valeurs expérimentales :

«==0,00004445 et t = 0,000309514.

Pour déterminer ces coefficients il s'est servi de 31 expériences dans lesqiielles :

La vitesse U maxima avait été de O^SS par seconde; Le périmètre mouillé x • • • 16"00 courants ;

La section Û 29"00 carrés.

Sur ceâ 31 expériences, vingt-trois avaient été faites dans des canaux artificiels n'ayant pas 0"10 carré de section ni 1"00 de périmètre mouillé; la vitesse moyenne U s'y obtenait facilement» pw ob-

sérvaHion, au moyen de la dépense Q == 12U. Quant aux huit autres, elles avaient été observées sur des canaux naturels, mais de petites dimensions, d'après ce qu'on a vu. Pour connaître, dans celles-ci, la valeur de U, qui, dans les cours d*eau ne peut guère être connue que par le calcul, De Prony employa d'abord la formule de Dubuat :

Mais il trouva, pour cinq des Huit expériences, des valeurs de U

tout à fait différentes des vingt-trois valeurs données par observation «

Il jug^ alors nécessaire de remplacer la formule de Dubuat par une

autre relation empirique, au moyen de laquelle il y eut concordance

dans les 31 expériences citées ; il crut avoir posé ainsi une formule

générale représentant également les lois naturelles du /nouvement

dans les petits canaux et dans les grandes sections des rivières. Cette

formule est la suivante :

Pour des valeurs de V variant entre Q™oO et 2*"00, le rappoK — se

rapproche beaucoup de 0™80. De Prony en conclut que, dans la pratique. Ton peut poser la relation :

Tels sont, encore aujourd'hui, les singuliers principes religieusement acceptés par la généralité des ingénieurs. Plus d'un demi-siècle s'est écoulé (1 ) dans celte hérésie, et malgré les remarquables ouvrages des Navier, des Dupuit, etc., nous voyons s'étaler, dans la plupart des traités en usage et des cours de mécanique appliquée, la formule d'hydraulique la plus illégalement déduite et la plus en opposition aux lois de la nature !

Une dernière remarque sur ce sujet. Établissons ce que devient,

dans cette formule, le rapport ~ , pour quelques valeurs de V : Pour V = 0,25 . ; -^ = 0,77

(0 09fpoby, Jaugeage des eaux courantes. JSÙi.

l>ourV=^0,50 ; . . ^ =0,79

Ainsi, dans un même cours d'eau, la différence entre la vttêsse à la surface V et la vitesse moyenne U sera d'autant plus faible que V sera plus notable. Comme le mouvement est uniforme, la dépense Q = ÛU doit rester constante ; par suite, les plus grandes valeurs de (J correspondront aux plus petites profondeurs de Teau, et la formule de M. De Prony conduit nécessairement à cette conclusion : que la vitesse moyenne est variable avec ta profondeur du canal, et

que le rapport -=r- augmente quand cette profondeur diminue.

Or, cette dernière conclusion parait sanctionnée par les expériences de Brùnings, Ximénès, etc. Elle est acceptée par D'Aubuisson, et démontrée par Dupuit, ainsi que par la méthode analytique que nous avons exposée en a § C.

Mais, d'un autre côté, il est facile de démontrer, soit avec Dupuit, soit avec notre formule rationnelle (/*) du paragraphe précité, que la

loi d'accroissement du rapport— est précisément en sens contraire

de la formule empirique. Nous reviendrons sur cette anomalie dans l'exposé de la théorie de Dupuit, et nous expliquerons par quelles circonstances il peut arriver que les formules de De Prony satisfassent à rexpérience.

5" Eylelwein,

l>a seule modification apportée par Ëytelwein à la théorie précé^ dente consiste dans les nouvelles valeurs qu'il a données aux coefliqients a et 6 de F (U)* Afin de généraliser davantage l'emploi des formules de Dubuat et De Prony^ il les appliqua a 91 expél*ieHGeS) recueillies dans divers ouvrages d'hydraulique^ et s'étendaiH eiitre de»

limites beaucoup plus larges que celles des auteurs en question ; c'est ainsi qu'il mêla indistinctement les résultats obtenus sur de petits canaux avec ceux queFunck, Briinings, Ximénès et Woltmann avaient observés sur des fleuves très-rapides, tels que le Wahal, TArno et le Rhin.

