ra«î

dans laquelle Vi exprime la vitesse à la surface contre la rive, comme dans la question relative à la fig. 53. Il admet, du reste, avec MM. Navier et Sonnet que e = £'.

Mais, d'après M. Darcy, il paraîtrait que i' est différent de e, et que ces deux quantités varient d'un canal à l'autre. Dans les canaux de largeur indéfinie et de profondeur constante H, le coefficient e serait proportionnel à H'; pour le cas d'une base finie, dans une section rectangulaire, e' serait proportionnel au carré de la demi-largeur /, et e au carré de la profondeur H.

Il est impossible d'apprécier convenablement la valeur de ces principes avant d'avoir pu juger les expériences sur lesquelles M. Darcy s'est basé pour les conclure. Nous ferons remarquer, en attendant, la coïncidence de ces observationsavec la relation générale (Z), qui donne la valeur de s dans la théorie de Dupuit, et que nous venons de citer.

c. Vhé^rle rAiloimelle du uMiivenieMÉ ■■Iforme ékmmm les «amamx trè«torses et à fond peu aeeldeiilé.

Ainsi que nous l'avons vu en 6 § B. I, du présent chapitre, l'hypothèse d'une largeur indéfinie a servi de point de départ à De Prony, pour établir l'équation générale de sa théorie :

£.,• = y (W)= y (U) =aU + pu*

dans laquelle on peut approximativement faire — = H, vu la grande largeur supposée du lit.

Afin de faciliter les comparaisons, nous avons développé, en a § B. Il, nos calculs analytiques rationnels dans la même hypothèse ; ils nous serviront à résoudre ce problème considéré comme un simple cas particulier..

Soit donc, dans le canal hypothétique en question, une partie de longueur L, telle que la vitesse y soit constante, c'est-à-dire que H, Qf Xy ^ ^y subissent pas de variation sensible. Conformément à la relation (a) de la théorie rationnelle précitée, Téquation rigoureuse d'équilibre, entre la pesanteur et la résistance à la paroi, est la suivante :

Adoptant avec MM. Dupuit, Darcy et Bresse la valeur BW* pour ¥{\J)9 nous aurons la formule :

^ H = BW«

ou bien :

Ht = BWV (A)

qui peut être mise sous la forme :

L'on voit que, si le rapport -=^ était constant, Ton aurait

— = C, et B X C = 6, ; partant : BW'= 6, U* où 6, serait égal à

B X C, et non pas à B, remarquons-le bien. Mais le rapport -rrp ou

— est loin d'être constant; nous avons vu qu'il varie avec la pente »

et la profondeur H. Cherchons d'après quelles lois ces quantités sont liées entre elles.

A cet effet, si, dans les relations (c) et (e), nous faisons m = 2, d'après M. Darcy, nous obtenons , par l'élimination de V :

et, par suite :

ou bien encore :

2 / AQ \« Ht "" 5 [ehj W

Le mètre étant Tunité de mesure employée jusqu'ici et la densité de l'eau variant très-peu dans les circonstances ordinaires, nous pouvons conclure :

Quelle que soit la valeur de B, nous voyons par les relations suivantes :

WL^C et ^-C — -__C et — ~C

que B est toujours plus grand que 6^ ; en second lieu, comme C est

variable avec H et t, le rapport -^ Test aussi. Donc, puisqu'il est

admis que Ton peut exprimer Ht par un monôme BW, tel que B soit une constante, il est de toute impossibilité que Téquation Ht = *,U* (D)

satisfasse aux phénomènes réels de la nature, lorsque 6« y est censé constant, ainsi que l'admettent les auteurs précités.

Quelle que soit la loi qui détermine les vitesses des filets dans une ' section ÂB normale au courant, la courbe mnn', au moyen de laquelle cette loi est géométriquement représentée , sera d'une forme analogue à celle de la fig. 20, c'est-à-dire conDéxe du côté d'aval, et telle que Bn ou W soit < Am ou V. L'on voit donc, de prime abord, que, pour une augmentation BZ' en profondeur, l'accroissement correspondant de W est moindre que celui de V, attendu que la courbe mn rentre vers la base AZ ou A'B', à partir de laquelle sont appliquées

les distances, telles que Am = V; Bn = W; KK' «= U; etc. Par

suite, à mesure que H augmente , les rapports -rp et yr- doivent

diminuer.

La même action se produit à mesure que t s'accroit; Ton peut en avoir une idée par la fig. 51 . Cependant Tinfluence de la pente est beaucoup moindre que celle de la hauteur ou profondeur d'eau ; en effet, réquation (C) peut se mettre sous la forme :

^ ou»/c"=. *

U . . 2 / Mi HÎ

Ainsi, C est une variable qui décroit sensiblement à mesure que H

augmente, et comme C =»^ , la différence B — 6| augmente aussi

avec cette hauteur.

De cette dernière observation, Ton peut conclure que Terreur commise en remplaçant BW par 6^11* s'accroit avec l'étendue des limites de H entre lesquelles on applique la formule ; si donc ces limites sont

faibles, le rapport -rr n'éprouvera que des variations insignifiantes et^

négligeables.

Ces considérations sont de nature à faire saisir comment, dans certains cas, la formule pratique (D) satisfait aux résultats d'expérience.

Établissons maintenant la formule générale d'équilibre d'après les conditions rationnelles et rigoureuses de l'écoulement. Nous avons vu que les équations :

Hî = BW> et Hî=:t,U« ne peuvent être satisfaites qu'à la condition que B et bi satisfassent à la relation :

D'où il vient, après avoir remplacé -tt- par sa valeur tirée de (C") : B=*|-7 * . .-X, (E)

Le coefficient B étant constant, il suffirait, pour le déterminer, de connaître la valeur de &i et la valeur correspondante de H qui satisfassent, dans une même expérience, aux équations précédentes.

