TT

et Téquation (r') de son côté :

Ainsi :

Ou bien encore :

Cette équation, qui représente la parabole des vitesses , prouve que, si la pente i reste constante, la courbe ne changera pas , quelle que soit la profondeur H, et que Taccroissement de cette profondeur n'a pour effet que d'augmenter toutes les vitesses d'une quantité égale, autrement dit de reporter en arrière la ligne AB. Ainsi, lorsque le fond descend de Bn (fig. 20) en B'n', la parabole mbb'nn' représentera l'extrémité des vitesses, non plus par rapport à AZ, mais par rapport à A'B' situé en arrière à une dislance Wn'^^ Bn, attendu que B'n' et Bn expriment les vitesses du fond qui croissent avec la profondeur, d'après la relation :

Ou bien aussi :

t et b^ étant ici des constantes.

Lorsque i est variable et H constant, le paramètre de la courbe change. Ainsi, la parabole mn (fig. 51) appartient à un canal dont la pente est plus petite que celle du canal qui donne mn' d'un paramètre inférieur.

La vitesse moyenne est donnée par cette propriété de la parabole

que le segment mtn (fig. 20) est les ~ du rectangle construit sur les

coordonnées tm et tn. Dès lors :

UH = -|h(V-W) + WH

Nous allons expliquer, par cette expression, comment dans certains cas, la formule empirique de De Prony el celle de Dubuat ont pu correspondre aux résultats de Texpérience.

La formule (L), qui est exactement noire relation (/*)dans laquelle

on ferait m = 1, fait voir que le rapport — est toujours compris

entre 0,67 et 1,00. Mais, contrairement à ce que donne la formule de De Prony, ce rapport diminue quand la vitesse augmente. En effet, si dans Téquation (L) on remplace Y par sa valeur tirée de la relation (H), il vient :

*"2sW

Mais, d'après Dupuit, Tod peut poser, comme il a été dit déjà

L'on obtient donc, en remplaçant W ou Ht

Hi+eH5|ij

ou C est une constante égale a - ■ ; de même :

V '"^ 5 li+CHW/ ""

OÙ c représente -^ •

Ainsi, d'après les équations (M) et (N) le rapport ^ diminue à

mesure que W et H augmentent, et il est constant lorsque le produit H * t ^ ou H W est lui-même comtaut. Ceci explique comment, dans certaines circonstances tout exceptionnelles, Texpérience a pu vérifier la loi empirique de Diibuat et De Prony ; en effet, il est presque toujours arrivé que, dans les expériences sur des canaux artificiels. Ton a été forcé de diminuer U loraqu'on augmentait t ou V, parce qu'on ne pouvait disposer que d'une faible quantité d'eau qui, autrement, se serait trop vite écoulée. Du reste, il n^y a coïncidence de résultats que lorsque le rapport est égal à 0,80, c'est-à-dire, quand W est environ la moitié de la vitesse V à la surface.

L'on arriverait aisément à la conclusion précédente par la seule inspection des figures 20 et 51 ; elles indiquent clairement l'influence

de H, t, V et W, sur le rapport — .

Pour obtenir maintenant la position du filet liquide qui est animé

de la vitesse moyenne U, il suffit de remplacer v par '^ dans

réquadon (O àe la courbe :

Il en résulte :

Hl/T

Veupérimce îi prouvé en effet que le filel moyen se trouVe d'ordinaire un peu en dessous de la moitié, vers les 3/5 de la profondeur.

Voiei donc les équations générales posées par Dupuit pour résoudre tous les problèmes d'une façon complète pour la pratique. Hi = aW + ftW* = ^W« (1)

Nous avons vu que, pour les conduites, Dupuit donne à &| la valeur 0,0003855 qu'il considère comme très-large ; on prend généralement une valeur un peu moindre, lorsque au lieu d'un tuyau on considère un canal découvert.

Les formules (2) et (3) donneraient aussi la valeur de U en fonction de V et W, ou :

Lorsque la section du canal est un demi-cylindre, Tauteur applique les formules des tuyaux de conduite. Nous avons vu que le même principe a été admis par M. Sonnet.

Ainsi que ce dernier, Dupuit traite la question pour une section rectangulaire à base finie, et il obtient des résultats analogues quoique partant d'une autre expression de la résistance due à la cohésion. Soit, par exemple, un rectangle ABCD (fig. 52), dans lequel on représente par :

/ la demi-largeur AO = OB ;

H la hauteur AD = BC;

V la vitesse centrale, en ;

W la vitesse du fond en E ;

Vi et W, les vitesses à la paroi en B et en C ;

w la vitesse variable des filets contigus à la paroi horizontale EC;

Wi la vitesse variable des filets contigus à la paroi verticale BC.