Il en conclut pour a ei 6 les valeurs suivantes :

a == 0,000024265 et ft == 0,000565543 La vitesse moyenne avait été calculée, pour chaque expérience, par la formule :

Nous allons examiner les conséquences de celle manière de procéder. Si Ton représenle par R le quotient — , que Dubuat appelle rayon moyen de la section, Téquation générale de De Prony :

peut se inetlrc sous la forme :

R,'=aU + ^U* (m)

Ou bien encore, avec M. Steichen :

g. Ri^a'U + p'D»

qui revient à la précédente en posant : a = — cl p = — . D'après

if II

ce que nous verrons plus loin, la plupart des hydrauliciens modernes, entre autres, De Saint-Venant, Tadini, Dupuit, D'Arcy et Bresse, admettent, par expérience, que Téquation (m) peut se réduire. ainsi :

Ri = ^U«

cette formule étant d'autant plus rigoureuse que les vitesses sont plus fortes. Il en résulte qu'Eytelwein a trouvé pour F (U) une valeur plus grande que celle qui serait donnée par la formule de De Prony : F (U) » A (0,00004445 U + 0,000309314 I}<) Or, c'est rinverse qui aurait du se présenter, en admellanl comme exactes les données des expériences considérées, ainsi que la formnle employée, pour calculer la vitesse moyenne. En appliquant la formule

de De Prouy à de grandes sections comme l'a fail Sytelwein, Ton aurait dû évidemment- trouver des vitesses trop faibles, puisque cette formule ne tient pas compte de la vitesse relative que prennent les molécules en s'éloignant de la paroi. Si Tinverse est arrivé, c'est que, dans les fleuves précités, les sections ne sont pas régulières comme dans un petit tuyau ou un canal microscopique ; de là production de mouvement varié, et pertes de forces vives par les irrégularités, circonstances dont les formules ne pouvaient tenir compte. C'est spécialement à cette dernière cause qu'il faut attribuer l'exagération des expériences calculées par Eytelwein. Il est, du reste, facile de démontrer, par l'analyse de Dupuit, que ces derniers eussent été plus faibles que ceux de De Prony, si les données des nombreuses expériences et les formules qui leur furent appliquées pour déterminer la vitesse moyenne eussent mérité quelque confiance.

Tel est cependant le modeste bagage scientifique qui a servi, depuis 1816, à calculer les lois du mouvement dans les rivières et les canaux découverts ! Vainement Dupuit à sapé par la base ces formules creuses et ces expériences incohérentes; vainement il est parvenu à intégrer la véritable équation différentielle du mouvement varié. La confiance apathique a subsisté ; et lorsque, après ce profond et méthodique mathématicien, d'autres illustres ingénieurs sont venus compléter, par leurs lumières ou leurs expériences, la théorie rationnelle et rigoureuse du mouven^ent des liquides dans les conduites et les cours d'eau, la science si importante de l'hydraulique est restée en Belgique, pour la généralité des praticiens, des ingénieurs et des professeurs de mécanique appliquée, au niveau où elle se trouvait il y a environ un demi-siècle !

Les sciences, il est vrai, ne s'avancent que par degrés dans la voie de la vérité ; souvent, les progrès apportés à une seule branche sont disséminés dans un grand nombre de traités ou de mémoires, desquels il est indispensable de faire, au préalable, une étude approfondie. L'hydraulique spécialement se trouvait jusqu'ici dans cette catégorie ; trouvant plus facile de nier l'évidence, trop obstinés peut-être aussi dans leur doctrine routinière, la plupart des savants chargés de l'instruction publique ont renoncé au pénible labeur que nous nous sommes imposé en écrivant le présent ouvrage. Désormais la déplo-

raMe lacune n^aura plus de raison d'exister dans l^enseiguemenl de notre pays, et le but de notre travail sera atteint *si nous parvenons, par la publication de ce traité d'hydraulique, à substituer la vérité à Terreur, les équations rigoureuses du mouvement réel des liquides aux formules empiriques et inexactes de Dubuat, De Prony, Eytelwein et D'Aubuisson.

Nous n'entrerons pas dans de longs détails sur la méthode de M. Steichen. Ses idées sur le mouvement de Téau dans les canaux découverts, à régime constant, remontent à 181 6, et se résument dans les trois formules suivantes, d'Eytelwein et De Prony, que nous ne connaissons que trop :

Rï= aU + pu* == 0,00004445 U + 0,000509514 U^ (1)

Quant à la confiance qu'il leur accorde, l'on en aura un aperçu suffisant par ces quelques lignes extraites de son cours autographié (1) :

« En comparant entre eux les résultats de ces deux formules (1) « et (2), M. De Prony a trouvé qu'elles représentent avec un degré * d exactitude à peu près égal les résultats des expériences tant an- « ciennes que nouvelles. De plUs, il a remarqué que ces résultats « sont également bien représentés par la formule des tuyaux de con- « duite, et même avec un degré d'exactitude comparable à celui de la « formule de M. Eytelwein, quoique celle-ci soit déduite d'une plus « grande variété d'expériences. Cette remarque peut être importante < pour beaucoup de cas. »

Ainsi, d'après M. Steichen, les phénoniéhes'du mouvement de l'eau sont tout à fait identiques dans un petit tuyau de conduite et dans un fleuve comme le Rhin ; les formules qui les représentent peuvent donc être confondues. Cette conclusion est très-claire; elle ne présente pas même les sages restrictions et les doutes prévoyants de MM. De Prony et D'Aubuisson, sur la légitimité de leurs bizarres formules.

(1) Sleicheu, Cours de mécanique appliquée, section VI.