Or, d'après les observations faites par M. Darcy sur des canaux découverts, il a été prouvé que, pour les valeurs de H et de » qu'il a employées, Téquation :

m = ^u« a été satisfaite par une certaine valeur constante N du coefficient b^. Il en résulte que, si Ton désigne respectivement par h! et h' + A", par t' et t' + i'', les limites de H et de % dans lesquelles Tobservateur est resté, Téquation (E) doit être satisfaite en y remplaçant 6^ par N

et H par ^ - = 5 ; 1 on obtient ainsi la relation :

Cependant, par mesure de prudence, il faudrait poser : B = N j— -p (F)

attendu qull est toujours préférable d'augmenter la valeur de B, par suite de la résistance due à la viscosité, ainsi que des légères pertes de force vive engendrées par les pierres, les plantes et autres obstacles qui tapissent le lit des cours d eau.

Il est à regretter que les expériences en question soient encore inédites; nous ne pouvons par conséquent substituer ici à N et à W + A" les valeurs trouvées par Téminent ingénieur. Notre formule ne mérite en cela que le reproche d'arriver trop tôt. En attendant, si nous faisons avec Dubuat et De Prony :

^'+^^" = 0,27 et &4 = 0,0003!

la relation (F) devient :

B = 0,0003125 L'on obtient donc pour Téquation rationnelle d'équilibre :

Hî ou — 1 = 0,0003125. -prr . U*

et en remplaçant — par sa valeur tirée de (C") :

Hî = 0,0003125 U».

m ou^i = 0,0003m. ^,^J,,,„^, (G)

Remarquons bien qu'en attribuant à bi ainsi qu'à h' + h" des valeurs empruntées à Dubuat nous sommes loin d'encourir le moindre 'reproche d'inexactitude ou d'inconséquence. Nous n'avons, en effet, jamais nié l'aptitude de cet érainent physicien comme observateur ; nous avons même fait connaître dans quelles circonstances sa formulepeut satisfaire aux phénomènes du mouvement réel. Mais ce que nous avons prouvé être complètement inexact, c'est l'extension illégitime donnée à ses formules et aux résultats de ses observations.

d. Formules el applleallons.

La plupart des problèmes du mouvement uniforme de l'eau dans les canaux peuvent se résoudre au moyen de la formule (G) et de la relation :

Q=ûU (H)

dans laquelle Q représente la dépense.

Parfois la vitesse moyenne Udoit être calculée, soit en fonction de la vitesse V à la surface, soit en fonction de celle-ci et de la vitesse W du fond. L'on emploiera alors l'équation (/*) trouvée en C, § a du présent chapitre :

en y faisant, d'après M. Darcy, m = 2 ; d'où

Quant aux vitesses V et W, elles sont déterminées par les relations (a) et (c) du même paragraphe :

H— ou Hi = BW* = 0.0003125 W* (a)

et

Cetle dernière devient, en y faisant m = 2

Ces formules sont applicables aux cas de canaux très-larges et à fond peu accidenté, pour lesquels l'action des parois latérales est considérée comme négligeable.

Lorsque la section du courant, sera un demi-cylindre ou un rectangle à base finie, l'on admettra les principes et les formules que nous avons exposés en C. § 6 dans l'examen des théories de Sonnet et Dupuit.

Si la base du lit, quoique très-grande, était assez accidentée pour que les vitesses W des filets fussent très-différentes entre elles, il faudrait décomposer la section du courant en plusieurs parties, que l'on calculerait, chacune séparément. Tel serait le cas indiqué à la fig. 53 ; l'on diviserait la section totale ABGDEFGaA en deux autres surfaces partielles, ABGDaA et aDËFGa, par une cloison verticale Da imaginaire.

Parmi les problèmes qui peuvent se résoudre par la formule (G) du mouvement uniforme , nous exposerons les suivants, dont l'énoncé est, pour quelques-uns, emprunté à M. Bresse, et qui sont assez remarquables.

I. Connaissant la section transversale d'un lit prismatique, (c'està-dire la longueur de la base et l'inclinaison des talus) à pente con-

stante, la dépense Qy et la pente i otf y par mètre courant, trouver

la hauteur H à laquelle s'élève l'eau dans chaque section, quand le mouvement est supposé uniforme.

Soit MBJN la section transversale donnée (fig. 54) ; nous supposerons d'abord que la largeur soit assez grande par rapport à la profondeur moyenne. Menons, par le point B, Thorizontale BC, et construisons le rectangle B&cCB équivalent à la surface mixtiligne BdCB, Si AaD est censé représenter le niveau de Teau, aBb sera la hauteur moyenne H cherchée ; comme la longueur BC = /, connue par construction, diffère peu de la largeur moyenne du trapèze AaDGBA, nous aurons approximativement :

et réquation (G) deviendra

Hi = 0,0003i25- — — (M)

Si Ton employait, au lieu de Téquation (G), la formule : Hi= 0,0004 U« adoptée par Tadini, Bresse, etc.. Ton obtiendrait:

et, par suite ;

Si la hauteur H était assez grande et les talus latéraux peu inclinés sur rhorizon, il faudrait résoudre le problème par tâtonnement. Après avoir remplacé, s'il y a lieu, la surface BdCB (fig. 54) du fond par le rectangle équivalent BGc6B, Ton donnerait à H iine certaine valeur H' = n == ba\ par exemple, au moyen de laquelle Ton calculerait : là surface A'B&cCD'a'A' = i2', le périmètre mouillé A'BdCD' = /,

et la vitesse U' =-^ . Remplaçant H ou — et 13 de Féquation (G)

£2' par H' ou —7- et U', il resterait à vérifier si, avec ces dernières valeurs,

réquation est satisfaite ; sinon, Ton ferait de nouvelles hypothèses sur la position du niveau de Teau.