Prenons pour axes rectangulaires dés x et des y la ligne AOX,

suivant laquelle la surface libre est coupée par le plan de la section,

et la verticale OY par le milieu. Un filet quelconque, dont abcd serait

la section droite, éprouve sur ses quatre faces les effets de la cohésion

des couches voisines; d'après les notations admises par Dupuit, il est entraîné par le filet supérieur et retardé par le filet inférieur avec une intensité proportionnelle à sa largeur dx et à sa vitesse relative (Fauteur supposant que m = 1) ; la résultante de ces deux forces est donc :

dy Notons ici que, pour satisfaire aux expériences de M. D'Arcy, cette expression devrait être :

Le filet abcd est entraîné de même, suivant* Dupuit, par le filet de , droite et retardé par le filet de gauche, et la résultante est proportionnelle à :

dh ^

Quant à la pesanteur, elle agit avec une intensité accélératrice égale à :

Par suite, la surface des vitesses est représentée par Téquation aux

difl'érences partielles :

dh d^v

Celte équation est identique avec celle de Navier qui en a donné une solution complète dans le cas général du mouvement varié; mais les résultats qu'il a obtenus sont inexacts, d'après ce que nous avons déjà pu apprécier, la résistance à la paroi, ou l'adhérence étant censée proportionnelle à Bt\

Quoi qu'il en soit, l'auteur conclut ici, comme M. Sonnet, qu'une équation quelconque du second degré en x ai y résout l'équation aux différences partielles (J), et qu'elle est de la forme : « = C — Aî/*-Ba;2 (K)

OÙ C, A et B sont encore des constantes.

Si l'on y remplace C, A et B par V, W et V^ en faisant y = o et jsp = 0, puis î/ = H et J5 = 0, et enfin x = l ei y = o, l'équation devient :

Pour déterminer les trois vitesses inconnues V, W et V4, Dupuit pose trois équations de condition qui expriment que les forces qui agissent sur le système se font équilibre. La première correspond à réquation (J), et s'obtient en exprimant que chaque filet est en équilibre par rapport aux forces qui proviennent de la cohésion avec les quatre filets contigus :

L'auteur obtient les deux autres en posant : l"" que Tadhérence le long de la paroi verticale retient la tranche qui se meut le long de cette paroi avec la même énergie qu elle est entraînée par la cohésion ; ^ que Tadhérence le long de la paroi du fond est égale à Ténergie de la cohésion sur la couche inférieure :

(aw + 6w«) dx = 2e — / (c)

(ai(;,-|-K')df/ = 2e-^-y-^H (rf)

Les variables W et W^ s'expriment en a; et en t/ au moyen de l'équation (a) en y faisant : y = H et a? = /; de là ;

W = W ir-^^^ et w^ = V, ^n—y

Ainsi, les trois inconnues Y, W et V, de Téquatiou (a) sont déterminées par les relations (6), (c) et (d).

L'équation (a) fait dès lors connaître la courbe des vitesses, ou plutôt la loi de leurs variations dans une section transversale quelconque. Si Ton y donne, par exemple, kxeiy les valeurs x= l et 2/=H, Ton obtient, pour la vitesse W^ correspondant à ces coordonnées :

Ou bien :

W, + V = W-hV, (e)

C'est-à-dire que la somme des vitesses situées à l'extrémité des deux diagonales DO et EA du demi-rectangle est la même.

La vitesse moyenne est donnée par réquafion :

Qou/HU = | \(y-l^y*-l-^à^dxdy

qui devient par TintégratioD :

L on peut déduire de cette relation deux autres Tormules : ^ îOr. + «)-w,

en y rempIaçant.Vi ou V par leur valeur tirée de la relation (c). €es vitesses V, W et V, sont faciles à déterminer par le calcul. Soit, par exemple, H = /, hypothèse qui, d'après Tauteur, se rapporte aussi bien au cas d'un tuyau que d'un canal découvert spécial ; il en résulte V, = W, et, par suite, Téquation (6) devient :

qui est identique avec la relation :

que nous avons posée, d'après Dupuit, pour les tuyaux de conduite. Il est important de remarquer, néanmoins, que la vitesse moyenne donnée par l'auteur pour les conduites n'est pas la même que celle des canaux découverts correspondants. En effet, pour les premières Ton a obtenu :

tandis que si l'on fait \\ = W dans 1 équation (/) des canaux rectangulaires, l'on arrive à une valeur dé U plus petite que la précédente, et qui est représentée par la relation :

