lyAubuisson

Nous avons vu que D'Aubuisson admet une similitude complète entre le mouvement de Feau dans les conduites et celui des cours d'eau naturels. Partant de là, il pose, comme expression générale de la résistance, sur Tunité de longueur :

et comme elle doit faire équilibre à la force accélératrice gp engendrée par la pesanteur (a § A), il en conclut léqualion générale :

Pour une longueur U de canal, dont la pente absolue serait /,

ou -yr j 'on aurait /) = — , et par suite :

Si Ton considère le canal dans son entier, depuis la prise d eau, il faut retrancher de la pente la hauteur H due à la vitesse v du mouvement uniforme ; de là :

Quant aux constantes A et B', D'Aubuisson adopte, mais à regret, les valeurs trouvées par Eytelwein. Il accepte de la même façon la formule :

en ajoutant ces réflexions : « Quelque confiance que méritent les ob- « servations deDubuat, elles ont été faites sur de si petites profondeurs « qu'il m'est bien diflicile d'admettre, avec lui, que la vitesse du fond, « et par suite la vitesse moyenne, est indépendante de la profondeur ;

« d autant plus que les observations faites sur les grands fleuves « semblent indiquer qu'elle diminue quand la profondeur augmente. « Quoi qu'il en soit, me bornant uniquement à ce qui concerne les « canaux peu profonds, j'adopterai, mais seulement comme mode « d'approximation, le résultat des expériences de Dubuat, tel qu'il a « été présenté par la formule de M. De Prony. »

5** Navier-Sonnet,

Les principes et les conclusions de la théorie de Navier ont été suffisamment développés aux § G. g' du chapitre I et § B. I. 6 du chapitre IV.

Nous savons aussi que M. Sonnet a modifié l'hypothèse de Navier en prenant, pour représenter les résistances de la viscosité, une même fonction de la vitesse relative développable suivant les puissances entières de sa variable, dont il conserve un monôme ou un binôme, suivant l'application. Il en résulte que, dans l'opinion de M. Sonnet, la cohésion et l'adhérence sont considérées comme des forces de même nature ; que, par suite, elles peuvent être représentées par une formule d'interpolation d'un nombre variable de termes, suivant que l'expérience l'exige. Il est inutile de prouver encore l'inexactitude d'un tel principe. Pour ce qui concerne la cohésion,

/ dv \"* I expression ^ ( ~r- ) «e Navier, qui a supposé m = 1 , représente

parfaitement une loi naturelle, si l'on évalue convenablement l'exposant m ; par conséquent, M. Sonnet a modifié, et non pas corrigé, l'hypothèse de son illustre prédécesseur. Du reste, cette modification était inutile ; en effet, les résultats analytiques obtenus par M. Sonnet^ dans les cas particuliers qu'il a traités, concordent généralement avec ceux que l'on obtiendrait par les formules de Dupuit, Bresse, D'Arcy, et de la théorie rationnelle que nous avons exposée, formules qui s'appuient toutes sur le principe altéré par l'auteur.

Nous avons fait connaître au § B. I. 6 de ce chapitre, l'application que M. Sonnet a faite de sa méthode au cas d'un courant rectiligne à section circulaire. La seconde application se rapporte à l'écoulement dans un canal découvert et rectiligne, de section rectangulaire.

L'auteur suppose d'abord que les parois latérales n'apportent aucune résistance au mouvement du liquide ; c'est le cas, traité par Dupuit et par notre théorie, la largeur de la section étant censée indéfinie. Il trouve alors que la vitesse ne dépend que de sa profondeur z en dessous de la surface de niveau, et qu'elle diminue de cette surface au fond comme les ordonnées d'une parabole qui aurait pour axe le filet supérieur, le plan vertical et la convexité de cette courbe étant tournés dans le sens du courant. La vitesse moyenne serait une moyenne arithmétique entre trois quantités dont deux égales à la vitesse V du filet principal et la troisième représentant la vitesse W du fond, à proximité des rives.