II. Réciproquement, la section du canal et la ligne d'eau éHint donnéeSy ainsi que la pente i, trouver la dépense Q.

L'on peut ici calculer iramédiateraent û et H ; Téquation (G) fournira la valeur correspondante de II, et Ton obtiendra la dépense Q par la relation (H).

Dans le cas d'un canal très-large Ton pourra chercher Q directement au moyen de Téquation (M).

III. Connaissant la dépense Q et la section transversale du courant, calculer la pente i.

Ayant déterminé U par la relation (H), et mesuré H ou x> 'on

ù remplacera U et H ou — , dans Téqualion (G).

Pour les canaux très-larges Ton pourra encore employer la formule (H).

IV. Étant données la section transversale du courant et la vitesseY à la surface, chercher la pente i et la dépense Q.

Après avoir calculé — ou H d'après les données du problème, l'on

déterminera U en fonction de V au moyen des équations (/) et (L). Remplaçant U par sa valeur dans la formule (G) l'on obtiendra t. Quant à la dépense, elle sera calculée par l'une des relations (H)

ou (M), selon la valeur du rapport -j- .

V. Connaissant la pente i et la dépense Q, chercher la section transversale du courant capable de produire cette dépense, c'es^-àdire ce volume d'eau en une seconde.

Si, dans la formule (G), l'on remplace U par -^ , l'on obtient

I équation :

U -1-0,0126 — 1* ft«

OU bien :

Comme il n'existe pas d'autre équation que cette dernière entre les inconnues û et x, le problème est indéterminé.

. M ouvement varié permanent.

a. DoT moaTemeiil varié.

Dans le mouvement uniforme, chaque molécule possède une vitesse constante, et toutes les sections présentent des phénomènes identiques quant à la loi de variation de leurs vitesses respectives. Cette définition implique la nécessité d'une section transversale et d'une pente invariables; il en résulte que les filets liquides ont des directions parallèles entre elles et au courant, et que ces directions sont rectilignes.

Le mouvement est varié lorsque la vitesse d'une molécule liquide change d'un point à un autre de sa trajectoire, et que la loi de variation des vitesses dans une section transversale quelconque n'est pas la même que dans les sections voisines. Ce mouvement a lieu si la pente ou la section du lit n'est pas invariable sur toute la longueur du canal considéré. Dès lors les divers filets du courant n'ont plus des vitesses parallèles et rectilignes ; comme dans les tuyaux à section variable, il se produit des remous, des lourbillons qui absorbent une partie de la force vive que possède le liquide.

Le mouvement varié peut être permanent; dans ce cas, la vitesse et la pression sont supposées constantes par rapport au temps en un même point du cours d'eau.

b. Tkéorle ordinaire du mouTemeiit varié permanent.

Les considérations que nous avons émises en B. § IL b du présent chapitre, pour les tuyaux de conduite, peuvent s'appliquer entièrement à la question du mouvement analogue dans les canaux découverts. Ici encore la plupart des hydrauliciens modernes, tels que Navier, Bélanger, Bresse, etc., admettent que, dans toute section, les filets liquides sont sensiblement parallèles entre eux et à l'axe du courant. Il suit de là, que les forces engendrées par la viscosité ont encore, en chaque point, la direction de la vitesse ; que, par conséquent, la pression varie suivant la loi hydrostatique, d'un point à un autre situé dans la même section, de façon que tous les points situés dans une section donnée ont le même niveau piézométrique ; pour les ca-

naux découverts, ce niveau sera celui de la ligne d'eau dans le profil considéré si les colonnes piézométriques débouchent dans Tatmosphère, puisque la surface du courant est soumise à la pression atmosphérique.

Si donc Ton substitue au moUvement réel par filets d'inégale vitesse le mouvement par tranches de filets d'égale vitesse, Féquation différentielle du mouvement varié, dans les canaux découverts, sera représentée, comme au § IL b, par la relation :

vdv i 9 9

qui devient, par approximation, suivant la théorie ordinaire :

9 ^ a ^ ' puis, par une nouvelle approximation, non moins illicite :

dô = M+l.AF(U)t/, ^ ^ A a ^ '

et enfin, par une dernière inexactitude :

d9 =-ML^il . i^i]^i (P)

eu remplaçant la fonction de U du mouvement varié par celle du mouvement uniforme.

Si Ton désigne par U, et Ui les vitesses moyennes pour s = o et s = L, l'équation (P) devient par Tintégration :

U^rf* (Q)

Cette dernière peut se mettre sous une autre forme en y expriinfint les vitesses en fonction de la dépense par les relations :

I on obtient ainsi :

Pour intégrer exactement l'expression 1 ^ ds, l'on devrait pou-

voir exprimer x et 12 en fonction de la variable s ; mais il sera généralement impossible d'établir de telles relations pour les lits des fleuves ou de certaines rivières dans lesquels x ^^ ^ présentent des variations irrégulières qu'on ne saurait exprimer analytiquement. Il faudra alors se contenter d'une nouvelle approximation. L'on peut,

par exemple, considérer ^, comme l'ordonnée d'une courbe dont

l'abscisse serait s ; dès lors l'intégrale I ~- ds représentera l'aire

comprise entre cette courbe, l'axe des s et les deux ordonnées limites correspondant à s = o et s = L; la question sera réduite au calcul approximatif de Taire ainsi déterminée.

c. BKMMen erlllqne de la fformule ordinaire eu ineaTeBieiit peroMUieiit ▼arlé; aperça eemparé des théerlee de Belanser, nravler, CerlelU^ IMipall, ele.