^ v + gw

L'on obtiendrait y par le caleul, la vitesse maxiiua W à la paroi au moyen de Téquation :

f=fV-^

*^) + fr(W-^«2)Ttia;

Si Ton remarque que, dans le canal où H=l, la courbe des vitesses sur la surface est la même que dans une tranche verticale, puisque V, = W, Ton en déduira qu'il est possible de déterminer cette courbe par l'observation de V et de V, = W. En effet, il suffit alors de remplacer V et W dans l'équation (t) par les valeurs observées, et cette équation sera celle de la courbe des vitesses. Reste à donner à e sa véritable valeur.

Ainsi que nous l'avons déjà vu, M. Sonnet a proposé, d'après les expériences de Couplet sur les conduites de Versailles, de prendre

pour —, quand il s'agit de Peau, la valeur 5,200 ou 3200 selon qu'on

introduit ou qu'on supprime A dans les formules. Si Ton applique

cette valeur de - aux rivières, elle est, suivant Dupuit, de beaucoup

inférieure à celle qui correspond aux résultats de l'expérience ; aussi donnerait-elle alors, pour 13, des vitesses beaucoup plus considérables, même en l'appliquant à la formule de M. Sonnet :

Dupuit attribue cette erreur à la nature des expériences dont on l'a déduite ; celles-ci, en effet, ont été faites sur des tuyaux de petit diamètre pour lesquels la vitesse moyenne U était à peine d'un demi-mil" limetre plus grande que la vitesse W à la paroi. Il est vrai que, dans les conduites, l'influence de e est moins importante que dans les canaux à grandes sections et à fortes pentes ; mais c'est, dès lors, ajoute l'auteur, un motif concluant pour déterminer e par des observations faites sur ce genre de cours d'eaux et en employant la relation :

(Y — W)i*-1-(V-V,)H* extraite de l'équation (6), et qui convient à un canal rectangulaire quelconque.

D'après Dupuit, Ton pourrait, à la rigueur, calculer e, ou Téuergie de la cohésion, par la formule :

au moyen d un canal à section rectangulaire telle que / = H. Il suffirait d'observer V et W à la surface ; et pour obtenir une plus grande précision, il faudrait exécuter une série d'observations dans lesquelles on ferait varier Tinclinaison et les dimensions de la section transversale.

Nous ne suivrons pas Tillustre ingénieur dans ses considérations sur les canaux à section quelconque ; les résultats qu'il en déduit ne sont que des approximations analogues à celles de MM. Sonnet, Bélanger, etc. Elles se résument dans les trois équations générales que nous avons citées en traitant, d'après Tauteur, la question des tuyaux de| conduite. Il nous parait cependant à propos d'en tirer une remarque très-intéressante au sujet de la substitution illicite que Dubuat, De Prony, D'Aubuisson, Eytelwein, etc., se sont permise en remplaçant F (W) par F(U) dans l'équation :

^=F(V^) = aW + 6W« + '

Reprenons, à cet effet, la relation {v') qui donne la valeur du

rapport — pp pour les tuyaux de conduite ; mais au lieu d'y faire

b = 0,000348 remplaçons 6 par sa valeur 0,00051 , donnée par De Prony pour le cas de canaux découverts :

U "~ 1 -f 0,25 PW

Il résulte de cette équation que, dans un même cours d'eau, ce rapport varie peu, car la vitesse W diminue quand la profondeur P(ou H) augmente, puisque le débit est constant; qu'eu outre, dans les cours d'eau à faible vitesse ou très-peu profonds, comme ceux que Dubuat a employés, ce rapport est peu variable; que, par conséquent, en réunissant ces circonstances et en prenant pour a et (3 des valeurs moyennes dans l'équation :

^ = F (U) = aU + pC« +

les résallais da calcul pourront se rapprocher plus ou moins de Texpérience.