Les formules précédentes correspondent à celles de Dupuit et de notre théorie, lorsque nous y faisons avec Navier, m = 1 .

M. Sonnet étend ensuite le problème en donnant à la base une largeur finie, de façon que l'action des parois latérales produise sur le liquide une résistance analogue à celle du fond.

Dans le but de simplifier les équations différentielles qui se rapportent aux filets voisins des parois de rive, l'auteur profite de ce que la vitesse toujours très-petite en cet endroit y varie entre des limites peu étendues; par suite, il substitue à la fonction qui exprime la résistance un simple binôme du premier degré, ce qui revient à remplacer approximativement un arc de faible courbure par une ligne droite. L'auteur arrive à une expression différentielle dans laquelle les deux coefficients du binôme se déterminent par la méthode des moindres carrés ou autrement, et qui rentre par conséquent dans les formules d'interpolation.

Ainsi modifiées, les équations différentielles en question deviennent faciles à intégrer complètement (1). La vitesse du liquide dans un canal à section rectangulaire est alors exprimée par une fonction composée d'une partie algébrique et d'une partie transcendante. D'après cette expression y les vitesses sur une même verticale décroissent de la surface au fond comme les ordonnées d'une courbe qui diffère d'autant plus d'une parabole que la verticale considérée est plus rappro-

(-1) Extraits du t. XX des Comptes-rendus des séances de l'Académie des sciences. Paris, ^845.

cliée des parois latérales. Les \il,es$es des filets situés à une même profondeur sont représentés par le^ ordonnées d'une chatnette qui tourne sa convexité dans le sens du courant. Ces résultats sont analogues à ceux que Ton est parvenu à connaître approximativement par les expériences déjà citées de Brûnings, Woltmann, Funk, Ximénès, Defontaine, etc.

Afin de faciliter Tusage de Féquation qui exprime la vitesse v en un point quelconque, dont les coordonnées sont œ et y, M. Sonnet en altère la généralité en ne conservant que les deux premiers termes de la partie transcendante; la vitesse v est alors donnée par Téquation :

» = V-ax«— Pî^* (k)

dans laquelle V, a et |3 sont des constantes. L'axe des y est censé passer par le milieu du lit.

Cette équation ainsi simplifiée indique que la loi des vitesses, soit dans une même verticale, soit à une même profondeur, peut être représentée par une parabole, et que les molécules animées des mêmes vitesses sont sur des ellipses concentriques et semblables.

La formule (k) représente très-bien quatre séries d'expérienees faites par M. Defontaine, sur le Rhin, en un lieu où la section du fleuve s'éloignait peu d'un rectangle de 1*"50 de profondeur sur 30 mètres environ de largeur.

D'après cette formule approximative, la vitesse moyenne est égale à la moyenne arithmétique entre la vitesse du filet principal V, la vitesse du fond W au milieu du courant, et la vitesse V à la surface près de la paroi. Les filets d'égale vitesse forment des cylindres à base elliptique semblables entre eux, et ayant pour axe de similitude le filet principal.

Le cylindre qui se meut avec la vitesse moyenne contient deux filets symétriquement placés, qui conservent les mêmes positions quelles que soient la pente et la résistance du lit (adhérence), pourvu que les dimensions de la section restent les mêmes ; les plans des coordonnées étant, d'une part, le plan vertical qui passe au milieu, d*autre part celui de la surface libre, les valeurs de a? et de y pour ces filets particuliers sont respectivement égales à la demi-largeur du courant et à sa profondeur, toutes deux divisées par V/sT

Si l'on considère que V est peu différent de V, Ton peut approximativement conclure avec M. Sonnet :

qui est la formule de Dupuit. Au lieu de mesurer W au milieu, Fauteur prend la vitesse du fond près des rives; Ton conçoit qu'il doit

en résulter une bien faible différence. Il ajoute, du reste, que le rap-