Si, dans la formule (P), l'on suppose U constant, ce qui est le caractère du mouvement uniforme, l'on en conclut : UdU = o, et, par suite :

de = -^ bi\]^ds a

^ ou l = |6.U«=l*,U'

Ainsi, d'après la théorie ordinaire, la formule (P), qui représente le mouvement varié, nediffère de celle du mouvement uniforme que par Taddition d'un terme proportionnel à l'augmentation de la force vive' du produit du cours d'eau, depuis l'origine où s = o jusqu'au point où s = L.

Nous avons vu, au § B. II. b, que, dans l'état actuel de la science, il est impossible d'évaluer exactement l'accroissement de force vive ^ que prend une molécule, de masse m, entre deux sections distantes entre elles d'une longueur infiniment petite ds; ou bien, l'accroisse-

meftt que prend — pour chacune des molécules comprises entre

— 244 ~ les sections considérées ; que, par suite, la théorie oMinaire admet comme approximation le remplacement de par la différentielle de

la hauteur due à la vitesse moyenne, c'est-à-dire par . Celte

hypothèse, suffisamment exacte pour le mouvement uniforme, est tout à fait inadmissible lorsqu'il s'agit du mouvement varié; celui-ci change d'une manière radicale la loi de distribution des vitesses entre les filets qui traversent une section. L'exemple suivant, donné par Dupuit, présentera un aperçu des variations que peut subir cette distribution dans les diverses sections comprises sur une longueur déterminée.

Supposons que dans la section transversale AB (fig. 55) d'un canal découvert, la courbe des vitesses soit représentée par mn, et que, de A en A', la pente superficielle A'C, ou la chute qui s'opère à la surface liquide, soit égale à 9 ; cette chute a pour effet, ici, d'augmenter sensiblement la vitesse dans la section rétrécie A'B'. Désignant aussi par V et v' la vitesse respective d'une molécule dans les sections AB et A'B', proposons-nous de construire la courbe m'n' des vitesses dans cette dernière. Comme la pente t n'est jamais notable dans les cours d'eau naturels, les sections normales en A et A/ s'écarteront généralement très-peu des plans verticaux menés par ces points.

Démontrons d'abord que le travail de la pesanteur et de la pression sur une molécule liquide quelconque en mouvement est proportionnel à la chute G de la surface; c'est-à-dire que, si aucune force retardatrice n'était engendrée dans ce mouvement, la force vive de chaque molécule s'augmenterait de celle qui est due à 9. Soit 9' la chute d'une molécule dans son passage de a en a'; (fig. 55) ht et hi les distances a'A et a' A' à la surface pour ces deux positions. Le travail de la pesanteur étant proportionnel à 9', et celui de la pression à ht — A|', le travail de ces deux forces sera proportionnel à 9' + ht — A/ = N; mais comme l'on a par construction :

il en résulte :

Si donc l'on désigne par v, et V| les vitesses de la molécule, la conclusion précédente permettra de poser :

v^ = [/'WTTj' {à)

A la rigueur, cette relation donne pour Vi des valeurs un peu trop fortes, parce qu'une partie de la chute est employée à vaincre la résistance éprouvée par chaque filet. Mais, suivant Dupuil, celte résistance est insignifiante lorsque les sections sont assez rapprochées puisque, dans les. cours d'eau naturels, elle n'absorbe que quelques

centimètres de la chute par kilomètre; c'est 'ainsi qu'en les supposant

distantes de 10*" il faudrait implicitement admettre une pente de

ou 1™ par kilomètre pour que la hauteur de chute, qui sert à augmenter

la force vive, puisse être diminuée de 0,™01 par les résistances dues à

la viscosité; or cette pente est supérieure à celle des grands fleuves.

Supposons, avec l'auteur, que G soit égal à 0'",16 et que la perte

produite par la cohésion et l'adhérence soit précisément 0'",01 ; la

relation (a) deviendra :

Désignons par V^ et V, les vitesses à la surface, dans les sections AB et A'B'; par Wa et Wi celles du fond; admettons aussi approxi-

mativementque Wj soit égal à -^ . Il résultera de la formule précédente ;

Pour y, = 1'" V, = i^^gs

Pour W« = 0"'o0 Wi = 1™78

Ainsi, pendant que la vitesse à la surface aurait à peine doublé, celle du fond aurait presque quadruplé ; leur différence V« — W« était de 0,50, tandis ^ue dans la section A'B' elle n'est plus que

de 0,20; enfin le rapport -rrr- égal à 2 s'est réduit à l pour-rrrT-.

Par suite de ces différences de vitesse des filets, la force vive du produit d'un cours d eau, entre deux sections, est plus grande que le produit de la masse par le carré de la vitesse moyenne. 11 en résulte,

d'après M. Coriolis, (|ue le premier terme de 1 équation dû mouvement varié doit ètr^ multiplié par un coeflScienL a' > 1 , dont la valeur peut alleindre i ,47.