« C'est ainsi, ajoute le logique mathématicien (1), que M. De Prony « a pu être conduit à conclure la généralité de sa formule de la con- « cordance des valeurs données par l'expérience pour les coefficients a . « et (3. Il avait proposé :

a = 0,00004444999 ^ » 0,000309313 « Eytelwein y substitua :

a = 0,0000242051 |3 ^ 0,000365543 « et ces dernières valeurs ont été adoptées par tous les hydrauliciens. « Il suffit de jeter un coup d'œil sur ces chiffres pour voir combien « on est loin d'un résultat précis, et nous ne concevons pas comment, « avec de pareilles différences, on peut avoir la patience inutile d'em- « ployer dans les calculs des nombres qui contiennent autant de « chiffres significatifs. Puisque Ton ne sait pas si a = 24 ou 44, si « P == 30 ou 36, il est évident que les décimales que Ton ajoute à « ces nombres n'ajoutent rien à leur exactitude. A ce qu'il nous sem- « ble, on a complètement méconnu la signification et la portée de ces « coefficients. »

7* De St'Venant-Tadini.

Barré de St-Venant a proposé, pour les canaux, la formule déjà

citée :

F (U) = ACU-

mais les valeurs de C et de m deviennent alors :

Tadini et les ingénieurs italiens ont adopté une formule analogue mais plus simple et qui pourrait bien se rapprocher de la réalité. C'est la suivante :

Notons que b^ est une constante, que Tadini suppose indépendante de la forme et des dimensions de la section transversale.

(t> J. Dupuit, Études théoriques et pratiques sur le mouvement des eaux courantes, chap. I,§ 34.

Remplaçant F (U) par cette valeur dans l'équation d'équilibre :

f^i = F(U) ou bien ici :

Il oblienl :

Représentant par R le quotient — , dit rayon moyen de la section,

parce que dans le cas où elle devient demi-circulaire R est la moitié

du rayon du cercle ou—- , c'est-à-dire la moyenne entre les rayons

extrêmes des couches concentriques, Tauteur met sa formule sous la

forme :

Ri = 0,0004 U»

U=:50»/Rr (X)

expression bien simple, connue sous le nom de formule de Tadini.

8® Darcy-Bresse.

Outre les résultats importants obtenus par M. Darcy pour le mouvement de Teau dans les tuyaux de conduite, il existe de cet éminent ingénieur un grand nombre d'expériences encore inédites, dont la connaissance ne nous est parvenue que partiellement par M. Bresse, et qui se rapportent à Técoulement dans les canaux découverts.

D'après M. Bresse, il est probable que, dans ce dernier cas comme pour les tuyaux, la résistance F (U) peut être représentée par le monôme AbiU', dans lequel bi serait une quantité constante pour un même cours d'eau, maia variable probablement avec la surface et le périmètre de la section transversale. Si, approximativement, l'on assimile le lit d'un canal à un tuyau de grand diamètre, il faut poser :

ou simplement :

Cepeadanty ajoute M. Bresse (1), comme nous ignorons encore la valeur déduite par M. Darcy, et que généralement Ton attribue à &| une valeur moindre, nous prendrons seulement 6| = 0,0004 comme les ingénieurs italiens. Remplaçant 6i par cette valeur dans Téquation :

il aiTive à la formule de Tadini déjà citée :

U = 50\/Rr

qu'il emploie pour résoudre les problèmes relatifs au mouven^ent uniforme de Teau dans les canaux découverts.

Nous ne reviendrons pas sur les causes d'inexactitude de cette formule; la principale provient de ce que la résistance à la paroi a été représentée par F (U), alors que la relation qui lie W et U contient d'autres variables.

Nous avons vu que, pour l'écoulement par des tuyaux cylindriques,

M. Darcy a évité cette manière de procéder en représentant direo^

tement la valeur de 6^11' en fonction de la variable R; cependant il

faut remarquer qu'il ne tient pas compte de — ou de la pente » par

mètre courant, qui se trouve dans l'équation (o) :

U nous reste à faire connaître une dernière conclusion résultant des expériences iqédites de M. Darcy sur les canaux. En développant la théorie de Dupuit, nous avons considéré l'action de la viscosité sur un filet quelconque dont abcd (fig. 53) serait la section droite, et nous avons posé l'expression suivante pour la résultante des actions sur les faces ab ei de :

L'on aurait de même, pour la résultante sur ad et bc :

^-^ui-m

(4) M. Bresse, Cours de mécanique appliquée, seconde partie (hydraulique)^ cha^ pitre IV, S 69. Paris, 4860.

Suivant M. Sonnet, le coeflScient e, représentant l'énergie de la cohésion, possède une valeur constante qui ne dépendrait ni de Q, ni

de X ou H, et qui serait toujours égale à . M. Dupuit trouve

que cette valeur de e est généralement trop faible quand on l'applique à des cours d'eau naturels, et qu'elle peut se déterminer, pour un canal rectangulaire quelconque, par la relation :