Tout en reconnaissant la nécessité de cette correction, M. Vauthier a proposé de limiter i 1,10 la valeur de a', se basant, dans ses calculs, sur la loi de Dubuat qui restreint la différence des vitesses à mesme que la vilesse* moyeiuie augmente. Le coefficient a' = 1,10 est admis aujourd'hui par la généralité des hydrauliciens.

D'aprèi) Dupuit, qui, du reste, considère la loi de Dubuat comme entièrement fausse, la correction opérée en multipliant le premier terme par un coefficient constant a ne pourrait être acceptée comme suffî^^ammenf exacte que dans Thypothèse où la courbe des vitesses changerait suivant les mêmes lois que la vitesse elle-même ; mais, comme une augmentation de vitesse eniraine une diminution dans la difl'érence des vitesses, ainsi que nous venons de le prouver, il s'ensuit que le système de correction employé actuellement est tout à fait vicieux, et que le coefficient <x' doit être exprimé, en général, .par une fonction des vitesses à la surface, au fond et sur les rives.

En supposant un canal d une grande largeur, Dupuit trouve, pour a\ Texpression suivante :

Admettant ensuite la relation :

U.lli!ï„,«V+» ,L,

obtenue en faisant m = 1 dans notre formule (/), il en conclut :

dette relation prouve donc que a ne sauraifèlre constant que dans

, V le cas où-7~'c serait; mais, comme cette condition n'est nullement

remplie lorsqu'il s'agit de calculer, dans le mouvement varié, la force vive du produit d'un cours d'eau entre deux sections rapprochées, il faut changer la valeur de a' pour les deux sections, en substituait,

dans la relation (T), la valeur du rapport — qui est relatif à chaipune

d'elles.

L'hypothèse de — constant peut convenir approximativement dans

le calcul de la force vive pour le mouvement uniforme; si Ton suppose alors pour ce rapport la valeur constante 0,80, Ton obtient par la formule (T) :

qui se rapproche beaucoup du coefficient généralement admis.

De l'exemple cité plus haut et dés considérations qui raccompagnent il résulte que la différence entre les forces vives dans deux sections voisines doit être multipliée par un coefficient spécial cxf\ tout a fait indépendant et différent de a. Suivant Dupqit, la valeur de ce coefficient spécial est donnée par Téquation :

Or, d'après la formule (L) du même auteur, la valeur du rapport —

est comprise entre 0,67 et 1 ; celle de — varie donc de 1,50 à 1.

Par suite, la valeur de a', tirée de la formule (T), est limitée

/ Vî — Ws y

entre l,5&et 1 ; et le terme ( — ^y j de 1 équation .(V) a pour

limite supérieure 0,36.

Ainsi, la valeur de a" reste comprise entre 0,44 et 1, lorsqu'il y a pente de Famont à l'aval, c'est-à-dire, quand la vitesse Ui de la section d'aval est plus grande que la vitesse Us de celle d'amont; elle peut descendre en dessous de 0,44 pour U^ > Uj , sans toutefois devenir nulle.

En résumé, des considérations que nous venons de développer, Ton peut tirer les conclusions suivar^es relativement à l'application des formules du mouvement varié aux phénomènes des cours d'eau naturels.

1^ Il e^t impossible de déterminer la variation qui se présente dans la distribution des vitesses pour deux sections trèsrapprocl\ées; l'expression de la force vive dans chacune d'elles ne saurait donc être cal-

culées que plus ou moins approximativement; et, comme une légère erreur dans Tévaluation de deux quantités peut en donner une trèsgrande dans leur différence, il serait illusoire de songer à évaluer cette différence avec un degré d'approximation convenable.

2** Les sections des grands cours d'eau naturels étant, en général, fort irrégulières, il est indispensable d'établir les calculs sur des sections très-rapprochées ; force est donc de tomber dans les dilHcultés précitées.

S** Lorsque les sections sont assez régulières pour qu on puisse conserver entre celles que Ton considère une certaine dislance finie L, Ion peut, au moyen de la formule (Q), convenablement corrigée, résoudre avec une exactitude suffisante les problèmes en rapport avec cette hypothèse. En^effet, dans cette formule mise sous la forme :

le premier terme a une valeur limitée par les valeurs extrêmes que peuvent prendre U< et Uj; et, comme la différence entre Uj et U« n'est jamais considérable, ce terme ne dépassera guère quelques centimètres; son influ%oce sera donc très-insignifiante par rapport à la valeur

de\^ ds, qui peut atteindre une limite quelconque lorsque les sec-

tions sont éloignées.

df DtacuMiou de la eoarbe affectée |iar la surface des eours d'ean $ courbes el tailles de remons.

I**. Considérations générales et définitions.

Dans les rivières comme dans, lesScanaux, la masse liquide se meut sans solution de continuité; il suit de là qne, par chacune des sections faites perpendiculairement au conranyt, il passe un même volume d'eau dans un même temps; par conséquent, la vitesse des molécules^ à leur passage par les diverses sections, est en raison inverse de Taire de ces dernières.

Pour les canaux, où la section et la pente sont d'ordinaire constantes, le mouvement est uniforme et la courbe longitudinale de la

surface liquide se réduit à une ligne droite parallèle au fond du lit; on lui donne généralement la dénomination de : ligne du régime untforme.

Dans les cours d'eau naturels» cette courbe est sujette à de grandes variations suivant les pentes et les sections de la masse liquide. Supposons, par exemple, que la pente d'une rivière, après s'être maintenue constante sur une certaine longueur, vienne à augmenter sans que la largeur du lit change; la hauteur de la section liquide diminuera, en vertu du principe que nous venons de tirer de la continuité des fluides. Mais , comme cette diminution de hauteur ne pourra se faire d'une manière brusque, la surface du courant présentera, dans cette partie, une forme convexe, et le mouvement y sera accéléré. L'inverse aura lieu évidemment pour une diminution dans la pente ; la courbe sera concave et le mouvement retardé. L'on pourra même parfois obtenir une contre-pente à la surface, sur une petite étendue, c'est-à-dire une inclinaison opposée à celle du lit.

Les variations dans la largeur des sections produisent des résultats analogues à ceux qui résultent de modifications dans la pente.

L'on peut conclure de ce qui précède : l** que la coupe longitudinale de la surface d'un cours d'eau présente une suite de lignes droites, plus ou moins courtes, réunies par des portions de courbes, plus courtes encore, et tantôt concaves tantôt convexes ; ^ qu'un mouvement retardé correspond aux premières courbes, et un mouvement accéléré aux secondes; 3» que les inégalités de cette coupe correspondent à celles du lit, mais qu'elles sont moins fortes que ces dernières.

L'on désigne sous le nom de courbes de remous, les parties convexes ou concaves qui, dans les cours d'eau naturels, sont produites soit par des élargissements ou des rétrécissements du lit, soit par des accroissements ou des diminutions de la peote, et qui se raccordent, ainsi que nous venons de le dire, à une suite de lignes droites correspondant au régime uniforme. Dans le premier cas il y a remous d'abaissement ; il y a remous de gonflement dans le second. Les problèmes ordinaires que Ton est appelé à résoudre se rapportent à ce dernier; aussi l'on appelle vulgairement remous tout exhaussement de la surface du courant au-dessus de la ligne du régime uniforme; ex-

haussement qui est produit la plupart du temps par un obstacle et qui, en se propageant vers Tamont, semble accompagné d'un rebroussement du liquide contre la direction de la rivière. L'on désigne par hauteur du remous Texhaussement maximum mn ou mn' (fig. 56) audessus de la ligne ABC du régime uniforme ; son amplitude nA ou mA est la distance à laquelle il se propage. L'on désigne aussi sous le nom d*amplitude hydrostatique la longueur nB ou mB obtenue en menant une horizontale par le point culminant m.

En général, le remous d'exhaussement ou de gonflement est produit soit par une digue ou un déversoir qui barre entièrement le cours d'eau, soit par un obstacle partiel, tel qu'une jetée ou les piles d'un pont. En traitant la question des remous, nous examinerons spécialement les variations de la courbe dans l'hypothèse d'un obstacle continu.

11^ Discussion de la courbe du courant, pour le mouvement varié permanent et dans un canal régulier.

Nous supposerons dans nos calculs que la section du canal soit un rectangle prismatique invariable mais de largeur finie, et que la pente t soit constante.

Soient :

i le sinus de la pente du fond, comptée positivement lorsque

celui-ci monte et négativement lorsqu'il descend ; L la demi-largeur du cours d'eau; q le produit ou la dépense du cours d'eau par mètre de lar-

h la hauteur variable comptée au-dessus du fond ;

s la distance de la section considérée à une autre prise pour origine. Cette origine est supposée en amont; par conséquent les distances s sont comptées positivement de l'amont à l'aval.

Reprenons Téquation (P) généralisée du mouvement varié :

En supposant que AB el GB' soient deux sections infiniment rapprochées (fig. 57), les notations de la figure donnent la relation :

h, = fc 4- B'6 -f (/G = fc + ids 4- de D'où :

f/9 = fc, — h — ids ^ — (Ih — ids

Reniplaçant dans Téqualion (P') dB par cetle valeur el u par-^ , nous obtiendrons :

dk

as = rVr— ' (^)

Celte équation représenteja courbe de la surface de Teau dans un courant pernoanent régulier quelconque, quelle que soit Tinclinaison i\ et les dimensions de la section liquide. II serait inexact d'en conclure que, dans tous les cas, la courbe qu'elle représenle reste la même; celle-ci varie au contraire dans sa forme suivant la valeur numérique des coefficients, tout aussi bien que les sections coniques qui sont aussi représentées par une équation générale du second' degré.

Si, dans la relation (X), l'on remplace q par sa valeur approximative UA, il en résulte :

d,= Li l

Posant en outre : «U -|- pU* = 6ill*, l'on en conclut :

dh

d«= , ■ ■ ou bien ,.. , ', „, „ , ,. 0)

Là

Nous allons disculer l'équation différentielle sous celle dernière forme.

1® Soit t = 0, c'est-à-dire un fond horizontal.

L'inclinaison de la tangenle à la courbe est représonlée, dans ce cas, par :

dh b,\}^{L + h}

Ainsi, la tangente est positive, c'est-à-dire inclinée de Taval vers Tamont, pour h <:^ — ; elle est infinie pour h = — , qui corres-

pond à î = 90°; et négative pour h ^ . En outre, pour des va-

leurs de h supérieures à — , valeurs qui rendent négatif le rap-

port-;— , rinclinaison de la tangente diminue de plus en plus, de sorte

que vers Tamont la courbe (fig. 58) se rapproche de Thorizontale. Sa

tangente verticale, en m, est déterminée par A== — ; et celle du point

*j m' où la courbe rencontre le fond, est égale à 6igf, valeur que Ton

dh obtient en faisant A = dans l'expression de --r- . La courbe aurait

donc en mm'. une partie concave pour laquelle les tangentes seraient positives, et qui reviendrait en sens coniraire du courant. Ce phénomène est évidemment impossible ; arrivée en m Teau ne peut que tomber verticalement ; il n'y a donc pas lieu de considérer la branche qui correspond à celte solution du problème. i

L'intégration de l'équation différentielle (Z), donnera tous les points de la coufbemCA. A cet effet, décomposons, avec Dupuit, le dénominateur de dh en deux fractions du premier degré, après avoir fait t = dan^ l'équation (X); nous aurons :

àh

(o^qh + W

{h + h){aqh-\-pq^) ^q (h --^ q]\ h + -tq h + hJ

Le facteur aqh + (3g^ se compose de deux termes, dont l'un varie avec h et dont l'autre est constant. Mais comme a. est beaucoup plus petit que j3, les diverses valeurs que pourra prendre le terme aqh, par suite des variations de h, ne donneront chaque fois que des différences insignifiantes dans les valeurs correspondantes du facteur aqh + ^q^. Si donc, l'on appelle h' une valeur moyenne de h dans la partie du cours d'eau considérée, l'on peut remplacer approximativement

aqh -f- jSç' par le facteur constant a.qK + ^q^ = C. L on obtrenl alors en intégrant :

L'on déterminera la constante G' en faisan t, dans cette équation , s = et A = Al dans l'hypothèse où h\ représente la hauteur du cours d'eau au point de l'amont où l'on commence à compter les distances. L'on aura ainsi :

+ L(?^*)-L«(fc-fc,)] ...(a)

Si, dans la valeur de Ç, l'on remplace q par Uh\ où U' désigne la vitesse moyenne correspondant à A', l'on en tire :

C = afc' X U'fe' + pu'*^'» = fc'» («U' + pu") et, par suite :

+ L (**~^'* ) - L^ (ft - h,)] (i)

OU bien encore :

+ L(-^îl^)-LMfe--fe,)] (c)

Ces équations se simplifient beaucoup lorsque le ^ours d'eau est

assez large pour qu'on puisse considérer le rapport — —y- comme

Là "i~ il

sensiblement égal à l'unité.

Ainsi la relation (X) devient, pour i== et ' , — = 1 :

aqh + pf

el l'équation (à) de la courbe se réduit à

qui représente une parabole du 4« degré.

2® Supposons quel soil positif, ce qui correspond à un fond incliné en sens inverse du courant.'

Les équations (X) el (Y) donnent pour Tinclinaison de la tangente les expressions :

dh '*'**+ ^T^H'^+P^*)

et :

dh Ui+>4U«(L + A) ds "■

L'une et l'autre présentent, pour la courbe, les mêmes caractères généraux que dans le cas où i = 0, c'est-à-dire pour un fond horizontal : la grande branche ACm (fig. 58) reste concave jusqu'en wi,

où A= — , et sa tangente se rapproche de Thorizonlale vers l'amont. y m

Ainsi, quand le fond du lit est horizontal ou en contre-pente, l'eau

présente toujours une surface convexe qui se termine par une croupe

brusquement arrondie.

S"" Soit enfin i négatif; rinclinai3on du lit est alors dans le sens du courant.

Ce cas est celui des cours d'equ naturels; leur fond étant généralement peu accidenté, l'on peut, entre deux points quelconques pour lesquels la vitesse moyenne U est la même, substituer à ce fond réel une droite fictive donnant la même résistance par mètre courant, et ayant, entre ces deux points, la pente de la surface. Dès lors, le mouvement étant uniforme, la profondeur H du cours d'eau, dont la section est supposée rectangulaire, sera donnée par l'équation :

C'est pour un pareil lit que nous traiterons plus loin la question des remous; nous supposerons qlie, par reffet de travaux quelconques, Teau y soit soulevée ou abaissée par rapport à la hauteur H du régime uniforme, et nous déterminerons la courbe de la nouvelle surface.

[[p. Problèmes.

i** Étant donné, pour la section liquide, un trapèze ayant l'",20 au fond et 1,40 à la surface; et pour dépense du courant une quantité Q = 0,60, trouver la distance entre Ai = 1"',60 et /i = 0,60. Le fond du lit est censé horizontal.

Pour résoudre ce problème, l'on prendra Téquation (r), et Ton y remplacera L, h, h^y q et bi par leur valeur :

^ Étant donné pour 9 et L les mêmes valeurs que précédemment, ainsi que la hauteur h == 0,50 d'un point C de la courbe (fig. 58),' trouver la hauteur h^ de celle-ci à 4000*" en amont du point précédent. Le fond du lit est encore censé horizontal.

Le moyen le plus simple est d'opérer par tâtonnement; au lieu de résoudre l'équation (c) par rapport à A, il suffit d'y substituer une valeur arbitraire pour cette inconnue et de voir si la valeur résultante de s se rapproche de 4000"*.

Supposons, par exemple, qu'en donnant à A la valeur arbitraire 1,80 Ton obtienne 4300 environ, tandis que A = 1,70 ne donnerait que 3800; comme ces deux ordonnées appartiennent aussi à la courbe, on peut considérer celle-ci comme à peu près droite entre elles, puis rechercher par' proportion la hauteur A qui correspond à $ = 4000"" ; celte hauteur sera ici compriîîïe entre 1.70 et 1.80.

IV**. Courbes et tables de remous.

Reprenons le cas de la fig. 56, pour lequel i est négatif, et qui se rapporte à un cours d'eau naturel barré entièrement par une digue ou un déversoir dD.

Par suite de cet obstacle, Teau qui coulait d'abord d'une manière uniforme, et dont la ligne de surface ABC était parallèle au fond, s'élève à partir d'un certain point d'origine en amont, et sa courbe de surface s'éloigne de plus en plus de la droite du régime uniforme, jusqu'à un point culminant m du gonflement situé à une très-petite distance de la digue dD ; le liquide se déverse alors au-dessus de celte dernière.

Si l'on désigne par h la hauteur ^eTdu point m au-dessus du déversoir, par H la profondeur nn" ou approximativement 6D du régime uniforme, et par A' la hauteur dD de l'obstacle, la hauteur mn ou mn' ou ab du remous sera représentée par h +h' — H, expression dans laquelle h correspond à la quantité H tirée de la formule (a) des déversoirs :

Q = 0,405 LH V/'â^

Dubuat est le premier auteur qui se soit occupé de la forme et de l'étendue des remous*; ses observations le portèrent à conclure que la courbe de leur surface est concave vers TextérieUr, et qu'elle diffère très-peu d'un arc de cercle. Après avoir prouvé que la théorie de Dubuat péchait par excès, Funck admit gratuitement que les courbes des remous' de gonflement sont des arcs de paraboles dant le sommet serait sur la surface du courant à une distance du barrage égale a deux fois Y amplitude hydrostatique, et dont le paramètre

serait-^ (A + /i'- H) t.

Sans admettre ces conclusions, les hydrauliciens regardaient cependant la surface d'un remous de gonflement comme concave vers l'extérieur, et ils la supposaient généralement plus longue que l'amplitude hydrostatique. Mais en 1820, un savant piémontais,M. Bidom, prouva par des expériences qu'il peut se produire des remous à surface presque plane et horiîçontale ou faiblement convexe, plus courte

que I amplitude hydrostatique, et qui se réunit à la surface du courant par une courbe convexe brusque formant re^sati^ à la superficie du liquide. Voici entre autres un cas particulier, très^intéressant^ décrit par cet auteur.

Après avoir disposé un canal en maçonnerie, à section rectangulaire, dont le fond avait une inclinaison de 0,"*0!23 par mètre,-et dont les parois verticales étaient distantes de 0,"'32S, il y fit couler de Teau de façon à obtenir une dépense de 0,"''0351 par seconde. A ce débit correspondait une hauteur H constante, de régime uniforme, égale à 0"',064. Ces dispositions prises, Bidone établit dans le cours d'eau un barrage continu tel que la profondeur s'élevât à 0",28 en un point situé à 1"',00 en arrière (fig. 59); il en advint le résultat suivant : le régime uniforme subsistait encore jusqu'à 4"',50 en amont du barrage; puis, la hauteur prenant un accroissement brusque s'élevait à environ 0™,18, le triple de sa valeur primitive ; l'eau continuait ensuite à couler sans agitation et avec une surface légèrement convexe«jusqu'au barrage, par dessus lequel elle se déversait.

L'accroissement brusque de hauteur AB — ab, ainsi produit, sans inégalité du fond, dans un canal prismatique, porte le nom de ressaut superficiel, ou simplement de ressaut.

D'après MM. Bélanger et Bresse, le phénomène du ressaut serait un cas exceptionnel de la formule fondamentale du mouvement permanent varié, attendu que les conditions analytiques de son existence sont incompatibles avec l'hypothèse des filets parallèles, sur laquelle cette formule repose. De là l'impossibilité d'appliquer, dans ce cas, la théorie ordinaire à la courbe du remous. Les premières recherches sur cette question sont dues à M. i^élanger. Déjà, en 1827, dans son Essai^sur le mouvemeni des eaux courantes, il avait proposé, pour le^ calcul des courbes à ressaut, une formule basée sur l'hypothèse que l'on peut, dans l'examen de ce phénomène, négliger les pertes de charge. En 1838 il exposa une nouvelle théorie en partant du principe des quantités de mouvement projetées. Celte théorie, que M. Bresse considère comme plus rationnelle que la première, et qu'il reproduit dans son Cours'de mécanique appliquée, ne nous semble mériter aucune confiance, par suite de l'appréciation inexacte de la différence des forces vives dans deux tranches irès-rapprochées. Nous renvoyoïis,

pour ce sujet, à ce que nous avons déjà exposé au § B. II. 6 et au § C. II. 0,

Dans son ouvrage sur le Mouvement des eaux courantes, publié en 1848, M, Dupuil établit que les remous à ressaut dépendent de la pente i du cours d'eau ; qu'ils ne se produisent que dans les cas fort rares où i est supérieur à S'^ySO par kilomètre, et qu'enfin ils ne peuvent jamais se présenter dans les rivières ou les fleuves, même les plus impétueux, puisque la penfe de ceux-ci se trouve bien en dessous de cette limite. C'est ce que nous allons développer.

Reprenons le troisième cas du § d. IP, pour lequel t est négatif; c'est-à-dire Tinclinaison du lit parallèle au courant. Changeons t en — t dans Téqualion différentielle :

ds

dh

dh rinclinaison--^de la tangente à la courbe résultante sur la ligne du

régime uniforme sera donc :

dh '•'*'— ^H'^^ M

Afin de simplifier ceftc relation, négligeons a par rapport à (3 et -r-

par rapport à i. Il serait facile de prouver que ces hypothèses ne modifient pas les propriétés de la courbe; du reste, il ne s'agit ici que d'étudierja foi*me générale de cette^ dernière. Nous aurons don« :

dh as

ift» - pq*

Pour éliminer

de -celle équation,

posons

les deux relations di|

régime uniforme

= UH

et Ht=aU

+ pu» =

= pu* ,

Il en résulte :

= UW et H»i =